風(fēng)險(xiǎn)管理第二章

1第二章風(fēng)險(xiǎn)度量主要內(nèi)容風(fēng)險(xiǎn)的度量：基于定義的了解基于概率論的風(fēng)險(xiǎn)度量基于成效論的風(fēng)險(xiǎn)度量金融風(fēng)險(xiǎn)的測度232.1風(fēng)險(xiǎn)的度量：基于定義的了解風(fēng)險(xiǎn)是損失發(fā)生的能夠性1、主體2、損失3、能夠性風(fēng)險(xiǎn)=損失×能夠性風(fēng)險(xiǎn)=F〔概率，損失〕如何對風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)展度量？4風(fēng)險(xiǎn)概率〔損失頻率〕是表示風(fēng)險(xiǎn)發(fā)生的能夠性大小。詳細(xì)可以指一定時(shí)期內(nèi)，一定數(shù)目的風(fēng)險(xiǎn)單位能夠〔或?qū)嵺`〕發(fā)生損失的數(shù)量次數(shù)，通常以分?jǐn)?shù)或百分率來表示。用于度量事件能否經(jīng)常發(fā)生。風(fēng)險(xiǎn)后果〔損失程度〕是指風(fēng)險(xiǎn)事件發(fā)生對目的產(chǎn)生的影響。通常用一次風(fēng)險(xiǎn)事故發(fā)生呵斥的損失規(guī)模大小或金額多少來表示。通常情況下，發(fā)生損失的頻率和損失程度成反比關(guān)系。運(yùn)用風(fēng)險(xiǎn)概率和風(fēng)險(xiǎn)后果來分析風(fēng)險(xiǎn)，可以協(xié)助我們甄別出那些需求強(qiáng)有力地控制與管理的風(fēng)險(xiǎn)為什么用兩個(gè)變量〔風(fēng)險(xiǎn)概率和風(fēng)險(xiǎn)后果〕而不是一個(gè)變量〔風(fēng)險(xiǎn)值〕來度量風(fēng)險(xiǎn)？度量風(fēng)險(xiǎn)的目的5最大傷害事故小損傷事故無損傷事故工業(yè)損傷事故頻率與損失程度之間關(guān)系的HEINRICH三角圖1次300次29次2.2用概率論來度量風(fēng)險(xiǎn)--------用“錢〞的數(shù)量直接來度量7一、風(fēng)險(xiǎn)型經(jīng)濟(jì)結(jié)果的度量1.均值(Mean)均值是最常用的平均數(shù)：察看值的總和除以察看值的個(gè)數(shù)只需察看數(shù)據(jù)中的任何一個(gè)值改動，均值也會相應(yīng)改動。而眾數(shù)、中位數(shù)普通沒有這個(gè)特點(diǎn)。2.眾數(shù)(Mode)出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)的取值眾數(shù)的計(jì)算簡單，更適宜描畫分類變量眾數(shù)喪失了原始數(shù)據(jù)中比較多的信息：100個(gè)學(xué)生中有51個(gè)女生→性別變量的眾數(shù)為女生100個(gè)學(xué)生中有99個(gè)女生→性別變量的眾數(shù)為女生83.中位數(shù)(Median)把一個(gè)變量的一組察看數(shù)據(jù)從小到大排序，排在中間位置的那個(gè)數(shù)的數(shù)值稱為這個(gè)變量的中位數(shù)。中位數(shù)的優(yōu)點(diǎn)是對于極端值不敏感4.分位數(shù)假定有100個(gè)數(shù)據(jù)，按從小到大排序。那么最小的數(shù)據(jù)稱為“第一個(gè)百分位數(shù)〞，次小的數(shù)據(jù)稱為“第二個(gè)百分位數(shù)〞，…，中位數(shù)就是第五十個(gè)百分位數(shù)。9二、風(fēng)險(xiǎn)的定量表示1.規(guī)范差(standarddeviation)規(guī)范差反映了數(shù)據(jù)到均值的一種平均間隔規(guī)范差的平方稱為“方差〞2.平均絕對方差103.半方差風(fēng)險(xiǎn)的方差度量存在著一定缺陷，如對正離差和負(fù)離差的平等處置有違投資者對風(fēng)險(xiǎn)的真實(shí)心思感受。用半方差定義風(fēng)險(xiǎn)顯然更符合現(xiàn)實(shí)，由于投資者只把下降部分的價(jià)錢動搖，即價(jià)錢下跌以為是風(fēng)險(xiǎn)，Semivar=E[min(0,(R-E(R)))2]4.風(fēng)險(xiǎn)度即在特定的客觀條件下、特定的時(shí)間內(nèi)，的均方誤差與預(yù)測損失的數(shù)學(xué)期望之比。它表示風(fēng)險(xiǎn)損失的相實(shí)踐損失與預(yù)測損失之間對變異程度〔即不可預(yù)測程度〕的一個(gè)無量綱〔或以百分比表示〕的量112.3用成效論來衡量風(fēng)險(xiǎn)躲避程度--------用“錢〞的函數(shù)來度量12錢的數(shù)學(xué)期望是用來做決策的適宜方法嗎?一元錢對一個(gè)富翁和乞丐的意義是不同的.13RiskisintheeyeofthebeholderRiskisintangibleandwillbeseendifferentlybydifferentpeople.Thefactorsthatwillinfluencepeople’sperceptionsofriskinclude:Experience，Knowledge，Culture，Position，F(xiàn)inancialstatusAbilitytoinfluencetheoutcomeAsymmetry：putmoreweightontheimpactofalossthanonthebenefitfromagain,Complacency(自信或過于自信，自我覺得不錯(cuò)〕Inadequatetimehorizons間隔損失發(fā)生的時(shí)間越近，對損失的感受越大。14“圣彼得堡悖論〞問題傳說當(dāng)時(shí)在圣彼得

