2024屆上海市六校數(shù)學高二下期末經(jīng)典試題含解析

2024屆上海市六校數(shù)學高二下期末經(jīng)典試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．《九章算術》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬；將四個面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑．若三棱錐為鱉臑，平面，，，三棱錐的四個頂點都在球的球面上，則球的表面積為（）A． B． C． D．2．如圖是在北京召開的第24屆國際數(shù)學家大會的會標，會標是根據(jù)我國古代數(shù)學家趙爽弦圖設計的，顏色的明暗使它看上去像一個風車，代表中國人民熱情好客．已知圖中直角三角形兩個直角邊的長分別為2和1．若從圖中任選一點，則該點恰在陰影區(qū)域的概率為（）A． B． C． D．3．從區(qū)間上任意選取一個實數(shù)，則雙曲線的離心率大于的概率為（）A． B． C． D．4．已知，橢圓的方程，雙曲線的方程為，和的離心率之積為，則的漸近線方程為（）A． B． C． D．5．已知曲線C：y＝，曲線C關于y軸的對稱曲線C′的方程是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝ D．y＝6．從標有1、2、3、4、5的五張卡片中，依次不放回地抽出2張，則在第一次抽到奇數(shù)的情況下，第二次抽到偶數(shù)的概率為()A． B． C． D．7．若函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖所示，則的值（）A． B．C． D．8．即將畢業(yè)，4名同學與數(shù)學老師共5人站成一排照相，要求數(shù)學老師站中間，則不同的站法種數(shù)是A．120 B．96 C．36 D．249．設定義在(0，＋∞)上的函數(shù)f(x)滿足xf′(x)－f(x)＝xlnx，，則f(x)()A．有極大值，無極小值 B．有極小值，無極大值C．既有極大值，又有極小值 D．既無極大值，又無極小值10．將3本相同的小說，2本相同的詩集全部分給4名同學，每名同學至少1本，則不同的分法有（）A．24種 B．28種 C．32種 D．36種11．若對于任意實數(shù)，函數(shù)恒大于零，則實數(shù)的取值范圍是()A． B． C． D．12．設x，y滿足約束條件y+2?0，x-2?0，2x-y+1?0，A．-2 B．-32 C．-1二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點處的切線平行于直線，則點的坐標為______.14．若，，則，的大小關系是__________．15．在正四面體P-ABC，已知M為AB的中點，則PA與CM所成角的余弦值為____.16．從邊長為10cm×16cm的矩形紙板的四角截去四個相同的小正方形，作成一個無蓋的盒子，則盒子容積的最大值為______cm1．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且在區(qū)間上的最小值為，求的值.18．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，底面是正形，，為的中點．（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）已知矩陣，矩陣B的逆矩陣.（1）求矩陣A的特征值及矩陣B.（2）若先對曲線實施矩陣A對應的變換，再作矩陣B對應的變換，試用一個矩陣來表示這兩次變換，并求變換后的結(jié)果.20．（12分）設，（為自然對數(shù)的底數(shù))．（1）記①討論函數(shù)單調(diào)性；②證明當時，恒成立.（2）令設函數(shù)有兩個零點，求參數(shù)的取值范圍.21．（12分）設且，函數(shù).（1）當時，求曲線在處切線的斜率；（2）求函數(shù)的極值點．22．（10分）設點F1，F(xiàn)2分別是橢園C：x22t2+y2t2=1(t>0)的左、右焦點，且橢圓C上的點到F2(1)求橢圓C的方程；(2)當F1N?(3)當|F2N

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】由題意得為球的直徑,而,即球的半徑;所以球的表面積.本題選擇C選項.點睛：與球有關的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時要認真分析圖形，明確切點和接點的位置，確定有關元素間的數(shù)量關系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點為正方體各個面的中心，正方體的棱長等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點均在球面上，正方體的體對角線長等于球的直徑.2、C【解題分析】

