2024屆北京市第五十六中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題含解析

2024屆北京市第五十六中學(xué)數(shù)學(xué)高二下期末調(diào)研模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．定義運(yùn)算，則函數(shù)的圖象是（）．A． B．C． D．2．若，則的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A． B． C． D．3．二項(xiàng)式展開式中常數(shù)項(xiàng)等于（）A．60 B．﹣60 C．15 D．﹣154．設(shè)集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,5．設(shè)是兩個(gè)不同的平面，是一條直線，以下命題正確的是（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．若函數(shù)的圖象與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，則與的值分別為（）A． B． C． D．7．若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直，則（）A．1 B． C．2 D．8．在數(shù)列中，，則等于（）A．9 B．10 C．27 D．819．已知A＝B＝｛1，2，3，4，5｝，從集合A到B的映射滿足：①；②的象有且只有2個(gè)，求適合條件的映射的個(gè)數(shù)為()A．10 B．20 C．30 D．4010．已知函數(shù)，則（）A． B． C．1 D．711．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的解析式是（）A．（） B．（）C．（） D．（）12．若函數(shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖所示，AC與BD交于點(diǎn)E，AB∥CD，AC=3，AB=2CD=6，當(dāng)tanA=2時(shí)，=_____．14．已知函數(shù)在處切線方程為,若對(duì)恒成立，則_________.15．設(shè)的三邊長分別為，的面積為，內(nèi)切圓半徑為，則；類比這個(gè)結(jié)論可知：四面體的四個(gè)面的面積分別為，內(nèi)切球的半徑為，四面體的體積為，則__________．16．二項(xiàng)式的展開式中常數(shù)項(xiàng)為______用數(shù)字表示．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)（其中）．（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）求曲線上的直線距離最大的點(diǎn)的直角坐標(biāo).19．（12分）已知函數(shù)在處取到極值.（1）求實(shí)數(shù)的值，并求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值及相應(yīng)的的值.20．（12分）某商家對(duì)他所經(jīng)銷的一種商品的日銷售量（單位：噸）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，最近50天的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表：日銷售量11.52天數(shù)102515頻率0.2ab若以上表中頻率作為概率，且每天的銷售量相互獨(dú)立．（1）求5天中該種商品恰好有兩天的銷售量為1.5噸的概率；（2）已知每噸該商品的銷售利潤為2千元，表示該種商品某兩天銷售利潤的和（單位：千元），求的分布列和數(shù)學(xué)期望．21．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求的最小值；（3）證明：當(dāng)時(shí)，.22．（10分）知函數(shù)，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直.(1)求的解析式；(2)已知,若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn),求的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解題分析】

由已知新運(yùn)算的意義就是取得中的最小值，因此函數(shù)，只有選項(xiàng)中的圖象符合要求，故選A.2、D【解題分析】分析：先求，再求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.詳解：由題得令因?yàn)閤>0，所以x>2.故答案為：D.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求函數(shù)的定義域→求導(dǎo)→解不等式＞0得解集→求,得函數(shù)的單調(diào)遞增（減）區(qū)間.3、A【解題分析】

化簡二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，由此計(jì)算的系數(shù)，從而得出正確選項(xiàng).【題目詳解】當(dāng)時(shí)，即，故常數(shù)項(xiàng)為，選A.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解題分析】

先求出CUA,再求?【題目詳解】由題得CU所以?UA∩B故選：D【題目點(diǎn)撥】本題主要考查補(bǔ)集和交集的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對(duì)這種知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.5、C【解題分析】對(duì)于A、B、D均可能出現(xiàn)，而對(duì)于C是正確的．6、D【解題分析】分析：由題意得，結(jié)合即可求出，同理可得的值.詳解：函數(shù)的圖象與的圖象都關(guān)于直線對(duì)稱，和（）解得和，和時(shí)，；時(shí)，.故選：D.點(diǎn)睛：本題主要考查了三角函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.7、B【解題分析】

