2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)ⅲ）

2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 3．（5分）中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）A． B． C． D． 4．（5分）若sinα=，則cos2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣ 5．（5分）（x2+）5的展開式中x4的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．40 D．80 6．（5分）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（）A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3]7．（5分）函數(shù)y=﹣x4+x2+2的圖象大致為（）A． B． C． D． 8．（5分）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），則p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 9．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為，則C=（）A． B． C． D． 10．（5分）設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）A．12 B．18 C．24 D．54 11．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=|OP|，則C的離心率為（）A． B．2 C． D． 12．（5分）設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則（）A．a(chǎn)+b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a+b＜0 C．a(chǎn)+b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a+b二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=．14．（5分）曲線y=（ax+1）ex在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為﹣2，則a=．15．（5分）函數(shù)f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．16．（5分）已知點(diǎn)M（﹣1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB=90°，則k=．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm=63，求m．18．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82819．（12分）如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)．（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．20．（12分）已知斜率為k的直線l與橢圓C：+=1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m＞0）．（1）證明：k＜﹣；（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且++=．證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，證明：當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），過點(diǎn)（0，﹣）且傾斜角為α的直線l與⊙O交于A，B兩點(diǎn)．（1）求α的取值范圍；（2）求AB中點(diǎn)P的軌跡的參數(shù)方程．[選修45：不等式選講]（10分）23．設(shè)函數(shù)f（x）=|2x+1|+|x﹣1|．（1）畫出y=f（x）的圖象；（2）當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）≤ax+b，求a+b的最小值．2018年全國統(tǒng)一高考數(shù)學(xué)試卷（理科）（新課標(biāo)Ⅲ）參考答案與試題解析一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（5分）已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，則A∩B=（）A．{0} B．{1} C．{1，2} D．{0，1，2} 【考點(diǎn)】1E：交集及其運(yùn)算．【專題】37：集合思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5J：集合．【分析】求解不等式化簡集合A，再由交集的運(yùn)算性質(zhì)得答案．【解答】解：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了交集及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．2．（5分）（1+i）（2﹣i）=（）A．﹣3﹣i B．﹣3+i C．3﹣i D．3+i 【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)的運(yùn)算．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5N：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)．【分析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡得答案．【解答】解：（1+i）（2﹣i）=3+i．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，是基礎(chǔ)題．3．（5分）中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】L7：簡單空間圖形的三視圖．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】直接利用空間幾何體的三視圖的畫法，判斷選項(xiàng)的正誤即可．【解答】解：由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，小的長方體，是榫頭，從圖形看出，輪廓是長方形，內(nèi)含一個(gè)長方形，并且一條邊重合，另外3邊是虛線，所以木構(gòu)件的俯視圖是A．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題看出簡單幾何體的三視圖的畫法，是基本知識(shí)的考查．4．（5分）若sinα=，則cos2α=（）A． B． C．﹣ D．﹣ 【考點(diǎn)】GS：二倍角的三角函數(shù)．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；4O：定義法；56：三角函數(shù)的求值．【分析】cos2α=1﹣2sin2α，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵sinα=，∴cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×=．