直接根據(jù)幾何概型計算得到答案.【題目詳解】，，故.故選：.【題目點撥】本題考查了幾何概型，意在考查學生的計算能力.3、D【解題分析】分析：求出m的取值范圍，利用幾何概型的計算公式即可得出.詳解：由題意得，，解得，即.故選：D.點睛：幾何概型有兩個特點：一是無限性；二是等可能性．基本事件可以抽象為點，盡管這些點是無限的，但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率．4、A【解題分析】

根據(jù)橢圓與雙曲線離心率的表示形式，結(jié)合和的離心率之積為，即可得的關系，進而得雙曲線的離心率方程.【題目詳解】橢圓的方程，雙曲線的方程為，則橢圓離心率，雙曲線的離心率，由和的離心率之積為，即，解得，所以漸近線方程為，化簡可得，故選：A.【題目點撥】本題考查了橢圓與雙曲線簡單幾何性質(zhì)應用，橢圓與雙曲線離心率表示形式，雙曲線漸近線方程求法，屬于基礎題.5、A【解題分析】

設所求曲線上任意一點，由關于直線的對稱的點在已知曲線上，然后代入已知曲線，即可求解．【題目詳解】設所求曲線上任意一點，則關于直線的對稱的點在已知曲線，所以，故選A．【題目點撥】本題主要考查了已知曲線關于直線的對稱的曲線方程的求解，其步驟是：在所求曲線上任取一點，求得其關于直線的對稱點，代入已知曲線求解是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于中檔試題．6、B【解題分析】由題意，記“第一次抽到奇數(shù)”為事件A，記“第二次抽到偶數(shù)”為事件B，則，，所以.故選B.7、A【解題分析】

根據(jù)周期求，根據(jù)最值點坐標求【題目詳解】因為,因為時，所以因為，所以，選A.【題目點撥】本題考查由圖像求三角函數(shù)解析式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.8、D【解題分析】分析：數(shù)學老師位置固定，只需要排學生的位置即可.詳解：根據(jù)題意得到數(shù)學老師位置固定，其他4個學生位置任意，故方法種數(shù)有種，即24種.故答案為：D.點睛：解答排列、組合問題的角度：解答排列、組合應用題要從“分析”、“分辨”、“分類”、“分步”的角度入手．(1)“分析”就是找出題目的條件、結(jié)論，哪些是“元素”，哪些是“位置”；(2)“分辨”就是辨別是排列還是組合，對某些元素的位置有、無限制等；(3)“分類”就是將較復雜的應用題中的元素分成互相排斥的幾類，然后逐類解決；(4)“分步”就是把問題化成幾個互相聯(lián)系的步驟，而每一步都是簡單的排列、組合問題，然后逐步解決．9、D【解題分析】因為xf′(x)－f(x)＝xlnx，所以，所以，所以f(x)＝xln2x＋cx.因為f()＝ln2＋c×＝，所以c＝，所以f′(x)＝ln2x＋lnx＋＝(lnx＋1)2≥0，所以f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，所以f(x)在(0，＋∞)上既無極大值，也無極小值，故選D.點睛：根據(jù)導函數(shù)求原函數(shù)，常常需構造輔助函數(shù)，一般根據(jù)導數(shù)法則進行：如構造，構造，構造，構造等10、B【解題分析】試題分析：第一類：有一個人分到一本小說和一本詩集，這種情況下的分法有：先將一本小說和一本詩集分到一個人手上，有種分法，將剩余的本小說，本詩集分給剰余個同學，有種分法，那共有種；第二類：有一個人分到兩本詩集，這種情況下的分法有：先兩本詩集分到一個人手上，有種情況，將剩余的本小說分給剩余個人，只有一種分法，那共有：種，第三類：有一個人分到兩本小說，這種情況的分法有：先將兩本小說分到一個人手上，有種情況，再將剩余的兩本詩集和一本小說分給剩余的個人，有種分法，那共有：種，綜上所述：總共有：種分法，故選B.考點：1、分布計數(shù)乘法原理；2、分類計數(shù)加法原理.【方法點睛】本題主要考查分類計數(shù)原理與分步計數(shù)原理及排列組合的應用，屬于難題.有關排列組合的綜合問題，往往是兩個原理及排列組合問題交叉應用才能解決問題，解答這類問題理解題意很關鍵，一定多讀題才能挖掘出隱含條件.解題過程中要首先分清“是分類還是分步”、“是排列還是組合”，在應用分類計數(shù)加法原理討論時，既不能重復交叉討論又不能遺漏，這樣才能提高準確率.11、D【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)導數(shù)的符號求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出最值，即可得到實數(shù)的取值范圍【題目詳解】當時，恒成立若，為任意實數(shù)，恒成立若時，恒成立即當時，恒成立，設，則當時，，則在上單調(diào)遞增當時，，則在上單調(diào)遞減當時，取得最大值為則要使時，恒成立，的取值范圍是故選【題目點撥】本題以函數(shù)為載體，考查恒成立問題，解題的關鍵是分離含參量，運用導數(shù)求得新函數(shù)的最值，繼而求出結(jié)果，當然本題也可以不分離參量來求解，依然運用導數(shù)來分類討論最值情況。12、A【解題分析】

