2024屆河北省深州市長江中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題含解析

2024屆河北省深州市長江中學高二數(shù)學第二學期期末綜合測試模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)為內(nèi)的奇函數(shù)，且當時，，記，則間的大小關系是（）A． B．C． D．2．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且側(cè)棱垂直于底面）高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）A． B． C． D．3．下圖是一個算法流程圖，則輸出的x值為A．95 B．47 C．23 D．114．已知，，是不全相等的正數(shù)，則下列命題正確的個數(shù)為()①；②與及中至少有一個成立；③，，不能同時成立．A． B． C． D．5．對于實數(shù)x，符號[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如[π]=3，[﹣1.08]=﹣2，定義函數(shù)f（x）=x﹣[x]，則下列命題中正確的是①函數(shù)f（x）的最大值為1；②函數(shù)f（x）的最小值為0；③方程有無數(shù)個根；④函數(shù)f（x）是增函數(shù)．A．②③ B．①②③ C．② D．③④6．A． B． C． D．7．定義在上的函數(shù)的導函數(shù)為，若對任意實數(shù)，有，且為奇函數(shù)，則不等式的解集為A． B． C． D．8．已知集合,集合,則A． B． C． D．9．展開式中的常數(shù)項為A．B．C．D．10．如果點位于第三象限，那么角所在象限是（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知n元均值不等式為：，其中均為正數(shù)，已知球的半徑為R，利用n元均值不等式求得球的內(nèi)接正四棱錐的體積的最大值為

A． B． C． D．12．設關于的不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點滿足，則的取值范圍是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，則向量的單位向量______．14．為了了解家庭月收入（單位：千元）與月儲蓄（單位：千元）的關系，從某居民區(qū)隨機抽取10個家庭，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出與之間具有線性相關關系，其回歸直線方程為，若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，據(jù)此估計該家庭的月儲蓄為__________千元.15．在空間中，已知一個正方體是12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于，則______．16．已知變量，滿足約束條件，設的最大值和最小值分別是和，則__________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2019年某地初中畢業(yè)升學體育考試規(guī)定：考生必須參加長跑.擲實心球.1分鐘跳繩三項測試，三項測試各項20分，滿分60分．某學校在初三上學期開始時，為掌握全年級學生1分鐘跳繩情況，按照男女比例利用分層抽樣抽取了100名學生進行測試，其中女生54人，得到下面的頻率分布直方圖，計分規(guī)則如表1：（1）規(guī)定：學生1分鐘跳繩得分20分為優(yōu)秀，在抽取的100名學生中，男生跳繩個數(shù)大等于185個的有28人，根據(jù)已知條件完成表2，并根據(jù)這100名學生測試成績，能否有99%的把握認為學生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關？附：參考公式臨界值表：（2）根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步．假設今年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上學期開始時個數(shù)增加10個，全年級恰有2000名學生，所有學生的跳繩個數(shù)X服從正態(tài)分布N（μ，σ2）（用樣本數(shù)據(jù)的平值和方差估計總體的期望和方差，各組數(shù)據(jù)用中點值代替）①估計正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數(shù)（結果四舍五入到整數(shù)）；②若在全年級所有學生中任意選取3人，正式測試時1分鐘跳195個以上的人數(shù)為ξ，求ξ占的分布列及期望．18．（12分）如圖，在正四棱錐中，為底面的中心，已知，點為棱上一點，以為基底，建立如圖所示的空間直角坐標系．（1）若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；（2）設二面角的平面角為，且，試判斷點的位置．19．（12分）設復數(shù)（其中），．（Ⅰ）若是實數(shù)，求的值；（Ⅱ）若是純虛數(shù)，求．20．（12分）給出下列不等式：，，，，（1）根據(jù)給出不等式的規(guī)律，歸納猜想出不等式的一般結論；（2）用數(shù)學歸納法證明你的猜想.21．（12分）在直角坐標系中，設傾斜角為的直線（為參數(shù)）與曲線（為參數(shù)）相交于不同的兩點.（1）若，求線段中點的坐標；（2）若，其中，求直線的斜率.22．（10分）求的二項展開式中的第5項的二項式系數(shù)和系數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解題分析】

根據(jù)奇函數(shù)解得，設，求導計算單調(diào)性和奇偶性，根據(jù)性質(zhì)判斷大小得到答案.【題目詳解】根據(jù)題意得，令.則為內(nèi)的偶函數(shù)，當時，，所以在內(nèi)單調(diào)遞減又，故，選D.【題目點撥】本題考查了函數(shù)的奇偶性單調(diào)性，比較大小，構造函數(shù)是解題的關鍵.2、C【解題分析】

