(人教A版2019選擇性必修第一冊)高二數(shù)學(xué)上冊數(shù)學(xué)同步精講 3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精講）（原卷版+解析）

3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1：待定系數(shù)法角度2：定義法重點題型二：對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解重點題型三：橢圓中的焦點三角形問題角度1：求焦點三角形的內(nèi)角或邊長角度2：求焦點三角形的面積角度3：幾何最值問題重點題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問題第五部分：新定義問題第六部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系特別說明：1、兩種橢圓，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷正誤（1）到平面內(nèi)兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓．()（2）到兩定點和的距離之和為3的點M的軌跡為橢圓．()2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）到兩定點和的距離之和為14的點P的軌跡是()A．橢圓

B．線段

C．圓

D．以上都不對3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）橢圓的焦點坐標(biāo)為()A．

B．

C．

D．4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)P是橢圓上的任意一點，若是橢圓的兩個焦點，則等于()A．10

B．8

C．5

D．45．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓中，焦點在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1：待定系數(shù)法典型例題例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在軸上，長軸長為4，焦距為2；(2)一個焦點坐標(biāo)為，短軸長為2．例題2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)中心在原點，焦點在軸上，長軸長、短軸長分別為8和6；(2)中心在原點，一個焦點坐標(biāo)為，短軸長為4；(3)中心在原點，焦點在軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1．角度2：定義法典型例題例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動點始終滿足關(guān)系式，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知兩圓：，：.動圓在圓內(nèi)部且和圓相內(nèi)切，和圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知定點、和動點．(1)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：動點的軌跡及其方程．條件①：條件②：(2)，求：動點的軌跡及其方程．同類題型歸類練1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）方程化簡的結(jié)果是___________．2．（2022·湖南·高二期末）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點滿足條件，求點的軌跡的方程.4．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，且經(jīng)過點和點；(2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為，P到距它較近的一個焦點的距離等于2.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，焦點在x軸上；(2)，經(jīng)過點，焦點在y軸上．重點題型二：對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解典型例題例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．不充分也不必要條件例題2．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（文））“”是方程“表示橢圓”的（

）．A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓的焦點在軸上，求實數(shù)的取值范圍．同類題型歸類練1．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（文））已知命題p：“”，命題q：“方程表示橢圓”，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件2．（2022·貴州·遵義航天高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知a為實數(shù)，則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示橢圓，求的取值范圍．重點題型三：橢圓中的焦點三角形問題角度1：求焦點三角形的內(nèi)角或周長典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點分別為，，點為短軸的一個端點，則的周長為（

）A．20 B．18 C．16 D．9例題2．（2022·四川眉山·高二期末（理））直線過橢圓的中心，交橢圓于，兩點，是橢圓的一個焦點，則周長的最小值為（

）A．14 B．16 C．18 D．20例題3．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．例題4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點，、是橢圓的兩個焦點，則的最小值是（

）A． B． C． D．角度2：求焦點三角形的面積典型例題例題1．（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9例題2．（2022·山西呂梁·高二期末）已知分別是橢圓的左，右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1，則橢圓的短軸長為（

）A．1 B．2 C． D．4例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．6角度3：幾何最值問題典型例題例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例題2．（2022·山東臨沂·高二期末），分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上的動點，設(shè)點，則的最小值為（

）A． B． C． D．例題3．（2022·寧夏六盤山高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知為橢圓上的一個點，點分別為圓和圓上的動點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．9 D．10角度4：其他問題例題1．（2022·上海普陀·二模）設(shè)橢圓的左、右兩焦點分別為，，是上的點，則使得是直角三角形的點的個數(shù)為_________.例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點在焦點為、的橢圓上，若，則的值為______．同類題型歸類練1．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且滿足.若橢圓的離心率為，則的余弦值為（

）A． B． C． D．2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓與雙曲線有相同的焦點，，離心率互為倒數(shù)，為橢圓上任意一點，則角的最大值為（

）A． B． C． D．3．（2022·全國·高二）已知有相同兩焦點，的橢圓和雙曲線，P是它們的一個交點，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨，的變化而變化4．（2022·上海虹口·二模）已知橢圓：的左、右兩個焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點.若是等邊三角形，則的值等于_________.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知、分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓上一點，若，則這樣的點P有______個．6．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點為，，點P在該橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么的值為______．7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為是上關(guān)于原點對稱的兩點，且，則的周長為___________．8．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，O為坐標(biāo)原點，若點M是線段的中點，則的周長為______.9．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知是橢圓：的左焦點，為上一點，，則的最小值為______.10．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點是橢圓上一點，是其左右焦點，且，則三角形的面積為_________11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）橢圓的左、右焦點分別為，，，的面積為，且，則橢圓方程為（

