【數學】云南省曲靖市2024屆高三上學期第一次質量監(jiān)測試題（解析版）

成就未來，新教育伴你成長聯系電話：400-186-9786云南省曲靖市2024屆高三上學期第一次質量監(jiān)測數學試題一、選擇題1.在復平面內，復數對應的向量分別是，其中是坐標原點，則向量對應的復數為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由題設，則，所以向量對應的復數為.故選：D.2.已知集合，，則中元素個數為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】C【解析】由題意，中的元素滿足，且，由，得，所以滿足的有，故中元素的個數為4.故選：C.3.已知等比數列的前項和為，且，則（）A.36 B.54 C.28 D.42【答案】D【解析】根據題意設等比數列的首項為，公比為，易知；由可得，兩式相除可得，即；所以.故選：D.4.已知變量關于的回歸方程為，若對兩邊取自然對數，可以發(fā)現與線性相關．現有一組數據如下表所示：12345則當時，預測的值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，由可得，如下表所示：由表格中的數據可得，，則有，解得，故，當時，.故選：C.5.為努力推進“綠美校園”建設，營造更加優(yōu)美的校園環(huán)境，某校準備開展校園綠化活動．已知栽種某綠色植物的花盆可近似看成圓臺，圓臺兩底面直徑分別為18厘米，9厘米，母線長約為7.5厘米．現有2000個該種花盆，假定每一個花盆裝滿營養(yǎng)土，請問共需要營養(yǎng)土約為（）（參考數據：）A.1.702立方米 B.1.780立方米C.1.730立方米 D.1.822立方米【答案】B【解析】令（單位厘米），則花盆高，所以花盆的體積為，故2000個該種花盆共需要營養(yǎng)土約為立方厘米，即1.780立方米.故選：B6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因為，因此，.故選：A.7.已知雙曲線，過其右焦點作一條直線分別交兩條漸近線于兩點，若為線段的中點，且，則雙曲線的漸近線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由題設作出圖形，雙曲線漸近線為，，則直線，故，可得，故，即，又三角形BOF為等腰三角形，所以，則，整理得，即雙曲線的漸近線方程為.故選：B8.已知，若點為曲線與曲線的交點，且兩條曲線在點處的切線重合，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】設點橫坐標為，則由可得，又可得，且兩條曲線在點處的切線重合，所以切線的斜率，解得或（舍去），即點的橫坐標為，由點為曲線：與曲線：的交點，所以，即，令，則，令可得，由知，當時，，當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，當，則實數的取值范圍為.故選：C.二、選擇題9.函數（其中，，）的部分圖象如圖所示，則（）A.B.函數的最小正周期是C.函數的圖象關于直線對稱D.將函數的圖象向左平移個單位長度以后，所得的函數圖象關于原點對稱【答案】AC【解析】由圖可知，，函數的最小正周期滿足，則，，B錯；所以，，，可得，因為，所以，，則，可得，所以，，則，A對；，所以，函數的圖象關于直線對稱，C對；將函數的圖象向左平移個單位長度以后，得到函數的圖象，所得函數為非奇非偶函數，D錯.故選：AC.10.已知函數的定義域為，且與都為奇函數，則下列說法一定正確的是（）A.為奇函數 B.為周期函數C.為奇函數 D.為偶函數【答案】BC【解析】根據題意由為奇函數可得，即；由為奇函數可得，即；所以可得，即，即可得為周期是4的周期函數，且，可得不是奇函數，即A錯誤；B正確；由周期性可知，因為為奇函數，所以也為奇函數，即C正確；因為，所以不是偶函數，即D.錯誤；故選：BC11.下列不等式正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A選項，令，則，當時，，則函數在上單調遞減，因為，則，即，即，即，所以，，A對；對于B選項，令，則，當時，，即函數在上為增函數，所以，，即，B對；對于C選項，令，其中，則對任意的恒成立，所以，函數在上為增函數，因為，則，所以，，C對；對于D選項，令，其中，則，令，由C選項可知，對任意的恒成立，所以，函數在上單調遞增，則，則函數上單調遞增，因為，則，即，又因為，即，D錯.故選：ABC.12.如圖所示，正方體的棱長為1，分別是棱的中點，過直線的平面分別與棱交于點，以下四個命題中正確的是（）A.四邊形一定為菱形B.四棱錐體積C.平面平面D.