專題函數(shù)的周期性和對稱性問題

考點(diǎn)一：函數(shù)的周期性問題1．周期函數(shù)的定義：對于函數(shù)定義域內(nèi)的每一個，都存在一個非零常數(shù)T，使得恒成立，那么就稱函數(shù)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．如果在周期函數(shù)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做的最小正周期．2．函數(shù)周期性的常用結(jié)論：函數(shù)滿足對定義域內(nèi)任意一個實(shí)數(shù)（其中為常數(shù)）：條件周期關(guān)于直線和對稱關(guān)于點(diǎn)和點(diǎn)對稱關(guān)于直線和點(diǎn)對稱考點(diǎn)二：函數(shù)的對稱性問題1．函數(shù)對稱性的常用結(jié)論：①若，則函數(shù)關(guān)于對稱；②若f(x)＋f(2a－x)＝2b，則函數(shù)f(x)關(guān)于點(diǎn)(a，b)對稱；③若，則函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對稱．2．周期性與對稱性的關(guān)系：（口訣：“內(nèi)同表周期性，內(nèi)反表對稱性”）①若則具有周期性；②若則具有對稱性．題型一：函數(shù)周期性的應(yīng)用【典例11】已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(x＋4)＝f(x－2)．若當(dāng)x∈[－3,0]時，，則f(919)＝.【答案】6【分析】先求函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及偶函數(shù)性質(zhì)化簡，再代入求值.【詳解】由f(x+4)=f(x2)可知,是周期函數(shù),且,所以.【變式1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.則A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：當(dāng)時,,所以當(dāng)時,函數(shù)是周期為的周期函數(shù),所以,又函數(shù)是奇函數(shù),所以,故選D．【典例12】已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，則（

）A． B． C．0 D．1【答案】A【分析】法一：根據(jù)題意賦值即可知函數(shù)的一個周期為，求出函數(shù)一個周期中的的值，即可解出．【詳解】[方法一]：賦值加性質(zhì)因?yàn)椋羁傻?，，所以，令可得，，即，所以函?shù)為偶函數(shù)，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數(shù)的一個周期為．因?yàn)?，，，，，所以一個周期內(nèi)的．由于22除以6余4，所以．故選：A．[方法二]：【最優(yōu)解】構(gòu)造特殊函數(shù)由，聯(lián)想到余弦函數(shù)和差化積公式，可設(shè)，則由方法一中知，解得，取，所以，則，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，由于22除以6余4，所以．故選：A．【整體點(diǎn)評】法一：利用賦值法求出函數(shù)的周期，即可解出，是該題的通性通法；法二：作為選擇題，利用熟悉的函數(shù)使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數(shù)的性質(zhì)解題，簡單明了，是該題的最優(yōu)解.題型二：函數(shù)對稱性的應(yīng)用【典例21】偶函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，，則．【答案】【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)的對稱性可得，結(jié)合函數(shù)的奇偶性可得，即可得解．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，又由函數(shù)為偶函數(shù)，則，故；【變式1】設(shè)函數(shù)的圖像與的圖像關(guān)于直線對稱，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】試題分析：設(shè)是函數(shù)的圖像上任意一點(diǎn)，它關(guān)于直線對稱為（），由已知（）在函數(shù)的圖像上，∴，解得，即，∴，解得，故選C．【典例22】函數(shù)的圖像與函數(shù)的圖像所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】試題分析：由于函數(shù)與函數(shù)均關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，結(jié)合圖形以點(diǎn)為中心兩函數(shù)共有個交點(diǎn)，則有，同理有，所以所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.故正確答案為D.【變式1】函數(shù)的圖象與函數(shù)圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.【答案】7【分析】由函數(shù)解析式可得兩函數(shù)圖象均關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對稱，進(jìn)而探討函數(shù)的單調(diào)性，然后畫出圖象的大致形狀，即可求得兩圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和.