堡街頭流行著一種賭博,規(guī)那么是由參與者先付一定數(shù)目錢。比如100盧布,然后擲分幣,當(dāng)?shù)谝?/p>

次出現(xiàn)人像面朝上時(shí)一局賭博終止;假設(shè)到第n次才出現(xiàn)了人像朝上,參與者收回2n個(gè)盧布,

n=1,2,3,……。決策人面臨的問題是終究參不參與賭?

從數(shù)學(xué)期望來看,似乎只花100盧布就可以博得(平均來說)“無窮多盧布〞,參與賭

是絕對合算的?？墒菍?shí)踐情況與此相反,總是擲不了幾次就終了,極少有收回100盧布以上的

情況。15“圣彼得堡悖論〞1738年發(fā)表<對機(jī)遇性賭博的分析>提出處理“圣彼得堡悖論〞的“風(fēng)險(xiǎn)度量新實(shí)際〞。指出用“錢的數(shù)學(xué)期望〞來作為決策函數(shù)不妥。應(yīng)該用“錢的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望〞。DanielBernoulli〔1700-1782)16期望成效函數(shù)1944年在巨著<對策論與經(jīng)濟(jì)行為>中用數(shù)學(xué)公理化方法提出期望成效函數(shù)。這是經(jīng)濟(jì)學(xué)中初次嚴(yán)厲定義風(fēng)險(xiǎn)。JohnvonNeumann(1903-1957)OskarMorgenstern(1902-1977)17一、成效函數(shù)成效依賴于各種能夠形狀下的結(jié)果以及這些結(jié)果出現(xiàn)的概率。假設(shè)只需兩種形狀I(lǐng)和II，相應(yīng)結(jié)果分別記為c1,c2，各結(jié)果出現(xiàn)的概率分別記為π1，π2。那么，成效函數(shù)的普通方式為U=f(c1,c2；π1,π2)成效函數(shù)可以取不同詳細(xì)方式。如，U=f(c1,c2；π1,π2)=π1c1+π2c2.U=c1πc21-π(Cobb-Douglas成效函數(shù))。U=π1lnc1+π2lnc2.18二、期望成效期望成效(expectedutility)是各形狀下結(jié)果的成效的數(shù)學(xué)期望，即各形狀下結(jié)果的成效以概率為權(quán)重的加權(quán)平均。U=π1u(c1)+π2u(c2)這一成效函數(shù)也稱紐曼-摩根斯頓〔vonNeumann-Morgenstern〕成效函數(shù)。19假設(shè)對于每一個(gè)單賭，成效函數(shù)u(gs)有那么稱u(gs)是關(guān)于單賭gs的期望成效函數(shù)，即VNM成效函數(shù)。20三、風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度有些人為能夠發(fā)生的不測購買保險(xiǎn)，減少風(fēng)險(xiǎn)；有些人那么購買彩票，添加風(fēng)險(xiǎn)。這些行為表現(xiàn)出人們不同的風(fēng)險(xiǎn)態(tài)度。買彩票案例21購買彩票使他以0.5的概率擁有$5,以0.5的概率擁有$15，即c1=$5,c2=15,π1=0.5,π2=0.5。不購買彩票，他無風(fēng)險(xiǎn)地?fù)碛?10。一張彩票的期望價(jià)值=0.5×5+0.5×15=$10。這是說，假設(shè)實(shí)驗(yàn)次數(shù)足夠大的話，購買彩票的平均結(jié)果是$10。但是，假設(shè)只需一次實(shí)驗(yàn)時(shí)機(jī)，他選擇什么呢？$10的成效與期望價(jià)值為$10美圓的彩票的期望成效相比如何呢？假設(shè)他以為$10美圓的成效更大，即$10的成效>彩票的期望成效0.5×v(5)+0.5×v(15)即期望值的成效>期望成效那么，他是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)逃避者。也就是說，在平均結(jié)果一樣的資產(chǎn)中，他選擇價(jià)值穩(wěn)定者。22051510V(5)V(15)期望值的成效期望成效成效函數(shù)財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)逃避者：期望值的成效>期望成效〔凹函數(shù)，風(fēng)險(xiǎn)躲避者〕期望值23厭惡風(fēng)險(xiǎn)〔躲避〕型(保守型)厭惡風(fēng)險(xiǎn)的表現(xiàn)：Payextratoreducerisk(buyinsuranceeventhoughpremiumexceedsexpectedclaimcosts)；Requirehigherexpectedreturnstotakeonmorerisk(demandhigherexpectedreturnsonriskierstocks)厭惡風(fēng)險(xiǎn)〔躲避〕者的財(cái)富成效函數(shù)曲線是向下凹的，意味著隨著財(cái)富的添加，財(cái)富帶來的邊沿效益在遞減。風(fēng)險(xiǎn)躲避型的人注重風(fēng)險(xiǎn)的損失性，寧愿付出較高的代價(jià)來進(jìn)展風(fēng)險(xiǎn)的轉(zhuǎn)移。