信號與系統(tǒng)課件

第1章信號與系統(tǒng)概述1.1引言1.2信號的描述與分類1.3系統(tǒng)的描述與分類1.1引言當(dāng)人們直接進行相互交流，互相交換資訊時，由於聲音信號在空氣中傳播逐漸衰減，其傳輸距離是有限的。為了使聲音信號能遠(yuǎn)距離傳送，人們往往借助於某種設(shè)備，如一種稱為擴音器的簡單電系統(tǒng)，它能將聲音信號轉(zhuǎn)換為電信號並進行能量放大後再發(fā)出聲音信號。這樣，使原來的聲音信號經(jīng)過電系統(tǒng)後，能量得到加強，從而使其傳播距離擴大。然而借助擴音器傳送聲音信號的距離還是非常有限的，怎樣將聲音信號傳送得更遠(yuǎn)呢？

返回首頁經(jīng)過科學(xué)家們的發(fā)明和創(chuàng)造，可以應(yīng)用如圖1-1所示的通信系統(tǒng)來完成這樣的傳送任務(wù)。其基本原理是：在發(fā)送端，首先由轉(zhuǎn)換器將待發(fā)的消息，如人們常常使用的語言、文字、圖像和數(shù)據(jù)等，轉(zhuǎn)換成便於系統(tǒng)傳輸?shù)碾娦盘枴Ｈ会嵊砂l(fā)射機將該信號變換成易於在通道中正常傳輸?shù)男盘杹K將其送入通道。在接收端，由接收機將通道中傳輸來的信號接收下來並恢復(fù)成相應(yīng)的電信號，最後再由轉(zhuǎn)換器將電信號轉(zhuǎn)換成消息。這樣，接收者從獲得的消息中可以得到發(fā)信者傳送來的、有價值的資訊。圖1-1

通信系統(tǒng)原理框圖返回本節(jié)1.2信號的描述與分類1.2.1信號的描述1.2.2信號的分類返回首頁1.2.1信號的描述1．信號信號代表著消息，消息中又含有資訊，因此信號又可以看作是資訊的載體。信號一般是代表聲音、圖像和編碼等消息。如聲信號、光信號、電信號和數(shù)據(jù)信號等。2．信號的特性信號的時間特性：任何信號都可以表示為隨時間變化的函數(shù)。信號的頻率特性：任何信號可以分解為許多不同頻率的正弦分量之和。

返回本節(jié)1.2.2信號的分類1．確定性信號和隨機信號按信號是否可預(yù)知劃分，可以將信號分為確定性信號和隨機信號。

2．一維信號和n維信號按信號可以表示為幾個變數(shù)的函數(shù)劃分，將信號分為一維信號和維信號。

3．時限信號和非時限信號按信號的持續(xù)時間劃分，將信號分為時限信號和非時限信號。

4．連續(xù)時間信號和離散時間信號按信號是否是時間的連續(xù)函數(shù)劃分，將信號分為連續(xù)時間信號和離散時間信號。

5．週期信號和非週期信號按信號是否具有重複性，可以將信號劃分為週期信號和非週期信號。

6．能量信號和功率信號按信號的能量特性劃分，將信號分為能量信號和功率信號。1．確定性信號和隨機信號圖1-2所示的各個信號中（a）、（b）和（c）為確定性信號，可以寫出確定的函數(shù)運算式，而（d）和（e）為隨機信號，無法寫出確定的函數(shù)運算式。

（a）

（b）

（c）（d）

（e）

圖1-2幾種常見信號

2．一維信號和n維信號n維信號指信號是n個變數(shù)的函數(shù)。如靜止平面圖像信號為平面座標(biāo)的函數(shù)，稱為二維信號；運動的平面圖像信號是的函數(shù)，稱為三維信號。3．時限信號和非時限信號

圖1-3時限信號

（a）有始信號

（b）有終信號

（c）無始無終信號圖1-4

非時限信號4．連續(xù)時間信號和離散時間信號

圖1-5模擬信號

圖1-6幅值不連續(xù)的連續(xù)時間信號

（a）模擬信號

（b）抽樣信號

（c）量化信號

（d）編碼信號圖1-7

模擬信號的數(shù)位化過程5．週期信號和非週期信號

圖1-8連續(xù)週期信號

圖1-9

離散週期信號6．能量信號和功率信號連續(xù)信號的能量定義為：連續(xù)信號的平均功率定義為：

離散信號的能量定義為：

離散信號的平均功率定義為：返回本節(jié)1.3系統(tǒng)的描述與分類1.3.1系統(tǒng)的描述1.3.2系統(tǒng)的分類返回首頁1.3.1系統(tǒng)的描述通過以上介紹可以看出，人們在進行各種資訊交換的過程中，信號與系統(tǒng)是密不可分的。信號是資訊的載體，是系統(tǒng)傳輸和處理的客觀對象。信號的產(chǎn)生、傳輸、加工處理和儲存等都離不開系統(tǒng)，離開了信號，系統(tǒng)也將失去意義，二者相輔相成，作為一個整體存在。廣義而言，系統(tǒng)是一個由若干相互關(guān)聯(lián)的一類事物組成的具有某種特定功能的有機整體。

電系統(tǒng)是指對電信號進行產(chǎn)生、傳輸、加工處理和儲存的電路（網(wǎng)路）或設(shè)備（包括軟硬體設(shè)備），簡稱系統(tǒng)。如由R、C組成的積分器、微分器；由R、L、C組成的振盪器、濾波器；由電晶體等組成的放大器、檢波器、混頻器、分頻器、直流穩(wěn)壓電源；以及交流發(fā)電供電設(shè)備、雷達等。系統(tǒng)通常表示為方框圖形式，如圖1-10所示。

圖1-10

系統(tǒng)的框圖返回本節(jié)1.3.2系統(tǒng)的分類1．動態(tài)系統(tǒng)與非動態(tài)系統(tǒng)2．連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)

3．線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)4．時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)5．因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)返回本節(jié)本章小結(jié)（1）信號是資訊的載體，是消息的表現(xiàn)形式，是通信傳輸?shù)目陀^對象，一般表現(xiàn)為隨時間變化的某種物理量。

（2）信號具有時間特性和頻率特性。

（3）信號的分類包括：確定性信號和隨機信號；一維信號和n維信號；時限信號和非時限信號；連續(xù)時間信號和離散時間信號；週期信號和非週期信號；能量信號和功率信號。（4）電系統(tǒng)是指對電信號進行產(chǎn)生、傳輸、加工處理和儲存的電路（網(wǎng)路）或設(shè)備（包括軟硬體設(shè)備），簡稱系統(tǒng)。（5）系統(tǒng)的分類包括：動態(tài)系統(tǒng)與非動態(tài)系統(tǒng)；連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)；線性系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)；時不變系統(tǒng)與時變系統(tǒng)；因果系統(tǒng)與非因果系統(tǒng)。

第2章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的時域分析2.1基本連續(xù)時間信號2.2信號的運算與變換2.3線性時不變連續(xù)系統(tǒng)2.4LTI連續(xù)系統(tǒng)的模型2.5LTI連續(xù)系統(tǒng)的回應(yīng)2.6沖激回應(yīng)與階躍回應(yīng)2.7卷積與零狀態(tài)回應(yīng)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本章學(xué)習(xí)，應(yīng)達到以下要求：（1）掌握典型信號的特性，熟悉信號的運算與變換。（2）掌握LTI連續(xù)系統(tǒng)的特性，瞭解LTI連續(xù)系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立及系統(tǒng)的初始條件。（3）掌握連續(xù)系統(tǒng)的零輸入回應(yīng)和零狀態(tài)回應(yīng)。（4）掌握沖激信號的性質(zhì)及連續(xù)系統(tǒng)的沖激回應(yīng)（5）熟悉卷積積分及其主要性質(zhì)，瞭解卷積積分的圖解。

2.1基本連續(xù)時間信號2.1.1正弦信號2.1.2指數(shù)信號2.1.3抽樣信號2.1.4奇異信號返回首頁2.1.1正弦信號在電路理論中已經(jīng)介紹了許多正弦信號的知識，只不過當(dāng)時將其稱為電壓或電流而已。正弦信號和余弦信號統(tǒng)稱為正弦信號，一般表示為：