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角的余弦值的求法，考查二倍角公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．5．（5分）（x2+）5的展開式中x4的系數(shù)為（）A．10 B．20 C．40 D．80 【考點(diǎn)】DA：二項(xiàng)式定理．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；4O：定義法；5P：二項(xiàng)式定理．【分析】由二項(xiàng)式定理得（x2+）5的展開式的通項(xiàng)為：Tr+1=（x2）5﹣r（）r=，由10﹣3r=4，解得r=2，由此能求出（x2+）5的展開式中x4的系數(shù)．【解答】解：由二項(xiàng)式定理得（x2+）5的展開式的通項(xiàng)為：Tr+1=（x2）5﹣r（）r=，由10﹣3r=4，解得r=2，∴（x2+）5的展開式中x4的系數(shù)為=40．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)展開式中x4的系數(shù)的求法，考查二項(xiàng)式定理、通項(xiàng)公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．6．（5分）直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2=2上，則△ABP面積的取值范圍是（）A．[2，6] B．[4，8] C．[，3] D．[2，3] 【考點(diǎn)】J9：直線與圓的位置關(guān)系．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；49：綜合法；5B：直線與圓．【分析】求出A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|=2，設(shè)P（2+，），點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離：d==∈[]，由此能求出△ABP面積的取值范圍．【解答】解：∵直線x+y+2=0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A（﹣2，0），B（0，﹣2），|AB|==2，∵點(diǎn)P在圓（x﹣2）2+y2=2上，∴設(shè)P（2+，），∴點(diǎn)P到直線x+y+2=0的距離：d==，∵sin（）∈[﹣1，1]，∴d=∈[]，∴△ABP面積的取值范圍是：[，]=[2，6]．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形面積的取值范圍的求法，考查直線方程、點(diǎn)到直線的距離公式、圓的參數(shù)方程、三角函數(shù)關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是中檔題．7．（5分）函數(shù)y=﹣x4+x2+2的圖象大致為（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】3A：函數(shù)的圖象與圖象的變換．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的特點(diǎn)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．【解答】解：函數(shù)過定點(diǎn)（0，2），排除A，B．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=﹣4x3+2x=﹣2x（2x2﹣1），由f′（x）＞0得2x（2x2﹣1）＜0，得x＜﹣或0＜x＜，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，由f′（x）＜0得2x（2x2﹣1）＞0，得x＞或﹣＜x＜0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減，排除C，也可以利用f（1）=﹣1+1+2=2＞0，排除A，B，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)過定點(diǎn)以及判斷函數(shù)的單調(diào)性是解決本題的關(guān)鍵．8．（5分）某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，各成員的支付方式相互獨(dú)立．設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，DX=2.4，P（x=4）＜P（X=6），則p=（）A．0.7 B．0.6 C．0.4 D．0.3 【考點(diǎn)】CH：離散型隨機(jī)變量的期望與方差．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】利用已知條件，轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布，利用方差轉(zhuǎn)化求解即可．【解答】解：某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p，看做是獨(dú)立重復(fù)事件，滿足X～B（10，p），P（x=4）＜P（X=6），可得，可得1﹣2p＜0．即p．因?yàn)镈X=2.4，可得10p（1﹣p）=2.4，解得p=0.6或p=0.4（舍去）．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查離散型離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法，獨(dú)立重復(fù)事件的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．9．（5分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．若△ABC的面積為，則C=（）A． B． C． D． 【考點(diǎn)】HR：余弦定理．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；58：解三角形．【分析】推導(dǎo)出S△ABC==，從而sinC==cosC，由此能求出結(jié)果．【解答】解：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．△ABC的面積為，∴S△ABC==，∴sinC==cosC，∵0＜C＜π，∴C=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形內(nèi)角的求法，考查余弦定理、三角形面積公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．10．（5分）設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）A．12 B．18 C．24 D．54 【考點(diǎn)】LF：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；LG：球的體積和表面積．【專題】11：計(jì)算題；31：數(shù)形結(jié)合；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5F：空間位置關(guān)系與距離．【分析】求出，△ABC為等邊三角形的邊長，畫出圖形，判斷D的位置，然后求解即可．【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為9，可得，解得AB=6，球心為O，三角形ABC的外心為O′，顯然D在O′O的延長線與球的交點(diǎn)如圖：O′C==，OO′==2，則三棱錐D﹣ABC高的最大值為：6，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為：=18．