Riskpersehasanegativevalueforriskaverse.24051510V(5)V(15)期望值的成效期望成效成效函數(shù)財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)喜好者：期望值的成效<期望成效期望值25051510V(5)V(15)期望值的成效=期望成效成效函數(shù)財(cái)富風(fēng)險(xiǎn)中立者：期望值的成效=期望成效期望值26四、風(fēng)險(xiǎn)躲避程度的度量在面臨一樣的風(fēng)險(xiǎn)時(shí)，不同風(fēng)險(xiǎn)躲避型經(jīng)濟(jì)主體，為了防止風(fēng)險(xiǎn)情愿放棄的財(cái)富數(shù)量也是不同的。(一〕風(fēng)險(xiǎn)的Markowitz度量1.風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢表示一個(gè)賭局，其兩個(gè)結(jié)果為a和b，α為a出現(xiàn)的概率對這個(gè)經(jīng)濟(jì)主體而言，確定性的結(jié)果D與該賭局無差別。D稱為確定性等效結(jié)果。風(fēng)險(xiǎn)性結(jié)果的期望值與確定性等效結(jié)果之差稱為Markowitz的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢。即Pm＝E〔G〕－D27baE(G)D28風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢例子一經(jīng)濟(jì)主體具有對數(shù)型的成效函數(shù)，即U(W)=ln(W)如今面臨一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)性經(jīng)濟(jì)時(shí)機(jī)，單位為萬元。求風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢〔情愿放棄的量〕。解：先求出風(fēng)險(xiǎn)性經(jīng)濟(jì)時(shí)機(jī)的期望成效，U(G)=0.2*U(30)+0.8*U(5)=0.2*ln30+0.8*ln5=1.97U(G)=U(D)，其中D為確定性等效結(jié)果那么U(D)=lnD＝1.97，即D＝7.17萬元而E(G)=0.2*30+0.8*5=10萬元那么風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢Pm＝E(G)－D＝10-7.17＝2.83萬元那么為了防止風(fēng)險(xiǎn)，風(fēng)險(xiǎn)躲避型經(jīng)濟(jì)主體情愿放棄的最大財(cái)富數(shù)量就是2.83萬元。292.參與初始財(cái)富后的風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢假設(shè)經(jīng)濟(jì)主體目前的財(cái)富程度為W0，面臨一個(gè)賭局，其兩個(gè)結(jié)果為a和b，α為a出現(xiàn)的概率那么參與這個(gè)賭局后經(jīng)濟(jì)主體的財(cái)富程度為：其期望值為：令對參與這個(gè)賭局之后，消費(fèi)者的成效變?yōu)榱薝(D1)30例子一經(jīng)濟(jì)主體具有對數(shù)型的成效函數(shù)，即U(W)=ln(W)，其目前財(cái)富程度為10萬元，如今面臨一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)性經(jīng)濟(jì)時(shí)機(jī)G(100,10:0.9)，單位為萬元。求賭局代價(jià)解：假設(shè)接受賭局，經(jīng)濟(jì)主體以0.9的能夠財(cái)富變?yōu)?10，0.1的能夠財(cái)富變?yōu)?0，其期望成效為U(G)=0.9*U(110)+0.1*U(20)=0.9*ln110+0.1*ln20=4.53U(G)=U(D)，其中D為確定性等效結(jié)果那么D＝92.76萬元而E(G)=0.9*110+0.1*20=101萬元那么風(fēng)險(xiǎn)價(jià)錢Pm＝E(G)－D＝101-92.76＝8.24萬元31〔二〕Arrow-Pratt風(fēng)險(xiǎn)躲避度量Arrow(1965)和Pratt(1964)提出。定義：給定一個(gè)〔二次可微的〕關(guān)于貨幣的伯努利成效函數(shù)，x處的Arrow-Pratt絕對風(fēng)險(xiǎn)躲避(absoluteriskaverse)系數(shù)定義為ARA=緣由：風(fēng)險(xiǎn)中性等價(jià)于u〔?〕是線性的，即對于一切的x,。即風(fēng)險(xiǎn)躲避的程度與曲率是相關(guān)的，風(fēng)險(xiǎn)躲避程度的比較歸結(jié)為函數(shù)u的凸性的比較。32rA(w)>0,風(fēng)險(xiǎn)厭惡，凹函數(shù)，rA(w)=0,風(fēng)險(xiǎn)中性，線性函數(shù)，rA(w)<0,風(fēng)險(xiǎn)喜好：凸函數(shù)，2.4金融風(fēng)險(xiǎn)的測度33風(fēng)險(xiǎn)測度或風(fēng)險(xiǎn)度量〔measurement)為什么要測度風(fēng)險(xiǎn)？從金融學(xué)角度而言：定價(jià)〔投資學(xué)、保險(xiǎn)學(xué)---無套利〕流通類比：風(fēng)險(xiǎn)之于風(fēng)險(xiǎn)度量目的商品之于貨幣一致化的度量目的—構(gòu)造一種共同的“言語〞、一種“交換媒介〞概率與損失風(fēng)險(xiǎn)度量

