新教材2023版高中數(shù)學第七章隨機變量及其分布專項培優(yōu)章末復習課學生用書新人教A版選擇性必修第三冊

專項培優(yōu)2章末復習課知識網(wǎng)考點聚考點一條件概率1．條件概率是學習相互獨立事件的前提和基礎(chǔ)，計算條件概率時，必須搞清要求的條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率．一般地，計算條件概率常有兩種方法：(1)P(B|A)＝PABPA.(2)P(B|A)2．通過對條件概率的考查，提升學生的邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)．例1[2022·新高考Ⅰ卷節(jié)選]一醫(yī)療團隊為研究某地的一種地方性疾病與當?shù)鼐用竦男l(wèi)生習慣(衛(wèi)生習慣分為良好和不夠良好兩類)的關(guān)系，在已患該疾病的病例中隨機調(diào)查了100例(稱為病例組)，同時在未患該疾病的人群中隨機調(diào)查了100人(稱為對照組)，得到如下數(shù)據(jù)：不夠良好良好病例組4060對照組1090從該地的人群中任選一人，A表示事件“選到的人衛(wèi)生習慣不夠良好”，B表示事件“選到的人患有該疾病”，PBAP(B(1)證明：R＝PABP(2)利用該調(diào)查數(shù)據(jù)，給出P(A|B)，P(A|B)的估計值，并利用(1)的結(jié)果給出R的估計值．例2[2022·新高考Ⅱ卷]在某地區(qū)進行流行病學調(diào)查，隨機調(diào)查了100位某種疾病患者的年齡，得到如下的樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖：(1)估計該地區(qū)這種疾病患者的平均年齡(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(2)估計該地區(qū)一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)的概率；(3)已知該地區(qū)這種疾病的患病率為0.1%，該地區(qū)年齡位于區(qū)間[40，50)的人口占該地區(qū)總?cè)丝诘?6%.從該地區(qū)中任選一人，若此人的年齡位于區(qū)間[40，50)，求此人患這種疾病的概率(以樣本數(shù)據(jù)中患者的年齡位于各區(qū)間的頻率作為患者的年齡位于該區(qū)間的概率，精確到0.0001)．考點二相互獨立事件的概率1．相互獨立事件的概率通常和互斥事件的概率綜合在一起考查，這類問題具有一個明顯的特征，那就是在題目的條件中已經(jīng)出現(xiàn)一些概率值，解題時先要判斷事件的性質(zhì)(是互斥還是相互獨立)，再選擇相應的公式計算求解．2．通過對相互獨立事件概率公式應用的考查，提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理核心素養(yǎng)．例3甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完5局仍未出現(xiàn)連勝，則判定獲勝局數(shù)多者贏得比賽．假設(shè)每局甲獲勝的概率為23，乙獲勝的概率為1(1)求甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽的概率；(2)記X為比賽決出勝負時的總局數(shù)，求X的分布列．考點三二項分布與超幾何分布1．二項分布與超幾何分布是高中階段主要學習的兩種分布，由于這兩種分布列在生活中應用較為廣泛，故在高考中對該知識點的考查較靈活，常與期望、方差融合在一起．2．通過對二項分布與超幾何分布的考查，提升學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算核心素養(yǎng)．例4[2022·福建三明高二期中]2022年2月20日，北京冬奧會在鳥巢落下帷幕，中國隊創(chuàng)歷史最佳戰(zhàn)績．北京冬奧會的成功舉辦推動了我國冰雪運動的普及，讓越來越多的青少年愛上了冰雪運動．某校組織了一次全校冰雪運動知識競賽，并抽取了100名參賽學生的成績制作成如下頻率分布表：競賽得分[50，60](60，70](70，80](80，90](90，100]頻率0.10.10.30.30.2(1)如果規(guī)定競賽得分在(80，90]為“良好”，競賽得分在(90，100]為“優(yōu)秀”，從成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組學生中，使用分層抽樣抽取5人．現(xiàn)從這5人中抽取2人進行座談，求兩人競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率；(2)以這100名參賽學生中競賽得分為“優(yōu)秀”的頻率作為全校知識競賽中得分為“優(yōu)秀”的學生被抽中的概率．現(xiàn)從該校學生中隨機抽取3人，記競賽得分為“優(yōu)秀”的人數(shù)為X，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．例5[2022·廣東深圳高二期中]近年來，某市為促進生活垃圾分類處理，將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類，并分別設(shè)置了相應的垃圾桶．為調(diào)查居民生活垃圾分類投放情況，現(xiàn)隨機抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾，總計400噸，數(shù)據(jù)統(tǒng)計如下表(單位：噸)．廚余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶廚余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率P；(2)某社區(qū)成立了垃圾分類宣傳志愿者小組，有7名女性志愿者，3名男性志愿者，現(xiàn)從這10名志愿者中隨機選取3名，利用節(jié)假日到街道進行垃圾分類宣傳活動(每名志愿者被選到的可能性相同)．設(shè)X為選出的3名志愿者中男性志愿者的個數(shù)，求隨機變量X的分布列及數(shù)學期望．考點四離散型隨機變量的均值和方差在決策中的作用1．方差是建立在均值這一概念之上的，它表明了隨機變量所取的值相對于它的均值的集中與離散程度，二者聯(lián)系密切，在現(xiàn)實生產(chǎn)生活中特別是風險決策中有著重要意義，因此在當前的高考中是一個熱點問題．2．通過對離散型隨機變量的均值和方差在決策中的作用的考查，提升學生的數(shù)學運算、邏輯推理、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．例6[2021·新高考Ⅰ卷]某學校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學比賽結(jié)束：若回答正確則從另一類問題中再隨機抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分：B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，已知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．