（2-1）

（a）

（b）圖2-1正弦信號返回本節(jié)2.1.2指數(shù)信號在電路理論中曾用到衰減指數(shù)信號

，其中是時間常數(shù)。一般指數(shù)信號可以表示為：

（2-2）

（a）增長指數(shù)信號

（b）直流信號

（c）衰減指數(shù)信號圖2-2指數(shù)信號僅存在於t≥0或t≤0時間範(fàn)圍內(nèi)的指數(shù)信號稱為單邊指數(shù)信號。常見的是t≥0的單邊衰減指數(shù)信號，其運算式為：t≥0（2-3）圖2-3單邊衰減指數(shù)信號2．複指數(shù)信號複指數(shù)信號與指數(shù)信號相似，其運算式為：

（2-4）其中，K為常數(shù)，可以是實數(shù)，也可以是複數(shù)；指數(shù)因數(shù)是一複數(shù)。複指數(shù)信號還可以寫成三角形式：

（2-5）

（a）增幅正弦振盪信號

（b）等幅正弦振盪信號

（c）衰減正弦振盪信號圖2-4複指數(shù)信號返回本節(jié)2.1.3抽樣信號抽樣信號以符號來表示，其運算式為：（2-6）圖2-5抽樣信號返回本節(jié)2.1.4奇異信號1．單位斜變信號斜變信號又稱斜坡信號，是指信號在某時刻以後隨時間呈現(xiàn)正比例增長。當(dāng)斜變信號隨時間增長的速率為1時，稱為單位斜變信號或單位斜坡信號，用符號表示，定義為：（2-7）

（a）

（b）

（c）圖2-6斜變信號2．單位階躍信號（1）單位階躍信號又稱開關(guān)信號，如圖2-7（a）所示，用符號來表示，其定義為：

（2-11）

（a）

（b）圖2-7單位階躍信號（2）如果單位直流電源的接入時間為，且，可以用延遲的單位階躍信號來表示，如圖2-8（a）所示，表示為：

（2-12）（3）一般直流電源接入電路時，可能存在時間延遲，而且電源的電壓值或電流值不為1，稱為一般階躍信號，如圖2-8（b）所示，表示為：

（2-13）圖2-8階躍信號

（a）

（b）3．單位沖激信號沖激信號的概念來源於某些物理現(xiàn)象，如自然界中的雷電、電力系統(tǒng)中開關(guān)啟閉產(chǎn)生的瞬間電火花、通信系統(tǒng)中的抽樣脈衝等。圖2-9所示為一無初始儲能的充電電路，直流電壓源的電壓為E，當(dāng)電容容量C不變，電阻R減少時，充電速率提高，當(dāng)時，開關(guān)閉合後，電容兩端電壓由原來的0值突變到電源電壓值E，此時電流值為無限大，如何來表示這一無限大的電流呢？圖2-9無初始儲能的充電電路4．單位沖激偶信號單位沖激信號的求導(dǎo)稱為單位沖激偶信號，又稱二次沖激信號，用符號表示。沖激偶信號顧名思義是有兩個上下對稱的沖激信號，如圖2-12（a）所示，或簡單表示為圖2-12（b）所示的形式。（a）

（b）圖2-12沖激偶信號5．門函數(shù)門函數(shù)是一矩形脈衝信號，又稱矩形窗函數(shù)，用符號來表示，如圖2-13所示，其脈衝寬度為，脈衝幅度為1，定義為：

（2-19）6．符號函數(shù)符號函數(shù)又稱正負(fù)號函數(shù)，用符號來表示，如圖2-14所示，定義為：

（2-20）

圖2-13門函數(shù)

圖2-14符號函數(shù)返回本節(jié)2.2信號的運算與變換2.2.1信號的代數(shù)運算2.2.2信號的微分與積分2.2.3信號的反褶2.2.4信號的時移2.2.5信號的尺度變換2.2.6信號的分解返回首頁2.2.1信號的代數(shù)運算1．加減運算已知信號和，則對二信號的加減運算後的表示為：（2-21）圖2-15信號的加減運算2．相乘運算已知信號和，則二信號相乘後的 表示為：

（2-22）圖2-16相乘運算返回本節(jié)2.2.2信號的微分與積分已知信號，其微分運算後得到，表示為：

（2-23）經(jīng)積分運算後得到，表示為：

（2-24）返回本節(jié)2.2.3信號的反褶信號的反褶，又稱折疊，就是把原信號沿縱軸翻轉(zhuǎn)180°。已知原信號，其反褶運算後得到，表示為：

（2-25）

圖2-17電壓信號

圖2-18電流信號圖2-19反褶信號返回本節(jié)2.2.4信號的時移信號的時移，又稱為平移，是將原信號沿時間軸向左或向右移動。原信號為，時移後得到，表示為：

（2-28）圖2-20信號的時移（1）圖2-21信號的時移（2）

返回本節(jié)2.2.5信號的尺度變換原信號為，尺度變換後得到，表示為：

（2-29）圖2-22信號的尺度變換返回本節(jié)2.2.6信號的分解為了更好地分析信號的特性，可以將複雜信號分解為多個簡單信號（基本信號）分量之和。圖2-23信號的變換圖2-24週期信號圖2-25週期信號分解為直流分量與交流分量圖2-26時限信號

（a）

（b）圖2-27時限信號的分解圖2-28週期信號的分解返回本節(jié)2.3線性時不變連續(xù)系統(tǒng)2.3.1線性時不變系統(tǒng)的基本性質(zhì)2.3.2線性時不變系統(tǒng)的模擬返回首頁2.3.1線性時不變系統(tǒng)的基本性質(zhì)1．系統(tǒng)的線性特性2．系統(tǒng)的時不變特性

3．線性時不變系統(tǒng)的特性

4．線性時不變系統(tǒng)的因果特性

1．系統(tǒng)的線性特性系統(tǒng)的線性特性是指系統(tǒng)同時具有疊加性和齊次性（均勻性）。疊加性是指，若干激勵信號同時作用於系統(tǒng)產(chǎn)生的回應(yīng)等於各個激勵信號單獨作用於系統(tǒng)產(chǎn)生的回應(yīng)之和。齊次性是指，如果系統(tǒng)的輸入激勵變化為原來的倍時，系統(tǒng)的輸出回應(yīng)也隨之變化原來的倍。

2．系統(tǒng)的時不變特性

由於時不變系統(tǒng)的元件參數(shù)不隨時間改變，所以系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)形式與激勵信號的接入時刻無關(guān)，即當(dāng)激勵延遲時間時，其回應(yīng)也同樣延遲時間，波形形狀不變，如圖2-29所示。圖2-29時不變系統(tǒng)示意圖3．線性時不變系統(tǒng)的特性

判斷系統(tǒng)是否為線性時不變系統(tǒng)的方法是：（1）當(dāng)系統(tǒng)的微分方程是常係數(shù)的線性微分方程時，系統(tǒng)為線性時不變系統(tǒng)。（2）一般情況下，可分別判斷系統(tǒng)是否滿足線性和時不變性。4．線性時不變系統(tǒng)的因果特性

若線性時不變系統(tǒng)滿足因果特性，則此系統(tǒng)為線性時不變因果系統(tǒng)。返回本節(jié)2.3.2線性時不變系統(tǒng)的模擬1．系統(tǒng)的基本部件及其運算關(guān)係2．線性時不變系統(tǒng)的模擬3．子系統(tǒng)之間的連接1．系統(tǒng)的基本部件及其運算關(guān)係系統(tǒng)除了可以抽象為數(shù)學(xué)模型以外，還可以借助一些能夠反映輸入與輸出關(guān)係的理想運算單元的組合來表示系統(tǒng)。將這些具有某種特定運算功能的運算單元稱為基本部件。常用的基本部件符號及其運算關(guān)係如圖2-30所示。

