河南省長葛市一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

河南省長葛市一中2024屆高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在一個6×6的表格中放3顆完全相同的白棋和3顆完全相同的黑棋，若這6顆棋子不在同一行也不在同一列上，則不同的放法有A．14400種 B．518400種 C．720種 D．20種2．在極坐標系中,已知點,則過點且平行于極軸的直線的方程是()A．B．C．D．3．已知，則方程的實根個數(shù)為，且，則（）A． B． C． D．4．如圖，在三棱錐中，面，是上兩個三等分點，記二面角的平面角為，則（）A．有最大值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最小值5．設函數(shù)f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，若f(1)>1,f(2)=,則()A．a(chǎn)< B．a(chǎn)<且a≠1 C．a(chǎn)>且a<-1 D．-1<a<6．已知集合，，則=（）A． B． C． D．7．若函數(shù)f(x)=x2lnx與函數(shù)A．(-∞,1e2-1e8．參數(shù)方程為參數(shù)表示什么曲線A．一個圓 B．一個半圓 C．一條射線 D．一條直線9．定義在上的函數(shù)，單調(diào)遞增，，若對任意，存在，使得成立，則稱是在上的“追逐函數(shù)”.若，則下列四個命題：①是在上的“追逐函數(shù)”；②若是在上的“追逐函數(shù)”，則；③是在上的“追逐函數(shù)”；④當時，存在，使得是在上的“追逐函數(shù)”.其中正確命題的個數(shù)為（）A．①③ B．②④ C．①④ D．②③10．只用四個數(shù)字組成一個五位數(shù)，規(guī)定這四個數(shù)字必須同時使用，且同一數(shù)字不能相鄰出現(xiàn)，這樣的五位數(shù)有（）A． B． C． D．11．將點的直角坐標(－2，2)化成極坐標得()．A．(4，) B．(－4，) C．(－4，) D．(4，)12．在復平面內(nèi)，復數(shù)（為虛數(shù)單位）對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．二項式的展開式中第10項是常數(shù)項,則常數(shù)項的值是______(用數(shù)字作答).14．已知集合，，則__________．15．已知不等式對于大于的正整數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍為_________.16．已知函數(shù)有六個不同零點，且所有零點之和為3，則的取值范圍為__________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某學校為調(diào)查高三年級學生的身高情況，按隨機抽樣的方法抽取80名學生，得到男生身高情況的頻率分布直方圖（如圖（1））和女生身高情況的頻率分布直方圖（如圖（2））.已知圖（1）中身高在的男生有16名.（1）試問在抽取的學生中，男、女生各有多少名？（2）根據(jù)頻率分布直方圖，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能有多大（百分數(shù)）的把握認為身高與性別有關(guān)？身高身高總計男生女生總計參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：0.400.250.100.0100.0010.7081.3232.7066.63510.82818．（12分）（1）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子至多放1個球，共有多少種放法？（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，共有多少種放法？19．（12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，，是的中點.（1）求三棱錐的體積；（2）求異面直線和所成的角（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）20．（12分）設分別為橢圓的左、右焦點，點為橢圓的左頂點，點為橢圓的上頂點，且.（1）若橢圓的離心率為，求橢圓的方程；（2）設為橢圓上一點，且在第一象限內(nèi)，直線與軸相交于點，若以為直徑的圓經(jīng)過點，證明：點在直線上.21．（12分）已知函數(shù)的定義域為.（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）設實數(shù)為的最大值，若實數(shù)滿足，求的最小值.22．（10分）正項數(shù)列的前項和滿足.（Ⅰ）求，，；（Ⅱ）猜想的通項公式，并用數(shù)學歸納法證明.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解題分析】根據(jù)題意，在6×6的棋盤中，第一顆棋子有6×6種放法，由于任意兩顆棋子不在同一行且不在同一列，則第二顆棋子有5×5種放法，第三顆棋子有4×4種放法，第四顆棋子有3×3種放法，第五顆棋子有2×2種放法，第六顆棋子有1種放法，又由于3顆黑子是相同的，3顆白子之間也是相同的，故6顆棋子不同的排列方法種數(shù)為種；故選A.點睛：在排列組合問題中，遇見元素相同的排列時，一般可以將兩個元素看作不同元素，排列結(jié)束后除以相同元素的全排列即可，比如有兩個元素相同即除以，如三個元素相同即除以.2、A【解題分析】

將點化為直角坐標的點，求出過點且平行于軸的直線的方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程，屬于簡單題?！绢}目詳解】因為點的直角坐標為，此點到軸的距離是，則過點且平行于軸的直線的方程是，化為極坐標方程是故選A.【題目點撥】本題考查極坐標與直角坐標的互化，屬于簡單題。3、A【解題分析】