WhyWhymeasuresrisk?Pre-Markowitz---(expectedreturn)“portfolioselection〞---(mean-variance)Investmentswiththesameexpectedreturn,weallalsoneeddiversification.Variancedon’tmeasurerisk!Twoinvestments:Ex1=—2000,Ex2=+2000,variance=2000.Variancesarethesame,butintuitivelyrisksaredifferent!!風(fēng)險(xiǎn)測度〔measurement)風(fēng)險(xiǎn)測度——把一個(gè)代表風(fēng)險(xiǎn)的隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化成一個(gè)實(shí)踐值的過程。即：建立規(guī)那么。假設(shè)X表示隨機(jī)風(fēng)險(xiǎn),ρ為風(fēng)險(xiǎn)測度函數(shù),r為風(fēng)險(xiǎn)測度值,那么風(fēng)險(xiǎn)測度過程可以表示為:r=ρ(X)定義：假設(shè)Ω為一個(gè)樣本空間，X:Ω→R為代表一個(gè)投資在某階段內(nèi)的損失的隨機(jī)變量。那么思索一個(gè)概率空間(Ω,P)，并令一切的風(fēng)險(xiǎn)X構(gòu)成一個(gè)集合X。那么函數(shù):X→R就是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)測度。風(fēng)險(xiǎn)度量的種類VaRCoherentmeasuresofrisk(一致性風(fēng)險(xiǎn)度量)CVaRExpectedShortfallDistortionRiskmeasureVaR在正常市場條件下和一定概率程度〔置信度〕下，某一金融資產(chǎn)或證券組合價(jià)值在未來特定時(shí)期內(nèi)的最大能夠損失。設(shè)G是一項(xiàng)投資收益的現(xiàn)值，服從正態(tài)分布，并且假設(shè)置信度為1%==0.01此時(shí)的v就是VaR由于所以2.33=即VaR=-+2.33我們要選擇VaR最小的投資VaR模型的缺乏不具有次可加性，不是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量VaR模型只關(guān)懷超越VaR值的頻率，而不關(guān)懷超越VaR值的損失分布情況。一致性風(fēng)險(xiǎn)測度(Coherentmeasureofrisk)必需滿足下面的約束條件：1、單調(diào)性2、次可加性3、正齊次性4、平移不變性ARTZNERetc.(1999),COHERENTMEASURESOFRISK,MathematicalFinance,9(3):203-228風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)準(zhǔn)那么：一致風(fēng)險(xiǎn)度量Artzneretal.(1999)提出了一致風(fēng)險(xiǎn)度量，并以為一個(gè)良好的風(fēng)險(xiǎn)度量必需滿足以下條件。1)單調(diào)性：對恣意，假設(shè)滿足，那么有2)次可加性：對恣意，有3)正齊次性：對恣意，有4)平移不變性：對恣意，有風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)準(zhǔn)那么：一致風(fēng)險(xiǎn)度量1、單調(diào)性：對恣意隨機(jī)損失變量，假設(shè)滿足那么有：