（a）加法器

（b）倍乘器

（c）積分器

（d）延時單元

（e）乘法器圖2-30系統(tǒng)的基本部件2．線性時不變系統(tǒng)的模擬系統(tǒng)的模擬是採用幾種基本部件的組合形式來描述系統(tǒng)的，並使其與被模擬系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型相對應(yīng)，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的電腦仿真。通過電腦仿真實驗可以更加快捷、方便地獲得系統(tǒng)分析的結(jié)果，對於實際物理系統(tǒng)的設(shè)計與調(diào)試具有重要的工程意義。圖2-31RC電路（a）

（b）圖2-32RC電路的模擬框圖3．子系統(tǒng)之間的連接一個系統(tǒng)往往由若干子系統(tǒng)有機組合而成。子系統(tǒng)之間的連接方式一般為串聯(lián)（又稱級聯(lián)）和並聯(lián)兩種基本形式。兩個子系統(tǒng)的串並聯(lián)分別如圖2-33和圖2-34所示。

圖2-33兩個子系統(tǒng)串聯(lián)

圖2-34兩個子系統(tǒng)並聯(lián)返回本節(jié)2.4LTI連續(xù)系統(tǒng)的模型2.4.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型2.4.2LTI連續(xù)系統(tǒng)的框圖返回首頁2.4.1LTI連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型由電路理論可知，對於任意一個線性時不變電路，當(dāng)電路結(jié)構(gòu)和組成電路的元件參數(shù)確定以後，根據(jù)電路的兩個約束關(guān)係，即元件的伏安關(guān)係和基爾霍夫定律，可以建立起與該電路對應(yīng)的動態(tài)方程。圖2-35RLC電路返回本節(jié)2.4.2LTI連續(xù)系統(tǒng)的框圖由前所述可知，LTI連續(xù)系統(tǒng)還可以用具有理想特性的符號組合而成的圖形來表徵系統(tǒng)特性，即用模擬框圖來表示系統(tǒng)。它形象地說明了輸入與輸出關(guān)係，並與系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型形成相互對應(yīng)的關(guān)係。圖2-36所示為一個二階LTI系統(tǒng)的模擬框圖。圖2-36二階系統(tǒng)的模擬框圖根據(jù)圖2-36中各個基本部件的運算關(guān)係可得其數(shù)學(xué)模型為：返回本節(jié)2.5LTI連續(xù)系統(tǒng)的回應(yīng)2.5.1系統(tǒng)的初始條件2.5.2零輸入回應(yīng)與零狀態(tài)回應(yīng)2.5.3系統(tǒng)的全回應(yīng)返回首頁2.5.1系統(tǒng)的初始條件1．系統(tǒng)的初始狀態(tài)2．系統(tǒng)的初始值3．初始狀態(tài)和初始值的確定1．系統(tǒng)的初始狀態(tài)根據(jù)各電容及電感的狀態(tài)值能夠確定在時刻系統(tǒng)的回應(yīng)及其回應(yīng)的各階導(dǎo)數(shù)（），稱這一組數(shù)據(jù)為階系統(tǒng)的初始狀態(tài)。

2．系統(tǒng)的初始值一般情況下，由於外加激勵的作用或系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)發(fā)生變化，使得系統(tǒng)的初始值與初始狀態(tài)不等，即：（2-43）

（2-44）在零輸入條件下，且系統(tǒng)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)和參數(shù)不發(fā)生變化時，有：

（2-45）3．初始狀態(tài)和初始值的確定通常在給定電網(wǎng)絡(luò)的情況下，確定初始狀態(tài)和初始值的一般方法和步驟，通過例2-11進行說明。圖2-37

例2-11圖

圖2-380-等效電路

圖2-390+等效電路返回本節(jié)2.5.2零輸入回應(yīng)與零狀態(tài)回應(yīng)1．零輸入回應(yīng)2．零狀態(tài)回應(yīng)1．零輸入回應(yīng)所謂零輸入，是指系統(tǒng)無外加激勵，即激勵信號，這時僅由系統(tǒng)的初始儲能產(chǎn)生的回應(yīng)稱為零輸入回應(yīng)。則由式（2-42）表示的系統(tǒng)方程可得：

（2-47）該式為齊次微分方程，其特徵方程為：

（2-48）（1）當(dāng)特徵根均為單根時，零輸入回應(yīng)的一般形式為：

（2-49）（2）當(dāng)特徵根中含有重根，其他為單根時，零輸入回應(yīng)的一般形式為：（2-50）表2-1

零輸入回應(yīng)形式對照表

圖2-40例2-14圖

圖2-41零輸入條件下的等效電路2．零狀態(tài)回應(yīng)所謂零狀態(tài)，是指系統(tǒng)沒有初始儲能，系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零，即

，這時僅由系統(tǒng)的外加激勵所產(chǎn)生的響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)。

（2-51）表2-2

典型激勵及其對應(yīng)特解形式對照表返回本節(jié)2.5.3系統(tǒng)的全回應(yīng)1．全回應(yīng)分解為零輸入回應(yīng)與零狀態(tài)回應(yīng)2．全回應(yīng)分解為自由回應(yīng)與強迫回應(yīng)3．全回應(yīng)分解為暫態(tài)回應(yīng)與穩(wěn)態(tài)回應(yīng)1．全回應(yīng)分解為零輸入回應(yīng)與零狀態(tài)回應(yīng)全回應(yīng)可以分解為零輸入回應(yīng)與零狀態(tài)回應(yīng)之和，即：

（2-53）2．全回應(yīng)分解為自由回應(yīng)與強迫回應(yīng)自由回應(yīng)又稱固有回應(yīng)，它反映了系統(tǒng)本身的特性，取決於系統(tǒng)的特徵根；強迫回應(yīng)又稱強制回應(yīng)，是與激勵相關(guān)的回應(yīng)。利用經(jīng)典法可以直接求得自由回應(yīng)與強迫回應(yīng)，強迫回應(yīng)即特解，其形式的確定參見表2-2。而通過先求得系統(tǒng)的零輸入回應(yīng)和零狀態(tài)回應(yīng)，並獲得系統(tǒng)的全回應(yīng)，然後利用系統(tǒng)特性與自由回應(yīng)、激勵與強迫回應(yīng)的關(guān)係可以間接得到自由回應(yīng)和強迫回應(yīng)。3．全回應(yīng)分解為暫態(tài)回應(yīng)與穩(wěn)態(tài)回應(yīng)全回應(yīng)還可以分解為暫態(tài)回應(yīng)與穩(wěn)態(tài)回應(yīng)之和，即：

（2-55）

（a）

（b）圖2-42系統(tǒng)回應(yīng)的過渡過程示意圖返回本節(jié)2.6沖激回應(yīng)與階躍回應(yīng)2.6.1沖激信號的性質(zhì)2.6.2沖激回應(yīng)2.6.3階躍回應(yīng)返回首頁2.6.1沖激信號的性質(zhì)1．的抽樣特性2．的篩選特性3．的奇偶性4．的尺度變換特性5．的特性1．的抽樣特性圖2-43的抽樣特性2．的篩選特性3．的奇偶性為一偶函數(shù)，即：（2-60）4．的尺度變換特性的尺度變換特性，即：

（2-61）5．的特性返回本節(jié)2.6.2沖激回應(yīng)以單位沖激信號作為激勵，LTI連續(xù)系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)回應(yīng)稱為單位沖激回應(yīng)，簡稱沖激回應(yīng)，記為。沖激回應(yīng)示意圖如圖2-44所示。圖2-44沖激回應(yīng)示意圖1．由系統(tǒng)的微分方程求解沖激回應(yīng)系統(tǒng)的一般微分方程為：

表2-3

一階系統(tǒng)沖激回應(yīng)形式對照表表2-4

二階系統(tǒng)沖激回應(yīng)形式對照表2．由階躍回應(yīng)求解沖激回應(yīng)以單位階躍信號作為激勵，LTI連續(xù)系統(tǒng)產(chǎn)生的零狀態(tài)回應(yīng)稱為單位階躍回應(yīng)，簡稱階躍回應(yīng)，記為。階躍激勵與階躍回應(yīng)的關(guān)係簡單地表示為：

或

3．由系統(tǒng)的框圖來求系統(tǒng)的沖激回應(yīng)圖2-45為某一階系統(tǒng)的模擬框圖，由系統(tǒng)框圖寫出輸入與輸出關(guān)係為：圖2-45一階系統(tǒng)模擬框圖返回本節(jié)2.6.3階躍回應(yīng)理論上，可以利用與沖激回應(yīng)的關(guān)係來求階躍回應(yīng)，即：

