2024屆安徽省舒城桃溪數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2024屆安徽省舒城桃溪數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在極坐標(biāo)系中，曲線的極坐標(biāo)方程為，曲線的極坐標(biāo)方程為。若射線與曲線和曲線分別交于兩點（除極點外），則等于（）A． B． C．1 D．2．下列結(jié)論中正確的是（）A．導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點B．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值C．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極小值D．如果在附近的左側(cè)，右端，那么是極大值3．已知函數(shù)，過點作曲線的兩條切線，，切點分別為，，設(shè)，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)存在個數(shù)，，…，使得不等式成立，則的最大值為()A．4 B．5 C．6 D．74．從1，2，3，4，5，6，7，8，9中不放回地依次取2個數(shù)，事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的是3的整數(shù)倍”，則（）A． B． C． D．5．8名學(xué)生和2位教師站成一排合影，2位教師不相鄰的排法種數(shù)為（）A． B． C． D．6．設(shè)函數(shù)，若實數(shù)分別是的零點，則（）A． B． C． D．7．《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點任務(wù)必須排在前三位，且任務(wù)、必須排在一起，則這六項任務(wù)的不同安排方案共有（）A．240種 B．188種 C．156種 D．120種8．已知，，，則它們的大小關(guān)系是A． B． C． D．9．四大名著是中國文學(xué)史上的經(jīng)典作品，是世界寶貴的文化遺產(chǎn).在某學(xué)校舉行的“文學(xué)名著閱讀月”活動中，甲、乙、丙、丁、戊五名同學(xué)相約去學(xué)校圖書室借閱四大名著《紅樓夢》、《三國演義》、《水滸傳》、《西游記》（每種名著至少有5本），若每人只借閱一本名著，則不同的借閱方案種數(shù)為（）A． B． C． D．10．對任意復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．11．已知函數(shù)，若函數(shù)在上為增函數(shù)，則正實數(shù)a的取值范圍為（）A． B． C． D．12．記為虛數(shù)集，設(shè)，．則下列類比所得的結(jié)論正確的是（）A．由，類比得B．由，類比得C．由，類比得D．由，類比得二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在一次連環(huán)交通事故中，只有一個人需要負(fù)主要責(zé)任，但在警察詢問時，甲說：“主要責(zé)任在乙”；乙說：“丙應(yīng)負(fù)主要責(zé)任”；丙說“甲說的對”；丁說：“反正我沒有責(zé)任”．四人中只有一個人說的是真話，則該事故中需要負(fù)主要責(zé)任的人是_____．14．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為_______.15．拋物線的焦點坐標(biāo)是______．16．設(shè)橢圓的兩個焦點分別為，點在橢圓上，且，，則該橢圓的離心率為．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù).(1)若為定義域上的單調(diào)函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)若，當(dāng)時，證明：.18．（12分）已知三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，，，，，分別是，的中點.（Ⅰ）證明：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值.19．（12分）如圖，三棱柱中，，分別為棱和的中點.(1)求證:平面;(2)若平面平面，且，求證:平面平面.20．（12分）已知.（Ⅰ）計算的值；（Ⅱ）若，求中含項的系數(shù)；（Ⅲ）證明：.21．（12分）已知橢圓C：的一個焦點與上下頂點構(gòu)成直角三角形，以橢圓C的長軸長為直徑的圓與直線相切．1求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；2設(shè)過橢圓右焦點且不重合于x軸的動直線與橢圓C相交于A、B兩點，探究在x軸上是否存在定點E，使得為定值？若存在，試求出定值和點E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l過點P(2,6)，且傾斜角為34π，在極坐標(biāo)系（與平面直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度，以原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為（1）求直線l的參數(shù)方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)曲線C與直線l交于點A,B，求|PA|+|PB|．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】

把分別代入和，求得的極經(jīng)，進(jìn)而求得，得到答案．【題目詳解】由題意，把代入，可得，把代入，可得，結(jié)合圖象，可得，故選A．【題目點撥】本題主要考查了簡單的極坐標(biāo)方程的應(yīng)用，以及數(shù)形結(jié)合法的解題思想方法，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解題分析】