由與的圖象交點個數(shù)可確定；利用二項式定理可分別求得和的展開式中項的系數(shù)，加和得到結(jié)果.【題目詳解】當時，與的圖象如下圖所示：可知與有且僅有個交點，即的根的個數(shù)為的展開式通項為：當，即時，展開式的項為：又本題正確選項：【題目點撥】本題考查利用二項式定理求解指定項的系數(shù)的問題，涉及到函數(shù)交點個數(shù)的求解；解題關(guān)鍵是能夠?qū)⒍検脚錅悶檎归_項的形式，從而分別求解對應的系數(shù)，考查學生對于二項式定理的綜合應用能力.4、B【解題分析】

將三棱錐放入長方體中，設，，，計算，，則，得到答案.【題目詳解】將三棱錐放入長方體中，設，，，如圖所示：過作平面與，與，連接，則為二面角的平面角，設為，則，，故.同理可得：設二面角的平面角為，.，當，即時等號成立.故選：.【題目點撥】本題考查了二面角，和差公式，均值不等式，意在考查學生的計算能力，空間想象能力和綜合應用能力.5、D【解題分析】

先利用函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集上的以3為周期的奇函數(shù)得f（2）=f（-1）=-f（1），再利用f（1）＞1代入即可求a的取值范圍．【題目詳解】因為函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集上的以3為周期的奇函數(shù)，

所以f（2）=f（-1）=-f（1）．

又因為f（1）＞1，故f（2）＜-1，即＜-1?＜0

解可得-1＜a＜．

故選：D．【題目點撥】本題主要考查了函數(shù)的周期性，以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)和分式不等式的解法，屬于基礎題．6、B【解題分析】

利用集合的基本運算定義即可求出答案【題目詳解】已知集合，，利用集合的基本運算定義即可得：答案：B【題目點撥】本題考查集合的基本運算，屬于基礎題7、B【解題分析】

通過參數(shù)分離得到a=lnx2x-x2lnx【題目詳解】若函數(shù)f(x)=x2lnx2ln設t=t=lnxx?t'=1-lnx畫出圖像：a=t2-

a=t2-t1t2=故答案為B【題目點撥】本題考查了函數(shù)的零點問題，參數(shù)分離換元法是解題的關(guān)鍵.8、C【解題分析】分析：消去參數(shù)t，把參數(shù)方程化為普通方程，即得該曲線表示的是什么圖形.詳解：參數(shù)方程為參數(shù)，消去參數(shù)t，把參數(shù)方程化為普通方程，，即，它表示端點為的一條射線.故選：C.點睛：本題考查了參數(shù)方程的應用問題，解題時應把參數(shù)方程化為普通方程，并且需要注意參數(shù)的取值范圍，是基礎題.9、B【解題分析】

由題意，分析每一個選項，首先判斷單調(diào)性，以及，再假設是“追逐函數(shù)”，利用題目已知的性質(zhì)，看是否滿足，然后確定答案.【題目詳解】對于①，可得，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，此時當k=100時，不存在，故①錯誤；對于②，若是在上的“追逐函數(shù)”，此時，解得，當時，，在是遞增函數(shù)，若是“追逐函數(shù)”則，即，設函數(shù)即，則存在，所以②正確；對于③，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即，當k=4時，就不存在，故③錯誤；對于④，當t=m=1時，就成立，驗證如下：，在是遞增函數(shù)，，若是在上的“追逐函數(shù)”；則存在，使得成立，即此時取即，故存在存在，所以④正確；故選B【題目點撥】本題主要考查了對新定義的理解、應用，函數(shù)的性質(zhì)等，易錯點是對新定義的理解不到位而不能將其轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的關(guān)系，實際上對新定義問題的求解通常是將其與已經(jīng)學過的知識相結(jié)合或?qū)⑵浔硎鲞M行合理轉(zhuǎn)化，從而更加直觀，屬于難題.10、B【解題分析】

以重復使用的數(shù)字為數(shù)字為例，采用插空法可確定符合題意的五位數(shù)的個數(shù)；重復使用每個數(shù)字的五位數(shù)個數(shù)一樣多，通過倍數(shù)關(guān)系求得結(jié)果.【題目詳解】當重復使用的數(shù)字為數(shù)字時，符合題意的五位數(shù)共有：個當重復使用的數(shù)字為時，與重復使用的數(shù)字為情況相同滿足題意的五位數(shù)共有：個本題正確選項：【題目點撥】本題考查排列組合知識的綜合應用，關(guān)鍵是能夠明確不相鄰的問題采用插空法的方式來進行求解；易錯點是在插空時，忽略數(shù)字相同時無順序問題，從而錯誤的選擇排列來進行求解.11、A【解題分析】