）A． B．C． D．12．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二開學(xué)考試）已知?是橢圓：()的兩個焦點，為橢圓上的一點，且.若的面積為，則（

）A． B． C． D．13．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點和，是橢圓上的動點，則最大值是（

）A． B． C． D．重點題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問題典型例題例題1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知的周長為，頂點、的坐標(biāo)分別為、，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點是圓內(nèi)一定點，點為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．例題3．（2022·全國·高二）動點在圓上移動，過點作軸的垂線段，為垂足，則線段中點的軌跡方程是.A． B． C． D．同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定點，動點在圓O：上，的垂直平分線交直線OQ于點，若動點的軌跡是橢圓，則m的值可以是（

）A． B．C． D．2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）△ABC的兩個頂點坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（

）A． B．（y≠0）C． D．3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別在軸和軸上運動，為原點，,點的軌跡方程為A． B． C． D．第五部分：新定義問題第五部分：新定義問題1．（2022·北京市十一學(xué)校高二期末）在橢圓C：（）中，其所有外切矩形的頂點在一個定圓：上，稱此圓為該橢圓的蒙日圓.該圖由法國數(shù)學(xué)家G-Monge（1746-1818）最先發(fā)現(xiàn).若橢圓C的離心率為e，左?右焦點分別為?，P為橢圓C上一動點，過P和原點作直線l與蒙日圓相交于M，N，則（

）A． B．1 C． D．以上答案均不正確2．（2022·重慶市清華中學(xué)校高二階段練習(xí)）阿基米德（公元前287年公元前212年）不僅是著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸與短半軸的乘積．若橢圓的對稱軸為坐標(biāo)軸，焦點在軸上，且橢圓的離心率為，面積為，則橢圓的方程為（

）A． B．C． D．3．（2022·安徽·高二階段練習(xí)）古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯采用平面切割圓錐的方法來研究圓錐曲線，用垂直于圓錐軸的平面去截圓雉，得到的截面是圓；把平面再漸漸傾斜得到的截面是橢圓.若用面積為128的矩形截某圓錐得到橢圓，且與矩形的四邊相切.設(shè)橢圓在平面直角坐標(biāo)系中的方程為，下列選項中滿足題意的方程為（

）A． B． C． D．4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近”的方法得到橢圓的面積除以圓周率π等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C：的左，右焦點分別是，，P是C上一點，，，C的面積為12π，則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．第六部分：高考（模擬）題體驗第六部分：高考（模擬）題體驗1．（2021·全國·高考真題）已知，是橢圓：的兩個焦點，點在上，則的最大值為（

）A．13 B．12 C．9 D．62．（2022·江西萍鄉(xiāng)·三模（文））設(shè)為橢圓的焦點，若在橢圓上存在點，滿足，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B．C． D．3．（2022·廣西柳州·模擬預(yù)測（理））已知A（3，1），B（－3，0），P是橢圓上的一點，則的最大值為___．4．（2022·江蘇·南京市天印高級中學(xué)模擬預(yù)測）已知橢圓的左、右焦點分別為，點P為橢圓C上一點，滿足，的面積為，直線交橢圓C于另一點Q，且，則橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________．9．（2022·上海黃浦·模擬預(yù)測）已知橢圓的左焦點為F，若A?B是橢圓上兩動點，且垂直于x軸，則周長的最大值為___________.3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（精講）目錄第一部分：思維導(dǎo)圖（總覽全局）第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第三部分：課前自我評估測試第四部分：典型例題剖析重點題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1：待定系數(shù)法角度2：定義法重點題型二：對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解重點題型三：橢圓中的焦點三角形問題角度1：求焦點三角形的內(nèi)角或邊長角度2：求焦點三角形的面積角度3：幾何最值問題重點題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問題第五部分：新定義問題第六部分：高考（模擬）題體驗第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第一部分：思維導(dǎo)圖總覽全局第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶第二部分：知識點精準(zhǔn)記憶知識點一：橢圓的定義1、橢圓的定義：平面內(nèi)一個動點到兩個定點、的距離之和等于常數(shù)，這個動點的軌跡叫橢圓.這兩個定點（,）叫橢圓的焦點，兩焦點的距離（）叫作橢圓的焦距.說明：若，的軌跡為線段；若，的軌跡無圖形2、定義的集合語言表述集合.知識點二：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸上焦點在軸上標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）圖象焦點坐標(biāo)，，的關(guān)系特別說明：1、兩種橢圓，（）的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有,;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標(biāo)也不同.2、給出橢圓方程(，,),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大;橢圓的焦點在軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標(biāo)軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.第三部分：課前自我評估測試第三部分：課前自我評估測試1．（2022·全國·高二課時練習(xí)）判斷正誤（1）到平面內(nèi)兩個定點的距離之和等于定長的點的軌跡叫做橢圓．()（2）到兩定點和的距離之和為3的點M的軌跡為橢圓．()【答案】