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查球的內(nèi)接多面體，棱錐的體積的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．11．（5分）設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的左，右焦點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P，若|PF1|=|OP|，則C的離心率為（）A． B．2 C． D． 【考點(diǎn)】KC：雙曲線的性質(zhì)．【專題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】先根據(jù)點(diǎn)到直線的距離求出|PF2|=b，再求出|OP|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|cos∠PF2O，代值化簡整理可得a=c，問題得以解決．【解答】解：雙曲線C：﹣=1（a＞0．b＞0）的一條漸近線方程為y=x，∴點(diǎn)F2到漸近線的距離d==b，即|PF2|=b，∴|OP|===a，cos∠PF2O=，∵|PF1|=|OP|，∴|PF1|=a，在三角形F1PF2中，由余弦定理可得|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2﹣2|PF2|?|F1F2|COS∠PF2O，∴6a2=b2+4c2﹣2×b×2c×=4c2﹣3b2=4c2﹣3（c2﹣a2），即3a2=c2，即a=c，∴e==，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，點(diǎn)到直線的距離公式，余弦定理，離心率，屬于中檔題．12．（5分）設(shè)a=log0.20.3，b=log20.3，則（）A．a(chǎn)+b＜ab＜0 B．a(chǎn)b＜a+b＜0 C．a(chǎn)+b＜0＜ab D．a(chǎn)b＜0＜a+b 【考點(diǎn)】4M：對(duì)數(shù)值大小的比較．【專題】33：函數(shù)思想；48：分析法；51：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】直接利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡即可得答案．【解答】解：∵a=log0.20.3=，b=log20.3=，∴=，，∵，，∴ab＜a+b＜0．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)數(shù)值大小的比較，考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（5分）已知向量=（1，2），=（2，﹣2），=（1，λ）．若∥（2+），則λ=．【考點(diǎn)】96：平行向量（共線）；9J：平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；4O：定義法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】利用向量坐標(biāo)運(yùn)算法則求出=（4，2），再由向量平行的性質(zhì)能求出λ的值．【解答】解：∵向量=（1，2），=（2，﹣2），∴=（4，2），∵=（1，λ），∥（2+），∴，解得λ=．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，考查向量坐標(biāo)運(yùn)算法則、向量平行的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．14．（5分）曲線y=（ax+1）ex在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為﹣2，則a=﹣3．【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；49：綜合法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】球心函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率列出方程求解即可．【解答】解：曲線y=（ax+1）ex，可得y′=aex+（ax+1）ex，曲線y=（ax+1）ex在點(diǎn)（0，1）處的切線的斜率為﹣2，可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3．故答案為：﹣3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用切線的斜率的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．15．（5分）函數(shù)f（x）=cos（3x+）在[0，π]的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3．【考點(diǎn)】51：函數(shù)的零點(diǎn)．【專題】11：計(jì)算題；38：對(duì)應(yīng)思想；4O：定義法；57：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由題意可得f（x）=cos（3x+）=0，可得3x+=+kπ，k∈Z，即x=+kπ，即可求出．【解答】解：∵f（x）=cos（3x+）=0，∴3x+=+kπ，k∈Z，∴x=+kπ，k∈Z，當(dāng)k=0時(shí)，x=，當(dāng)k=1時(shí)，x=π，當(dāng)k=2時(shí)，x=π，當(dāng)k=3時(shí)，x=π，∵x∈[0，π]，∴x=，或x=π，或x=π，故零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為3，故答案為：3【點(diǎn)評(píng)】本題考查了余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)以及函數(shù)零點(diǎn)的問題，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）已知點(diǎn)M（﹣1，1）和拋物線C：y2=4x，過C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A，B兩點(diǎn)．若∠AMB=90°，則k=2．【考點(diǎn)】K8：拋物線的性質(zhì)；KN：直線與拋物線的綜合．【專題】11：計(jì)算題；34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】由已知可求過A，B兩點(diǎn)的直線方程為y=k（x﹣1），然后聯(lián)立直線與拋物線方程組可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，可表示x1+x2，x1x2，y1+y2，y1y2，由∠AMB=90°，向量的數(shù)量積為0，代入整理可求k．【解答】解：∵拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F（1，0），∴過A，B兩點(diǎn)的直線方程為y=k（x﹣1），聯(lián)立可得，k2x2﹣2（2+k2）x+k2=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1+x2=，x1x2=1，∴y1+y2=k（x1+x2﹣2）=，y1y2=k2（x1﹣1）（x2﹣1）=k2[x1x2﹣（x1+x2）+1]=﹣4，∵M(jìn)（﹣1，1），∴=（x1+1，y1﹣1），=（x2+1，y2﹣1），∵∠AMB=90°，∴?=0∴（x1+1）（x2+1）+（y1﹣1）（y2﹣1）=0，整理可得，x1x2+（x1+x2）+y1y2﹣（y1+y2）+2=0，∴1+2+﹣4﹣+2=0，即k2﹣4k+4=0，∴k=2．