山西省太原市小店區(qū)一中2024屆數(shù)學高二下期末經(jīng)典試題含解析

山西省太原市小店區(qū)一中2024屆數(shù)學高二下期末經(jīng)典試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在曲線的圖象上取一點及附近一點，則為（）A． B．C． D．2．已知函數(shù)，若，，，則，，的大小關系是（）A． B． C． D．3．設集合A=1,2,4，B=3,4，則集合A．4 B．1,4 C．2,3 D．1,2,3,44．等比數(shù)列的前項和為，已知，，則（）A．270 B．150 C．80 D．705．《九章算術》中，將底面是直角三角形的直三梭柱稱之為“塹堵”.已知某“塹堵”的三視圖如圖所示，則該“塹堵”的表面積為()A． B． C． D．6．若圓錐的高為，底面半徑為，則此圓錐的表面積為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b，m,n滿足m<n且f(m)=n-m，f(n)=m-nA．f(x)+x<n B．f(x)+x>mC．f(x)-x<0 D．f(x)-x>08．函數(shù)過原點的切線的斜率為（）A． B．1 C． D．9．設實數(shù)，則下列不等式一定正確的是()A． B．C． D．10．設集合U=x1≤x≤10,x∈Z，A=1,3,5,7,8，B=2,4,6,8A．2,4,6,7 B．2,4,5,9 C．2,4,6,8 D．2,4,6,11．如圖程序框圖的算法思路源于我國古代數(shù)學名著《九章算術》中的“更相減損術”，執(zhí)行該程序框圖，若輸入的，分別為63，98，則輸出的（）A．9 B．3 C．7 D．1412．已知直線經(jīng)過拋物線的焦點，與交于兩點，若，則的值為（）A． B． C．1 D．2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設函數(shù)，.若，且的最小值為-1，則實數(shù)的值為__________．14．正方體中，異面直線和所成角的大小為________15．已知為實數(shù)，若復數(shù)是純虛數(shù)，則__________．16．若展開式中的第7項是常數(shù)項，則n的值為______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已經(jīng)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調區(qū)間；（2）若函數(shù)在處取得極值，對恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）若，且.（Ⅰ）求實數(shù)的值;（Ⅱ）求的值.19．（12分）已知函數(shù)，其對稱軸為y軸（其中為常數(shù)）.（1）求實數(shù)的值；（2）記函數(shù)，若函數(shù)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍；（3）求證：不等式對任意成立.20．（12分）如圖，圓錐的頂點是S，底面中心為O，OC是與底面直徑AB垂直的一條半徑，D是母線SC的中點．設圓往的高為4，異面直線AD與BC所成角為，求圓錐的體積；當圓錐的高和底面半徑是中的值時，求二面角的大小．21．（12分）為調查人們在購物時的支付習慣，某超市對隨機抽取的600名顧客的支付方式進行了統(tǒng)計，數(shù)據(jù)如下表所示：支付方式微信支付寶購物卡現(xiàn)金人數(shù)200150150100現(xiàn)有甲、乙、丙三人將進入該超市購物，各人支付方式相互獨立，假設以頻率近似代替概率.（1）求三人中使用微信支付的人數(shù)多于現(xiàn)金支付人數(shù)的概率；（2）記X為三人中使用支付寶支付的人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學期望.22．（10分）已知曲線的極坐標方程為，直線，直線．以極點為原點，極軸為軸正半軸建立平面直角坐標系．（1）求直線的直角坐標方程以及曲線的參數(shù)方程；（2）已知直線與曲線交于兩點，直線與曲線交于兩點，求的周長．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解題分析】

求得的值，再除以，由此求得表達式的值.【題目詳解】因為，所以．故選C.【題目點撥】本小題主要考查導數(shù)的定義，考查平均變化率的計算，屬于基礎題.2、D【解題分析】

可以得出，從而得出c＜a，同樣的方法得出a＜b，從而得出a，b，c的大小關系．【題目詳解】,,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調性得到a>c,,又因為，，再由對數(shù)函數(shù)的單調性得到a<b,∴c＜a，且a＜b；∴c＜a＜b．故選D．【題目點撥】考查對數(shù)的運算性質，對數(shù)函數(shù)的單調性．比較兩數(shù)的大小常見方法有：做差和0比較，做商和1比較，或者構造函數(shù)利用函數(shù)的單調性得到結果.3、A【解題分析】