經(jīng)濟(jì)含義的解釋：單調(diào)性闡明資產(chǎn)面臨的損失越大，那么風(fēng)險(xiǎn)也越大。風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)準(zhǔn)那么：一致風(fēng)險(xiǎn)度量2、次可加性：對恣意，有經(jīng)濟(jì)含義的解釋：次可加性闡明分散可以降低風(fēng)險(xiǎn)，即投資組合的風(fēng)險(xiǎn)分散化效應(yīng)。風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)準(zhǔn)那么：一致風(fēng)險(xiǎn)度量3、正齊次性：對恣意，有經(jīng)濟(jì)含義的解釋：正齊次性闡明隨著損失的添加，風(fēng)險(xiǎn)也相應(yīng)添加，也闡明當(dāng)收益以不同的貨幣單位表示時(shí)，風(fēng)險(xiǎn)度量必需做一樣尺度的變化，資產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)與采用的貨幣單位是獨(dú)立的，不受計(jì)量單位影響，類比分別定理。風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)準(zhǔn)那么：一致風(fēng)險(xiǎn)度量4、平移不變性：對恣意，有經(jīng)濟(jì)含義的解釋：平移不變性闡明損失添加一個(gè)確定的現(xiàn)金值，風(fēng)險(xiǎn)也相應(yīng)的添加一個(gè)確定的值。

風(fēng)險(xiǎn)評價(jià)準(zhǔn)那么：其它準(zhǔn)那么客觀性：假設(shè)X和Y同分布，那么有客觀性是一個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量可以實(shí)踐運(yùn)用的前提，只需風(fēng)險(xiǎn)度量具有客觀性，這個(gè)風(fēng)險(xiǎn)度量才有意義。投資心思：VaRCVaR風(fēng)險(xiǎn)厭惡總而言之，風(fēng)險(xiǎn)度量是對現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)規(guī)律和投資人心思的一種模擬。條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值〔CVaR〕

——風(fēng)險(xiǎn)度量方法〔二〕CVaR條件風(fēng)險(xiǎn)價(jià)值〔CVaR〕模型是指在正常市場條件下和一定的置信程度a上，測算出在給定的時(shí)間段內(nèi)損失超越VaR的條件期望值。CVAR=由于我們可以得到：對于規(guī)范正態(tài)隨機(jī)變量Z有：所以我們要選擇此值最小的資產(chǎn)，在這里，相比VaR模型中的值給了方差更大的權(quán)重。CVaR模型想對于VaR模型的改良CVaR模型在一定程度上抑制了VaR模型的缺陷不僅思索了超越VaR值的頻率，而且思索了超越VaR值損失的條件期望。CVaR的缺乏1、對于超越VaR(α)的損失進(jìn)展了思索,但忽視了低端部分的損失。2、由于僅僅經(jīng)過期望值度量超越了VaR(α)的損失,因此對“低頻率,高額度〞的損失沒有進(jìn)展適當(dāng)調(diào)整?，F(xiàn)實(shí)上,在期望值一樣的情況下,“低頻率,高額度〞的損失意味著更大的風(fēng)險(xiǎn)。CVaR的缺乏3、當(dāng)證券組合損失分布是延續(xù)的時(shí)，CVaR模型是一個(gè)一致性風(fēng)險(xiǎn)度量模型，具有次可加性；當(dāng)證券組合損失分布不是延續(xù)的時(shí)，CVaR模型由于不具有次可加性而不再是一致性風(fēng)險(xiǎn)度量模型。舉例假定某一投資組合在2006年7月29日在置信度取95%時(shí)日VaR值為100萬元，

