【數(shù)學】廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學年高一上學期1月期末質(zhì)量監(jiān)測試題（解析版）

廣東省深圳市龍崗區(qū)2023-2024學年高一上學期1月期末質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.化簡的值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故選：D.2.設集合，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因為，所以.故選：B.3.當a>1時，在同一直角坐標系中，函數(shù)與的圖像是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】依題意可將指數(shù)函數(shù)化為，由可知；由指數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞減，且過定點，即可排除BD，由對數(shù)函數(shù)圖象性質(zhì)可得為單調(diào)遞增，且過定點，排除C.故選：A.4.已知命題“”是真命題，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因為命題“”是真命題，所以，解得，所以實數(shù)a的取值范圍是.故選：D.5.“且”是“為第四象限角”的（）A.充要條件 B.必要不充分條件C.充分不必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】充分性：因為，所以為第一象限角或第四象限角或終邊在軸的非負半軸，又，則，所以為第三象限角或第四象限角或終邊在軸的非正半軸，綜上知，為第四象限角，故充分性成立；必要性：若為第四象限角，則且，此時，故必要性成立，故“且”是“為第四象限角”的充要條件.故選：A.6.已知且，則的值是（）A. B. C.1 D.3【答案】C【解析】令，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，由，得，所以，所以.故選：C.7.已知角，終邊上有一點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，所以所以點在第二象限，由已知得所以.故選：A.8.設函數(shù)，對任意給定的，都存在唯一的，使得成立，則a的最小值是（）A. B.1 C. D.2【答案】C【解析】令，開口向上且對稱軸為，則在上遞增，故對應值域為，由解析式可得函數(shù)大致圖象如下：令，則或時有一個解；時有兩個解，結(jié)合圖象，當，則，此時有兩個解；當，則或，此時有兩個解；當，則，此時有一個解；任意給定的，存在唯一的使成立，所以，且是的子集，所以，即.故選：C.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知a，b，c為實數(shù)，則下列命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，，則 D.若，則【答案】ACD【解析】對于A，若，則，所以，故A正確；對于B，當時，若，則，故B錯誤；對于C，若，，則，故C正確；對于D，若，則，故D正確故選：ACD.10.在中，下列等式恒成立的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】對于A，，A正確；對于B，，B錯誤；對于C，，C正確；對于D，，D錯誤.故選：AC.11.，和是方程的兩個根，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】由，則，則，且，則，由，A對，B、C錯；由，則，當且僅當時取等號，故，D對.故選：AD.12.設，則下列選項中正確的有（）A.與的圖象有兩個交點，則B.方程有三個實數(shù)根，則C.的解集是D.的解集是【答案】ABD【解析】由函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象如下，要使與的圖象有兩個交點，則，A對；方程有三個實數(shù)根，則，B對；由圖象知：的解集是，C錯；令，由，則，而，所以，則或，可得或，故解集是，D對.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的定義域是____________.【答案】【解析】要使有意義，只需，解得，故函數(shù)的定義域為.故答案為：.14.如圖1，折扇又名“撒扇”“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，?紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，其展開的平面圖如圖2的扇形AOB，其中，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）的面積是_________．【答案】【解析】由題設，，則扇面（曲邊四邊形ABDC）面積.故答案為：.15.設，則a，b，c的大小關(guān)系為____________．【答案】【解析】，，，所以.故答案為：.16.對任意，恒有，對任意，現(xiàn)已知函數(shù)的圖像與有4個不同的公共點，則正實數(shù)的值為__________.【答案】【解析】，，，令，則有，任意，恒有，則函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，函數(shù)是以2為周期的周期函數(shù)，在同一直角坐標系下作出函數(shù)與的圖像，如圖所示：函數(shù)的圖像與有4個不同的公共點，由圖像可知，的圖像函數(shù)在上的圖像相切，由，消去得，則，解得.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，集合．（1）當時，求；（2）若，求實數(shù)m的取值范圍．解：（1）由題設，且或，所以.（2）由，則，可得.18.函數(shù)（其中）的部分圖象如圖所示，先把函數(shù)的圖象上的各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），把得到的曲線向左平移個單位長度，再向上平移1個單位，得到函數(shù)的圖象．（1）求函數(shù)圖象的對稱中心；（2）當時，求的值域．解：（1）由題設及圖知：且，則，所以，而且，則，綜上，，函數(shù)的圖象上的各點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得，把曲線向左平移個單位長度，再向上平移1個單位，得，令，則，即圖象對稱中心為.（2）由，則，故，所以的值域為.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上單調(diào)性，并用定義證明；（3）解關(guān)于的不等式：.解：（1）因為函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，即，可得，則，所以，，則，因此，.（2）證明：函數(shù)在上是增函數(shù)，證明如下：任取、且，則，因，則，，故，即，因此，函數(shù)在上是增函數(shù).（3）因為函數(shù)是上的奇函數(shù)且為增函數(shù)，由得，由已知可得，解得，因此，不等式的解集為.20.已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的對稱軸方程；（3）求函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間.解：（1）依題意，，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，，由，得，所以函數(shù)的對稱軸方程是.（3）由（1）知，，當時，，由，解得，由，解得，所以函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.21.黨的二十大報告指出：必須堅持科技是第一生產(chǎn)力、人才是第一資源、創(chuàng)新是第一動力．科技興則民族興，科技強則國家強.2023年9月，華為Mate60系列的發(fā)布再次引發(fā)了廣泛關(guān)注，它不僅展示了中國科技產(chǎn)業(yè)的不斷進步和發(fā)展，更體現(xiàn)了中國人民自主創(chuàng)新、頑強不屈的精神．某芯片企業(yè)原有400名技術(shù)人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術(shù)人員分成技術(shù)人員和研發(fā)人員，其中技術(shù)人員名，調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術(shù)人員的年人均投入調(diào)整為萬元．（1）若要使調(diào)整后研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，求調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？（2）為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術(shù)人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下三個條件：①技術(shù)人員不少于100人，不多于275人；②研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入；③技術(shù)人員的年人均投入始終不減少．請問是否存在這樣的實數(shù)，滿足以上兩個條件，若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由．解：（1）依題意可得調(diào)整后研發(fā)人員的年人均投入為萬元，則，整理得，解得，故，所以要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調(diào)整前400名技術(shù)人員的年總投入，調(diào)整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為25人．（2）由條件②研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術(shù)人員的年總投入，得，上式兩邊同除以得，整理得；由條件③技術(shù)人員年人均投入不減少，得，解得；由條件①得，假設存在這樣的實數(shù)，使得技術(shù)人員在已知范圍內(nèi)調(diào)整后，滿足以上三個條件，即恒成立，因為，當且僅當，即時等號成立，所以，又因為，當時，取得最大值，所以，所以，即，即存在這樣的滿足條件，其范圍為．22.已知函數(shù)．（1）當