利用交集的運算律可得出集合A∩B?！绢}目詳解】由題意可得A∩B=4，故選：A【題目點撥】本題考查集合的交集運算，考查計算能力，屬于基礎題。4、B【解題分析】

根據(jù)題意等比數(shù)列的公比，由等比數(shù)列的性質有，成等比數(shù)列，可得答案.【題目詳解】根據(jù)題意等比數(shù)列的公比.由等比數(shù)列的性質有，成等比數(shù)列所以有，則，所以，故選：B【題目點撥】本題考查等比數(shù)列的前項和的性質的應用,屬于中檔題.5、D【解題分析】分析：先還原幾何體，再根據(jù)棱柱各面形狀求面積.詳解：因為幾何體為一個以俯視圖為底面的三棱柱，底面直角三角形的兩直角邊長為2和，所以棱柱表面積為，選D.點睛：空間幾何體表面積的求法(1)以三視圖為載體的幾何體的表面積問題，關鍵是分析三視圖確定幾何體中各元素之間的位置關系及數(shù)量．(2)多面體的表面積是各個面的面積之和；組合體的表面積注意銜接部分的處理．(3)旋轉體的表面積問題注意其側面展開圖的應用．6、B【解題分析】

根據(jù)圓錐的高和底面半徑求出母線長，分別求出圓錐側面積和底面積，加和得到結果.【題目詳解】由題意可得圓錐的母線長為：圓錐側面積為：；底面積為：圓錐表面積為：本題正確選項：【題目點撥】本題考查圓錐表面積的求解，關鍵是熟練掌握圓錐側面積公式，屬于基礎題.7、A【解題分析】

設A(m,n-m)，B(n,m-n)，求出直線AB的方程，根據(jù)f(x)的開口方向可得到f(x)與直線AB【題目詳解】設A(m,n-m)，B(n,m-n)，則直線AB的方程為y=-2x+m+n，即A,B為直線y=-2x+m+n與f(x)的圖像的兩個交點，由于f(x)圖像開口向上，所以當m<x<n時，f(x)<-2x+m+n，即f(x)+x<-x+m+n<n【題目點撥】本題主要考查二次函數(shù)與一次函數(shù)的關系，求出AB直線是解決本題的關鍵，意在考查學生的轉化能力，邏輯推理能力及計算能力，難度中等.8、A【解題分析】分析：設切點坐標為（a，lna），求函數(shù)的導數(shù)，可得切線的斜率，切線的方程，代入（0，0），求切點坐標，切線的斜率．詳解：設切點坐標為（a，lna），∵y=lnx，∴y′=，切線的斜率是，切線的方程為y﹣lna=（x﹣a），將（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，∴切線的斜率是=故選：A．點睛：與導數(shù)幾何意義有關問題的常見類型及解題策略①已知切點求切線方程．解決此類問題的步驟為：①求出函數(shù)在點處的導數(shù)，即曲線在點處切線的斜率；②由點斜式求得切線方程為．②已知斜率求切點．已知斜率，求切點，即解方程.③求切線傾斜角的取值范圍．先求導數(shù)的范圍，即確定切線斜率的范圍，然后利用正切函數(shù)的單調性解決．9、D【解題分析】

對4個選項分別進行判斷，即可得出結論．【題目詳解】解：由于a＞b＞0，，A錯；當0＜c＜1時，ca＜cb；當c＝1時，ca＝cb；當c＞1時，ca＞cb，故ca＞cb不一定正確，B錯；a＞b＞0，c＞0，故ac﹣bc＞0，C錯．，D對；故選D．【題目點撥】本題考查不等式的性質，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．10、D【解題分析】

先求出CUA,再求?【題目詳解】由題得CU所以?UA∩B故選：D【題目點撥】本題主要考查補集和交集的運算，意在考查學生對這種知識的理解掌握水平，屬于基礎題.11、C【解題分析】由，不滿足，則變?yōu)?，由，則變?yōu)?，由，則，由，則，由，則，由，則，由，退出循環(huán)，則輸出的值為，故選C.12、B【解題分析】試題分析：因為拋物線的焦點為，則由題意，得①．又由，得，所以②，由①②得，故選B．考點：1、直線與拋物線的位置關系；2、弦長公式．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解題分析】分析：先表示函數(shù)，再利用導數(shù)求函數(shù)最小值，最后根據(jù)的最小值為-1得實數(shù)的值.詳解：因為，設，則所以因為，所以當時，；當時，；即當時，.點睛：兩函數(shù)關系問題，首先要構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，進而得出相應的含參不等式或方程，從而求出參數(shù)的取值范圍或值.14、.【解題分析】分析：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質得到線面垂直進而得到線線垂直.詳解：連接，三角形是直角三角形，根據(jù)正方形的性質得到，，而于點，故垂直于面，進而得到.故兩者夾角為.故答案為.點睛：這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內(nèi)，轉化為平面角的問題；或者證明線面垂直進而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的情況.15、-3【解題分析】

利用復數(shù)的除法、乘法運算整理可得：，利用復數(shù)是純虛數(shù)列方程可得：，問題得解．【題目詳解】若復數(shù)是純虛數(shù)，則解得：故填：【題目點撥】本題主要考查了復數(shù)的乘法、除法運算，還考查了純虛數(shù)的概念及方程思想，屬于基礎題．16、【解題分析】

