中考數(shù)學(xué)三角形訓(xùn)練50題含答案

中考數(shù)學(xué)三角形專題訓(xùn)練50題含答案

（單選、填空、解答題）

一、單選題

1.如圖，一塊玻璃碎成三片，小智只帶了第③塊去玻璃店，就能配一塊一模一樣的玻

璃，你能用三角形的知識(shí)解釋，這是為什么？（）

A.ASAB.AASC.SASD.SSS

【答案】A

【分析】己知三角形破損部分的邊角，得到原來(lái)三角形的邊角，根據(jù)三角形全等的判

定方法，即可求解.

【詳解】解：第③塊不僅保留了原來(lái)三角形的兩個(gè)角還保留了一邊，

則可以根據(jù)ASA來(lái)配?塊一樣的玻璃.應(yīng)帶③去.

故選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考查學(xué)生對(duì)全等三角形的判定方法的靈活運(yùn)用，要求對(duì)常用的幾種

方法熟練掌握.

2.有下列長(zhǎng)度的三條線段，其中能組成三角形的是（）

A.3cm、6cm>10cmB.10cm、4cm>6cm

C.3cm、1cm■,\cmD.4cm、6cm>9cm

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和〉第三邊，任意兩邊之差〈第三邊”，

進(jìn)行分析.

【詳解】解：A、3+6<10,不能組成三角形；

B、4+6=10,不能組成三角形；

C,1+K3,不能組成三角形；

D、4+6>9,9-6<4,能組成三角形；

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形三邊關(guān)系，熟知三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意

兩邊之差小于第三邊是解答此題的關(guān)鍵.

3.如圖，點(diǎn)A,D,C,E在一條直線上，AB//EF,AB=EF,AB=NF,

AE=\O,AC=1,則8=()

A.4B.5C.6D.7

【答案】A

【分析】由題意易得NA=NE,然后可證-，則有AC=DE=7,進(jìn)而

問(wèn)題可求解.

【詳解】解：

ZA=ZE,

VAB=EF,ZB=ZF,

.ABC^EFD(ASA),

AC=DE=7,

"：AE=10,

CD=AC+DE-AE=4；

故選A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定

是解題的關(guān)鍵.

4.已知三角形三邊長(zhǎng)為。，b,c,如果石3+區(qū)一IO|+(C-8)2=O,則一ABC是

()

A.以a為斜邊的直角三角形B.以b為斜邊的直角三角形

C.以c為斜邊的直角三角形D.不是直角三角形

【答案】B

【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性求出4、6、C,再利用勾股

定理即可求解.

【詳解】：疝石+曲-1O|+(c-8)2=0,

XV7^6>o,l^-10|>0,(c-8)2>0,

：.4^6=0,16-101=0,(c-8)2=0,

a-6=0,b—10=0,c—8=0,

a=6>6=10,c=8,

；?a2+c2=b2,

△ABC是直角三角形，且斜邊為b,

故選:B.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根、絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性和勾股定理的逆定理等

知識(shí)，根據(jù)算術(shù)平方根、絕對(duì)值以及偶次方的非負(fù)性求出。、Ac,是解答本題的關(guān)

鍵.

5.如果三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形一定是()

A.等腰三角形B.等邊三角形C.直角三角形D.不確定

【答案】C

【分析】根據(jù)已知條件得到CD是A8邊的中線，且C￡>=1A3,即CO=AO=8￡>,得

到2(/A+/B)=180。，求得/AC8=90。，即可得到該三角形是直角三角形.

【詳解】解：在aABC中，CD是A8邊的中線，且

:.CD=AD=BD,

：.ZA=ZACDfNB=NBCD,

ZA+ZACD+ZB+ZBCD=180°,

：.2(NA+N8)=180°,

，NA+NB=90。，

JNACB=90。，

【點(diǎn)睛】此題考查了三角形內(nèi)角和定理，等邊對(duì)等角的性質(zhì)，熟記等腰三角形等邊對(duì)

等角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

6.如圖，一個(gè)等邊三角形紙片，剪去一個(gè)角后得到一個(gè)四邊形，則圖中Na+NS的度

數(shù)是（）

C.240°D.300°

【答案】C

【分析】本題可先根據(jù)等邊三角形頂角的度數(shù)求出兩底角的度數(shù)和，然后在四邊形中

根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360。，求出/a+N4的度數(shù).

【詳解】???等邊三角形的頂角為60。,

...兩底角和=180°-60°=120°,

Na+N￡=360°-120°=240°,

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查等邊三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和為180。，四邊形的內(nèi)角和是

360。等知識(shí)，難度不大，屬于基礎(chǔ)題.

7.到三角形三條邊距離相的的點(diǎn)是（）

A.三條角平分線的交點(diǎn)B.三邊中線的交點(diǎn)

C.三邊上高所在直線的交點(diǎn)D.三邊的垂直平分線的交點(diǎn)

【答案】A

【分析】利用角平分線的性質(zhì)可確定三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)滿足的條件.

【詳解】解：三角形三個(gè)內(nèi)角的平分線的交點(diǎn)到三角形三邊距離相等.

故選A.

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握角平分線上的點(diǎn)到角兩

邊的距離相等.