由條件求得、、的值，可得的值，從而可得極坐標.【題目詳解】∵點的直角坐標∴，，∴可取∴直角坐標化成極坐標為故選A.【題目點撥】本題主要考查把點的直角坐標化為極坐標的方法，屬于基礎題．注意運用、、(由所在象限確定).12、B【解題分析】

對復數(shù)進行整理化簡，從得到其在復平面所對應的點，得到答案.【題目詳解】復數(shù)，所以復數(shù)在復平面對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B.【題目點撥】本題考查復數(shù)的乘法運算，考查復數(shù)在復平面對應點所在象限，屬于簡單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

利用二項展開式的通項公式求出展開式的第10項，令x的指數(shù)為0，求出n的值，代入即可求解．【題目詳解】∵二項式的展開式中第10項是常數(shù)項，∴展開式的第10項為，∴n-9-3=0，解得n=12，∴常數(shù)值為故答案為：.【題目點撥】本題考查二項式系數(shù)的性質(zhì)，考查對二項式通項公式的運用，屬于基礎題，14、【解題分析】

根據(jù)集合的交集補集運算即可求解.【題目詳解】因為，所以因此.故答案為：【題目點撥】本題主要考查了集合的補集，交集運算，屬于中檔題.15、【解題分析】

先求得的最小值，為此作差，確定的單調(diào)性，得最小，然后解不等式即可?！绢}目詳解】設，，，所以，遞增，最小值；于是有，所以，所以，由且，所以，所以，又因為，所以.故答案為：。【題目點撥】本題考查不等式恒成立問題，解題方法是轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值，本題不等式左邊作為自然數(shù)的函數(shù)，可以看作是數(shù)列的項，因此可用研究數(shù)列單調(diào)性的方法來研究其單調(diào)性，即作差，由差的正負確定數(shù)列的增減，從而確定最小值．16、【解題分析】根據(jù)題意，有，于是函數(shù)關(guān)于對稱，結(jié)合所有的零點的平均數(shù)為，可得，此時問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)，在上與直線有個公共點，此時，當時，函數(shù)的導函數(shù)，于是函數(shù)單調(diào)遞增，且取值范圍是，當時，函數(shù)的導函數(shù)，考慮到是上的單調(diào)遞增函數(shù)，且，于是在上有唯一零點，記為，進而函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在處取得極小值，如圖：接下來問題的關(guān)鍵是判斷與的大小關(guān)系，注意到，，函數(shù)，在上與直線有個公共點，的取值范圍是,故答案為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）男生40名，女生40名；（2）列聯(lián)表見解析，【解題分析】

（1）由圖（1）可知，身高在的男生的頻率為，設抽取的學生中，男生有名，由算出即可（2）由（1）及頻率分布直方圖知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），然后列表算出即可.【題目詳解】解：（1）由圖（1）可知，身高在的男生的頻率為，設抽取的學生中，男生有名，則，解得.所以女生有（名）.（2）由（1）及頻率分布直方圖知，身高的男生有（名），身高的女生有（名），所以可得下列列表：身高身高總計男生301040女生43640總計344680由列聯(lián)表中數(shù)據(jù)得的觀測值為，所以能有的把握認為身高與性別有關(guān).【題目點撥】本題考查的是統(tǒng)計的相關(guān)知識，注意根據(jù)觀察值與臨界值的大小關(guān)系得出結(jié)論，本題較簡單.18、（1）.（2）【解題分析】

（1）把三個不同的小球分別放入5個不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，即可求得答案.（2）因為3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限，所以一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，即可求得答案.【題目詳解】（1）把3個不同的小球分別放入5不同的盒子里(每個盒子至多放一個球)，實際上是從5個位置選3個位置用3個元素進行排列，共有種結(jié)果，共有：方法．（2）3個不同的球放入5個不同的盒子，每個盒子放球量不限一個球一個球地放到盒子里去，每只球都可有5種獨立的放法，由分步乘法計數(shù)原理，放法共有種共有：放法．【題目點撥】本題的求解按照分步計數(shù)原理可先將球分組，選擇盒子，再將球排列到選定的盒子里，這種先選后排的方法是最常用的思路，考查了分析能力和計算能力，屬于中檔題.19、（1）；（2）.【解題分析】

（1）利用三棱錐的體積計算公式即可得出；（2）由于，可得或其補角為異面直線和所成的角，由平面，可得，再利用直角三角形的邊角關(guān)系即可得出【題目詳解】（1）平面，底面ABCD是矩形，高，，，，故（2），或其補角為異面直線和所成的角，又平面ABCD，，又，平面PAB，，于是在中，，，，異面直線和所成的角是【題目點撥】本題考查三棱錐體積公式的計算，異面直線所成的夾角，屬于基礎題20、（1）；（2