根據(jù)極值點的判斷方法進(jìn)行判斷.【題目詳解】若，則，，但是上的增函數(shù)，故不是函數(shù)的極值點.因為在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，故的左側(cè)附近，有為增函數(shù)，在的右側(cè)附近，有為減函數(shù)，故是極大值.故選B.【題目點撥】函數(shù)的極值刻畫了函數(shù)局部性質(zhì)，它可以理解為函數(shù)圖像具有“局部最低（高）”的特性，用數(shù)學(xué)語言描述則是：“在的附近的任意，有（）”．另外如果在附近可導(dǎo)且的左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號發(fā)生變化，則必為函數(shù)的極值點，具體如下．（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極大值點；（1）在的左側(cè)附近，有，在的右側(cè)附近，有，則為函數(shù)的極小值點；3、B【解題分析】設(shè)，因，故，由題意過點可得；同理可得，因此是方程的兩個根，則，故．由于在上單調(diào)遞增，且，所以，因此問題轉(zhuǎn)化為對一切正整數(shù)恒成立．又，故，則，由于是正整數(shù)，所以，即的最大值為，應(yīng)選答案B．4、B【解題分析】

由條件概率的定義，分別計算即得解.【題目詳解】由題意事件為“第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9，第二次有2種情況；若第一次取到的為1，5，7，第二次有3種情況，故共有個事件由條件概率的定義：故選：B【題目點撥】本題考查了條件概率的計算，考查了學(xué)生概念理解，分類討論，數(shù)學(xué)運算的能力，屬于中檔題.5、A【解題分析】

本題選用“插空法”，先讓8名學(xué)生排列，再2位教師教師再8名學(xué)生之間的9個位置排列.【題目詳解】先將8名學(xué)生排成一排的排法有種，再把2位教師插入8名學(xué)生之間的9個位置（包含頭尾的位置），共有種排法，故2位教師不相鄰的排法種數(shù)為種.故選A.【題目點撥】本題考查排列組合和計數(shù)原理，此題也可用間接法.特殊排列組合常用的方法有：1、插空法，2、捆綁法.6、A【解題分析】由題意得，函數(shù)在各自的定義域上分別為增函數(shù)，∵，又實數(shù)分別是的零點∴，∴，故．選A．點睛：解答本題時，先根據(jù)所給的函數(shù)的解析式判斷單調(diào)性，然后利用判斷零點所在的范圍，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，其中借助0將與聯(lián)系在一起是關(guān)鍵．7、D【解題分析】當(dāng)E,F排在前三位時，=24,當(dāng)E,F排后三位時，=72，當(dāng)E,F排3，4位時，=24，N=120種，選D.8、A【解題分析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，而，因此，即。選A。9、A【解題分析】

通過分析每人有4種借閱可能，即可得到答案.【題目詳解】對于甲來說，有4種借閱可能，同理每人都有4種借閱可能，根據(jù)乘法原理，故共有種可能，答案為A.【題目點撥】本題主要考查乘法分步原理，難度不大.10、B【解題分析】分析：由題可知，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的運算性質(zhì)及基本概念逐一核對四個選項得到正確答案.詳解：已知則選項A，，錯誤.選項B，，正確.選項C，，錯誤.選項D，，不恒成立，錯誤.故選B.點睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、復(fù)數(shù)模的計算.11、B【解題分析】