根據(jù)正四棱柱的底面是正方形,高為4,體積為16,求得底面正方形的邊長,再求出其對角線長,然后根據(jù)正四棱柱的體對角線是外接球的直徑可得球的半徑,再根據(jù)球的表面積公式可求得.【題目詳解】依題意正四棱柱的體對角線是其外接球的直徑,的中點是球心,如圖:依題意設,則正四棱柱的體積為:,解得,所以外接球的直徑,所以外接球的半徑,則這個球的表面積是.故選C.【題目點撥】本題考查了球與正四棱柱的組合體,球的表面積公式,正四棱柱的體積公式,屬中檔題.3、B【解題分析】運行程序，，判斷是，，，判斷是，，判斷是，，判斷是，，判斷否，輸出.4、C【解題分析】

①假設等式成立，由其推出a、b、c的關系，判斷與題干是否相符；②假設其全部不成立，由此判斷是否存在符合條件的數(shù)；③舉例即可說明其是否能夠同時成立.【題目詳解】對①，假設（a-b）2+（b-c）2+（c-a）2=0?a=b=c與已知a、b、c是不全相等的正數(shù)矛盾，∴①正確；

對②，假設都不成立，這樣的數(shù)a、b不存在，∴②正確；

對③，舉例a=1，b=2，c=3，a≠c，b≠c，a≠b能同時成立，∴③不正確．

故選C．【題目點撥】本題考查命題真假的判斷，利用反證法、分析法等方式即可證明，有時運用舉例說明的方式更快捷.5、A【解題分析】

本題考查取整函數(shù)問題，在解答時要先充分理解[x]的含義，根據(jù)解析式畫出函數(shù)的圖象，結合圖象進行分析可得結果．【題目詳解】畫出函數(shù)f(x)=x?[x]的圖象，如下圖所示．由圖象得，函數(shù)f(x)的最大值小于1，故①不正確；函數(shù)f(x)的最小值為0，故②正確；函數(shù)每隔一個單位重復一次，所以函數(shù)有無數(shù)個零點，故③正確；函數(shù)f(x)有增有減，故④不正確．故答案為②③．【題目點撥】本題難度較大，解題的關鍵是正確理解所給函數(shù)的意義，然后借助函數(shù)的圖象利用數(shù)形結合的方法進行求解．6、D【解題分析】分析：根據(jù)公式，可直接計算得詳解：，故選D.點睛：復數(shù)題是每年高考的必考內(nèi)容，一般以選擇或填空形式出現(xiàn)，屬簡單得分題，高考中復數(shù)主要考查的內(nèi)容有：復數(shù)的分類、復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)，復數(shù)的模及復數(shù)的乘除運算，在解決此類問題時，注意避免忽略中的負號導致出錯.7、B【解題分析】

構造函數(shù)，則得的單調(diào)性，再根據(jù)為奇函數(shù)得，轉(zhuǎn)化不等式為，最后根據(jù)單調(diào)性性質(zhì)解不等式.【題目詳解】構造函數(shù)，則，所以在上單獨遞減，因為為奇函數(shù)，所以.因此不等式等價于，即，選B.【題目點撥】利用導數(shù)解抽象函數(shù)不等式，實質(zhì)是利用導數(shù)研究對應函數(shù)單調(diào)性，而對應函數(shù)需要構造.構造輔助函數(shù)常根據(jù)導數(shù)法則進行：如構造，構造，構造，構造等8、D【解題分析】，，則，選D.9、B【解題分析】解：因為則可知展開式中常數(shù)項為,選B10、B【解題分析】

由二倍角的正弦公式以及已知條件得出和的符號，由此得出角所在的象限.【題目詳解】由于點位于第三象限，則，得，因此，角為第二象限角，故選B.【題目點撥】本題考查角所在象限的判斷，解題的關鍵要結合已知條件判斷出角的三角函數(shù)值的符號，利用“一全二正弦，三切四余弦”的規(guī)律判斷出角所在的象限，考查推理能力，屬于中等題.11、A【解題分析】

先根據(jù)球和正四棱錐的內(nèi)接關系求出半徑與邊長的關系式，寫出體積公式，利用n元均值不等式可求最大值.【題目詳解】設正四棱錐的底面邊長為，高為，則有，解得；正四棱錐的體積，當且僅當時取到最大值，故選A.【題目點撥】本題主要考查四棱錐體積的求解和n元均值不等式的應用，側(cè)重考查數(shù)學抽象和數(shù)學運算的核心素養(yǎng).12、D【解題分析】

由約束條件，作出可行域如上圖所示陰影部分，要使可行域存在，必有，可行域包括上的點，只要邊界點在直線的上方，且在直線的下方，故有，解得，選D.點睛：平面區(qū)域的最值問題是線性規(guī)劃的一類重要題型，在解答本題時，關鍵是畫好可行域，分析目標函數(shù)的幾何意義，然后利用數(shù)形結合的思想，找出點的坐標，即可求出答案．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解題分析】