（2-76）圖2-46階躍回應(yīng)示意圖圖2-47階躍回應(yīng)的測試返回本節(jié)2.7卷積與零狀態(tài)回應(yīng)2.7.1任意信號的分解2.7.2卷積與零狀態(tài)回應(yīng)2.7.3卷積的圖解法2.7.4卷積的性質(zhì)返回首頁2.7.1任意信號的分解（2-77）返回本節(jié)2.7.2卷積與零狀態(tài)回應(yīng)

（2-79）圖2-48任意信號的分解圖2-49零狀態(tài)條件下的系統(tǒng)框圖表2-5

常用信號卷積表返回本節(jié)2.7.3卷積的圖解法卷積圖解法是借助於圖形計算卷積積分的一種基本計算方法。與解析法相比，圖解法使人更容易理解系統(tǒng)零狀態(tài)回應(yīng)的物理意義和積分上下限的確定。從幾何意義來說，卷積積分是相乘曲線下的面積。採用圖解法可以使枯燥的數(shù)學(xué)符號生動活潑起來，圖形的加入起到畫龍點睛的奇妙效果。卷積的一般公式為：

（2-85）由式（2-85）可得圖解法具體步驟為：圖2-50兩個時限信號

“置換”

“反褶”

“平移”1

“平移”2“平移”3“平移”4“平移”5圖2-51卷積圖解過程示意圖圖2-52卷積結(jié)果圖返回本節(jié)2.7.4卷積的性質(zhì)1．交換律2．分配律圖2-53兩個子系統(tǒng)並聯(lián)3．結(jié)合律4．卷積的微分與積分5．與任意信號的卷積表2-6

卷積性質(zhì)一覽表圖2-55混聯(lián)繫統(tǒng)

圖2-56脈衝信號

圖2-57脈衝信號自卷積結(jié)果圖2-58利用卷積的性質(zhì)求脈衝信號自卷積返回本節(jié)本章小結(jié)（1）基本連續(xù)時間信號主要包括正弦信號、指數(shù)信號、抽樣信號、奇異信號等。（2）信號既可以表示為函數(shù)運算式的形式，又可以用直觀形象的波形來表示，二者相互對應(yīng)，可以相互轉(zhuǎn)換。（3）LTI連續(xù)系統(tǒng)是線性時不變連續(xù)時間系統(tǒng)的簡稱。（4）動態(tài)系統(tǒng)含有儲能元件，系統(tǒng)在某時刻的輸出不僅與該時刻的激勵有關(guān)，還與該時刻之前系統(tǒng)的儲能有關(guān)。（5）作用於零狀態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生的回應(yīng)稱為單位沖激回應(yīng)，作用於零狀態(tài)系統(tǒng)產(chǎn)生的回應(yīng)稱為單位階躍回應(yīng)。（6）LTI連續(xù)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程。（7）若干子系統(tǒng)有機聯(lián)接組成一個大的系統(tǒng)。

第3章連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.1週期信號的傅裏葉級數(shù)3.2週期信號的頻譜3.3非週期信號的傅裏葉變換3.4傅裏葉變換的基本性質(zhì)3.5週期信號的傅裏葉變換3.6頻域系統(tǒng)函數(shù)3.7連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.8抽樣定理本章學(xué)習(xí)目標(biāo)通過本章的學(xué)習(xí)，應(yīng)達到以下要求：（1）掌握週期信號和非週期信號頻譜的概念及信號頻帶寬度的概念。（2）熟悉傅裏葉變換的主要性質(zhì)。（3）熟悉系統(tǒng)函數(shù)和頻域分析法。（4）掌握抽樣定理。（5）瞭解信號無失真?zhèn)鬏敽托盘柾ㄟ^理想濾波器的概念。3.1週期信號的傅裏葉級數(shù)3.1.1三角函數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)3.1.2指數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)返回首頁3.1.1

三角函數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)若一個連續(xù)時間信號f(t)是週期的，則它可以表示為：（3-1）當(dāng)f(t)滿足狄裏赫利條件

時，週期信號f(t)才能展開成傅裏葉級數(shù)。實際上，在電子、通信、控制等工程技術(shù)中的週期信號一般都能滿足這一條件，故以後一般不再特別注明此條件。則：

（3-2）

式中，n為正整數(shù)；係數(shù)稱為傅裏葉係數(shù)，考慮到三角函數(shù)集是一組完備的正交函數(shù)集，因此，可得一個週期（）的傅裏葉係數(shù)：

（3-3）

（3-4）

（3-5）若將式（3-2）中的同頻率項加以合併，又可以寫成三角函數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)的另外一種形式：（3-6）

狄裏赫利（Dirichlet）條件是：（1）在一週期內(nèi)，如果有間斷點存在，則間斷點的數(shù)目應(yīng)是有限個；（2）在一週期內(nèi)，極大值和極小值的數(shù)目應(yīng)是有限個；（3）在一週期內(nèi)，信號滿足絕對可積。返回本節(jié)3.1.2

指數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)三角函數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)含義比較明確，但運算很不方便，因此經(jīng)常採用指數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)。將歐拉公式：

代入式（3-2），可得：

（3-9）返回本節(jié)3.2週期信號的頻譜3.2.1週期信號的頻譜3.2.2週期信號頻譜的特點及頻帶寬度返回首頁3.2.1

週期信號的頻譜1．單邊頻譜

2．雙邊頻譜1．單邊頻譜

若週期信號的傅裏葉展開式為：則對應(yīng)的幅度頻譜和相位頻譜稱為單邊頻譜，如圖3-3所示。

（a）單邊幅度頻譜

（b）單邊相位頻譜圖3-3週期信號的單邊頻譜2．雙邊頻譜若週期信號的傅裏葉展開式為：

（a）雙邊幅度頻譜（b）雙邊相位頻譜圖3-4週期信號的雙邊頻譜返回本節(jié)3.2.2週期信號頻譜的特點及頻帶寬度1．週期信號頻譜的特點2．週期信號的頻帶寬度3．典型週期信號的傅裏葉級數(shù)和頻譜特點1．週期信號頻譜的特點（1）頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，即頻譜具有離散性。（2）頻譜的每條譜線都只能出現(xiàn)在基波頻率的整數(shù)倍的頻率上，即頻譜具有諧波性。（3）頻譜的各條譜線的高度，即各次諧波的振幅總是隨著諧波次數(shù)的增大而逐漸減??；當(dāng)諧波次數(shù)無限增大時，諧波分量的振幅也就無限趨小，即頻譜具有收斂性。2．週期信號的頻帶寬度圖3-5週期矩形脈衝信號的波形

若將週期矩形脈衝信號展開為指數(shù)形式的傅裏葉級數(shù)，則由式（3-13）可得：

圖3-6週期矩形脈衝信號的頻譜圖3-7不同值下周期矩形脈衝信號的頻譜(a)(b)圖3-8不同值下周期矩形脈衝信號的頻譜3．典型週期信號的傅裏葉級數(shù)和頻譜特點表3-2

典型週期信號的傅裏葉級數(shù)及其頻譜特點返回本節(jié)3.3非週期信號的傅裏葉變換3.3.1傅裏葉變換3.3.2非週期信號的頻譜3.3.3典型信號的傅裏葉變換返回首頁3.3.1

傅裏葉變換1．從傅裏葉級數(shù)到傅裏葉變換

2．傅裏葉變換存在的條件1．從傅裏葉級數(shù)到傅裏葉變換

式（3-21）可以改寫為：2．傅裏葉變換存在的條件在上面推導(dǎo)傅裏葉變換時並未遵循數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格步驟。從理論上講，應(yīng)滿足一定的條件才可存在傅裏葉變換。一般來說，傅裏葉變換存在的充分條件是：返回本節(jié)3.3.2非週期信號的頻譜