8.如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度的正方形，每個(gè)小正方形的

頂點(diǎn)都在方格的格點(diǎn)上，則cosC=（)

c.氈

5

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)C8到格點(diǎn)。，連接A。，先算出AC、CD,根據(jù)余弦的定義求出NC的

余弦值即可.

【詳解】解：延長(zhǎng)CB到格點(diǎn)D,連接AC,如圖所示：

根據(jù)格點(diǎn)特點(diǎn)可知ADLCD,

：.ZADC=90°,

△AC。為直角三角形，

：47=次+22=26，

8=5/32+32=3夜,

._CD_3y[23面場(chǎng)口匯曲

??cosC-=—f==---->故B止確.

AC2石10

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了在方格紙中求余弦值，作出輔助線，將/C放在直角三角形

中，是解題的關(guān)鍵.

9.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A.到點(diǎn)尸距離等于1cm的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)尸為圓心，半徑長(zhǎng)為1cm的圓

B.等腰,ABC的底邊8C固定，頂點(diǎn)A的軌跡是線段8c的垂直平分線

C.到直線/距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡是兩條平行于/且與/的距離等于2cm的直線

D.在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線

【答案】B

【分析】根據(jù)圓的定義、線段垂直平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性

質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.

【詳解】解：A、到點(diǎn)尸距離等于1cm的點(diǎn)的軌跡是以點(diǎn)P為圓心，半徑長(zhǎng)為1cm的

圓，說(shuō)法正確，不符合題意；

B、等腰，ABC的底邊BC固定，頂點(diǎn)A的軌跡是線段8c的垂直平分線（線段BC中點(diǎn)

除外），說(shuō)法錯(cuò)誤，符合題意；

C、到直線/距離等于2cm的點(diǎn)的軌跡是兩條平行于/且與/的距離等于2cm的直線，說(shuō)

法正確，不符合題意;

D、在一個(gè)角的內(nèi)部（包括頂點(diǎn)）到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分

線，說(shuō)法正確，不符合題意;

故選：B

【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡，圓的定義，線段垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì),

角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

點(diǎn)E在線段BC上，Z1=60,則/AEC等于（）

110C.120D.125

【答案】C

【分析】利用絲△但＞得44￡0=/8,4￡=45,/84。=4￡4。，從而可知

Zl=ZBA￡=60，可得NBJ8。二60=60,從而可得/^^。=/8+/班七=120.

2

［詳解］解：/\ABC^/\AED,

ZAED=NB,AE=AB,ABAC=NEAD,

Zl=ZBA￡=60,ZB=ZAEB,

.?二A5E中，ZB=180-60-=60

2

ZAEC=NB+NBAE=120

故選：C

【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和三角形外角定理，綜合

掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵.

11.如圖，△ABC中，AB=AC,ZABC=36°,D、E為BC上的點(diǎn)，且NBAD=

ZDAE=ZEAC,則圖中共有等腰三角形（）個(gè).

C.6個(gè)D.8個(gè)

【答案】C

【詳解】試題分析:由已知條件，根據(jù)三角形內(nèi)角和等于180、角的平分線的性質(zhì)求

得各個(gè)角的度數(shù)，然后利用等腰三角形的判定進(jìn)行找尋，注意做到由易到難，不重不

漏：

VAB=AC,NABC=36°,ZBAC=108°.

ZBAD=ZDAE=ZEAC=36°.

.?.等腰三角形4ABC,△ABD,△ADE,△ACE,△ACD,△ABE,共有6個(gè).

故選C.

考點(diǎn)：L三角形內(nèi)角和定理；2.角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定.

12.如圖，AB,AM,BN分別是。O的切線，切點(diǎn)分別為P,M,N.若

MN〃AB,ZA=60°,AB=6,則。O的半徑是（）

D.拒

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可判斷四邊形ABNM為梯形，再由切線的性質(zhì)可推出NABN=60。，

從而判定△APO絲△BPO,可得AP=BP=3,在直角△APO中，利用三角函數(shù)可解出半

徑的值.

【詳解】解：連接OP,OM,OA,OB,ON

VAB,AM,BN分別和。O相切，

.".ZAMO=90°,ZAPO=90°,

；MN〃AB,ZA=60°,

NAMN=120°,ZOAB=30°,

.,,ZOMN=ZONM=30°,

VZBNO=90°,

ZABN=60°,

.".ZABO=30°,

在4APO和^BPO中,

NOAP=Z.OBP

-ZAPO=ZBPO,

OP=OP

△APO^ABPO(AAS),

，AP=；AB=3,

tanNOAP=tan30o=---,

AP3

，OP=G，即半徑為6.

故選D.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，切線長(zhǎng)定理，解直角三角形，全等三角形的判定和

性質(zhì)，關(guān)鍵是說(shuō)明點(diǎn)P是AB中點(diǎn)，難度不大.

13.如圖，ABC..DBE和AFGC均為正三角形,以點(diǎn)D,E,F,G在二ABC的各

邊上，DE和FG相交于點(diǎn)//,若S四邊彩AOHF=S^HGE，BC=a,BD=b,CF=c,則

a,b,c滿足的關(guān)系式為（）

A.a+c=2bB.b2+c2=a2C.4b+\[c=\[aD.a=2y/bc

【答案】B

【分析】分別用含a,b,C的代數(shù)式表不S四邊形與，根據(jù)S四邊形得

到關(guān)于a,b,c關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理關(guān)系式即可.