故答案為：2【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線與圓錐曲線的相交關(guān)系的應(yīng)用，解題的難點(diǎn)是本題具有較大的計(jì)算量．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17．（12分）等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．（1）求{an}的通項(xiàng)公式；（2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm=63，求m．【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．【專題】11：計(jì)算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】（1）利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程，求出公比q=±2，由此能求出{an}的通項(xiàng)公式．（2）當(dāng)a1=1，q=﹣2時(shí)，Sn=，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，無解；當(dāng)a1=1，q=2時(shí)，Sn=2n﹣1，由此能求出m．【解答】解：（1）∵等比數(shù)列{an}中，a1=1，a5=4a3．∴1×q4=4×（1×q2），解得q=±2，當(dāng)q=2時(shí)，an=2n﹣1，當(dāng)q=﹣2時(shí)，an=（﹣2）n﹣1，∴{an}的通項(xiàng)公式為，an=2n﹣1，或an=（﹣2）n﹣1．（2）記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．當(dāng)a1=1，q=﹣2時(shí)，Sn===，由Sm=63，得Sm==63，m∈N，無解；當(dāng)a1=1，q=2時(shí)，Sn===2n﹣1，由Sm=63，得Sm=2m﹣1=63，m∈N，解得m=6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查等比數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，是基礎(chǔ)題．18．（12分）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人．第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：K2=，P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【考點(diǎn)】BL：獨(dú)立性檢驗(yàn)．【專題】38：對(duì)應(yīng)思想；4A：數(shù)學(xué)模型法；5I：概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)判斷第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少些，效率更高；（2）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)計(jì)算它們的中位數(shù)，再填寫列聯(lián)表；（3）列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)計(jì)算觀測(cè)值，對(duì)照臨界值得出結(jié)論．【解答】解：（1）根據(jù)莖葉圖中的數(shù)據(jù)知，第一種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在72～92之間，第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間主要集中在65～85之間，所以第二種生產(chǎn)方式的工作時(shí)間較少些，效率更高；（2）這40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間按從小到大的順序排列后，排在中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)是79和81，計(jì)算它們的中位數(shù)為m==80；由此填寫列聯(lián)表如下；超過m不超過m總計(jì)第一種生產(chǎn)方式15520第二種生產(chǎn)方式51520總計(jì)202040（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，計(jì)算K2===10＞6.635，∴能有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．19．（12分）如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，M是上異于C，D的點(diǎn)．（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；（2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．【考點(diǎn)】LY：平面與平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；5F：空間位置關(guān)系與距離；5H：空間向量及應(yīng)用．【分析】（1）根據(jù)面面垂直的判定定理證明MC⊥平面ADM即可．（2）根據(jù)三棱錐的體積最大，確定M的位置，建立空間直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量法進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）證明：在半圓中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面與半圓弧所在平面垂直，∴AD⊥平面DCM，則AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵M(jìn)C?平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．（2）∵△ABC的面積為定值，∴要使三棱錐M﹣ABC體積最大，則三棱錐的高最大，此時(shí)M為圓弧的中點(diǎn)，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖∵正方形ABCD的邊長為2，∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），則平面MCD的法向量=（1，0，0），設(shè)平面MAB的法向量為=（x，y，z）則=（0，2，0），=（﹣2，1，1），由?=2y=0，?=﹣2x+y+z=0，令x=1，則y=0，z=2，即=（1，0，2），則cos＜，＞===，則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sinα==．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查空間平面垂直的判定以及二面角的求解，利用相應(yīng)的判定定理以及建立坐標(biāo)系，利用向量法是解決本題的關(guān)鍵．20．（12分）已知斜率為k的直線l與橢圓C：+=1交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M（1，m）（m＞0）．（1）證明：k＜﹣；（2）設(shè)F為C的右焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且++=．證明：||，||，||成等差數(shù)列，并求該數(shù)列的公差．