CVaR值為130萬元，根據(jù)VaR和CVaR的定義可知:該組合有95%的把握可以保證，這一天該組合由于多種要素而帶來的極端潛在損失不會超越130萬元，或者說損失超越100萬元的條件損失為130萬元。

期望短缺〔expectedshortfall)ES定義期望短缺(expectedshortfall，簡稱ES)，直觀上的解釋是損失超越VaR的條件期望值。亦可表述為在一定時(shí)間內(nèi)，置信程度為α的情況下，損失分布尾部(1-α)部分的期望值。其數(shù)學(xué)表達(dá)式為：由于ES可以明確指出VaR估計(jì)失敗時(shí)損失的條件期望值，所以它更有助于對尾部風(fēng)險(xiǎn)的深化認(rèn)識，也更接近于投資者的心思感受。ES的嚴(yán)厲定義對于知可積的隨機(jī)變量L和置信程度α∈(0,1)，在置信程度α下的ES定義為：上式中項(xiàng)在損失分布延續(xù)時(shí)為0；在離散條件下，故需求將它從均值中減去。ES模型在信譽(yù)資產(chǎn)組合優(yōu)化中的運(yùn)用

共選擇20支債券作為樣本進(jìn)展分析，分別是10支國債和10支企業(yè)債。我們將國債看成一種無風(fēng)險(xiǎn)債券，企業(yè)債看成一種有違約風(fēng)險(xiǎn)的債券，它們的到期收益率可以分別看成無風(fēng)險(xiǎn)債券和有違約風(fēng)險(xiǎn)債券的利率。我們?nèi)∽?004年01月01日到2005年08月30日，共401個(gè)買賣日的收盤價(jià)作為樣本數(shù)據(jù)。從上表中，我們可以發(fā)現(xiàn)，隨著置信程度的提高，VaR值和ES值也分別增大，但無論在哪個(gè)置信程度下，基于ES度量的風(fēng)險(xiǎn)值都會大于等于VaR度量的值，這與ES的定義是一致的。DistortionRisk-Measure

定義定義1設(shè)映射g:[0,1]→[0,1]是增函數(shù),且g(0)=0,g(1)=1,假設(shè)變換F*(x)=g(F(x))為扭曲概率分布,那么稱g為扭曲函數(shù).定義2假設(shè)對隨機(jī)損失變量X的生存函數(shù)S(X)=1-F(X),有那么稱為扭曲風(fēng)險(xiǎn)度量.扭曲風(fēng)險(xiǎn)度量是調(diào)整后的概率丈量,更多的思索了高風(fēng)險(xiǎn)事件,g(S(X))是調(diào)整后的生存函數(shù).WT-measure的扭曲函數(shù)Wang.s.s(2000)提出了一種特殊的扭曲函數(shù):其中正態(tài)分布,稱其為Wang-transform.在Wang-transform中有這里的扭曲函數(shù)是延續(xù)的且一一對應(yīng)的.Wang可以看到，扭曲函數(shù)g使得變換后的分布函數(shù)比原始分布函數(shù)尾部更厚些，因此能更好的擬合分布的尾部區(qū)域。另外，從圖中還可以看出函數(shù)型風(fēng)險(xiǎn)度量的值比風(fēng)險(xiǎn)度量的值大，這更加符合風(fēng)險(xiǎn)管理的謹(jǐn)慎性。定理一：扭曲風(fēng)險(xiǎn)丈量滿足一致性的充要條件是扭曲函數(shù)為凹函數(shù)。證明：對四個(gè)條件逐一證明。1、單調(diào)性由扭曲函數(shù)定義可知，扭曲函數(shù)為增函數(shù)。對當(dāng)時(shí)，有，又由于，

所以有：Wang-Distortion的一致風(fēng)險(xiǎn)度量證明2、正齊次性：知：

Wang-Distortion的一致風(fēng)險(xiǎn)度量證明Wang-Distortion的一致風(fēng)險(xiǎn)度量