作出不等式組所表示的可行域，平移直線z=x+y，觀察直線在x軸上取得最大值和最小值時相應的最優(yōu)解，再將最優(yōu)解代入目標函數(shù)可得出z最大值和最小值，于此可得出答案。【題目詳解】如圖，作出約束條件表示的可行域.由圖可知，當直線z=x+y經(jīng)過點A(2，5)時.當直線z=x+y經(jīng)過點B(-32,-2)時，z取得最小值.故z【題目點撥】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，一般利用平移直線利用直線在坐標軸上的截距得出最優(yōu)解，考查計算能力，屬于中等題。二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或【解題分析】

求出函數(shù)的導數(shù)，令，解出的值，再將的值代入函數(shù)的解析式可得出點的坐標.【題目詳解】，，令，即，解得，，，因此，點的坐標為或，故答案為：或.【題目點撥】本題考查導數(shù)的幾何意義，利用切線與直線的位置關系求切點坐標，解題時要利用已知條件得出導數(shù)值與直線斜率之間的關系，考查運算求解能力，屬于中等題.14、【解題分析】分析：作差法，用，判斷其符號．詳解：，所以，．點睛：作差法是比較大小的基本方法，根式的分子有理化是解題的關鍵15、【解題分析】分析：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得即為與所成的角或其補角，利用余弦定理可得結(jié)果.詳解：取的中點，連接，由三角形中位線定理可得，，故即為與所成的角或其補角，因為是正四面體，不妨設令其棱長為，則由正四面體的性質(zhì)可求得，故，故答案為.點睛：本題主要考查余弦定理的應用以及異面直線所成角的求法，求異面直線所成的角的做題步驟分為三步，分別為：作角、證角、求角，尤其是第二步證明過程不可少，是本題易失點分，切記.16、144【解題分析】

設小正方形的邊長為xcm，【題目詳解】設小正方形的邊長為xcm則盒子的容積V=V當0<x<2時，V'>0，當2<x<5∴x=2時，V取得極大值，也是最大值，V=故答案為144【題目點撥】本題主要考查了導數(shù)在解決實際問題中的應用，考查了學生的閱讀理解能力和利用數(shù)學知識解決問題的能力，屬于基礎題目．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解題分析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式可得定義域和導函數(shù)；分別在和兩種情況下討論導函數(shù)的符號，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先確定解析式和；通過可知；分別在、和三種情況下確定在上的單調(diào)性，從而得到最小值的位置，利用最小值構造方程求得結(jié)果.【題目詳解】（1）由題意得：定義域為：；當時，在上恒成立在上單調(diào)遞增當時，令，解得：時，；時，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減綜上所述：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）則令，解得：①當，即時，在上恒成立在上單調(diào)遞增，解得：，舍去②當，即時，時，；時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，解得：，符合題意③當，即時，在上恒成立在上單調(diào)遞減，解得：，舍去綜上所述：【題目點撥】本題考查導數(shù)在研究函數(shù)中的應用，涉及到利用導數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值求解參數(shù)值的問題；關鍵是能夠根據(jù)參數(shù)與導函數(shù)零點的位置關系確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到最值的位置.18、（1）證明見解析；（2）【解題分析】

（1）推導出DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，從而BC⊥平面PCD，進而DE⊥BC，由此能證明DE⊥平面PCB.