（a）幅度頻譜

（b）相位頻譜圖3-9非週期信號的頻譜返回本節(jié)3.3.3

典型信號的傅裏葉變換1．門函數(shù)（矩形脈衝）2．單邊指數(shù)函數(shù)3．單位沖激函數(shù)4．直流信號5．單位階躍函數(shù)1．門函數(shù)（矩形脈衝）1．門函數(shù)（矩形脈衝）幅度為，寬度為的單個矩形脈衝稱為門函數(shù)，記為g(t)。它可以表示為：

其波形如圖3-10（a）所示。由式（3-23）可得g(t)的傅裏葉變換為：

（a）門函數(shù)

（b）門函數(shù)的頻譜圖3-10門函數(shù)及其頻譜2．單邊指數(shù)函數(shù)設(shè)單邊指數(shù)函數(shù)的表示式為：

(a>0)其波形如圖3-11（a）所示，其頻譜函數(shù)為：即：其幅度頻譜和相位頻譜分別為：（a）單邊指數(shù)函數(shù)

（b）單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜圖3-11單邊指數(shù)函數(shù)及其頻譜3．單位沖激函數(shù)根據(jù)傅裏葉變換的定義，並應(yīng)用單位沖激函數(shù)的抽樣性質(zhì)，得：即：

（3-36）圖3-12給出了單位沖激函數(shù)及其頻譜。

（a）單位沖激函數(shù)

（b）單位沖激函數(shù)的頻譜圖3-12單位沖激函數(shù)及其頻譜4．直流信號設(shè)直流信號：()它不滿足絕對可積條件，因此不能用傅裏葉積分式求傅裏葉變換。但由傅裏葉反變換式（3-25）可以求得沖激函數(shù)在時域的原函數(shù)為：即：

（a）直流信號

（b）直流信號的頻譜圖3-13直流信號及其頻譜5．單位階躍函數(shù)單位階躍函數(shù)表示為：顯然，它不滿足絕對可積條件，但可以採用取極限的方法求出它的傅裏葉變換。將看成單邊指數(shù)衰減信號當(dāng)→時的極限，即：

（a）單位階躍函數(shù)

（b）單位階躍函數(shù)的頻譜圖3-14單位階躍函數(shù)及其頻譜表3-3典型信號的傅裏葉變換及頻譜圖續(xù)表返回本節(jié)3.4傅裏葉變換的基本性質(zhì)3.4.1線性3.4.2對稱性3.4.3尺度變換3.4.4時移特性3.4.5頻移特性3.4.6卷積定理3.4.7時域微分和時域積分3.4.8頻域微分和頻域積分返回首頁3.4.1線性若，，則對於任意常數(shù)a1

和a2，有：（3-41）

返回本節(jié)3.4.2對稱性若，則：

（3-42）證明

由傅裏葉反變換式得：即：（a）門函數(shù)及其頻譜（b）抽樣函數(shù)及其頻譜

圖3-15例3-4圖返回本節(jié)3.4.3尺度變換若，則：（為非零的實常數(shù)）

（3-44）式中，若a>0，表明被f(t)壓縮；若0<a<1，表明f(t)被展寬。如果a<0，則f(t)被反褶並被壓縮或被展寬，如圖3-16所示。

證明

若，則的變換式為：（a）（b）（c）圖3-16尺度變換性質(zhì)的說明返回本節(jié)3.4.4時移特性若，則：（3-45）式中，為常數(shù)。證明

若，則：改寫延時信號的頻譜為：圖3-17例3-6圖返回本節(jié)3.4.5頻移特性若，則：

（3-48）式中，為常數(shù)。式（3-48）表明，信號若在時域乘以因數(shù)，則對應(yīng)於頻域其頻譜沿軸搬移了。證明

由傅裏葉變換的定義得：同理可得：（a）門函數(shù)及其頻譜（b）高頻脈衝信號及其頻譜

圖3-18高頻脈衝信號的頻譜返回本節(jié)3.4.6卷積定理1．時域卷積定理若，，則：證明

根據(jù)卷積積分的定義：其傅裏葉變換為：（a）時域卷積運算（b）頻域相乘運算圖3-19例3-7圖（a）時域相乘運算（b）頻域卷積運算圖3-20例3-8圖返回本節(jié)3.4.7時域微分和時域積分1．時域微分若，則：推廣到階導(dǎo)數(shù)有：

（a）原信號（b）原信號的一階導(dǎo)數(shù)

（c）原信號的二階導(dǎo)數(shù)圖3-21例3-9圖

（a）原信號

（b）恒定分量

（c）時限信號圖3-22例3-10圖2．時域積分若，則：證明

由沖激信號與任意信號的卷積性質(zhì)，可將信號的積分寫為：

根據(jù)時域卷積定理並考慮沖激信號的取樣性質(zhì)，得：

（a）門函數(shù)（b）門函數(shù)的積分圖3-23例3-11圖返回本節(jié)3.4.8頻域微分和頻域積分1．頻域微分若，則：推廣到n階導(dǎo)數(shù)有：2．頻域積分若，則表3-4

傅裏葉變換的主要性質(zhì)返回本節(jié)3.5週期信號的傅裏葉變換返回首頁根據(jù)頻移特性：所以：

（a）週期單位沖激序列

（b）週期單位沖激序列的頻譜圖3-24例3-14圖

（a）週期矩形脈衝

（b）週期矩形脈衝的頻譜圖3-25例3-15圖返回本節(jié)3.6頻域系統(tǒng)函數(shù)3.6.1系統(tǒng)函數(shù)的定義3.6.2系統(tǒng)函數(shù)的求解方法返回首頁3.6.1

系統(tǒng)函數(shù)的定義

圖3-26單端口LTI系統(tǒng)框圖

圖3-27雙端口LTI系統(tǒng)框圖返回本節(jié)3.6.2系統(tǒng)函數(shù)的求解方法頻域系統(tǒng)函數(shù)的求解方法主要有：（1）當(dāng)給定激勵和零狀態(tài)回應(yīng)時，根據(jù)定義求解（2）當(dāng)已知系統(tǒng)的單位沖激回應(yīng)h(t)時，由其傅裏葉變換求解，即。（3）當(dāng)給定系統(tǒng)電路模型時，根據(jù)電路理論的基本定理和基本分析方法（諸如疊加定理、戴維南定理、網(wǎng)孔分析法及節(jié)點分析法等），用相量法求解。（4）當(dāng)給定系統(tǒng)的微分方程時，對其取傅裏葉變換，再求得。

圖3-28例3-16圖圖3-29例3-16的頻率特性圖3-30例3-16的頻域模型返回本節(jié)3.7連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析3.7.1複指數(shù)信號的回應(yīng)3.7.2非正弦週期信號的回應(yīng)3.7.3非週期信號的回應(yīng)3.7.4無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件3.7.5理想低通濾波器及其回應(yīng)返回首頁3.7.1複指數(shù)信號的回應(yīng)對於LTI系統(tǒng)，若有單位沖激回應(yīng)h(t)信號為：()則根據(jù)時域分析可知，系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)為：

返回本節(jié)3.7.2非正弦週期信號的回應(yīng)1．頻域分析法2．相量法1．頻域分析法對於週期為t1正弦週期信號x(t)展開為：

2．相量法對於週期為t1的非正弦週期信號x(t)，還可以展開為：

（a）週期方波信號（b）RC電路圖3-31例3-17圖返回本節(jié)3.7.3非週期信號的回應(yīng)1．連續(xù)時間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)回應(yīng)的頻域求解

2．電網(wǎng)絡(luò)的頻域求解

1．連續(xù)時間LTI系統(tǒng)零狀態(tài)回應(yīng)的頻域求解通常LTI系統(tǒng)激勵與回應(yīng)的關(guān)係可以用常係數(shù)線性微分方程來描述。通過對微分方程取傅裏葉變換，則可以將時域微分方程的求解轉(zhuǎn)變?yōu)轭l域代數(shù)方程的求解，即2．電網(wǎng)絡(luò)的頻域求解電網(wǎng)絡(luò)是由放大器、加法器、電阻、電容和電感等線性單元電路和器件組成的。運用電路分析中的相量法，通過電網(wǎng)絡(luò)的頻域電路模型可以很方便地得出激勵與回應(yīng)的頻域關(guān)係式，即，通過部分分式展開法求出回應(yīng)的時域解。