【詳解】解：/9出=NA=60。，

DE//AF,

同理：FG//AB,

四邊形為平行四邊形，

在,HGE中NHGE=NHEG=60°,

■■■HGE為等邊三角形,

GE=b+c—a,AD=a-b,AF=a-c,

■■SADHF=AF-ADsin60°=^^（a-c）（a-/>）

SAHGE=￥（〃+C-"）2

???泉―）=￥（b+c-a）2,化簡(jiǎn)可得：/+。2=",

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了平行四邊形及等邊三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是要會(huì)用含

a,b,c的代數(shù)式分別表示平行四邊形和等邊三角形的面積，找到關(guān)系式，化簡(jiǎn)整理得

出結(jié)論.

14.如圖，等腰RtaAfiC中，4AC=90。，AD_L8C于￡>,/ABC的平分線分別交

AC、AD于E、/兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，延長(zhǎng)AM交8c于點(diǎn)M連接短M、MC；下

列結(jié)論：①DF=DN；②AABM沿ANBM；③CMN是等腰三角形；④AE=CV；

其中正確的結(jié)論個(gè)數(shù)是（）

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

【答案】C

【分析】利用ASA證明△月弘運(yùn)△24。得到。尸=DN即可判斷①；根據(jù)ASA證明

四即可判斷②；得到=再證明..AFBCM4得到AF=CW,

進(jìn)一步證明A￡=CN,即可判斷④；再由AE>AM,得到CN>AM=MN,又NMNC

是鈍角，則CMN不是等腰三角形，即可判斷③.

【詳解】解：./a4C=90。，AC=AB,ADIBC,

XABC=ZACB=45°,^ADN=XADB=90°,AD=BD=CD,

:.ZBAD^^5°^ZCAD,

BE平分NABC,

/ABE=NCBE=-ZABC=22.5°,

2

/.NBFD=ZAEB=90°-22.5°=67.5°,

??.NAFE=NBFD=NAEB=67.5°,

AF=AE,

M為EF的中點(diǎn)，

/.AM1BE,

:.^AMF=ZAME=90°f

NDAN=90°-67.5°=22.5°=NMBN,

在，短犯和VNA。中，

NFBD=NNAD

<BD=AD,

/FDB=4NDA

./BD空240(ASA),

.?.DF=DN,故①正確;

在_48河和一NBM中，

NABM=NNBM

<BM=BM,

NAMB=NNMB

.?./XABMANBM(ASZ，故②正確；

AM=MNf

ADLBC,AD=CD,

??/C4￡)=45。，

AF=AEf

"GW=22.5。，

:.ZABF=ZCAN,

在和VCV4中，

ZABF=ZCAN

<AB=CA,

ZBAF=ZACN

.?_AF3空CT^A(SAS),

:.AF=CN,

.AF=AE,

.?.A￡=C7V,故④正確；

AE>AM，

：.CN>AM=MN,

又是鈍角，

CMN不是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)

角和定理等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理是解本題的關(guān)鍵.

15.已知等腰梯形的大底等于對(duì)角線的長(zhǎng)，小底等于高，則該梯形的小底與大底的長(zhǎng)

度之比是（）

A.3:5B.3:4C.2:3D.1:2

【答案】A

【分析】先畫(huà)出圖形，設(shè)該梯形的小底與大底的長(zhǎng)度分別為“，b,利用勾股定理求

得。與b之間的關(guān)系，從而求出梯形的小底與大底的長(zhǎng)度比.

【詳解】解：設(shè)該梯形的小底與大底的長(zhǎng)度分別為。，b,過(guò)點(diǎn)。作QE//AC,交BC

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

四邊形4CED是平行四邊形，

:.DE=h,DF=a,CF=\(b-a),CE=a,

2

由勾股定理得DF2+EF-=DE2,即〃+弓。+，)2=〃，

整理得5/+2H-3從=0,利用十字相乘法分解因式得

(5a-3b)(a+Z?)=0

.,.5a-初=0或。+8=0

艮5a=3b或a=-Z?

,a、。為線段的長(zhǎng)，

5a—3Z?,

即a:2=3:5,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形、勾股定理及十字相乘法的應(yīng)用，熟練運(yùn)用等腰梯形輔

助線的作法作出正確的輔助線是解決本題的關(guān)鍵.

16.如圖，"CB和ECD都是等腰直角三角形，ZACB=ZECD=9QP,△ACB的頂點(diǎn)

Ar

A在EC。的斜邊上，若AO=3AE,則大的值為（）

AE

A.—B.VioC.好D.石

22

【答案】D

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)就可以得出△AEC絲BDC,就可以得出AE=&）,

ZE=NBDC,由等腰直角三角形的性質(zhì)就可以得出NAZ）B=90。，由勾股定理就可以

得出：AE2+AD2=2AC2,由此易求結(jié)果.

