2023-2024學年湘教版必修第二冊 1-5向量的數量積1-5-1數量積的定義及計算 課件（36張）

1.5.1數量積的定義及計算新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習

a||b|cos〈a，b〉a⊥b

|b|cosα|a|cosα

b·aa·c＋b·c基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)兩向量的數量積仍是一個向量．(

)(2)設非零向量a與b的夾角為θ，則cosθ＞0?a·b＞0.(

)(3)對于向量a，b，若a·b＝0，則a＝0或b＝0.(

)(4)對于任意向量a，b，總有(a·b)2＝a2·b2.(

)×√××

答案：A

答案：D

題型探究·課堂解透題型1向量數量積的計算角度1向量數量積的計算例1

已知|a|＝2，|b|＝3，a與b的夾角為120°，求：(1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)．

解析：(1)a·b＝|a||b|cosθ＝2×3×cos120°＝－3.(2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5.(3)(2a－b)·(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2＝8－15－27＝－34.方法歸納求向量的數量積的方法求向量的數量積時，需明確兩個關鍵點：相關向量的模和夾角．若是兩個或兩個以上向量的線性運算，則需先利用向量的數量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡，使問題轉化為兩個單一向量的數量積，再用數量積公式計算．

答案：C

答案：B

2

方法歸納求投影向量的方法(1)依據投影的定義和平面幾何知識作出恰當的垂線，直接得到投影向量．(2)首先根據題意確定向量a的模，與b同向的單位向量e，及兩向量a與b的夾角θ，然后依據公式|a|cosθ·e計算．

答案：C

(2)已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是與b方向相同的單位向量，則a在b上的投影向量為________．

題型3向量數量積的應用角度1求兩向量的夾角例4已知|a|＝3，|b|＝2，(a＋2b)·(a－3b)＝－18，則a與b的夾角為________．

答案：A解析：由題意，向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，a·b＝|a||b|cos〈a，b〉＝－1，又由|2a＋b|2＝4a2＋b2＋4a·b＝4×1＋22＋4×(－1)＝4，所以|2a＋b|＝2.

方法歸納向量垂直問題的處理思路解決與垂直相關題目的依據是a⊥b?a·b＝0，利用數量積的運算律代入，結合與向量的模、夾角相關的知識解題．

2

(2)設向量e1，e2為單位正交基，若a＝2e1－e2，b＝e1＋ke2，且a⊥b，則k＝________．2

易錯辨析忽視向量共線的特殊情況出錯例7設兩個向量e1，e2滿足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夾角為60°，若向量2te1＋7e2與e1＋te2的夾角θ為鈍角，求實數t的取值范圍．

易錯警示易錯原因糾錯心得若兩向量的夾角為鈍角，則這兩向量的數量積為負，反之不成立．所以解題時注意結論的應用．課堂十分鐘1．已知a，b滿足|a|＝1，a·b＝－1，則a·(2a－b)＝(

)A．4B．3C．2D．0答案：B解析：a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2×|a|2－a·b＝2×12－(－1)