×

×（1）根據(jù)橢圓的定義可知，錯誤；（2）由于兩定點之間距離為4>3,故點M的軌跡不存在，錯誤.2．（2022·全國·高二課時練習(xí)）到兩定點和的距離之和為14的點P的軌跡是()A．橢圓

B．線段

C．圓

D．以上都不對【答案】B由題可知：兩定點之間的距離是14，所以點P的軌跡為線段故選：B3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）橢圓的焦點坐標(biāo)為()A．

B．

C．

D．【答案】C由題可知：焦點在y軸上，a=13,b=5,由a2=b2+c2,所以c=12故選：C4．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)P是橢圓上的任意一點，若是橢圓的兩個焦點，則等于()A．10

B．8

C．5

D．4【答案】A根據(jù)橢圓的定義可知|PF1|+|PF2|=2a=10故選：A5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓中，焦點在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為______．【答案】由題可知：，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為故答案為：第四部分：典型例題剖析第四部分：典型例題剖析重點題型一：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程角度1：待定系數(shù)法典型例題例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在軸上，長軸長為4，焦距為2；(2)一個焦點坐標(biāo)為，短軸長為2．【答案】(1)；(2)．(1)∵橢圓的焦點在x軸上，∴設(shè)橢圓的方程為（），∵長軸長為4，焦距為2，∴，，∴，，∴，∴橢圓的方程為；(2)焦點坐標(biāo)為，短軸長為2，設(shè)橢圓的方程為（），∴，，∴，∴橢圓的方程為．例題2．（2022·江蘇·高二課時練習(xí)）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)中心在原點，焦點在軸上，長軸長、短軸長分別為8和6；(2)中心在原點，一個焦點坐標(biāo)為，短軸長為4；(3)中心在原點，焦點在軸上，右焦點到短軸端點的距離為2，到右頂點的距離為1．【答案】(1)；(2)；(3).(1)由題意得：，所以，結(jié)合焦點在x軸上，故橢圓方程為；(2)由題意得：，故，因為焦點在y軸上，故橢圓方程為(3)由題意得：，，所以，，結(jié)合焦點在x軸上，故橢圓方程為：.角度2：定義法典型例題例題1．（2022·浙江·高三專題練習(xí)）若動點始終滿足關(guān)系式，則動點的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因動點滿足關(guān)系式，則該等式表示點到兩個定點的距離的和為8，而，即動點M的軌跡是以為焦點，長軸長的橢圓，于是短半軸長b有，所以動點M的軌跡方程為.故選：B例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知兩圓：，：.動圓在圓內(nèi)部且和圓相內(nèi)切，和圓相外切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】D設(shè)動圓的圓心，半徑為圓與圓:內(nèi)切，與C2：外切.所以.由橢圓的定義，的軌跡是以為焦點，長軸為16的橢圓.則，所以動圓的圓心的軌跡方程為：故選：D例題3．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知定點、和動點．(1)再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知，求：動點的軌跡及其方程．條件①：條件②：(2)，求：動點的軌跡及其方程．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析.(1)選擇條件①：，因為，故點的軌跡是以為焦點的橢圓，設(shè)其方程為，則，，故其方程為：.即選擇條件①，點的軌跡是橢圓，其方程為；選擇條件②：，因為，故點的軌跡是線段，其方程為.(2)因為，當(dāng)時，此時動點不存在，沒有軌跡和方程；當(dāng)時，此時，由（1）可知，此時動點的軌跡是線段，其方程為；當(dāng)時，此時，此時點的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為.綜上所述：當(dāng)時，動點沒有軌跡和方程；當(dāng)時，動點的軌跡是線段，其方程為；當(dāng)時，動點的軌跡是以為焦點的橢圓，其方程為.同類題型歸類練1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）方程化簡的結(jié)果是___________．【答案】解：∵，故令，，∴，∴方程表示的曲線是以，為焦點，長軸長的橢圓，即，，，∴方程為.故答案為：.2．（2022·湖南·高二期末）一動圓與圓外切，同時與圓內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為___________.【答案】圓x2+y2+6x+5＝0的圓心為A（﹣3，0），半徑為2；圓x2+y2﹣6x﹣91＝0的圓心為B（3，0），半徑為10；設(shè)動圓圓心為M（x，y），半徑為x；則MA＝2+r，MB＝10﹣r；于是MA+MB＝12＞AB＝6所以，動圓圓心M的軌跡是以A（﹣3，0），B（3，0）為焦點，長軸長為12的橢圓．a(chǎn)＝6，c＝3，b2＝a2﹣c2＝27；所以M的軌跡方程為故答案為3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點滿足條件，求點的軌跡的方程.【答案】.滿足條件，∴點P的軌跡是以，為焦點，長軸長為4的橢圓，，，∴所求點P的軌跡C的方程為.4．（2022·新疆·哈密市第一中學(xué)高二期末（理））求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)焦點在x軸上，且經(jīng)過點和點；(2)焦點在y軸上，與y軸的一個交點為，P到距它較近的一個焦點的距離等于2.【答案】(1)(2)(1)由題意得：，，因為焦點在x軸上，所以橢圓方程為：；(2)由題意得：，，所以，，所以橢圓方程為：.5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）分別根據(jù)下列條件，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(1)，焦點在x軸上；(2)，經(jīng)過點，焦點在y軸上．【答案】(1)(2)(1)若，焦點在x軸上，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(2)因為，焦點在y軸上，故設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為又因為橢圓經(jīng)過點，則，得所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為重點題型二：對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的理解典型例題例題1．（2022·江西吉安·高二期末（文））“”是“方程表示橢圓”的（