（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E?DB?P的余弦值.【題目詳解】解：（1）證明：∵在四棱錐P?ABCD中，PD⊥平面ABCD，

底面ABCD是正方形，PD＝AB，E為PC的中點，

∴DE⊥PC，BC⊥CD，BC⊥PD，

∵PD∩CD＝D，∴BC⊥平面PCD，

∵DE?平面PCD，∴DE⊥BC，

∵PC∩BC＝C，∴DE⊥平面PCB；

（2）解：以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標系，

設PD＝AB＝2，則E（0，1，1），B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），

，

設平面BDE的法向量，

則，取，得，

設平面BDP的法向量，

則，取，得，

設二面角E?BD?P的平面角為θ.

則.

∴二面角E?BD?P的余弦值為.【題目點撥】本題考查線面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題.19、（1）矩陣A的特征值為1,2；；（2），【解題分析】

（1）通過特征多項式即可得到特征值，利用，可計算出矩陣B；（2）首先可計算出的結(jié)果，然后設出，變換后的點設成，利用線性變換得到相關關系，從而得到新曲線.【題目詳解】(1)矩陣A的特征多項式，令，則或，故矩陣A的特征值為1,2；設，根據(jù)，可得：即，解得，所以矩陣.(2)兩次變換后的矩陣，在曲線上任取一點，在變換C的作用下得到，則，即，整理得，可得，即，代入得.【題目點撥】本題主要考查線性變換，特征值的計算，意在考查學生的分析能力，計算能力，難度中等.20、（1）①在為減函數(shù)，在上為增函數(shù)②見證明；（2）【解題分析】

（1）①對函數(shù)求導，判斷其單調(diào)性即可。②轉(zhuǎn)化成證明的問題，從而證明在時的最小值大于0。（2）首先對求導數(shù)，討論其單調(diào)性，結(jié)合圖像即可得到有兩個零點時的取值范圍。【題目詳解】（1）①由題意得所以因為所以當時為增函數(shù)，當時為減函數(shù)②證明:當時,恒成立,等價于證明當時,恒成立。因為，因為，則。因為，所以，所以在上為增函數(shù)。因為，所以在上為增函數(shù)。又因為，所以（2）當時，為增函數(shù)。，為減函數(shù)。有兩個零點當時，令當時在和上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)。此時有三個零點（舍棄）當同理可得有三個零點（舍棄）當時，，此時有兩個零點。綜上所述【題目點撥】本題主要考查了根據(jù)導數(shù)判斷單調(diào)性以及函數(shù)恒成立問題，在解決第二問函數(shù)零點問題時，轉(zhuǎn)化成判斷函數(shù)單調(diào)性以及極值的問題。屬于難題。21、(1).(2)見解析.【解題分析】試題分析：（1）由已知中函數(shù)，根據(jù)a=2，我們易求出f（3）及f′（3）的值，代入即可得到切線的斜率k=f′（3）．（2）由已知我們易求出函數(shù)的導函數(shù)，令導函數(shù)值為0，我們則求出導函數(shù)的零點，根據(jù)m＞0，我們可將函數(shù)的定義域分成若干個區(qū)間，分別在每個區(qū)間上討論導函數(shù)的符號，即可得到函數(shù)函數(shù)f（x）的極值點．試題解析：(1)由已知得x>0.當a＝2時，f′(x)＝x－3＋，f′(3)＝，所以曲線y＝f(x)在(3，f(3))處切線的斜率為.(2)f′(x)＝x－(a＋1)＋＝＝.由f′(x)＝0，得x＝1或x＝a.①當0<a<1時，當x∈(0，a)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x∈(a,1)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．此時x＝a時f(x)的極大值點，x＝1是f(x)的極小值點．②當a>1時，當x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當x∈