計算出，從而可得出，即可求出向量的坐標.【題目詳解】，，因此，向量的單位向量.故答案為：.【題目點撥】本題考查與非零向量同向的單位向量坐標的計算，熟悉結論“與非零向量同向的單位向量為”的應用是解題的關鍵，考查計算能力，屬于基礎題.14、【解題分析】

直接代入即得答案.【題目詳解】由于，代入，于是得到，故答案為1.7.【題目點撥】本題主要考查線性回歸方程的理解，難度很小.15、【解題分析】

畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于,在可求得.【題目詳解】畫出幾何圖形,可知面與12條棱所在的直線與一個平面所成的角都等于正方體面,與面所成的角為不妨設正方體棱長為,故在中由勾股定理可得:故答案為:.【題目點撥】本題考查了線面角求法,根據(jù)體積畫出幾何圖形,掌握正方體結構特征是解本題的關鍵.屬于基礎題.16、【解題分析】

在平面直角坐標系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，可以發(fā)現(xiàn)變量，都是正數(shù)，故令，這樣根據(jù)的幾何意義，可以求出的取值范圍，利用表示出，利用函數(shù)的性質(zhì)，可以求出的最值，最后計算出的值.【題目詳解】在平面直角坐標系內(nèi)，畫出不等式組所表示的平面區(qū)域，如下圖所示：從圖中可知：變量，都是正數(shù)，令，它表示不等式組所表示的平面區(qū)域內(nèi)的點與原點的連線的斜率，解方程組：，可得點，解方程組：，可得點，所以有，因此，，，故.【題目點撥】本題考查了不等式所表示的平面區(qū)域，考查了斜率模型，考查了數(shù)形結合思想.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不能有的把握認為認為學生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關；（2）①，②分布列見解析，期望值為.【解題分析】

（1）根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)填寫好聯(lián)表，通過計算出，由此判斷不能有99%的把握認為認為學生分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關.（2）根據(jù)頻率分布計算出平均數(shù)和方差，由此求得正態(tài)分布，計算出的概率，進而估計出個以上的人數(shù).利用二項分布概率計算公式計算出概率，由此求得分布列和數(shù)學期望.【題目詳解】（1）表2如下圖所示：由公式可得因為所以不能有99%的把握認為認為學生1分鐘跳繩成績優(yōu)秀與性別有關.（2）①而，故服從正態(tài)分布,故正式測試時，1分鐘跳182個以上的人數(shù)約為1683人.②,服從的分布列為：0123P【題目點撥】本小題主要考查列聯(lián)表獨立性檢驗，考查正態(tài)分布均值和方差的計算，考查二項分布分布列和數(shù)學期望的求法，屬于中檔題.18、（1）；（2）點位于棱的三等分點處.【解題分析】

先由題意，得到，，，的坐標，以及向量，的坐標；（1）根據(jù)題中條件，得到，求出平面的一個法向量，根據(jù)，結合題中條件，即可求出結果；（2）先由題意，得到存在實數(shù)，使得，進而得到，分別求出平面和平面的一個法向量，根據(jù)向量夾角公式，結合題中條件，列出等式，求出，即可得出結果.【題目詳解】由題意，可得，，，，則，，（1）因為為的中點，所以，因此，設平面的一個法向量為，則，即，令，則，即，設直線與平面所成角，則；（2）因為點為棱上一點，所以存在實數(shù)，使得，則，即；所以，；因為平面與平面是同一平面，因此其一個法向量為；設平面的一個法向量為，則，即，則，令，則，即，因為二面角的平面角為，且，所以，解得：或，即或，因此，點位于棱的三等分點處.【題目點撥】本題主要考查求線面角，以及已知二面角的余弦值求其它量的問題，靈活運用空間向量的方法求解即可，屬于?？碱}型.19、（Ⅰ）22＋4i（Ⅱ）【解題分析】

（Ⅰ）利用復數(shù)z1＋z2是實數(shù)，求得a＝4，之后應用復數(shù)乘法運算法則即可得出結果；（Ⅱ）利用復數(shù)的除法運算法則，求得，利用復數(shù)是純虛數(shù)的條件求得的值，之后應用復數(shù)模的公式求得結果【題目詳解】（Ⅰ）∵z1＋z2＝5＋（a－4）i是實數(shù)，∴a＝4，z1＝2＋4i，∴z1z2＝（2＋4i）（3－4i）＝22＋4i；（Ⅱ）∵是純虛數(shù)，∴，故．【題目點撥】該題考查的是有關復數(shù)的問題，涉及到的知識點有復數(shù)是實數(shù)的條件，復數(shù)的乘法運算法則，復數(shù)的除法運算，復數(shù)的模，屬于簡單題目.20、（1）（2）見解析【解題分析】

（1）猜想不等式左邊最后一個數(shù)分母，對應各式右端為，即得解；（2）遞推部分，利用時結論，替換括號內(nèi)部分即得證.