【詳解】易知函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)（﹣1，0）對稱，設(shè)函數(shù)圖象上任意一點(diǎn)為，則它關(guān)于（1,0）的對稱點(diǎn)為，將其代入的解析式得：，即，于是函數(shù)關(guān)于點(diǎn)（1,0）對稱.又，所以時，，單調(diào)遞減，時，，單調(diào)遞增，時，，單調(diào)遞減.于是x=2時，的極小值為，而，x=0時，的極大值為，而.現(xiàn)作出兩個函數(shù)的大致圖象，如圖：于是得到圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為：﹣1+（﹣2）×3=﹣7.【點(diǎn)睛】本題在函數(shù)的對稱性的應(yīng)用類題型中非常典型，首先要對函數(shù)的大致圖象要有所把握（在草稿紙上分析），進(jìn)而找出函數(shù)的對稱點(diǎn)或?qū)ΨQ軸（大題需說明理由），然后討論函數(shù)的單調(diào)性；需要注意的是在本題中在[2,0]這個區(qū)間上（即函數(shù)兩個極值點(diǎn)之間），兩個函數(shù)都是單調(diào)遞增，這里有一個函數(shù)增加快慢的問題，如果把函數(shù)的圖象畫得太靠近x軸，最后會影響兩個函數(shù)圖象交點(diǎn)的個數(shù)，這個時候往往代特值比較兩個函數(shù)的函數(shù)值大小進(jìn)行解決.【變式2】已知函數(shù)f（x）（x∈）滿足f（x）=f（2?x），若函數(shù)y=|x2?2x?3|與y=f（x）圖像的交點(diǎn)為（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），則A．0 B．m C．2m D．4m【答案】B【詳解】試題分析：因?yàn)榈膱D像都關(guān)于對稱，所以它們圖像的交點(diǎn)也關(guān)于對稱，當(dāng)為偶數(shù)時，其和為；當(dāng)為奇數(shù)時，其和為，因此選B.【變式3】已知函數(shù)滿足，若函數(shù)與圖像的交點(diǎn)為則A．0 B． C． D．【答案】B【詳解】[方法一]：直接法.由得關(guān)于對稱，而也關(guān)于對稱，∴對于每一組對稱點(diǎn)，∴，故選B．[方法二]：特值法.由得不妨設(shè)因?yàn)椋c函數(shù)的交點(diǎn)為∴當(dāng)時，，故選B．[方法三]：構(gòu)造法.設(shè)，則，故為奇函數(shù).設(shè)，則，故為奇函數(shù).∴對于每一組對稱點(diǎn).將，代入，即得∴，故選B．[方法四]：由題意得,函數(shù)和的圖象都關(guān)于對稱,所以兩函數(shù)的交點(diǎn)也關(guān)于對稱,對于每一組對稱點(diǎn)和，都有.從而.故選B.【易錯點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的性質(zhì).本題作為高考選擇題的壓軸題,考生的易錯點(diǎn)是不明確本題要考察的知識點(diǎn)是什么,不知道正確利用兩個函數(shù)的對稱性（中心對稱）,確定兩個函數(shù)的交點(diǎn)也是關(guān)于對稱,最后正確求和得出結(jié)論.本題考查了函數(shù)的對稱性,但不是從奇偶性的角度進(jìn)行考查,從而提高了考試的難度.【變式4】已知函數(shù)的定義域均為R，且．若的圖像關(guān)于直線對稱，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，從而得到，，然后根據(jù)條件得到的值，再由題意得到從而得到的值即可求解.【詳解】因?yàn)榈膱D像關(guān)于直線對稱，所以，因?yàn)?，所以，即，因?yàn)?，所以，代入得，即，所以?因?yàn)椋?，即，所?因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，?lián)立得，，所以的圖像關(guān)于點(diǎn)中心對稱，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)镽，所以因?yàn)?，所?所以.題型三：函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用【典例31】已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),滿足.若，則A． B． C． D．【答案】C【詳解】分析：先根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)以及對稱性確定函數(shù)周期，再根據(jù)周期以及對應(yīng)函數(shù)值求結(jié)果.詳解：因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且，所以,因此，因?yàn)?，所以，，從而，選C.【典例32】奇函數(shù)的定義域?yàn)椋魹榕己瘮?shù)，且，則A． B． C． D．【答案】D【分析】試題分析：是偶函數(shù)，則的圖象關(guān)于直線對稱，又是奇函數(shù)，則，且是周期函數(shù)，且周期為8，所以．故選D．【變式1】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為偶函?shù)，為奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，由已知條件得出，結(jié)合已知條件可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為偶函數(shù)，則，可得，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，所以，，所以，，即，故函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，則，故，其它三個選項(xiàng)未知.故選：B.