求f（x）的導(dǎo)數(shù)f′（x），利用f′（x）判定f（x）的單調(diào)性，求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間，即得正實數(shù)a的取值范圍．【題目詳解】∵f（x）lnx（a＞0），∴f′（x）（x＞0），令f′（x）＝0，得x，∴函數(shù)f（x）在（0，]上f′（x）≤0，在[，+∞）上f′（x）≥0，∴f（x）在（0，]上是減函數(shù)，在[，+∞）上是增函數(shù)；∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，+∞）內(nèi)是增函數(shù)，∴1，又a＞0，∴a≥1，∴實數(shù)a的取值范圍是[1，+∞）；故選：B．【題目點撥】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的單調(diào)性問題，解題時應(yīng)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判定函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)的單調(diào)區(qū)間來解答問題，是中檔題．12、C【解題分析】選項A沒有進(jìn)行類比，故選項A錯誤；選項B中取不大于，故選項B錯誤；選項D中取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，故選項D錯誤，綜上正確答案為C.【題目點撥】本題考查復(fù)數(shù)及其性質(zhì)、合情推理，涉及類比思想、從特殊到一般思想和轉(zhuǎn)化化歸思想，考查邏輯思維能力、等價轉(zhuǎn)化能力、運算求解能力，屬于中等難題.本題可以利用排除法，先排除B,再利用特例法取不大于，排除B,再取，但是均為虛數(shù)沒辦法比較大小，排除D，可得正確選項為C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、甲【解題分析】試題分析：若負(fù)主要責(zé)任的是甲，則甲乙丙都在說假話，只有丁說真話，符合題意．若負(fù)主要責(zé)任的是乙，則甲丙丁都在說真話，不合題意．若負(fù)主要責(zé)任的是丙，則乙丁都在說真話，不合題意．若負(fù)主要責(zé)任的是丁，則甲乙丙丁都在說假話，不合題意．考點：邏輯推理．14、【解題分析】分析：由條件可得①，②，由單調(diào)遞增的定義可知③，由①②③求得交集即可得到答案詳解：函數(shù)在上單調(diào)遞增，時為增，即①時也為增，即有②又由單調(diào)遞增的定義可知③由②可得由③可得故的取值范圍為點睛：本題考查了分段函數(shù)的應(yīng)用，考查了函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，助于分段函數(shù)的分界點的情況，是一道中檔題，也是易錯題。15、【解題分析】拋物線即，，所以焦點坐標(biāo)為.16、【解題分析】試題分析：在中，，，設(shè)，則.考點：橢圓的定義.【易錯點晴】本題的考點是橢圓定義的考查，即的等式關(guān)系和幾何意義.由給定的條件可知三角形不僅是直角三角形，也可以得到其中一個銳角，由此可用來表示直角三角形的三個邊，再根據(jù)橢圓的定義便可建立等式關(guān)系，求得橢圓的離心率.橢圓中研究的關(guān)系不僅選擇填空會考有時解答題也會出，它是研究橢圓基礎(chǔ).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）見解析【解題分析】

