概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

匯報(bào)人：AA2024-01-20概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)目錄CONTENTS概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法方差分析與回歸分析初步隨機(jī)過程簡介與馬爾可夫鏈初步01概率論基本概念不可能事件空集，不包含任何樣本點(diǎn)的事件。必然事件包含樣本空間中所有樣本點(diǎn)的事件，即S本身?；臼录话粋€(gè)樣本點(diǎn)的事件。樣本空間所有可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母S表示。事件樣本空間的子集，即某些可能結(jié)果的集合，一般用大寫字母A、B等表示。樣本空間與事件概率定義及性質(zhì)概率定義在給定條件下，某一事件發(fā)生的可能性大小，一般用P(A)表示事件A發(fā)生的概率。概率性質(zhì)非負(fù)性、規(guī)范性（必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0）、可加性（互斥事件的概率和等于它們并的概率）。123在已知另一事件B發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，記作P(A|B)。條件概率如果事件A的發(fā)生與否對(duì)事件B的發(fā)生概率沒有影響，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立。事件的獨(dú)立性P(AB)=P(A)P(B|A)，若事件A與B相互獨(dú)立，則P(AB)=P(A)P(B)。乘法公式條件概率與獨(dú)立性如果事件B1、B2、...、Bn構(gòu)成一個(gè)完備事件組，且都有正概率，則對(duì)任一事件A，有P(A)=P(A|B1)P(B1)+P(A|B2)P(B2)+...+P(A|Bn)P(Bn)。全概率公式在全概率公式的假定下，有P(Bi|A)=[P(A|Bi)P(Bi)]/P(A)，其中i=1,2,...,n。貝葉斯公式用于在已知某些條件下，更新某一事件的發(fā)生概率。貝葉斯公式全概率公式與貝葉斯公式02隨機(jī)變量及其分布定義隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個(gè)樣本點(diǎn)映射到一個(gè)實(shí)數(shù)。分類隨機(jī)變量可分為離散型隨機(jī)變量和連續(xù)型隨機(jī)變量。離散型隨機(jī)變量的取值是有限個(gè)或可列個(gè)，而連續(xù)型隨機(jī)變量的取值則是充滿一個(gè)區(qū)間。隨機(jī)變量定義及分類離散型隨機(jī)變量分布律離散型隨機(jī)變量的分布律可用分布列來描述，即列出隨機(jī)變量所有可能取值及其對(duì)應(yīng)的概率。分布列二項(xiàng)分布、泊松分布、幾何分布等。常見離散型隨機(jī)變量分布VS連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布可用概率密度函數(shù)來描述，它表示了隨機(jī)變量在某個(gè)確定取值點(diǎn)附近的可能性大小。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布等。概率密度函數(shù)連續(xù)型隨機(jī)變量概率密度函數(shù)一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布通過已知隨機(jī)變量的分布，可以求出其函數(shù)的分布。例如，已知X的分布，可以求出Y=g(X)的分布。要點(diǎn)一要點(diǎn)二多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布對(duì)于多維隨機(jī)變量，可以研究其函數(shù)的分布。例如，已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布，可以求出Z=X+Y的分布。隨機(jī)變量函數(shù)分布03多維隨機(jī)變量及其分布聯(lián)合分布函數(shù)描述二維隨機(jī)變量$(X,Y)$在某一取值范圍內(nèi)的概率。聯(lián)合概率密度函數(shù)對(duì)于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合概率密度函數(shù)$f(x,y)$表示$(X,Y)$在點(diǎn)$(x,y)$處的概率密度。聯(lián)合分布律對(duì)于離散型二維隨機(jī)變量，其聯(lián)合分布律$P{X=x_i,Y=y_j}$表示$X$取$x_i$且$Y$取$y_j$的概率。二維隨機(jī)變量聯(lián)合分布邊緣分布函數(shù)由聯(lián)合分布函數(shù)分別對(duì)$X$和$Y$積分得到，描述單個(gè)隨機(jī)變量的分布情況。邊緣概率密度函數(shù)對(duì)于連續(xù)型二維隨機(jī)變量，其邊緣概率密度函數(shù)分別為$f_X(x)$和$f_Y(y)$，表示$X$和$Y$各自的概率密度。條件分布在已知一個(gè)隨機(jī)變量取值的條件下，另一個(gè)隨機(jī)變量的分布情況。條件分布律和條件概率密度函數(shù)分別用于描述離散型和連續(xù)型二維隨機(jī)變量的條件分布。010203邊緣分布與條件分布定義如果兩個(gè)隨機(jī)變量的聯(lián)合分布等于各自邊緣分布的乘積，則稱這兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立。性質(zhì)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量之間沒有關(guān)聯(lián)，一個(gè)隨機(jī)變量的取值不會(huì)影響另一個(gè)隨機(jī)變量的取值。判斷方法通過比較聯(lián)合分布與邊緣分布乘積是否相等來判斷兩個(gè)隨機(jī)變量是否相互獨(dú)立。相互獨(dú)立隨機(jī)變量多維隨機(jī)變量函數(shù)的定義設(shè)$(X_1,X_2,ldots,X_n)$為$n$維隨機(jī)變量，若存在函數(shù)關(guān)系$Z=g(X_1,X_2,ldots,X_n)$，則稱$Z$為多維隨機(jī)變量的函數(shù)。多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布通過求解多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布律或概率密度函數(shù)，可以得到多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布情況。