四邊形的周長最小值為4【答案】ACD【解析】由題意，正方體截面的性質易知，即為平行四邊形，取為中點，因為分別是棱的中點，則為正方形，所以，則，故為菱形，A對；由到面的距離之和為底面對角線為，又為定值，B錯；由菱形性質知，由正方體性質知面，面，則，又，面，故面，而面，所以平面平面，C對；在運動過程中，僅當它們?yōu)閷€段中點時，菱形各邊最短且為1，此時為正方形，周長為4，D對.故選：ACD.三、填空題13.若向量，，則向量在向量上的投影向量坐標為______．【答案】【解析】因為，，所以，所以向量在向量上的投影向量的坐標為.故答案為：.14.如圖，在第一象限內，矩形的三個頂點，分別在函數的圖象上，且矩形的邊分別與兩坐標軸平行，若A點的縱坐標是2，則D點的坐標是______．【答案】【解析】由題意，縱坐標都為2，則點橫坐標為8，即點橫坐標為8，所以A點的橫坐標為，點縱坐標為，由為矩形及題圖知：D點的坐標是.故答案為：15.已知為橢圓上一點，分別為的左、右焦點，且，若外接圓半徑與其內切圓半徑之比為，則的離心率為______．【答案】【解析】由題意，在中，所以其外接圓半徑，內切圓的半徑為，故.故答案為：16.大衍數列來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數五十”的推論，主要用于解釋我國傳統文化中的太極衍生原理，數列中的每一項都代表太極衍生過程．已知大衍數列滿足，，則______，數列的前50項和為______．【答案】【解析】當時，①，當時，②，由①②可得，，所以，累加可得，，所以，令且為奇數)，，當時，成立，所以當為奇數，，當為奇數，，所以當為偶數，，所以故；根據所以的前項的和.故答案為：；四、解答題17.在中，內角的對邊分別為，且．（1）求；（2）線段上一點滿足，求的長度．解：（1）由題設及余弦定理知：，所以，又，，所以.（2）由題設，且，，在中，則，在中，則，綜上，可得，則，故.18.已知數列的前項和為，且．（1）求數列的通項公式；（2）若數列滿足，其前項和為，求使得成立的的最小值．解：（1）當時，，所以，則，而，所以，故是首項、公比都為2的等比數列，所以.（2）由，所以，要使，即，由且，則.所以使得成立的的最小值為10.19.2023年9月23日至10月8日、第19屆亞運會在中國杭州舉行．樹人中學高一年級舉辦了“亞運在我心”乒乓球比賽活動．比賽采用局勝制的比賽規(guī)則，即先贏下局比賽者最終獲勝，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，比賽結束時，甲最終獲勝的概率．（1）若，結束比賽時，比賽的局數為，求的分布列與數學期望；（2）若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利，即，求的取值范圍．解：（1），即采用3局2勝制，所有可能值為，，，的分布列如下，23所以.（2）采用3局2勝制：不妨設賽滿3局，用表示3局比賽中甲勝的局數，則，甲最終獲勝的概率為，采用5局3勝制：不妨設賽滿5局，用表示5局比賽中甲勝的局數，則，甲最終獲勝的概率為，則，得.20.在圖1的直角梯形中，，點是邊上靠近于點的三等分點，以為折痕將折起，使點到達的位置，且，如圖2．（1）求證：平面平面；（2）在棱上是否存在點，使得二面角的大小為？若存在，求出線段的長度，若不存在說明理由．（1）證明：根據題意，由直角梯形邊長可知；又點是邊上靠近于點的三等分點，所以，可得為等邊三角形；連接，交于點，如下圖所示：可得四邊形為菱形，所以，即折起后，如下圖所示：易知，又，滿足，即；又，平面，所以平面，又因為平面，所以平面平面；（2）解：以為坐標原點，分別以為軸，方向為軸正方向建立空間直角坐標系，如下圖所示：則；可得，假設存在點滿足題意，設，所以，則，由（1）可知平面，利用易得平面的一個法向量可取為設平面的一個法向量為，則，可得；所以，解得或（舍），此時，可得；即線段的長度為.21.已知斜率為的直線交拋物線于、兩點，線段的中點的橫坐標為．（1）求拋物線的方程；（2）設拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于、兩點，分別在點、處作拋物線的切線，兩條切線交于點，則的面積是否存在最小值？若存在，求出這個最小值及此時對應的直線的方程；若不存在，請說明理由．（1）解：設點、，因為直線的斜率為，則，因為線段的中點的橫坐標為，則，，可得，所以，拋物線的方程為.（2）解：設點、，易知點，若直線的斜率不存在，則直線與拋物線只有一個公共點，不合乎題意，設直線的方程為，聯立可得，，由韋達定理可得，，由焦點弦長公式可得，對函數求導得，則直線的方程為，即，同理可知，直線的方程為，聯立可得，即點，則，，所以，，即，且，所以，，當且僅當時，等號成立，故的面積存在最小值，且最小值為，此時，直線的方程為.22.已知函數．（1）若曲線在點處的切線與直線垂直，求的值；（2）討論函數的單調性；（3）設，當時，函數的圖象在函數的圖象的下方，求的最大值．解：（1）由題，函數的定義域為，則，，由于曲線