高三數(shù)學(xué)一輪提能一日一講（11月23日）

一、選擇題：本大題共6小題，每小題5分，共30分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，將答案填在題后括號(hào)內(nèi)．1．在一次班級(jí)聚會(huì)上，某班到會(huì)的女同學(xué)比男同學(xué)多6人，從這些同學(xué)中隨機(jī)挑選一人表演節(jié)目，若選到女同學(xué)的概率為eq\f(2,3)，則這班參加聚會(huì)的同學(xué)的人數(shù)為()A．12B．18C．24D．32解析設(shè)女同學(xué)有x人，則該班到會(huì)的共有(2x－6)人，所以eq\f(x,2x－6)＝eq\f(2,3)，得x＝12，故該班參加聚會(huì)的同學(xué)有18人，故選B.答案B2．有一底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(3,4) D.eq\f(1,4)解析設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于1的概率為P1，由幾何概型，則P1＝eq\f(V半球,V圓柱)＝eq\f(\f(2π,3)×13,π×12×2)＝eq\f(1,3)，故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P＝1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3).答案B3．連續(xù)拋擲兩枚正方體骰子(它們的六個(gè)面分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6)，記所得朝上的面的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)P(x，y)的直線的傾斜角為θ，則θ>60°的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2) D.eq\f(1,6)解析基本事件總數(shù)為6×6＝36種，θ>60°的必須是eq\f(y,x)＝tanθ>eq\r(3)，∴這樣的基本事件有(1,2)，(1,3)，…，(1,6)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,6)，共9種．∴概率為eq\f(9,36)＝eq\f(1,4).答案A4．(2013·安徽卷)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機(jī)會(huì)均等，則甲或乙被錄用的概率為()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)解析記事件A：甲或乙被錄用．從五人中錄用三人，基本事件有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種可能，而A的對(duì)立事件eq\o(A,\s\up6(－))僅有(丙，丁，戊)一種可能，∴A的對(duì)立事件eq\o(A,\s\up6(－))的概率為P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(1,10)，∴P(A)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－)))＝eq\f(9,10).選D.答案D5．若利用計(jì)算機(jī)在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個(gè)不等的隨機(jī)數(shù)a和b，則方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等實(shí)數(shù)根的概率為()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)解析方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)，即x2－2eq\r(2a)x＋2b＝0，原方程有不等實(shí)數(shù)根，則需滿足Δ＝(2eq\r(2a))2－4×2b>0，即a>b.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，(a，b)的所有可能結(jié)果是邊長(zhǎng)為1的正方形(不包括邊界)，而事件A“方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等實(shí)數(shù)根”的可能結(jié)果為圖中陰影部分(不包括邊界)．由幾何概型公式可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)＝eq\f(1,2).答案B6．(2013·湖南卷)已知事件“在矩形ABCD的邊CD上隨機(jī)取一點(diǎn)P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(\r(7),4)解析矩形ABCD如圖所示，在點(diǎn)P從D點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DP在增大，AP也在增大，而BP在逐漸減小，當(dāng)P點(diǎn)到P1位置時(shí)，BA＝BP1，當(dāng)P點(diǎn)到P2位置時(shí)，AB＝AP2，故點(diǎn)P在線段P1P2上時(shí)，△ABP中邊AB最大，由題意可得P1P2＝eq\f(1,2)CD.在Rt△BCP1中，BPeq\o\al(2,1)＝eq\f(9,16)CD2＋BC2＝eq\f(9,16)AB2＋AD2＝AB2.即AD2＝eq\f(7,16)AB2，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4)，故選D.答案D二、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．將答案填在題中橫線上．7．(2013·課標(biāo)全國(guó)Ⅱ)從1,2,3,4,5中任意取出兩個(gè)不同的數(shù)，其和為5的概率是________．解析任取兩個(gè)不同的數(shù)的情況有：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10種，其中和為5的有2種，所以所求概率為eq\f(2,10)＝0.2.答案0.28．在集合A＝{m|關(guān)于x的方程x2＋mx＋eq\f(3,4)m＋1＝0無(wú)實(shí)根}中隨機(jī)的取一元素x，恰使式子lgx有意義的概率為________．解析由于Δ＝m2－4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)m＋1))<0，得－1<m<4，若使lgx有意義，必須使x>0.