【詳解】解：ACB與,.ECZ）都是等腰直角三角形，

:.ZECD=ZACB=90°,ZE=ZADC=ZCAB=45°,EC=DC,AC=BC,

AC2+BC1=AB',

2AC2=AB2.NECD-ACD=ZACB-ZACD,

ZACE=NBCD.

在△AEC和，8DC中，

-AC=BC

<NACE=NBCD,

EC=DC

:..AEC^/^BDC（SAS）.

:.AE=BD,ZE=ZBDC.

:.ZBDC=45°,

:.ZBDC+ZADC=9（r,

即NAZ>6=90。.

AD2+BD2=AB2,

：.ADr+AE2=2AC2.

.AD=3AE,

.JOAE2=2AC2.

.ACy/5

"AE~I.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，直角

三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵.

17.如圖，在四邊形ABC。中，ZDAB=90°,ZDCB=90°,E、F分別是B。、AC的中

點(diǎn)，AC=6,BD=10,則EF的長(zhǎng)為（）

A.3B.4C.5D.y/i

【答案】B

【分析】連接AE,CE,由在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半可證明

AE=CE,進(jìn)而可證明AAEC是等腰三角形，由等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理即可求出

EF的長(zhǎng).

【詳解】連接AE,CE.

'：ZDAB=90°,ZDCB=90°,E是BO的中點(diǎn)，

：.AE=-BD,CE=-BD,

22

:.AE=CE.

?"是AC的中點(diǎn),

：.EFLAC,

VAC=6,B￡>=10,

AAE=5,AF=3,

??EF=yj/AE2—AF2=4.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)以及

勾股定理的運(yùn)用，能夠證明AE=CE是解題的關(guān)鍵.

18.如圖所示，。為BC上一點(diǎn)，且AB^AC=BD,則圖中N1與N2的關(guān)系是

A.N1=2N2B.Nl+N2=180°C.Zl+3Z2=180°D.3N2-/1=

180°

【答案】D

【分析】根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得N1+NC=N2,再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得

NB=NC,ZBAD=N2,由N84C+NB+/C=180。即可得出N1與N2的關(guān)系.

【詳解】解：：N2是=ACQ的外角，

Z1+ZC=Z2,

；.NC=N2-N1,

AB=AC,

：.ZB=NC,

AB=BD,

ABAD=Z2,

：.ABAC=Z1+NBAD=Z1+Z2,

ABAC+ZB+ZC=180°,

Z1+Z2+Z2-Z1+Z2-Z1=18O°,BP3Z2-Z1=18O°.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用等腰三角形的性質(zhì)得到相等

的角.

19.如圖的實(shí)線部分是由RSABC經(jīng)過(guò)兩次折疊得到的，首先將RSABC沿BD折

疊，使點(diǎn)C落在斜邊上的點(diǎn)C處，再沿DE折疊，使點(diǎn)A落在DC的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)A，

處，若圖中NC=90。，ZA=30°,BC=5cm,則折痕DE的長(zhǎng)為（）

A.3cmB.2招cmC.cmD.—cm

3

【答案】D

【詳解】試題分析：因?yàn)樵赗tAABC中NC=90。，ZA=30°,所以/ABC=60。，所以

由折疊得：ZCBD=ZABD=30°,NC=/A=30。，ZCDB-ZA'DB=30°,

NADE=NADE=30°,所以NEDB=90。，在RtABCD中NC=90。，ZCBD=30°,

BC=5cm,所以CD=述,BD=3叵，所以DE=3叵+6=W,故選D.

3333

考點(diǎn)：1.圖形折疊的性質(zhì)；2.直角三角形的性質(zhì)；3.特殊教的三角函數(shù)值的應(yīng)用.

二、填空題

20.如圖，在AABC中，ZA=90°,點(diǎn)。在AC邊上，DE//BC,^Zl=140°,則/3

的度數(shù)為.

【答案】500

【分析】先根據(jù)補(bǔ)角的定義求出/CDE的度數(shù)，由平行線的性質(zhì)求出/C的度數(shù)，根

據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論.

【詳解】VZl=140°,

/?ZCDE=40°.

；DE〃BC,

.?.NC=/CDE=40。.

：NA=90。，

.?.NB=90°-40°=50°.

故答案為：50°.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.

21.如圖所示，在AABC中，OB、0c分別為NABC和NACB的角平分線，。。為

△OBC的BC邊上的高線，。。=5,設(shè)AABC的面積為y,ZiABC的周長(zhǎng)為x(x>

0),那么△ABC的面積y與△ABC的周長(zhǎng)x的關(guān)系式為.

A

【答案】y=|x(x>0)

【分析】連接過(guò)點(diǎn)。作于E,0尸，4。于尸，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可

得OE=OF=OD=5,根據(jù)題意求得面積，進(jìn)而可得ABC的面積y與△ABC的周長(zhǎng)x

的關(guān)系式.