具體方法包括變換法、卷積公式等。多維隨機(jī)變量函數(shù)分布04數(shù)理統(tǒng)計(jì)基本概念與方法總體研究對(duì)象的全體個(gè)體組成的集合，具有共同的性質(zhì)。個(gè)體組成總體的每一個(gè)基本單位。樣本從總體中隨機(jī)抽取的一部分個(gè)體組成的集合，用于推斷總體性質(zhì)。樣本容量樣本中包含的個(gè)體數(shù)目?？傮w與樣本樣本的函數(shù)，用于描述樣本特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計(jì)量統(tǒng)計(jì)量的概率分布，描述了不同樣本下統(tǒng)計(jì)量的可能取值及概率。抽樣分布正態(tài)分布、t分布、F分布、卡方分布等。常用抽樣分布統(tǒng)計(jì)量與抽樣分布03評(píng)價(jià)估計(jì)量的標(biāo)準(zhǔn)無偏性、有效性、一致性等。01點(diǎn)估計(jì)用樣本統(tǒng)計(jì)量的某個(gè)取值直接作為總體參數(shù)的估計(jì)值。02區(qū)間估計(jì)根據(jù)樣本統(tǒng)計(jì)量的抽樣分布，構(gòu)造一個(gè)包含總體參數(shù)真值的置信區(qū)間，并給出該區(qū)間的置信水平。參數(shù)估計(jì)方法假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟假設(shè)檢驗(yàn)的基本原理：先對(duì)總體參數(shù)提出一個(gè)假設(shè)，然后利用樣本信息判斷該假設(shè)是否成立。假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟0102031.提出原假設(shè)和備擇假設(shè)；2.選擇適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并確定其拒絕域；假設(shè)檢驗(yàn)的步驟假設(shè)檢驗(yàn)原理及步驟013.根據(jù)樣本觀測值計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值；024.判斷檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的值是否落入拒絕域，若落入則拒絕原假設(shè)，否則接受原假設(shè)。假設(shè)檢驗(yàn)中的兩類錯(cuò)誤：第一類錯(cuò)誤（棄真錯(cuò)誤）和第二類錯(cuò)誤（取偽錯(cuò)誤）。0305方差分析與回歸分析初步方差分析原理及應(yīng)用方差分析的基本原理通過比較不同組別數(shù)據(jù)的方差，判斷各因素對(duì)結(jié)果的影響是否顯著。方差分析的應(yīng)用場景適用于多個(gè)總體均值是否相等的假設(shè)檢驗(yàn)問題，如醫(yī)學(xué)、農(nóng)業(yè)、工業(yè)等領(lǐng)域的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析。方差分析的前提條件各總體應(yīng)服從正態(tài)分布，且各組內(nèi)的觀察值相互獨(dú)立?；貧w分析的基本原理通過建立自變量與因變量之間的回歸方程，描述兩者之間的依存關(guān)系，并進(jìn)行預(yù)測和控制?；貧w分析的應(yīng)用場景適用于研究變量間相關(guān)關(guān)系的問題，如經(jīng)濟(jì)學(xué)、社會(huì)學(xué)、醫(yī)學(xué)等領(lǐng)域的預(yù)測和決策分析。回歸分析的類型根據(jù)自變量的個(gè)數(shù)和回歸方程的形式，可分為一元線性回歸、多元線性回歸、非線性回歸等。回歸分析原理及應(yīng)用線性回歸模型的檢驗(yàn)利用F檢驗(yàn)、t檢驗(yàn)等方法，對(duì)回歸方程和回歸系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，判斷模型的擬合效果。線性回歸模型的預(yù)測根據(jù)建立的線性回歸模型，對(duì)新的自變量數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，得到相應(yīng)的因變量估計(jì)值。線性回歸模型的建立通過最小二乘法等方法，確定回歸方程的參數(shù)，建立線性回歸模型。線性回歸模型建立與檢驗(yàn)非線性回歸模型的概念當(dāng)自變量與因變量之間不滿足線性關(guān)系時(shí)，需要建立非線性回歸模型進(jìn)行描述。非線性回歸模型的檢驗(yàn)與預(yù)測類似于線性回歸模型，需要進(jìn)行模型的顯著性檢驗(yàn)和預(yù)測分析。非線性回歸模型的建立通過選擇合適的非線性函數(shù)形式，利用最小二乘法等方法確定模型參數(shù)。非線性回歸模型簡介06隨機(jī)過程簡介與馬爾可夫鏈初步隨機(jī)過程是一族依賴于參數(shù)（通常是時(shí)間）的隨機(jī)變量，用于描述隨機(jī)現(xiàn)象隨時(shí)間的演變。根據(jù)隨機(jī)過程的性質(zhì)，可以將其分為平穩(wěn)過程、獨(dú)立增量過程、馬爾可夫過程等。隨機(jī)過程的定義隨機(jī)過程的分類隨機(jī)過程定義及分類馬爾可夫鏈的定義01馬爾可夫鏈?zhǔn)且环N時(shí)間和狀態(tài)都是離散的隨機(jī)過程，具有“無后效性”，即未來狀態(tài)只與當(dāng)前狀態(tài)有關(guān)，而與過去狀態(tài)無關(guān)。馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間02馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間是一個(gè)可數(shù)集，可以是有限集或無限集。馬爾可夫鏈的轉(zhuǎn)移概率03轉(zhuǎn)移概率是描述馬爾可夫鏈從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到另一個(gè)狀態(tài)的概率，通常表示為$p_{ij}(n)$，表示在時(shí)刻$n$處于狀態(tài)$i$的條件下，在時(shí)刻$n+1$轉(zhuǎn)移到狀態(tài)$j$的概率。馬爾可夫鏈基本概念狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是一個(gè)矩陣，其行和列分別對(duì)應(yīng)馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間中的狀態(tài)，矩陣元素為轉(zhuǎn)移概率$p_{ij}(n)$。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有非負(fù)性和行和為1的性質(zhì)，即每一行的元素都是非負(fù)的，且每一行的元素之和為1。