在數(shù)軸上表示為，故所求概率P＝eq\f(4,5).答案eq\f(4,5)9．(2013·浙江卷)從3男3女共6名同學(xué)中任選2名(每名同學(xué)被選中的機(jī)會(huì)均等)，這2名都是女同學(xué)的概率等于________．解析設(shè)3名男同學(xué)分別為a1，a2，a3,3名女同學(xué)分別為b1，b2，b3，則從6名同學(xué)中任選2名的結(jié)果有a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3，共15種，其中都是女同學(xué)的有3種，所以概率P＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案eq\f(1,5)三、解答題：本大題共3小題，共30分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．10．(本小題10分)(2012·福建卷)在等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}中，a1＝b1＝1，b4＝8，{an}的前10項(xiàng)和S10＝55.(1)求an和bn；(2)現(xiàn)分別從{an}和{bn}的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，寫出相應(yīng)的基本事件，并求這兩項(xiàng)的值相等的概率．解(1)設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，數(shù)列{bn}的公比為q.依題意得S10＝10×1＋eq\f(10×9,2)d＝55，b4＝q3＝8，解得d＝1，q＝2，所以an＝n，bn＝2n－1.(2)分別從{an}和{bn}的前3項(xiàng)中各隨機(jī)抽取一項(xiàng)，得到的基本事件有9個(gè)：(1,1)，(1,2)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)．符合題意的基本事件有2個(gè)：(1,1)，(2,2)．故所求的概率P＝eq\f(2,9).11．(本小題10分)(2013·天津卷)某產(chǎn)品的三個(gè)質(zhì)量指標(biāo)分別為x，y，z，用綜合指標(biāo)S＝x＋y＋z評(píng)價(jià)該產(chǎn)品的等級(jí)．若S≤4，則該產(chǎn)品為一等品．現(xiàn)從一批該產(chǎn)品中，隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品作為樣本，其質(zhì)量指標(biāo)列表如下：(1)利用上表提供的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率；(2)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品，(ⅰ)用產(chǎn)品編號(hào)列出所有可能的結(jié)果；(ⅱ)設(shè)事件B為“在取出的2件產(chǎn)品中，每件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S都等于4”，求事件B發(fā)生的概率．解(1)計(jì)算10件產(chǎn)品的綜合指標(biāo)S，如下表：產(chǎn)品編號(hào)A1A2A3A4A5A6A7A8A9A10S4463454535其中S≤4的有A1，A2，A4，A5，A7，A9，共6件，故該樣本的一等品率為eq\f(6,10)＝0.6，從而可估計(jì)該批產(chǎn)品的一等品率為0.6.(2)(ⅰ)在該樣本的一等品中，隨機(jī)抽取2件產(chǎn)品的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A1，A9}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A2，A9}，{A4，A5}，{A4，A7}，{A4，A9}，{A5，A7}，{A5，A9}，{A7，A9}，共15種．(ⅱ)在該樣本的一等品中，綜合指標(biāo)S等于4的產(chǎn)品編號(hào)分別為A1，A2，A5，A7，則事件B發(fā)生的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A5}，{A1，A7}，{A2，A5}，{A2，A7}，{A5，A7}，共6種．所以P(B)＝eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).12．(本小題10分)(2013·江西卷)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點(diǎn)，再?gòu)腁1，A2，A3，A4，A5，A6(如圖)這6個(gè)點(diǎn)中任取兩點(diǎn)分別為終點(diǎn)得到兩個(gè)向量，記這兩個(gè)向量的數(shù)量積為X，若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解(1)X的所有可能取值為－2，－1,0,1.(2)數(shù)量積為－2的有eq\o(OA2,\s\up16(→))·eq\o(OA5,\s\up16(→))，共1種；數(shù)量積為－1的有eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA5,\s\up16(→))，eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，eq\o(OA2,\s\up16(→))·eq\o(OA4,\s\up16(→))，eq\o(OA2,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，eq\o(OA3,\s\up16(→))·eq\o(OA4,\s\up16(→))，eq\o(OA3,\s\up16(→))·eq\o(OA5,\s\up16(→))，共6種；數(shù)量積為0的有eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA3,\s\up16(→))，eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA4,\s\up16(→))，eq\o(OA3,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，eq\o(OA4,\s\up16(→))·eq\o(OA6,\s\up16(→))，共4種；數(shù)量積為1的有eq\o(OA1,\s\up16(→))·eq\o(OA2,\s\up16(→))，eq\o(OA2,\s\up16(→))