（a）矩形脈衝信號（b）RC電路圖3-32例3-20圖（a）矩形脈衝信號及其幅頻特性曲線（b）RC低通電路的沖激回應(yīng)及其幅頻特性曲線

（c）RC低通電路的回應(yīng)及其幅頻特性曲線圖3-33矩形脈衝信號通過RC低通電路返回本節(jié)3.7.4無失真?zhèn)鬏敿捌錀l件1．時域無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件無失真?zhèn)鬏斒侵妇€性系統(tǒng)輸出回應(yīng)y(t)的波形與輸入激勵x(t)的波形完全相同，其幅度大小可以不同，時間前後有所差異，即：（3-73）圖3-34LTI系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏?．頻域無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件對式（3-73）兩邊取傅裏葉變換，並利用時移特性，可得

所以無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：由此可得，系統(tǒng)無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件為：圖3-35無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)的頻譜特性（a）原信號

（b）幅度失真

（c）相位失真圖3-36信號的幅度失真和相位失真（a）時域電路模型

（b）頻域電路模型圖3-37例3-21圖返回本節(jié)3.7.5理想低通濾波器及其回應(yīng)1．理想低通濾波器的沖激回應(yīng)2．理想低通濾波器的階躍回應(yīng)1．理想低通濾波器的沖激回應(yīng)由於系統(tǒng)函數(shù)為系統(tǒng)沖激回應(yīng)h(t)的傅裏葉變換，因而，理想低通濾波器的沖激回應(yīng)為：圖3-39理想低通濾波器的沖激回應(yīng)2．理想低通濾波器的階躍回應(yīng)若理想低通濾波器的輸入是一個單位階躍信號u(t)，則其回應(yīng)為階躍回應(yīng)g(t)。根據(jù)時域分析可知，階躍回應(yīng)g(t)可以通過對沖激回應(yīng)的積分而得到，即：圖3-40理想低通濾波器的階躍回應(yīng)返回本節(jié)3.8抽樣定理3.8.1連續(xù)信號的時域抽樣定理3.8.2從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時間信號返回首頁3.8.1連續(xù)信號的時域抽樣定理1．信號的抽樣

2．抽樣定理

1．信號的抽樣

連續(xù)時間信號f(t)抽樣的工作原理如圖3-41所示。抽樣器相當(dāng)於一個定時開關(guān)，它每隔一個週期ts閉合一次，每次閉合時間為t，從而得到樣值信號fs(t)。圖3-41信號的抽樣

圖3-42抽樣開關(guān)信號

圖3-43抽樣模型2．抽樣定理

圖3-44理想抽樣（a）信號及其頻譜（b）信號及其頻譜（c）抽樣信號及其頻譜圖3-45理想抽樣與頻譜分析返回本節(jié)3.8.2從抽樣信號恢復(fù)連續(xù)時間信號信號在抽樣時必須滿足抽樣定理的條件是從頻域的角度上講，濾波器輸出的頻譜為：

圖3-46抽樣信號頻譜的混疊現(xiàn)象

圖3-47理想低通濾波器的頻率特性圖3-48由抽樣信號的頻譜過濾出原信號的頻譜圖3-49由抽樣信號恢復(fù)原信號返回本節(jié)本章小結(jié)（1）任意連續(xù)的週期信號在滿足狄裏赫利條件下，都可以展開為傅裏葉級數(shù)。

（2）非週期信號在滿足絕對可積條件下，可以看作無限多個幅度無限小的複指數(shù)諧波之和，而其中每一個諧波分量的複振幅為

（3）傅裏葉變換的性質(zhì)更進一步地揭示了信號在產(chǎn)生、傳輸及處理的過程中，時域特性與頻域特性的內(nèi)在關(guān)係，從而奠定了信號與系統(tǒng)的理論基礎(chǔ)。（4）系統(tǒng)函數(shù)等於系統(tǒng)零狀態(tài)回應(yīng)的頻譜函數(shù)與系統(tǒng)輸入激勵的頻譜函數(shù)之比。它取決於系統(tǒng)自身的結(jié)構(gòu)及組成系統(tǒng)元件的參數(shù)，反映了系統(tǒng)在頻域中的固有傳輸特性。（5）頻域分析法把系統(tǒng)的激勵和回應(yīng)關(guān)係應(yīng)用傅裏葉變換從時域變換到頻域

。（6）系統(tǒng)的無失真?zhèn)鬏敽蜑V波從理想系統(tǒng)頻率特性的角度研究並分析了系統(tǒng)的特性，得出了重要的結(jié)論，即無失真?zhèn)鬏數(shù)臈l件及系統(tǒng)通頻帶寬度。（7）抽樣定理從理論上解決了對連續(xù)時間信號進行抽樣後仍然能夠保持原有攜帶資訊不發(fā)生改變這一重要問題，成為現(xiàn)代通信技術(shù)的理論基礎(chǔ)。第4章

連續(xù)時間信號與系統(tǒng)的複頻域分析4.1拉普拉斯變換4.2單邊拉氏變換的性質(zhì)4.3單邊拉氏反變換4.4連續(xù)系統(tǒng)的複頻域分析4.5系統(tǒng)函數(shù)H(s)4.6系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分佈與時域回應(yīng)特性的關(guān)係4.7系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.8系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)頻率特性本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）掌握拉普拉斯變換與反變換。（2）熟悉拉普拉斯變換的主要性質(zhì)。（3）掌握LTI連續(xù)系統(tǒng)複頻域分析法。（4）掌握複頻域的系統(tǒng)函數(shù)。（5）熟悉系統(tǒng)函數(shù)零、極點分佈的概念。（6）瞭解系統(tǒng)穩(wěn)定性的概念。4.1拉普拉斯變換4.1.1從傅裏葉變換到拉普拉斯變換4.1.2拉普拉斯變換的收斂域4.1.3常用信號的單邊拉氏變換返回首頁4.1.1從傅裏葉變換到拉普拉斯變換由第3章已知，當(dāng)函數(shù)f(t)滿足狄裏赫利條件時，便存在一對傅裏葉變換式：返回本節(jié)4.1.2

拉普拉斯變換的收斂域由上面的討論可知，連續(xù)時間信號f(t)的拉普拉斯變換（以下簡稱拉氏變換）式f(s)是否存在，取決於f(t)乘以衰減因數(shù)以後是否絕對可積，即：圖4-1收斂域的劃分圖4-2右邊指數(shù)衰減信號與其收斂域圖4-3左邊指數(shù)增長信號與其收斂域圖4-4雙邊信號與其收斂域返回本節(jié)4.1.3

常用信號的單邊拉氏變換1．單位階躍信號2．單位沖激信號3．指數(shù)信號4．正弦信號5．t的正冪信號1．單位階躍信號即：2．單位沖激信號即：3．指數(shù)信號即：4．正弦信號即：5．t的正冪信號利用分部積分法，得：所以：表4-1

常用信號的拉氏變換返回本節(jié)4.2單邊拉氏變換的性質(zhì)4.2.1線性4.2.2時移（延時）特性4.2.3尺度變換4.2.4頻移特性4.2.5時域微分定理4.2.6時域積分定理4.2.7域微分定理4.2.8域積分定理4.2.9初值定理4.2.10終值定理4.2.11卷積定理返回首頁4.2.1線性返回本節(jié)4.2.2時移（延時）特性

（a）

（b）

（c）（d）

（e）圖4-5幾種時移情況返回本節(jié)4.2.3尺度變換返回本節(jié)4.2.4頻移特性返回本節(jié)4.2.5時域微分定理

（a）三角脈衝

（b）三角脈衝的一階導(dǎo)數(shù)

（c）三角脈衝的二階導(dǎo)數(shù)圖4-7三角脈衝及其導(dǎo)數(shù)返回本節(jié)4.2.6時域積分定理返回本節(jié)4.2.7域微分定理返回本節(jié)4.2.8域積分定理返回本節(jié)4.2.9初值定理返回本節(jié)4.2.10終值定理返回本節(jié)4.2.11卷積定理1．時域卷積定理