【考點(diǎn)】K3：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；KL：直線與橢圓的綜合．【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；49：綜合法；5E：圓錐曲線中的最值與范圍問題．【分析】（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用點(diǎn)差法得6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，k==﹣=﹣又點(diǎn)M（1，m）在橢圓內(nèi)，即，解得m的取值范圍，即可得k＜﹣，（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2由++=，可得x3﹣1=0，由橢圓的焦半徑公式得則|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．即可證明|FA|+|FB|=2|FP|，求得A，B坐標(biāo)再求公差．【解答】解：（1）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），∵線段AB的中點(diǎn)為M（1，m），∴x1+x2=2，y1+y2=2m將A，B代入橢圓C：+=1中，可得，兩式相減可得，3（x1+x2）（x1﹣x2）+4（y1+y2）（y1﹣y2）=0，即6（x1﹣x2）+8m（y1﹣y2）=0，∴k==﹣=﹣點(diǎn)M（1，m）在橢圓內(nèi)，即，解得0＜m∴．（2）證明：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），P（x3，y3），可得x1+x2=2，∵++=，F(xiàn)（1，0），∴x1﹣1+x2﹣1+x3﹣1=0，y1+y2+y3=0，∴x3=1，y3=﹣（y1+y2）=﹣2m∵m＞0，可得P在第四象限，故y3=﹣，m=，k=﹣1由橢圓的焦半徑公式得則|FA|=a﹣ex1=2﹣x1，|FB|=2﹣x2，|FP|=2﹣x3=．則|FA|+|FB|=4﹣，∴|FA|+|FB|=2|FP|，聯(lián)立，可得|x1﹣x2|=所以該數(shù)列的公差d滿足2d=|x1﹣x2|=，∴該數(shù)列的公差為±．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，考查了點(diǎn)差法、焦半徑公式，考查分析問題解決問題的能力，轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用與計(jì)算能力的考查．屬于中檔題．21．（12分）已知函數(shù)f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x．（1）若a=0，證明：當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0；（2）若x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，求a．【考點(diǎn)】6D：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【專題】34：方程思想；35：轉(zhuǎn)化思想；48：分析法；53：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）對(duì)函數(shù)f（x）兩次求導(dǎo)數(shù)，分別判斷f′（x）和f（x）的單調(diào)性，結(jié)合f（0）=0即可得出結(jié)論；（2）令h（x）為f′（x）的分子，令h″（0）計(jì)算a，討論a的范圍，得出f（x）的單調(diào)性，從而得出a的值．【解答】（1）證明：當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x，（x＞﹣1）．，，可得x∈（﹣1，0）時(shí)，f″（x）≤0，x∈（0，+∞）時(shí)，f″（x）≥0∴f′（x）在（﹣1，0）遞減，在（0，+∞）遞增，∴f′（x）≥f′（0）=0，∴f（x）=（2+x）ln（1+x）﹣2x在（﹣1，+∞）上單調(diào)遞增，又f（0）=0．∴當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，f（x）＜0；當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞0．（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）﹣2x，得f′（x）=（1+2ax）ln（1+x）+﹣2=，令h（x）=ax2﹣x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h′（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）．當(dāng)a≥0，x＞0時(shí)，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）＞h（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，故x=0不是f（x）的極大值點(diǎn)，不符合題意．當(dāng)a＜0時(shí)，h″（x）=8a+4aln（x+1）+，顯然h″（x）單調(diào)遞減，①令h″（0）=0，解得a=﹣．∴當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h″（x）＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，h″（x）＜0，∴h′（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴h′（x）≤h′（0）=0，∴h（x）單調(diào)遞減，又h（0）=0，∴當(dāng)﹣1＜x＜0時(shí)，h（x）＞0，即f′（x）＞0，當(dāng)x＞0時(shí)，h（x）＜0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（﹣1，0）上單調(diào)遞增，在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴x=0是f（x）的極大值點(diǎn)，符合題意；②若﹣＜a＜0，則h″（0）=1+6a＞0，h″（e﹣1）=（2a﹣1）（1﹣e）＜0，∴h″（x）=0在（0，+∞）上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x0，∴當(dāng)0＜x＜x0時(shí)，h″（x）＞0，h′（x）單調(diào)遞增，∴h′（x）＞h′（0）=0，即f′（x）＞0，∴f（x）在（0，x0）上單調(diào)遞增，不符合題意；③若a＜﹣，則h″（0）=1+6a＜0，h″（﹣1）=（1﹣2a）e2＞0，∴h″（x）=0在（﹣1，0）上有唯一一個(gè)零點(diǎn)，設(shè)為x1，∴當(dāng)x1＜x＜0時(shí)，h″（x）＜0，h′（x）單調(diào)遞減，∴h′（x）＞h′（0）=0，∴h（x）單調(diào)遞增，∴h（x）＜h（0）=0，即f′（x）＜0，∴f（x）在（x1，0）上單調(diào)遞減，不符合題意．綜上，a=﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)單調(diào)性與極值的計(jì)算，零點(diǎn)的存在性定理，屬于難題．（二）選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。[選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）22．（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，⊙O的參數(shù)方程為，（θ為參