廣東省佛山市佛山三中2024屆數學高二第二學期期末綜合測試試題含解析

廣東省佛山市佛山三中2024屆數學高二第二學期期末綜合測試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．若函數為偶函數，則（）A．-1 B．1 C．-1或1 D．02．已知各棱長均相等的正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側面與底面所成角的大小分別為，則（）A． B．C． D．前三個答案都不對3．在極坐標系中，曲線的極坐標方程為，曲線的極坐標方程為，若曲線與的關系為（）A．外離 B．相交 C．相切 D．內含4．已知定義在上的函數滿足：函數的圖象關于直線對稱，且當成立(是函數的導函數),若，，,則的大小關系是（）A． B． C． D．5．已知甲、乙、丙三名同學同時獨立地解答一道導數試題，每人均有的概率解答正確，且三個人解答正確與否相互獨立，在三人中至少有兩人解答正確的條件下，甲解答不正確的概率（）A． B． C． D．6．已知點P在直徑為2的球面上，過點P作球的兩兩相互垂直的三條弦PA，PB，PC，若，則的最大值為A． B．4 C． D．37．某村莊對改村內50名老年人、年輕人每年是否體檢的情況進行了調查，統(tǒng)計數據如表所示：每年體檢每年未體檢合計老年人7年輕人6合計50已知抽取的老年人、年輕人各25名.則完成上面的列聯(lián)表數據錯誤的是()A． B． C． D．8．如果，則的解析式為（）A． B．C． D．9．0πsinA．2 B．0 C．-2 D．110．復數在復平面內對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．在中，若，，，則的外接圓半徑，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體中，若、、兩兩互相垂直，，，，則四面體的外接球半徑（）A． B． C． D．12．如圖，平面與平面所成的二面角是，是平面內的一條動直線，，則直線與所成角的正弦值的取值范圍是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．盒子里有完全相同的6個球，每次至少取出1個球(取出不放回)，取完為止，則共有_______種不同的取法（用數字作答）．14．由0，1，2，…，9十個數字組成的無重復數字的三位數共______個15．在區(qū)間上隨機地取一個實數，若實數滿足的概率為，則_______.16．函數的零點個數為__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數在區(qū)間上的最大值為3，最小值為-17，求的值18．（12分）在直角坐標系中，曲線：（，為參數）．在以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，曲線：．（1）說明是哪一種曲線，并將的方程化為極坐標方程；（2）若直線的方程為，設與的交點為，，與的交點為，，若的面積為，求的值．19．（12分）已知函數當時，討論的導函數在區(qū)間上零點的個數；當時，函數的圖象恒在圖象上方，求正整數的最大值.20．（12分）在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數）；以直角坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為．（1）求的普通方程和的直角坐標方程；（2）若與交于點，求線段的長．21．（12分）設函數的最大值為.（1）求的值；（2）若正實數，滿足，求的最小值.22．（10分）已知函數（且，e為自然對數的底數.）（1）當時，求函數在處的切線方程；（2）若函數只有一個零點，求a的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

由f（x）為偶函數，得，化簡成xlg（x2+1﹣m2x2）＝0對恒成立，從而得到x2+1﹣m2x2＝1，求出m＝±1即可．【題目詳解】若函數f（x）為偶函數，∴f（﹣x）＝f（x），即；得對恒成立，∴x2+1﹣m2x2＝1，∴（1﹣m2）x2＝0，∴1﹣m2＝0，∴m＝±1．故選C．【題目點撥】本題考查偶函數的定義，以及對數的運算性質，平方差公式，屬于基礎題．2、C【解題分析】

通過作出圖形，分別找出正三棱錐、正四棱錐、正五棱錐的側面與底面所成角，通過計算余弦值比較大小即可知道角度大小關系.【題目詳解】如圖，正三棱錐，正四棱錐，正五棱錐，設各棱長都為2，在正三棱錐中，取AC中點D，連接PD,BD，可知即為側面與底面所成角，可知，，由余弦定理得；同理，，于是，而由于為銳角，所以，故選C.【題目點撥】本題主要考查面面角的相關計算，意在考查學生的轉化能力，空間想象能力，計算能力，難度中等.3、B【解題分析】

將兩曲線方程化為普通方程，可得知兩曲線均為圓，計算出兩圓圓心距，并將圓心距與兩圓半徑差的絕對值和兩半徑之和進行大小比較，可得出兩曲線的位置關系.【題目詳解】在曲線的極坐標方程兩邊同時乘以，得，化為普通方程得，即，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，同理可知，曲線的普通方程為，則曲線是以點為圓心，以為半徑的圓，兩圓圓心距為，，，，因此，曲線與相交，故選：B.【題目點撥】本題考查兩圓位置關系的判斷，考查曲線極坐標方程與普通方程的互化，對于這類問題，通常將圓的方程化為標準方程，利用兩圓圓心距與半徑和差的大小關系來得出兩圓的位置關系，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.4、A【解題分析】