【詳解】如圖，連接。4，過(guò)點(diǎn)。作旗于E,。尸，AC于尸，

OB、OC分別為NABC和NACB的角平分線，0。為△OBC的8C邊上的高線，

.-.OE=OF=OD=5

△ABC的周長(zhǎng)為x(x>0),

.■.S..=-ABOE+-ACOF+-BCOD=-xx5=-x

/nr22222

故答案為：y=|x(x>0)

【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，函數(shù)的關(guān)系式，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

22.國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中用弦圖給出了勾股定理的證明，它是由四個(gè)

全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成了一個(gè)大正方形.如圖所示，如果小正方形的

面積記為S一大正方形的面積記為邑，滿足￡=255」貝hanNABC=

41

【答案】-##1-

【分析】直接利用一元二次方程的解法和三角函數(shù)的值的應(yīng)用求出結(jié)果.

【詳解】解：?.?小正方形的面積記為M，大正方形的面積記為邑，滿足邑=25R，

故設(shè)S]=1,S,=25,

大正方形的邊長(zhǎng)為5,小正方形的邊長(zhǎng)為1,

???四個(gè)直角三角形全等，

二設(shè)直角三角形較短的直角邊長(zhǎng)為x,則較長(zhǎng)的直角邊為x+1,

由勾股定理得：(X+1)2+X2=25,

解得：x,=3,x2=-4(舍去)，

：.AC=4,BC=3,

ArA

：.tanZABC=—=-.

BC3

4

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的解法、三角

函數(shù)的值，靈活運(yùn)用全等三角形的性質(zhì)和勾股定理構(gòu)建方程是解題的關(guān)鍵.

23.如圖，在RtABC中，ZBAC=90°,=30°,AB=4,點(diǎn)七為3C上任意一

點(diǎn)鼻，連接￡4,以E4。,EC為鄰邊作,E4尸C,連接EF,則■的最小值為_(kāi)____.

F

【答案】2^3

【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可知。是4C中點(diǎn)，E尸最短也就是E。最短，故應(yīng)該過(guò)

。作BC的垂線。。，所以點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，OE長(zhǎng)度最小.

【詳解】解：如圖，在RtAABC中，N84C=90。，ZACB=30°,43=4,

:.BC=2AB=8,AC=>j3AB=4y/3,

四邊形E4FC是平行四邊形，

:.EO=FO,CO=AO=2y/3,

當(dāng)E尸最短也就是￡。最短，則過(guò)。作8C的垂線0。，垂足為。，

在RtACKD中，。。=26，ZACB=30°,

:.OD=-OC=43.

2

，點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，?！觊L(zhǎng)度最小，此時(shí)OE=O￡>=6.

:.EF=2OE=26

故答案是：26.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用、平行四邊形的性質(zhì)以及垂線段最短的性質(zhì)；熟

練掌握平行四邊形的性質(zhì)，垂線段最短是解題的關(guān)鍵.

24.已知菱形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)分別為4cm和8cm,則這個(gè)菱形的面積是,周長(zhǎng)

是一

［答案】24cm220cm

【詳解】試題分析：AC=6cm,BD=8cm,

；.AC_LBD,OA=；AC=3cm,OB=；BD=4cm,

AAB=5(cm),

.,.菱形的面積是：yAC?BD=1x6x8=24,周長(zhǎng)是：4AB=4x5=20.

故答案是24cm2,20cm.

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì).

25.如圖，ABC沿E尸折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)4處，BP、C尸分別是NAfiD、/AC。平

【答案】140

【分析】欲求Z/VFC,因?yàn)閆ANC=ZA+Nl=N4+Z/r+Z/rE8,所以僅需求根據(jù)

三角形外角的性質(zhì)，得ZA=ZAB￡>-ZAC8.因?yàn)锽P、CP分別是NA8D、/AC￡>平

分線，所以NA=2NPBD-2NPCB=2(NPBD-NPCB)=2NP=3,進(jìn)而可求出N4,FC.

BP、CP分別是NAC￡>平分線，

ZPBD=-ZABD,NBCP=-ZBCA.

22

又ZPBD=ZP+ZPCB,

ZP=NPBD-乙PCB=-ZAB￡>--NBCA=-(ZABD-ZACB),

222

又ZABD=ZA+ZACfi,

:.ZABD-ZACB=ZA,

ZP=-ZA,

2

.-.ZA=2ZP=2x30°=60°,

由題意得：Z/T=ZA=60。，

Z1=ZA'+ZA'EB=600+20°=80°,

r.ZA'FC=ZA+N1=600+8()。=140°,

故答案為：140.

【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形外角的性質(zhì)以及角平分線的定義，熟練掌握三角形外角

的性質(zhì)以及角平分線的定義是解決本題的關(guān)鍵.

26.如圖，在Rl4?C中，ZAC8=90。，AC=BC,以8c為邊在BC的右側(cè)作等邊

△BCD,點(diǎn)E為80的中點(diǎn)，點(diǎn)P為CE上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AP,BP,當(dāng)AP+8P的值最

小時(shí)：①/CBP的度數(shù)為_(kāi)__________；②若AC=W，貝ij48的面積為

2

9

【答案】15°

【分析】①連接AD交CE于。，連接BQ,由等邊三角形的軸對(duì)稱性知CE是8。的垂

直平分線，得BP=DP,則當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)，AP+BP的值最小，即可解決問(wèn)題.

②過(guò)點(diǎn)。作。H_LAC于點(diǎn)H.則/OCH=/C4O+NCDA=15o+15o=30。，所以求得QH

的長(zhǎng)，即可求出AACZ）的面積.