）A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．不充分也不必要條件【答案】A若方程表示橢圓，則，，“”是“方程表示橢圓”的必要條件；反過來，當(dāng)時，如，或，方程表示圓，“”不是方程“表示橢圓”的充分條件．綜上，“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：A．例題2．（2022·廣西·南寧二中高三階段練習(xí)（文））“”是方程“表示橢圓”的（

）．A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A當(dāng)方程表示橢圓時，必有，所以且；當(dāng)時，該方程不一定表示橢圓，例如當(dāng)時，方程變?yōu)?，它表示一個圓．即“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件．故選：A．例題3．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知橢圓的焦點在軸上，求實數(shù)的取值范圍．【答案】.當(dāng)時，顯然方程不表示橢圓，當(dāng)時，由，因為橢圓的焦點在x軸上，所以由，即實數(shù)m的取值范圍為.同類題型歸類練1．（2022·安徽省蕪湖市教育局模擬預(yù)測（文））已知命題p：“”，命題q：“方程表示橢圓”，則p是q的（

）A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C若方程表示橢圓，則，解得或，所以p是q的必要不充分條件，故選：C2．（2022·貴州·遵義航天高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知a為實數(shù)，則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A由方程表示的曲線為橢圓，則，解得且，所以“”是“且”的充分不必要條件，即“”是“方程表示的曲線為橢圓”的充分不必要條件.故選：A.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若方程表示橢圓，求的取值范圍．【答案】且解：因為方程表示橢圓，則，解得且．重點題型三：橢圓中的焦點三角形問題角度1：求焦點三角形的內(nèi)角或周長典型例題例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左右焦點分別為，，點為短軸的一個端點，則的周長為（

）A．20 B．18 C．16 D．9【答案】B由橢圓方程知，所以，．故選：B．例題2．（2022·四川眉山·高二期末（理））直線過橢圓的中心，交橢圓于，兩點，是橢圓的一個焦點，則周長的最小值為（

）A．14 B．16 C．18 D．20【答案】B如圖，E，F(xiàn)是橢圓的兩個焦點，則四邊形AEBF是平行四邊形，結(jié)合橢圓的對稱性周長為：又有：則有：周長的最小值為16故選：B例題3．（2022·江蘇·高二）已知橢圓的左、右焦點分別為，點在橢圓上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C解：由題意，橢圓方程，可得，所以焦點，又由橢圓的定義，可得，因為，所以，在中，由余弦定理可得,所以，解得，又由，所以.故選:C．例題4．（2022·全國·高二專題練習(xí)）設(shè)是橢圓上一點，、是橢圓的兩個焦點，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】A在橢圓中，，，，由橢圓定義可得，，由余弦定理可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因此，的最小值為.故選：A.角度2：求焦點三角形的面積典型例題例題1．（2022·四川內(nèi)江·高二期末（理））已知是橢圓上的點，、分別是橢圓的左、右焦點，若，則的面積為（