由導數性質推導出當x∈（﹣∞，0）或x∈（0，+∞）時，函數y=xf（x）單調遞減．由此能求出結果．【題目詳解】∵函數的圖象關于直線對稱，∴關于軸對稱，∴函數為奇函數.因為，∴當時，，函數單調遞減，當時，函數單調遞減.，，，，故選A【題目點撥】利用導數解抽象函數不等式，實質是利用導數研究對應函數單調性，而對應函數需要構造.構造輔助函數常根據導數法則進行：如構造，構造，構造，構造等5、C【解題分析】

記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件，利用二項分布的知識計算出，再計算出，結合條件概率公式求得結果.【題目詳解】記“三人中至少有兩人解答正確”為事件；“甲解答不正確”為事件則；本題正確選項：【題目點撥】本題考查條件概率的求解問題，涉及到利用二項分布公式求解概率的問題.6、A【解題分析】

由題意得出，設，，利用三角函數輔助角公式可得出的最大值.【題目詳解】由于、、是直徑為的球的三條兩兩相互垂直的弦，則，所以，設，，，其中為銳角且，所以，的最大值為，故選A.【題目點撥】本題考查多面體的外接球，考查棱長之和的最值，在直棱柱或直棱錐的外接球中，若其底面外接圓直徑為，高為，其外接球的直徑為，則，充分利用這個模型去解題，可簡化計算，另外在求最值時，可以利用基本不等式、柯西不等式以及三角換元的思想來求解．7、D【解題分析】分析：先根據列聯(lián)表列方程組，解得a,b,c,d,e,f,再判斷真假.詳解：因為，所以選D.點睛：本題考查列聯(lián)表有關概念，考查基本求解能力.8、C【解題分析】

根據配湊法，即可求得的解析式，注意定義域的范圍即可．【題目詳解】因為，即令，則，即所以選C【題目點撥】本題考查了配湊法在求函數解析式中的應用，注意定義域的范圍，屬于基礎題．9、A【解題分析】

根據的定積分的計算法則計算即可．【題目詳解】0πsinxdx＝（-cos故選：A．【題目點撥】本題考查了定積分的計算，關鍵是求出原函數，屬于基礎題．10、A【解題分析】

化簡求得復數為，然后根據復數的幾何意義，即可得到本題答案.【題目詳解】因為，所以在復平面內對應的點為，位于第一象限.故選：A【題目點撥】本題主要考查復數的四則運算和復數的幾何意義，屬基礎題.11、A【解題分析】

四面體中，三條棱、、兩兩互相垂直，則可以把該四面體補成長方體，長方體的外接球就是四面體的外接球，則半徑易求.【題目詳解】四面體中，三條棱、、兩兩互相垂直，則可以把該四面體補成長方體，，，是一個頂點處的三條棱長.所以外接球的直徑就是長方體的體對角線，則半徑.故選A.【題目點撥】本題考查空間幾何體的結構，多面體的外接球問題，合情推理.由平面類比到立體，結論不易直接得出時，需要從推理方法上進行類比，用平面類似的方法在空間中進行推理論證，才能避免直接類比得到錯誤結論.12、B【解題分析】

假定ABCD和BCEF均為正方形，過D作，可證平面BCEF，進而可得直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，即直線與所成角的正弦值的最小值，當直線與異面垂直時，所成角的正弦值最大.【題目詳解】過D作，垂足為G，假定ABCD和BCEF均為正方形，且邊長為1則平面CDG，故又，平面BCEF故直線BD在平面BCEF內的射影為BG，由已知可得，則以直線BD與平面BCEF所成的角正弦值，所以直線BD與平面BCEF內直線所成的角正弦值最小為，而直線與所成角最大為（異面垂直），即最大正弦值為1.故選：B【題目點撥】本題考查了立體幾何中線面角，面面角找法，考查了轉化思想，屬于難題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、32【解題分析】分析：根據題意，按6個球取出的數目分6種情況討論，分析求出每一種情況的取法數目，由加法原理計算可得答案.詳解：由題意，一次可以取球的個數為1，2，3，4，5，6個，則若一次取完可由1個6組成，有1種；二次取完可由1與5，2與4，3與3組成共5種；三次取完由1，1，4或1，2，3或2，2，2組成共10種；四次取完有1，1，1，3或1，1，2，2組成共10種；五次取完，由1，1，1，1，2個組成共5種；六次取完由6個1組成共有1種，綜上得，共有32種，故答案為32.點睛：此題主要考查數學中計數原理在實際問題中的應用，屬于中檔題型，也是常考考點.計數原理是數學中的重要研究對象之一，分類加法計數原理、分步乘法計數原理是解計數問題最基本、最重要的方法，也稱為基本計數原理，它們?yōu)榻鉀Q很多實際問題提供了思想和工具.14、648【解題分析】