【詳解】①連接交CE于。，連接80,

???△BCQ是等邊三角形，點(diǎn)E是BO的中點(diǎn)，

.?.CE是的垂直平分線，

：.BP=DP,

二當(dāng)點(diǎn)P與。重合時(shí)，4P+BP的值最小，

；AC=BC,BC=CD,

：.AC=CD,

'：ZACD=ZACB+ZBCD=90°+60°=150°,

NCD4=15。，

由等邊三角形的軸對(duì)稱性可知：ZCBQ=ZCDQ=\5°,

：.ZCBP=\50,

故答案為：15。.

②如圖.過(guò)點(diǎn)。作OHLAC于點(diǎn)H.

*.?ZDCH=ACAD+ACDA=150+15°=30°,

1133

:.DH=-CD=-x-=-,

2224

11339

**.ACD的面積=—AC,DH=—x—x—=—.

222416

9

故答案為：

16

【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)，軸對(duì)稱最短線路問(wèn)題

等知識(shí)，明確AP+BP的最小值為A。長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.

27.如圖，在AABC中，NB=NC,。是BC的中點(diǎn)，DE1AB,DF±AC,E,尸是垂

足，現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①NDEF=NDFE；?AE=AF；③4。垂直平分EK

④NBDE=NCDF.其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是.

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)對(duì)各個(gè)

選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得答案.

【詳解】解：???/8=/C,

：.AB=AC,

又?.?。是3c的中點(diǎn)，

.?.A。平分N8AC,

,：DELAB,DF1AC,

:.DE=DF,

'：DA=AD,

ARtAADE^RtAADF(HL),

：.AE=AF,NEDA=NFDA

.?.AC垂直平分EF,

故②③正確，

ZDEF=NDFE,

故①正確，

?.?NBED=NQFC=90。，

:.NBDE=NCDF.

故④正確.

故答案為:4.

【點(diǎn)睛】此題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)及角平分線性質(zhì)

的綜合運(yùn)用.

28.如圖，在△ABC中，AB=AC,AC的垂直平分線分別交AB、AC于點(diǎn)D、E.若

AB=10cm,△ABC的周長(zhǎng)為27cm,則△BCE的周長(zhǎng)為cm.

【答案】17

【分析】根據(jù)線段的垂直平分線性質(zhì)得：AE=BE,從而求得BE+EC=10cm,再由

△ABC的周長(zhǎng)為27cm求BC=7cm,則相加可得△BCE的周長(zhǎng).

【詳解】...DE是AB的垂直平分線，

；.AE=BE,

；.AE+EC=BE+EC=AC,

VAB=AC=10cm,

BE+EC=10cm,

?:△ABC的周長(zhǎng)為27cm,

AB+AC+BC=27cm,

10+10+BC=27,

BC=7cm,

△BCE的周長(zhǎng)=BE+EC+BC=10+7=17cm,

故答案是：17cm.

【點(diǎn)睛】考查了等腰三角形的性質(zhì)和線段的垂直平分線性質(zhì)，明確垂直平分線上任意

一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等，從而利用相等的線段將AC的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為

BE+EC=10cm,因此計(jì)算出結(jié)果.

29.如圖，從一ABC各頂點(diǎn)作平行線〃&5〃FC,各與其對(duì)邊或其延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)

D,E,F.若43C的面積為5,則』）"的面積為.

E

【答案】10

【分析】根據(jù)平行線間的距離處處相等得到：△ADE和△AB。在底邊AO上的高相

等，△A。尸和△AQC在底邊AO上的高相等，△BEF和△BEC在底邊8E上的高相

等，所以由三角形的面積公式和圖形間的面積的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行證明即可.

【詳解】證明：?:ADHBE,AD//FC,FC//BE,

：.△AOE和AABO在底邊A。上的高相等，△/1力/和AADC在底邊AD上的高相等，

△BEF和ABEC在底邊BE上的高相等，

SAADF=SAADC,S&BEF=SABEC,S4AEF=S4BEF-SAABE=S4BEC-S4ABE=SAABC

S&DEF=S4ADE+S4ADF+S4AEF=SAABD+S4ADC+S4ABC=2S4ABC.

g|JSADEF=2S4ABC.

：S"BC=5,

：.S^DEF=\0,

故答案為：10.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線間的距離和三角形的面積.兩平行線之間的距離的定義，

即兩直線平行，則夾在兩條平行線間的垂線段的長(zhǎng)叫兩平行線間的距離.

30.如圖，RtAABC中，ZBAC=90°,NC=20。，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，連接

【答案】50

【分析】根據(jù)點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，得到D4=DC,ND4C=NC,根據(jù)三角形外

角性質(zhì)，^ZADC=ZDAC+ZC,最后利用直角三角形的兩個(gè)銳角互余計(jì)算即可.

【詳解】?.?/8AC=90。，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，ZC=20°,

：.DA^DC,

...ND4C=NC=20。，

ZADB=ZDAC+ZC,

：.ZADB=40°,

'：AE1BC,

：.N￡)AE=90°-NAD8=90°-40°=50°,

故答案為：50.

【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟練

掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵.