【變式2】函數(shù)的定義域?yàn)镽，若與都是奇函數(shù)，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．是奇函數(shù)【答案】D【詳解】[方法一]：與都是奇函數(shù)，，，函數(shù)關(guān)于點(diǎn)，及點(diǎn)對稱，函數(shù)是周期的周期函數(shù).，，即是奇函數(shù).故選D.[方法二]：與都是奇函數(shù)，，，由，得，由，得，所以，進(jìn)而可得，可見是周期的周期函數(shù).說明A與B不一定成立，C肯定不成立，而D成立的理由如下：，，所以.【變式3】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镽，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】通過是奇函數(shù)和是偶函數(shù)條件，可以確定出函數(shù)解析式，進(jìn)而利用定義或周期性結(jié)論，即可得到答案．【詳解】[方法一]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路一：從定義入手．所以．[方法二]：因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以①；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以②．令，由①得：，由②得：，因?yàn)?，所以，令，由①得：，所以．思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數(shù)的周期．所以．故選：D．【變式4】已知定義在上的函數(shù)滿足條件，且函數(shù)為奇函數(shù)，則下列說法中錯誤的是（

）A．函數(shù)是周期函數(shù)；B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；C．函數(shù)為上的偶函數(shù)；D．函數(shù)為上的單調(diào)函數(shù)．【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性對選項(xiàng)逐一分析，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】對于A，，所以是周期為的周期函數(shù)，故A正確.對于B，函數(shù)為奇函數(shù)，關(guān)于對稱，向左平移個單位得到，橫坐標(biāo)再擴(kuò)大為原來的倍，所以關(guān)于對稱，故B正確.對于C，關(guān)于對稱，則，，所以為偶函數(shù)，故C正確.對于D，由于是偶函數(shù)，函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱，軸兩側(cè)函數(shù)對應(yīng)區(qū)間的單調(diào)性相反，故D錯誤.故選：D【典例33】已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是增函數(shù),若方程在區(qū)間上有四個不同的根，則【答案】【分析】說明函數(shù)是周期為8的函數(shù)，求出其對稱軸，畫出函數(shù)的大致圖像，根據(jù)圖像判斷即可.【詳解】解：定義在R上的奇函數(shù)，所以，，又，所以，8是函數(shù)的一個周期，所以，所以是函數(shù)的一條對稱軸，函數(shù)的對稱軸是，根據(jù)以上性質(zhì)畫出函數(shù)的大致圖像:有圖像知，，所以，故答案為：【典例34】已知函數(shù)的定義域?yàn)?，為的?dǎo)函數(shù)，且，，若為偶函數(shù)，則下列結(jié)論不一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】先證明為奇函數(shù)，再進(jìn)行合理賦值逐個分析判斷.【詳解】對A：∵為偶函數(shù)，則兩邊求導(dǎo)可得∴為奇函數(shù)，則令，則可得，則，A成立；對B：令，則可得，則，B成立；∵，則可得，則可得兩式相加可得：，∴關(guān)于點(diǎn)成中心對稱則，D成立又∵，則可得，則可得∴以4為周期的周期函數(shù)根據(jù)以上性質(zhì)只能推出，不能推出，C不一定成立故選：C.【點(diǎn)睛】對于抽象函數(shù)的問題，一般通過賦值結(jié)合定義分析運(yùn)算.【變式1】已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，若，均為偶函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】方法一：轉(zhuǎn)化題設(shè)條件為函數(shù)的對稱性，結(jié)合原函數(shù)與導(dǎo)函數(shù)圖象的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可得解.【詳解】[方法一]：對稱性和周期性的關(guān)系研究對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以即①，所以，所以關(guān)于對稱，則，故C正確；對于，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，，，所以關(guān)于對稱，由①求導(dǎo)，和，得，所以，所以關(guān)于對稱，因?yàn)槠涠x域?yàn)镽，所以，結(jié)合關(guān)于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；若函數(shù)滿足題設(shè)條件，則函數(shù)（C為常數(shù)）也滿足題設(shè)條件，所以無法確定的函數(shù)值，故A錯誤.故選：BC.[方法二]：【最優(yōu)解】特殊值，構(gòu)造函數(shù)法.由方法一知周期為2，關(guān)于對稱，故可設(shè)，則，顯