求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程組，計(jì)算即可得到結(jié)果【題目詳解】，則，在點(diǎn)處的切線與直線垂直則，，將點(diǎn)代入曲線中有，即，故選【題目點(diǎn)撥】本題主要考查的是利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，兩條直線垂直與斜率的關(guān)系，同時(shí)要求學(xué)生掌握求導(dǎo)法以及兩直線垂直時(shí)斜率滿足的條件。8、C【解題分析】

利用題設(shè)中遞推公式，構(gòu)造等比數(shù)列，求得等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【題目詳解】由題意，在數(shù)列中，，即可得數(shù)列表示首項(xiàng)，公比的等比數(shù)列，所以，故選C.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了等比數(shù)列的定義，以及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等比數(shù)列的定義和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.9、D【解題分析】分析：將元素按從小到大的順序排列，然后按照元素在中的象有且只有兩個(gè)進(jìn)行討論.詳解：將元素按從小到大的順序排列，因恰有兩個(gè)象，將元素分成兩組，從小到大排列，有一組；一組；一組；一組，中選兩個(gè)元素作象，共有種選法，中每組第一個(gè)對(duì)應(yīng)集合中的較小者，適合條件的映射共有個(gè)，故選D.點(diǎn)睛：本題考查映射問題并不常見，解決此類問題要注意：（）分清象與原象的概念；（）明確對(duì)應(yīng)關(guān)系.10、C【解題分析】

根據(jù)題意，由函數(shù)的解析式可得，又由即得到答案?！绢}目詳解】由函數(shù)的解析式可得，又由，則【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)，解答的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)的周期性把轉(zhuǎn)化有具體解析式的范圍內(nèi)。11、A【解題分析】設(shè)，由的圖像可知，函數(shù)的周期為，所以，將代入得，所以，向右平移后得到.12、A【解題分析】

將條件轉(zhuǎn)化為有解，然后利用導(dǎo)數(shù)求出右邊函數(shù)的值域即可.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)至少存在一個(gè)零點(diǎn)所以有解即有解令，則因?yàn)?，且由圖象可知，所以所以在上單調(diào)遞減，令得當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以且當(dāng)時(shí)所以的取值范圍為函數(shù)的值域，即故選：A【題目點(diǎn)撥】1.本題主要考查函數(shù)與方程、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性及簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，屬于中檔題.2.若方程有根，則的范圍即為函數(shù)的值域二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、12【解題分析】分析：根據(jù)余弦定理求出，再由余弦定理可得，根據(jù)平面向量的數(shù)量積公式求解即可.詳解：由,可知，在中，,，，故答案為.點(diǎn)睛：本題主要考查平面向量數(shù)量積公式，余弦定理及特殊角的三角函數(shù)，屬于簡單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.14、【解題分析】

先求出切線方程，則可得到，令，從而轉(zhuǎn)化為在R上恒為增函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性即可得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，故切線方程為，即，令，此時(shí)，由于對(duì)恒成立，轉(zhuǎn)化為，則在R上恒為增函數(shù)，，此時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是在處取得極小值，此時(shí)，而在R上恒為增函數(shù)等價(jià)于在R上恒成立，即即可，由于為極小值，則此時(shí)只能，故答案為2.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)極值，意在考查學(xué)生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度思維較大.15、.【解題分析】

根據(jù)平面和空間的類比推理，由點(diǎn)類比點(diǎn)或直線，由直線類比直線或平面，由內(nèi)切圓類比內(nèi)切球，由平面圖形的面積類比立體圖形的體積，結(jié)合三角形面積的求法求出三棱錐的體積，進(jìn)而求出內(nèi)切球的半徑為.【題目詳解】設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為，則球心到四個(gè)面的距離都為，所以四棱錐的體積等于以為頂點(diǎn)，四個(gè)面為底面的四個(gè)小三棱錐的體積之和，則四面體的體積為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了類比推理.類比推理是指依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對(duì)象的相似性，將已知一類的數(shù)學(xué)對(duì)象的性質(zhì)遷移到另一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象上去.16、-160【解題分析】二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，．令，可得，即展開式中常數(shù)項(xiàng)為．答案：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）或；（2）.【解題分析】