31.如圖，長(zhǎng)方形紙片ABCO中，BC=&,DC=1,將它沿對(duì)角線8。折疊，使點(diǎn)C

落在點(diǎn)尸處，則圖中AE的長(zhǎng)度為.

BC

【答案】昱

3

【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，以及“等角對(duì)等邊“推出=從而設(shè)8F=x,

ED=BE他-x,在RtABE中根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；

【詳解】解：：四邊形ABC。是矩形，

/?BC//AD,

:.NEDB=NDBC,

由折疊的性質(zhì)可得：ZEBD=ZDBC,

：.ZEBD=AEDB,

:.BE=DE,

設(shè)AE=x,則==

在RtABE中，AB2+AE2=BE2>

/2使

:?X-

+:A立

解

得X-

3

案@

故

答

為3

J:

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊問(wèn)題，勾股定理的應(yīng)用，翻折變換，平行線的性

質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵.

32.如圖，在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1的網(wǎng)格圖中，一段圓弧經(jīng)過(guò)格點(diǎn)A,B,C,

格點(diǎn)4,。的連線交圓弧于點(diǎn)E,則圖中陰影部分面積為一.

…z3913

【答案】—

o16

【分析】連接AC,取AC中點(diǎn)E連接EE可得AC為直徑，尸為圓心，再由勾股定

理逆定理可得AF=EF=g>/i5,△ACO是等腰直角三角形，且/AC￡>=90。，從而得

到ZAFE=90°,結(jié)合圖形利用三角形面積與扇形面積之間的關(guān)系求解即可.

【詳解】解：如圖，連接AC,取AC中點(diǎn)凡連接EF,

；.AC為直徑，尸為圓心，

AF=EF=-AC,

2

：.NFAE=NFEA,即ZCAD^ZFEA,

網(wǎng)格中，由勾股定理得：

AC2=AB2+CB2=22+32=13,DC2DH2+CH2=22+32=i3,AD2=52+12=26.

AC=CD=y/l3,AC2+CD2AD2=26.

.?.■=所=[/，△AC。是等腰直角三角形，且NACZ)=90。,

2

：.ZCAD=45°,

：.ZCAD=ZFEA^45°,

，4FE=180°—ZCAD-ZFEA=90°,

??S陰影=S.AC0-S*AFE-S扇形EFC

1…"n1AL”90萬(wàn)產(chǎn)

=-AC-CDAFEF------

22360

78—13%

一_16

3913萬(wàn)

，

816

士、L3913%

故答案為：—.

o10

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，求扇形面積，勾股定理逆定理的應(yīng)用，熟練掌

握?qǐng)A周角定理，扇形面積，勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵.

33.在矩形488中，AB=3,8c=4,E是AB上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)廠是3c上一個(gè)動(dòng)

點(diǎn)，把矩形ABC。沿直線E尸折疊，點(diǎn)8的對(duì)應(yīng)點(diǎn)Q落在矩形內(nèi)部.若09的最小值

為3,則4E=—.

【答案】|

【分析】連接。E,則加+所上小，由EB'=EB為定值，故當(dāng)。、E、B'三點(diǎn)共

線時(shí)，最小，設(shè)AE=x,在Rt^AED中由勾股定理建立方程，可求得x的值，從而

求得AE的值.

【詳解】如圖，連接。E,

由折疊的性質(zhì)得：EB'=EB，

,?*DB+EBWDE,

：.DB>DE-Eff^DE-EB,

點(diǎn)為定點(diǎn)，

為定值，

當(dāng)。、E、B'三點(diǎn)共線時(shí)，￡>Q最小，且最小值為3,即。￡=3,如下圖所示,

.??四邊形ABCD為矩形，

ZA=90°,AD=BC=4,

設(shè)AE=x,貝ljE?=E8=48-AE=3-x,ED^EB'+DB'=3-x+3=6-x,

在RtAAED中，由勾股定理得：X2+42=(6-X)2,

解得：X=g，

AE=~.

3

故答案為：.

【點(diǎn)睛】本題是矩形的折疊問(wèn)題，考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理等知

識(shí)，運(yùn)用方程思想是本題的關(guān)鍵.

34.如圖，在菱形ABC。中，對(duì)角線AC與8。相交于點(diǎn)。，OELAB,垂足為E點(diǎn),

若AD=BD,則N20E=.

【答案】30。##30度

【分析】由菱形鄰邊相等結(jié)合AO=B￡>,可判斷△回￡>是等邊三角形，繼而得到

ZABD=60°,再由直角三角形的兩個(gè)銳角互余解答.

【詳解】解：在菱形ABC。中，AD=AB

AD=BD

:.AD=AB=BD

AABD是等邊三角形,

ZABD=60°

OE±AB,

NBOE=90°-ZABD=90°-60°=30°

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的兩個(gè)銳角互

余等知識(shí)，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵.