2．複頻域卷積定理

1．時域卷積定理

2．複頻域卷積定理

返回本節(jié)4.3單邊拉氏反變換4.3.1查表法4.3.2部分分式展開法返回首頁

4.3.1查表法返回本節(jié)4.3.2部分分式展開法返回本節(jié)4.4連續(xù)系統(tǒng)的複頻域分析4.4.1用拉氏變換法分析系統(tǒng)4.4.2用拉氏變換法分析電路返回首頁4.4.1

用拉氏變換法分析系統(tǒng)利用拉氏變換求線性系統(tǒng)的回應(yīng)時，需要首先對描述系統(tǒng)輸入輸出關(guān)係的微分方程進行拉氏變換，得到一個域的代數(shù)方程，由於在變換中自動地引入了系統(tǒng)起始狀態(tài)的作用，因而求出回應(yīng)的象函數(shù)包含了零輸入回應(yīng)和零狀態(tài)回應(yīng)，再經(jīng)過拉氏反變換可以很方便地得到零輸入回應(yīng)、零狀態(tài)回應(yīng)和全回應(yīng)的時域解。例4-18

描述LTI系統(tǒng)的微分方程為：

返回本節(jié)4.4.2

用拉氏變換法分析電路1．電阻元件的域電路模型2．電容元件的域電路模型3．電感元件的域電路模型4．用拉氏變換法分析電路1．電阻元件的域電路模型電阻元件的時域電路模型如圖4-8（a）所示，其時域的伏安關(guān)係為：

對上式取拉氏變換，得：

（a）時域電路模型

（b）域電路模型圖4-8電阻元件時域與域電路模型2．電容元件的域電路模型

（a）時域電路模型

（b）域串聯(lián)電路模型

（c）域並聯(lián)電路模型圖4-9電容元件時域與域電路模型3．電感元件的域電路模型

（a）時域電路模型

（b）域串聯(lián)電路模型

（c）域並聯(lián)電路模型圖4-10電感元件時域與域電路模型4．用拉氏變換法分析電路有了域電路元件模型，就可以得到一般電路的域模型。根據(jù)域的KVL、KCL（在形式上與相量形式的KVL和KCL相同），應(yīng)用電路分析中的基本分析方法（節(jié)點法、網(wǎng)孔法等）和定理（如疊加定理、戴維南定理等），列出複頻域的代數(shù)方程，並進行求解得到回應(yīng)的象函數(shù)，對所求的回應(yīng)象函數(shù)進行拉氏反變換，即得出回應(yīng)的時域解。（a）時域電路模型

（b）域電路模型圖4-11例4-20圖圖4-12例4-21圖

（a）s域全回應(yīng)電路模型

（b）s域零輸入回應(yīng)電路模型

（c）s域零狀態(tài)電路模型圖4-13s域電路模型返回本節(jié)4.5系統(tǒng)函數(shù)H(s)4.5.1系統(tǒng)函數(shù)的定義4.5.2系統(tǒng)函數(shù)的求解方法返回首頁4.5.1

系統(tǒng)函數(shù)的定義返回本節(jié)4.5.2

系統(tǒng)函數(shù)的求解方法（a）時域電路模型

（b）s域電路模型圖4-16例4-23圖返回本節(jié)4.6系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分佈與時域回應(yīng)特性的關(guān)係4.6.1系統(tǒng)函數(shù)的零、極點與零、極點圖4.6.2系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分佈與時域回應(yīng)特性的關(guān)係返回首頁4.6.1

系統(tǒng)函數(shù)的零、極點與零、極點圖LTI連續(xù)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)h(s)通常是複變數(shù)的有理分式，即：

例如某系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)為：則該系統(tǒng)函數(shù)的零、極點圖如圖4-17所示。圖4-17h(s)的零、極點分佈圖返回本節(jié)4.6.2

系統(tǒng)函數(shù)的零、極點分佈與時域回應(yīng)特性的關(guān)係1．左半平面極點2．虛軸上極點3．右半平面極點圖4-18h(s)零、極點分佈與時域回應(yīng)特性的關(guān)係返回本節(jié)

4.7系統(tǒng)的穩(wěn)定性4.7.1穩(wěn)定系統(tǒng)的定義4.7.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件返回首頁4.7.1穩(wěn)定系統(tǒng)的定義一個連續(xù)系統(tǒng)，如果對於任意有界輸入產(chǎn)生的零狀態(tài)回應(yīng)也是有界的，則稱該系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)。即對於一個穩(wěn)定系統(tǒng)，若輸入信號：|x(t)|≤Mx

（4-79）則輸出回應(yīng)：|y(t)|≤My

（4-80）返回本節(jié)4.7.2系統(tǒng)穩(wěn)定的條件1．時域的穩(wěn)定條件

2．頻域的穩(wěn)定條件

1．時域的穩(wěn)定條件

設(shè)連續(xù)時間系統(tǒng)的輸入信號x(t)滿足|x(t)|≤Mx，則系統(tǒng)的零狀態(tài)回應(yīng)：或?qū)懗桑?．頻域的穩(wěn)定條件

（1）穩(wěn)定系統(tǒng)

（2）不穩(wěn)定系統(tǒng)

（3）臨界穩(wěn)定系統(tǒng)

（a）時域電路模型

（b）域電路模型圖4-19例4-24圖圖4-20例4-25圖返回本節(jié)4.8系統(tǒng)函數(shù)與系統(tǒng)頻率特性4.8.1頻率特性4.8.2頻率特性的向量作圖法返回首頁4.8.1頻率特性系統(tǒng)在正弦信號激勵的作用下，穩(wěn)態(tài)回應(yīng)隨著激勵信號頻率的變化特性，稱為系統(tǒng)的頻率特性。它包括幅度隨頻率變化而變化的幅頻特性和相位隨頻率變化而變化的相頻特性。

下麵從系統(tǒng)函數(shù)的觀點來考察系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)回應(yīng)及頻率特性。設(shè)系統(tǒng)函數(shù)為h(s)，正弦激勵信號為，其拉氏變換為：則系統(tǒng)回應(yīng)的拉氏變換為：返回本節(jié)4.8.2頻率特性的向量作圖法向量作圖法是根據(jù)系統(tǒng)函數(shù)h(s)在s平面的零、極點分佈繪製的頻率回應(yīng)特性曲線，包括幅頻特性曲線和相頻特性曲線。設(shè)穩(wěn)定的因果系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為：

根據(jù)式（4-87），系統(tǒng)的頻率特性為：圖4-21零點與極點的向量表示

圖4-22例4-26電路圖

圖4-23例4-26電路頻率特性分析（a）幅頻特性曲線（b）相頻特性曲線圖4-24一階RC高通濾波器的頻率特性曲線返回本節(jié)本章小結(jié)（1）拉氏變換是傅裏葉變換的進一步推廣，它描述了信號時域與複頻域之間的對應(yīng)關(guān)係，可以用於分析更為廣泛的信號與系統(tǒng)，是分析線性系統(tǒng)強有力的工具。

（2）拉氏變換的性質(zhì)反映了信號的時域特性與複頻域特性之間的密切關(guān)係。（3）複頻域分析法將時域微分方程的求解變換為s域代數(shù)方程的求解，從而使解決問題的方法變得簡單。

（4）系統(tǒng)函數(shù)h(s)是系統(tǒng)回應(yīng)的象函數(shù)y(s)與系統(tǒng)激勵的象函數(shù)x(s)之比。

（5）從系統(tǒng)函數(shù)h(s)的零、極點分佈可以很方便地確定系統(tǒng)時域沖激回應(yīng)的特性、系統(tǒng)的穩(wěn)定性和系統(tǒng)的頻率特性，因此系統(tǒng)函數(shù)成為系統(tǒng)分析和綜合設(shè)計的依據(jù)。第5章