利用二項展開式得出第七項x的指數(shù)，利用指數(shù)為零，求出的值．【題目詳解】解：的展開式的第七項為，由于第七項為常數(shù)項，則，解得，故答案為：1．【題目點撥】本題考查二項式定理，考查對公式的理解與應用，屬于基礎題．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)①當時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；②當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.(2).【解題分析】

分析：（Ⅰ）求出導函數(shù)，由于定義域是，可按和分類討論的正負，得單調區(qū)間．（Ⅱ）由函數(shù)在處取極值得且可得的具體數(shù)值，而不等式可轉化為，這樣只要求得的最小值即可．詳解：（Ⅰ）在區(qū)間上，.①若，則，是區(qū)間上的減函數(shù)；②若，令得.在區(qū)間上，，函數(shù)是減函數(shù)；在區(qū)間上，，函數(shù)是增函數(shù)；綜上所述，①當時，的遞減區(qū)間是，無遞增區(qū)間；②當時，的遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是．（II）因為函數(shù)在處取得極值，所以解得，經(jīng)檢驗滿足題意．由已知，則令，則易得在上遞減，在上遞增，所以，即.點睛：本題考查用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間、函數(shù)極值，用導數(shù)研究不等式恒成立問題．不等式恒成立通常通過分離參數(shù)法轉化為求函數(shù)的最值．18、(Ⅰ)；(Ⅱ)2【解題分析】

（Ⅰ）解法1：將展開，找出項的系數(shù)表達式，結合條件列方程求出的值；解法2：利用二項式定理寫出的通項，令的指數(shù)為，列方程求出參數(shù)的值，再將參數(shù)代入通項得出的系數(shù)的表達式，結合條件列方程求出實數(shù)的值；（Ⅱ）解法1：令代入題干等式求出的值，再令可得出的值，減去可得出，再乘以可得出答案；解法2：利用二項式定理求出、、、、、、的值，代入代數(shù)式可得出答案?！绢}目詳解】（Ⅰ）解法1：因為，所以，解法2：，，所以。（Ⅱ）解法1：當時，，當時，，，；解法2：由二項展開式分別算出，代入得：。【題目點撥】本題考查二項式定理的應用，考查二項式指定項的系數(shù)問題，考查項的系數(shù)和問題，一般利用賦值法來求解，考查計算能力，屬于中等題。19、（1）（2）（3）證明見解析【解題分析】

（1）由二次函數(shù)的性質可知對稱軸為,則,即可求解；（2）由（1）,則,轉化函數(shù)有兩個不同的零點為方程有兩個不相等的實數(shù)根,則,進而求解即可；（3）將與分別代入中可得,利用配方法證明即可.【題目詳解】（1）解:因為的對稱軸為軸,而的對稱軸為,所以有,所以（2）解:依題意有兩個不同的零點,即關于的方程有兩個不相等的實數(shù)根,所以,即,則（3）證明:因為恒成立,所以對恒成立【題目點撥】本題考查二次函數(shù)的圖象與性質的應用,考查二次函數(shù)零點的個數(shù)的問題,考查不等式恒成立的證明.20、（1）；（2）.【解題分析】

建立空間直角坐標系，利用空間直角坐標系的數(shù)量積求出底面半徑，然后求體積．求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出二面角的大?。绢}目詳解】建立如圖坐標系，設底面半徑為r，由高為得：，則，因為異面直線與所成角為，所以，解得，所以圓錐的體積．，，設平面的法向量，則，取，得，設平面的法向量，則，取，得，設二面角的大小為，則，所以，所以二面角的大小為．【題目點撥】本題考查圓錐的體積的求法，考查二面角的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題．計算二面角的時候，可以借助構建空間直角坐標系，然后利用向量的數(shù)量積求出結果．21、（1）55108【解題分析】

（1）根據(jù)表格，得出顧客使用微信、支付寶、購物卡和現(xiàn)金支付的概率，之后應用互斥事件有一個發(fā)生的概率和獨立事件同時發(fā)生的概率公式求得結果；（2）利用二項分布求得結果.【題目詳解】(1)由表格得顧客使用微信、支付寶、購物卡和現(xiàn)金支付的概率分別為13設Y為三人中使用微信支付的人數(shù)，Z為使用現(xiàn)金支付的人數(shù)，事件A為“三人中使用微信支付的人數(shù)多于現(xiàn)金支付人數(shù)”，則P(A)=P(Y=3)+P(Y=2)+P(Y=1且Z=0)=（=127(2)由題意可知X~X0123P272791E(X)=3×【題目點撥】該題考查的是有關概率的問題，涉及到的知識點有獨立事件同時發(fā)生的概率公式，互斥事件有一個發(fā)生的概率公式，獨立重