35.如圖，矩形ABCD中，43=2,AD=2&動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，連

BP,并過(guò)點(diǎn)C作垂足為H.①^ABPs^HCB；②A”的最小值為

77-73;③在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，8P掃過(guò)的面積始終等于8掃過(guò)的面積；④在運(yùn)動(dòng)過(guò)程

中，點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為：6萬(wàn)，其中正確的有（填寫序號(hào)）

【答案】①②④

【分析】由四邊形ABC。是矩形，CHLBP,得N84P=NC4B=/4BC=90。，則

ZABP=NHCB=90。一NCBH,即可證明HCB,可判斷①正確；取BC的中

點(diǎn)E,連接E4,AE,可求得HE=BE=CE=；BCf,由勾股定理求得

AE=/i,因?yàn)锳H+HE2AE,所以A”+若之近，則AHzJ7->/L即可求得

的最小值是近-6，可判斷②正確；當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)。重合時(shí)，則與矩形A8C。

的對(duì)角線8。重合，可求得BP掃過(guò)的面積為S他0=26，由tanNCBO=C2=@,

BC3

得NCBD=30。，則ZEBH=NEHB=30。,NBEH=120°,可求得CH掃過(guò)的面積為

S南舷曲+SECH="+，可知此時(shí)SABO*S扇形+SECH,可判斷③錯(cuò)誤；可求得

/.=^&，則點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為3向，可判斷④正確，于是得到問(wèn)題的答

BH33

案.

【詳解】解：???四邊形ABCD是矩形，CHLBP,

：.NBAP=NCHB=ZABC=90°,

ZABP=NHCB=90。一ZCBH,

/./SABP^/XHCB,故①正確；

如圖1,取BC的中點(diǎn)E,連接EH,AE,

:.BC=AD=20AB=CD=2,

HE=BE=CE=-BC=>5,

2

AE=4AB。+BE?=百+由f=幣,

,/AH+HE>AE,

:.AH+扣2近,

AH2出-M，

；?A”的最小值是"-G，

故②正確；

如圖2,點(diǎn)H的運(yùn)動(dòng)路徑為以8C的中點(diǎn)E為圓心，半徑長(zhǎng)為G的一段圓弧,

圖2

當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)。重合時(shí)，則BP為與矩形ABCD的對(duì)角線BD重合,

???3P掃過(guò)的面積為SA力=gx2x26=26,

,：ZBCD=90°,

tan"如會(huì)2=4

.??NCBD=30。,

；?NEBH=NEHB=30°,

：.ZBEH=180°-ZEBH-ZEHB=120°,

._120X￡X(2^_

一扇形BE”—360

?:CH=-BC=y/3,

2

???BH=J3c2-CH?=上?_(揚(yáng)2=3,

/.SBCH=；BHCH=$3x6=當(dāng),

.Q_1c_136_3e

??,ECH_3、BCH-2X-2---4-*

，CH掃過(guò)的面積為S8alMm+$=萬(wàn)+空，

Wn^BEHLCn1

?SABD工S扇形BEH+SECH，

J肝掃過(guò)的面積不是始終等于C4掃過(guò)的面積,

故③錯(cuò)誤；

??7120x;rxG2仄

?/.=------------------------=-737r,

BH1803

點(diǎn)”的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為:石萬(wàn)，故④正確，

故答案為：①②④.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線

段最短、銳角三角函數(shù)、勾股定理的應(yīng)用、三角形的面積公式、扇形的面積公式、弧

長(zhǎng)公式等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵.

36.如圖，已知ABC中，ZACB=90°,AC=x,BC=6,點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn)，C關(guān)

于A8的對(duì)稱點(diǎn)是。，聯(lián)結(jié)。M,若直線與△ABC的一條邊垂直.則AC=

【答案】6或6行或26

【分析】分三種情況討論：①M(fèi)正好是與AB的交點(diǎn)；②。M_LBC；③當(dāng)

時(shí)解答即可.

【詳解】分三種情況討論：

①M(fèi)正好是8與AB的交點(diǎn)；

C、/）關(guān)于4B對(duì)稱，。河_L4B,

點(diǎn)M為邊A8的中點(diǎn)，

CM=BM=AM,

：.D.M、C在一條直線上，

"：CMLAB,則/8=NA=45。，

：.AC=BC=6,

；.AC=6；

如圖：點(diǎn)M為邊A8的中點(diǎn)，延長(zhǎng)0M交8c于E,DELBC,

ZACB=90°,

：.AC±BCfDELBC,

：.AC//DEf連接3Q,

VC.D關(guān)于A8對(duì)稱，

???DN=NC,ZBND=ZBNC=90°,

?:BN=BN,

:?Rt〉BND義Ri〉BNC,

:?BD=BC=6,

???點(diǎn)M為邊A8的中點(diǎn)，DE//AC,

???E為BC的中點(diǎn),Z1=Z2,

???ME為△AC3的中位線，

：?BE=gBC=3,ME=yAC=1x,

在RmDNM和Rt^CNA,Z1=Z2,DN=CN,/DNM=NCAN=9。。,

:?Ri〉DNM義RmCNA,：.DM=AC=x,

222222

在心△拉EB中，BD=BE+DEfE|J6=3+(yX+x),

解得：X)=2\Z3,Xj=-26(舍去)，

?e?C—2^3；

③當(dāng)DW_LAC時(shí)；

同②可得RMNgRtADNM,

:?DM=BC=6,

同②可得：ME為△AC3的中位線,

ME=yBC=gx6=3,

：.DE=DM+ME=6+3=9f

?/