離散時間信號與系統(tǒng)的時域分析5.1離散時間信號的基本概念5.2離散信號的運算與變換5.3離散系統(tǒng)的基本概念5.4線性時不變離散系統(tǒng)的回應(yīng)5.5離散系統(tǒng)的單位樣值回應(yīng)5.6離散卷積與零狀態(tài)回應(yīng)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）掌握離散時間信號與系統(tǒng)的基本概念。（2）熟悉常用基本離散信號的運算與變換。（3）熟悉LTI離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型及模擬框圖。（4）掌握離散系統(tǒng)的零輸入回應(yīng)和零狀態(tài)回應(yīng)。（5）掌握單位樣值信號的特性及離散系統(tǒng)的單位樣值回應(yīng)。（6）熟悉卷積和及其主要性質(zhì)，瞭解圖解卷積和。5.1離散時間信號的基本概念5.1.1離散時間信號的描述5.1.2基本離散信號5.1.3基本離散信號的特性返回首頁5.1.1離散時間信號的描述離散時間信號是指僅在不連續(xù)的離散時刻有確定函數(shù)值的信號，簡稱離散信號，也稱離散序列。時間上離散的數(shù)據(jù)在時域內(nèi)表示為離散時間信號，其只在離散時刻才有定義。除了這類本來就是在時間上離散的信號外，工程上還有許多從連續(xù)時間信號經(jīng)抽樣得到的離散時間信號的應(yīng)用。

圖5-1所示為由連續(xù)時間信號f(t)經(jīng)抽樣得到離散時間信號f(n)的示意圖，這一系列數(shù)值可以表示為一個集合形式，即：圖5-1由連續(xù)時間信號到離散時間信號返回本節(jié)5.1.2基本離散信號1．單位樣值信號單位樣值信號又稱單位樣值序列，如圖5-2所示，表示為：

（5-1）

（5-2）2．單位階躍序列u(n)單位階躍序列u(n)與單位階躍信號u(t)相對應(yīng)，可以看成是u(t)的抽樣信號，如圖5-4所示，表示為：(5-3)u(n-k)是移位的單位階躍序列，如圖5-5所示，表示為：

(5-4)圖5-2單位樣值信號

圖5-3移位單位樣值信號

圖5-4單位階躍序列

圖5-5移位單位階躍序列3．單位斜變序列R(n)單位斜變序列R(n)可以看成是單位斜變信號R(t)的抽樣信號，如圖5-6所示，表示為：

(5-5)4．矩形序列矩形序列，又稱門函數(shù)序列，如圖5-7所示，表示為：(5-6)

圖5-6單位斜變序列

圖5-7矩形序列5．單邊指數(shù)序列單邊指數(shù)序列一般指右邊序列，表示為：

(5-7)

（a）衰減指數(shù)序列

（b）增長指數(shù)序列

（c）單位階躍序列

（d）振盪衰減指數(shù)序列

（e）振盪增長指數(shù)序列

（f）等幅振盪序列圖5-8指數(shù)序列圖5-9週期正弦序列之一圖5-10週期正弦序列之二圖5-11非週期正弦序列7．複指數(shù)序列複指數(shù)序列與連續(xù)複指數(shù)函數(shù)相似，可以利用歐拉公式將其展開為正弦序列的形式，即：返回本節(jié)5.1.3基本離散信號的特性(5-11)(5-12)（2）U(n)與R(n)的關(guān)係：

(5-13)2．用來表示任意離散信號f(n)(5-14)圖5-12例5-1圖返回本節(jié)5.2離散信號的運算與變換5.2.1相加5.2.2相乘5.2.3差分5.2.4求和5.2.5反褶5.2.6移位5.2.7尺度變換返回首頁5.2.1相加(5-19)返回本節(jié)5.2.2相乘與信號相加運算一致，信號相乘運算也要在對應(yīng)時刻進行。例5-2中兩離散信號的相乘結(jié)果為

返回本節(jié)5.2.3差分離散信號的差分運算分為前向差分和後向差分兩種。離散信號f(n)的前向差分運算為：離散信號f(n)的後向差分運算為：

返回本節(jié)5.2.4求和信號的求和運算是對某一離散信號進行歷史推演求和過程。F(n)的求和運算為圖5-14信號求和示意圖返回本節(jié)5.2.5反褶返回本節(jié)5.2.6移位

圖5-16反褶信號

圖5-17左移位信號

圖5-18右移位信號返回本節(jié)5.2.7尺度變換

（a）壓縮信號

（b）擴展信號圖5-19信號的尺度變換返回本節(jié)5.3離散系統(tǒng)的基本概念5.3.1離散系統(tǒng)5.3.2線性時不變（LTI）系統(tǒng)5.3.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型5.3.4離散系統(tǒng)的模擬返回首頁5.3.1離散系統(tǒng)離散時間系統(tǒng)，簡稱離散系統(tǒng)，此類系統(tǒng)的輸入信號是離散信號，輸出也是離散信號。從眾所周知的電腦到單片機再到DSP（DigitalSignalProcessing）晶片，其直接能處理的是數(shù)字信號，它們是典型的離散系統(tǒng)。

離散信號與系統(tǒng)的關(guān)係如圖5-20所示。

圖5-20離散系統(tǒng)框圖返回本節(jié)5.3.2線性時不變（LTI）系統(tǒng)1．離散系統(tǒng)的線性特性2．離散系統(tǒng)的時不變特性1．離散系統(tǒng)的線性特性2．離散系統(tǒng)的時不變特性(5-27)圖5-21時不變離散系統(tǒng)返回本節(jié)5.3.3離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1．一階離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立2．二階離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立1．一階離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立連續(xù)系統(tǒng)完成的功能也可以用數(shù)字系統(tǒng)來近似實現(xiàn)，以一階連續(xù)系統(tǒng)為例來獲得一階離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。如圖5-22所示的電路，根據(jù)電路理論有：(5-30)圖5-22RC電路

2．二階離散系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的建立圖5-23梯形電阻網(wǎng)路二階離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為：

(5-32)返回本節(jié)5.3.4離散系統(tǒng)的模擬1．離散系統(tǒng)的基本單元2．離散系統(tǒng)的模擬1．離散系統(tǒng)的基本單元離散系統(tǒng)一般由以下幾種基本單元組成。加法器：如圖5-24所示，其輸入與輸出關(guān)係表示為：標(biāo)量乘法器：如圖5-25所示，其輸入與輸出關(guān)係表示為：

(5-33)(5-34)延時器：如圖5-26所示，其輸入與輸出關(guān)係表示為：

(5-35)

圖5-24加法器

圖5-25標(biāo)量乘法器

圖5-26延時器2．離散系統(tǒng)的模擬若一階系統(tǒng)的差分方程為：則有：圖5-27一階離散系統(tǒng)模擬框圖圖5-28二階離散系統(tǒng)模擬框圖圖5-29例5-5圖返回本節(jié)5.4線性時不變離散系統(tǒng)的回應(yīng)5.4.1迭代法5.4.2經(jīng)典法5.4.3零輸入回應(yīng)與零狀態(tài)回應(yīng)返回首頁5.4.1迭代法1．迭代法求差分方程的邊界條件2．迭代法求解差分方程返回本節(jié)5.4.2經(jīng)典法描述n階系統(tǒng)的後向差分方程為：3．全解y(n)系統(tǒng)的全解，即系統(tǒng)的全回應(yīng)為：

返回本節(jié)5.4.3零輸入回應(yīng)與零狀態(tài)回應(yīng)1．零輸入回應(yīng)

回應(yīng)形式分為以下兩種情況：（1）當(dāng)特徵根為單根時，零輸入回應(yīng)為：（2）當(dāng)特徵根中有K重根，其餘為（N-K）個單根時，零輸入回應(yīng)為：

表5-2

零輸入回應(yīng)形式對照表此時系統(tǒng)的初始狀態(tài):返回本節(jié)5.5離散系統(tǒng)的單位樣值回應(yīng)5.5.1單位樣值回應(yīng)5.5.2單位階躍回應(yīng)返回首頁5.5.1單位樣值回應(yīng)圖5-30單位樣值回應(yīng)若離散系統(tǒng)的差分方程為：

1．迭代法例5-13

離散系統(tǒng)的差分方程為：2．經(jīng)典法若離散系統(tǒng)的差分方程為：所以有：（1）一階離散系統(tǒng)的單位樣值回應(yīng)。若一階離散系統(tǒng)的差分方程為：（2）二階離散系統(tǒng)的單位樣值回應(yīng)。圖5-31例5-15圖表5-3單位樣值回應(yīng)形式