(1)若小明先回答A類問題，記X為小明的累計得分，求X的分布列；(2)為使累計得分的期望最大，小明應選擇先回答哪類問題？并說明理由．考點五正態(tài)分布1．正態(tài)分布在實際生產(chǎn)生活中有廣泛的應用，在解題中注意求準正態(tài)分布中的參數(shù)μ，σ，充分利用正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對稱及在三個特殊區(qū)間的概率進行求解．2．通過對正態(tài)分布的考查，提升學生的數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析核心素養(yǎng)．例7(1)[2021·新高考Ⅱ卷]某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10，σ2)，下列結(jié)論中不正確的是()A．σ越小，該物理量在一次測量中在(9.9，10.1)的概率越大B．σ越小，該物理量在一次測量中大于10的概率為0.5C．σ越小，該物理量在一次測量中小于9.99與大于10.01的概率相等D．σ越小，該物理量在一次測量中落在(9.9，10.2)與落在(10，10.3)的概率相等(2)[2022·新高考Ⅱ卷]已知隨機變量X服從正態(tài)分布N(2，σ2)，且P(2<X≤2.5)＝0.36，則P(X>2.5)＝________．章末復習課考點聚焦·分類突破例1解析：(1)證明：∵PBAP(B|A)P(B|A)P(B|A)＝PABPAB·PABPAB＝PABPB·P∴R＝PABP(2)由表格中的數(shù)據(jù)，得P(A|B)＝40100＝25，P(A|B)＝10100∴P(A|B)＝1－P(A|B)＝35P(A|B)＝1－P(A|B)＝910∴R＝PABPAB·例2解析：(1)平均年齡x＝(5×0.001＋15×0.002＋25×0.012＋35×0.017＋45×0.023＋55×0.020＋65×0.017＋75×0.006＋85×0.002)×10＝(0.005＋0.03＋0.3＋0.595＋1.035＋1.1＋1.105＋0.45＋0.17)×10＝47.9(歲)．(2)設(shè)A＝{一位這種疾病患者的年齡位于區(qū)間[20，70)}，則P(A)＝1－P(A)＝1－(0.001＋0.002＋0.006＋0.002)×10＝1－0.11＝0.89.(3)設(shè)B＝{任選一人年齡位于區(qū)間[40，50)}，C＝{任選一人患這種疾病}，則由條件概率公式，得P(C|B)＝PBCPB＝0.1%×0.023×即此人患這種疾病的概率約為0.0014.例3解析：用A表示“甲在4局以內(nèi)(含4局)贏得比賽”，Ak表示“第k局甲獲勝”，Bk表示“第k局乙獲勝”．則P(Ak)＝23，P(Bk)＝1k＝1，2，3，4，5.(1)P(A)＝P(A1A2)＋P(B1A2A3)＋P(A1B2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＝232＋1＝5681(2)X的可能取值為2，3，4，5.P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(B1B2)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)＝59P(X＝3)＝P(B1A2A3)＋P(A1B2B3)＝P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝29P(X＝4)＝P(A1B2A3A4)＋P(B1A2B3B4)＝P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)·P(B4)＝1081P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝881故X的分布列為X2345P52108例4解析：(1)成績?yōu)椤傲己谩焙汀皟?yōu)秀”的兩組頻率合計0.5，共50人，抽樣比為110所以成績?yōu)椤傲己谩钡某槿?0×110＝3人，成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的抽取20×110＝所以抽到的競賽得分都是“優(yōu)秀”的概率為P＝C22C(2)由題意知，X的可能取值為0，1，2，3.由題可知，任意1名學生競賽得分“優(yōu)秀”的概率為P1＝20100＝15，競賽得分不是“優(yōu)秀”的概率為P2＝1－P1＝1－15＝45.若以頻率估計概率，則X服從二項分布B(3P(X＝0)＝C301P(X＝1)＝C311P(X＝2)＝C321P(X＝3)＝C331所以X的分布列為X0123P6448121E(X)＝0×64125＋1×48125＋2×12125＋3×1例5解析：(1)由題表可得廚余垃圾共有60＋20＋20＝100噸，其中投入廚余垃圾桶的有60噸，所以廚余垃圾投放正確的概率P＝60100＝3(2)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P(X＝0)＝C30C73C103＝724，PP(X＝2)＝C32C71C103＝740，P所以X的分布列為X0123P72171所以E(X)＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1所以選出的3名志愿者中男性志愿者個數(shù)的數(shù)學期望為910例6解析：(1)由題可知，X的所有可能取值為0，20，100.P(X＝0)＝1－0.8＝0.2；P(X＝20)＝0.8(1－0.6)＝0.32；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以X的分布列為X020100P0.20.320.48(2)由(1)知，E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4.若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計得分，則Y的所有可能取值為0，80，100.P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4；P(Y＝80)＝0.6(1－0.8)＝0.12；P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48.所以E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6.因為54.4<57.6，所以小明應選擇先回答B(yǎng)類問題．例7解析：(1)對于A，σ2為數(shù)據(jù)的方差，所以σ越小，數(shù)據(jù)在μ＝10附近越集中，所以測量結(jié)果落在(9.9，10.1)內(nèi)的概率越大，故A正確；對于B，由正態(tài)分布密度曲線的對稱性可知該物理量一次測量大于10的概率為0.