（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)分成三段，討論絕對(duì)值內(nèi)數(shù)的正負(fù)；（2）不等式恒成立問題，轉(zhuǎn)化成解不等式問題.【題目詳解】（1）當(dāng)時(shí)，即．①當(dāng)時(shí)，得：，解得：；②當(dāng)時(shí)，得：，不成立，此時(shí)；③當(dāng)時(shí)，得：成立，此時(shí)．綜上所述，不等式的解集為或．（2）∵，由題意，即：或，解得：或，即：的取值范圍是．【題目點(diǎn)撥】考查用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式、三角不等式求絕對(duì)值函數(shù)的最小值.18、(1)(2)【解題分析】分析：（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式可得曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）直線方程為，設(shè)圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式和三角函數(shù)的性質(zhì)可知滿足題意時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.詳解：（1）因?yàn)?，，，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）直線方程為，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以設(shè)圓上點(diǎn)坐標(biāo)為，則，所以當(dāng)，即時(shí)距離最大，此時(shí)點(diǎn)坐標(biāo)為.點(diǎn)睛：本題主要考查極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，直線與圓的位置關(guān)系，三角函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.19、（1），函數(shù)在單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增（2），此時(shí)；，此時(shí)【解題分析】

（1）先求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的極值的關(guān)系即可求出，（2）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值得關(guān)系即可求出．【題目詳解】解：（1）由條件得，又在處取到極值，故，解得.此時(shí)由，解得或，由，解得，因此，函數(shù)在單調(diào)遞減，在和上單調(diào)遞增.（2）由（1）可知函數(shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.故，此時(shí)；此時(shí).【題目點(diǎn)撥】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問題，最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．20、（1）5.3155；（5）6.5.【解題分析】試題分析：第一問根據(jù)頻率公式求得a=0.5,b=0.3，第二問在做題的過程中，利用題的條件確定銷售量為1．5噸的頻率為0.5，可以判斷出銷售量為1．5噸的天數(shù)服從于二項(xiàng)分布，利用公式求得結(jié)果，第二小問首先確定出兩天的銷售量以及與之對(duì)應(yīng)的概率，再根據(jù)銷售量與利潤的關(guān)系，求得的分布列和，利用離散型隨機(jī)變量的分布列以及期望公式求得結(jié)果．試題解析：（1）由題意知：a=5．5，b=5．3．①依題意，隨機(jī)選取一天，銷售量為1．5噸的概率p=5．5，設(shè)5天中該種商品有X天的銷售量為1．5噸，則X～B（5，5．5），．②兩天的銷售量可能為5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值為5，5，6，7，8，則：，，，，，的分布列為：ξ

5

5

6

7

8

P

5．55

5．5

5．37

5．3

5．59

．考點(diǎn)：獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)，離散型隨機(jī)變量的分布列與期望．21、(1)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.(2)的最小值為.(3)證明見解析.【解題分析】分析：函數(shù)的定義域?yàn)?，?）函數(shù)，據(jù)此可知函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）由題意可知在上恒成立.據(jù)此討論可得的最小值為.（3）問題等價(jià)于.構(gòu)造函數(shù)，則取最小值.設(shè)，則.由于，據(jù)此可知題中的結(jié)論成立.詳解：函數(shù)的定義域?yàn)?，?）函數(shù)，當(dāng)且時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是（2）因在上為減函數(shù)，故在上恒成立.所以當(dāng)時(shí)，，又，故當(dāng)，即時(shí)，.所以，于是，故的最小值為.（3）問題等價(jià)于.令，則，當(dāng)時(shí)，取最小值.設(shè)，則，知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.∴.∵，∴，∴故當(dāng)時(shí)，.點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，所以在歷屆高考中，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查都非常突出，本專題在高考中的命題方向及命題角度從高考來看，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系．(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)．(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題．(4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．22、(1)．(2)或．【解題分析】分析：（1）分別求出與在交點(diǎn)處切線的斜率，從而得到答案；（2）對(duì)求導(dǎo)，分類討論即可.詳解：(1)，，又，，與在交點(diǎn)處的切線相互垂直，,.又在上,，故.(2)由題知.①,即時(shí),令,得;令,得或，在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,故存在使.又，，，在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn),共個(gè)零點(diǎn),不符合題意,舍去.②時(shí),令,得，