(1)求得的導(dǎo)數(shù)，，得到方程的判別式，分和、三種討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；(2)由，當(dāng)時，只需，故只需證明當(dāng)時，，求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可求解.【題目詳解】(1)由題意，函數(shù)的定義域為，則，方程的判別式.(ⅰ)若，即，在的定義域內(nèi)，故單調(diào)遞增．(ⅱ)若，則或.若，則，.當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞增．若，單調(diào)遞增．(ⅲ)若，即或，則有兩個不同的實根，當(dāng)時，，從而在的定義域內(nèi)沒有零點，故單調(diào)遞增．當(dāng)時，，在的定義域內(nèi)有兩個不同的零點，即在定義域上不單調(diào)．綜上：實數(shù)的取值范圍為.(2)因為，當(dāng)，時，，故只需證明當(dāng)時，.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，故在上有唯一實根，且，當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而當(dāng)時，)取得最小值．由得，即，故，所以.綜上，當(dāng)時，.【題目點撥】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的綜合應(yīng)用，以及不等式的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、分類討論、及邏輯推理能力與計算能力，對于恒成立問題，通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．18、(1)見解析;(2).【解題分析】分析：解法一：依題意可知兩兩垂直，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系，（1）利用直線的方向向量和平面的法向量垂直，即可證得線面平面；（2）求出兩個平面的法向量，利用兩個向量的夾角公式，即可求解二面角的余弦值.解法二：利用空間幾何體的點線面位置關(guān)系的判定定理和二面角的定義求解：（1）設(shè)的中點為，連接，證明四邊形為平行四邊形，得出線線平行，利用線面平行的判定定理即可證得線面平面；（2）以及二面角的平面角，在直角三角形中求出其平面角的余弦值，即可得到二面角的余弦值.詳解：解法一：依條件可知、、兩兩垂直，如圖，以點為原點建立空間直角坐標(biāo)系.根據(jù)條件容易求出如下各點坐標(biāo)：，，，，，，，.（Ⅰ）證明：∵，，是平面的一個法向量，且，所以.又∵平面，∴平面；（Ⅱ）設(shè)是平面的法向量，因為，，由，得.解得平面的一個法向量，由已知，平面的一個法向量為，，∴二面角的余弦值是.解法二：（Ⅰ）證明：設(shè)的中點為，連接，，∵，分別是，的中點，∴，又∵，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面；（Ⅱ）如圖，設(shè)的中點為，連接，∴，∵底面，∵，，∴，，∴，∴底面，在平面內(nèi)，過點做，垂足為，連接，，，，∴平面，則，∴是二面角的平面角，∵，由，得，所以，所以，∴二面角的余弦值是.點睛：本題考查了立體幾何中的面面垂直的判定和二面角的求解問題，意在考查學(xué)生的空間想象能力和邏輯推理能力；解答本題關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，通過嚴(yán)密推理，明確角的構(gòu)成.同時對于立體幾何中角的計算問題，往往可以利用空間向量法，通過求解平面的法向量，利用向量的夾角公式求解.19、（1）見解析（2）見解析【解題分析】分析：（1）先設(shè)的中點為，利用平幾知識證得四邊形為平行四邊形，所以，再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論，（2）根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，再根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得面，最后根據(jù)面面垂直判定定理得結(jié)論.詳解：解：（1）如圖1，設(shè)的中點為，連結(jié)，.在中，因為為的中點，所以，且，在三棱柱中，因為，且,為的中點，所以,且，所以，且,所以四邊形為平行四邊形，所以又平面，平面，所以平面.(法二)如圖2，在側(cè)面中，連結(jié)并延長交直線于點，連結(jié).在三棱柱中，所以,因為為的中點，所以為中點.又因為為中點，所以,又面，面所以平面(法三)如圖3，取的中點,連結(jié)、.在中，因為、分別為、的中點，所以.因為面，面所以平面.在三棱柱中，且，又因為、分別為、的中點，所以，，所以四邊形為平行四邊形，所以,又面，面，所以面因為面，面，，面，面，所以面面,又面,所以平面(2)因為，為的中點，所以，因為面面，面面，面，所以面，又面，所以面面點睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型.(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.20、（Ⅰ）-2019；（Ⅱ）196；（Ⅲ）詳見解析.【解題分析】

（Ⅰ）由于，代入-1即可求得答案;（Ⅱ）由于，利用二項式定理即可得到項的系數(shù)；（Ⅲ）可設(shè)，找出含項的系數(shù)，利用錯位相減法數(shù)學(xué)思想兩邊同時乘以，再找出含項的系數(shù)，于是整理化簡即可得證.【題目詳解】解：（Ⅰ）∵，∴；∴；（Ⅱ），中項的系數(shù)為；（Ⅲ）設(shè)（且）①則函數(shù)中含項的系數(shù)為，另一方面：由①得：②①-②得：，所以，所以，則中含項的系數(shù)為，又因為，，所以，即，所以.【題目點撥】本題主要考查二項式定理的相關(guān)應(yīng)用，意在考查學(xué)生對于賦值法的理解，計算能力，分析能力及邏輯推理能力，難度較大.21、（1）；（2）定點為.【解題分析】分析：（1）根據(jù)一個焦點與短軸兩端點的連線相互垂直，以橢圓的長軸為直徑的圓與直線相切，結(jié)合性質(zhì)，列出關(guān)于、、的方程組，求出、