首先考慮百位不為，得到百位的情況數，再利用排列得到十位與個位的情況數，通過分步計數原理，得到答案.【題目詳解】因為百位不能為，所以百位共有種情況，再在剩下的個數中，任選個安排在十位與個位，有種情況，根據分步計數原理可得，符合要求的三位數有個.故答案為：.【題目點撥】本題考查排列的應用，分步計數原理，屬于簡單題.15、2【解題分析】

畫出數軸，利用滿足的概率，可以求出的值即可.【題目詳解】如圖所示，區(qū)間的長度是6，在區(qū)間上隨機地取一個數，若滿足的概率為，則有，解得，故答案是：2.【題目點撥】該題考查的是有關長度型幾何概型的問題，涉及到的知識點有長度型幾何概型的概率公式，屬于簡單題目.16、2【解題分析】

根據圖像與函數的單調性分析即可.【題目詳解】的零點個數即的根的個數,即與的交點個數.又當時,,此時在上方.當時,,,此時在下方.又對求導有,對求導有,故隨的增大必有,即的斜率大于的斜率.故在時,與還會有一個交點.分別作出圖像可知有兩個交點.故答案為：2【題目點撥】本題主要考查了數形結合求解函數零點個數的問題,需要根據題意分析函數斜率的變化規(guī)律與圖像性質.屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3【解題分析】試題分析：由題設知k≠1且f'（x）=3kx（x-2），1＜x＜2時，x（x-2）＜1；x＜1或x＞2時，x（x-2）＞1；x=1和x=2時，f'（x）=1．由題設知-2≤x≤2，f（-2）=-21k+B，f（1）=B，f（2）=-4k+B．由此能夠求出k、B的值試題解析：由題設知k≠1且f'（x）=3kx（x﹣2），1＜x＜2時，x（x﹣2）＜1；x＜1或x＞2時，x（x﹣2）＞1；x=1和x=2時，f'（x）=1．由題設知﹣2≤x≤2，f（﹣2）=﹣21k+B，f（1）=B，f（2）=﹣4k+B①k＜1時，﹣2＜x＜1時，f'（x）＜1；1＜x＜2時，f'（x）＞1，∴f（x）在[﹣2，1）上遞減，在（1，2）上遞增，x=1為最小值點；∵f（﹣2）＞f（2）∴f（x）的最大值是f（﹣2）即，解得k=-1，B=-17②k＞1時，，解得k=1，B=3綜上，k=﹣1，B=﹣17或k=1，B=3考點：利用導數求閉區(qū)間上函數的最值18、(1)是以為圓心，為半徑的圓.的極坐標方程.(2)【解題分析】

（1）消去參數得到的普通方程.可得的軌跡.再將，帶入的普通方程，得到的極坐標方程.（2）先得到的極坐標方程，再將，代入，解得，，利用三角形面積公式表示出的面積，進而求得a.【題目詳解】(1)由已知得：平方相加消去參數得到=1，即，∴的普通方程：.∴是以為圓心，為半徑的圓.再將，帶入的普通方程，得到的極坐標方程.（2）的極坐標方程，將，代入，解得，，則的面積為，解得.【題目點撥】本題考查了直角坐標系下的參數方程、普通方程與極坐標方程的互化，考查了極坐標方程的應用，屬于基礎題.19、（1）當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點（2）【解題分析】

（1）首先求，令，然后求，討論當時，，判斷函數的單調性和端點值，判斷函數是否有零點；當時，同樣是判斷函數的單調性，然后結合零點存在性定理，可判斷函數是否存在零點；（2）由，參變分離求解出在上恒成立，轉化為求函數的最小值，設，，利用導數判斷函數的單調性，求得函數的最小值.【題目詳解】解：（1）.令，，則,①當時，當，，單調遞減，又，所以對時，，此時在不存在零點.②當時，當，，單調遞減.又因為，取，則，即.根據零點存在定理，此時在存在唯一零點.綜上，當時，在存在唯一零點；當時，在沒有零點.（2）由已知得在上恒成立.設，，則因為時，所以，設，，所以在上單調遞增，又，，由零點存在定理，使得，即,，且當時，，，單調遞減；當時，，，單調遞增.所以，又在上單調遞減，而，所以，因此，正整數的最大值為.【題目點撥】本題第一問考查了判斷函數零點個數的問題，這類問題需判斷函數的單調性，再結合函數零點存在性定理判斷，已知函數是單調函數的前提下，需滿足，才可以說明區(qū)間內存在唯一零點，但難點是有時候或不易求得，本題中，證明的過程中，用到了，以及只有時，才有，這種賦端點值是比較難的.20、（1），；（2）【解題分析】分析：（1）消去參數，即可得到曲線的普通方程；根據極坐標與直角坐標的互化公式，即可求解曲線的直角坐標方程；（2）由（1）得圓的圓心為，半徑為，利用圓的弦長公式，即可求解．詳解：（1），．（2）圓的圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為．所以．點睛：本題主要