）A． B． C． D．9【答案】A因為，所以，又記，則，②2-①整理得：，所以故選：A例題2．（2022·山西呂梁·高二期末）已知分別是橢圓的左，右焦點，點是橢圓上的一點，且的面積為1，則橢圓的短軸長為（

）A．1 B．2 C． D．4【答案】B設(shè)，，所以，即，即，得，短軸長為.故選：B例題3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)是橢圓的兩個焦點，是橢圓上的點，且，則的面積為（

）A． B． C．4 D．6【答案】D易知，，所以，，即，由橢圓的定義，知，又因為，所以，又，所以為直角三角形，所以.故選：D.角度3：幾何最值問題典型例題例題1．（2022·四川·遂寧中學(xué)高二階段練習(xí)（理））點，是橢圓的左焦點，是橢圓上任意一點，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A設(shè)是橢圓的右焦點，則又因為，，所以，則故選：A例題2．（2022·山東臨沂·高二期末），分別為橢圓的左?右焦點，為橢圓上的動點，設(shè)點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A解：由橢圓方程得，如圖，連接，由于，所以，所以，因為，當(dāng)且僅當(dāng)三點共線時等號成立，所以所以故選：A例題3．（2022·寧夏六盤山高級中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知為橢圓上的一個點，點分別為圓和圓上的動點，則的最小值為（

）A．6 B．7 C．9 D．10【答案】B解：依題意可知，橢圓的焦點分別是兩圓和的圓心，根據(jù)定義，兩圓半徑為，故橢圓上動點與焦點連線時與圓相交于M，N時，最小，最小值為.故選：B.角度4：其他問題例題1．（2022·上海普陀·二模）設(shè)橢圓的左、右兩焦點分別為，，是上的點，則使得是直角三角形的點的個數(shù)為_________.【答案】6由橢圓性質(zhì)知：當(dāng)為上下頂點時最大，此時，，所以，故焦點三角形中最大為，故有2個；又、對應(yīng)的直角三角形各有2個；綜上，使得是直角三角形的點的個數(shù)為6個.故答案為：6例題2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點在焦點為、的橢圓上，若，則的值為______．【答案】在橢圓中，，，則，，由橢圓的定義可得，因為，則，所以，.故答案為：.同類題型歸類練1．（2022·安徽亳州·高三期末（理））已知橢圓的左、右焦點分別為、，點在橢圓上，且滿足.若橢圓的離心率為，則的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D由已知可得，則，，則，由余弦定理可得.故選：D.2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）橢圓與雙曲線有相同的焦點，，離心率互為倒數(shù)，為橢圓上任意一點，則角的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】D設(shè)橢圓方程為，則，解得，則橢圓方程為，當(dāng)點為橢圓短軸端點時角最大，此時，因為，故選：D.3．（2022·全國·高二）已知有相同兩焦點，的橢圓和雙曲線，P是它們的一個交點，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨，的變化而變化【答案】B根據(jù)橢圓與雙曲線的焦點都在軸上，不妨設(shè)在第一象限，是左焦點，是右焦點，則由橢圓與雙曲線的定義有：，可得，，即，因為兩者有公共焦點，設(shè)半焦距為，則，，所以，所以，所以，即，所以為直角三角形.故選：B.4．（2022·上海虹口·二模）已知橢圓：的左、右兩個焦點分別為、，過的直線交橢圓于兩點.若是等邊三角形，則的值等于_________.【答案】因為是等邊三角形，故，故關(guān)于軸對稱，故軸.故，，故，又，故，故，即，所以，故答案為：5．（2022·全國·高二課時練習(xí)）已知、分別是橢圓的左、右焦點，P是橢圓上一點，若，則這樣的點P有______個．【答案】2由題設(shè)，最大時P在橢圓的上下頂點上，此時，又，所以，故這樣的點P有2個，恰好為上下頂點.故答案為：26．（2022·全國·高二課時練習(xí)）設(shè)橢圓的焦點為，，點P在該橢圓上，如果線段的中點在y軸上，那么的值為______．【答案】7由＝1可知，，所以，所以F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，∵線段PF1的中點M在y軸上，且原點為線段的中點，所以，所以軸，∴可設(shè)P(3，t)，把P(3，t)代入橢圓＝1，得.∴|PF1|＝，|PF2|＝.∴.故答案為：7.7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為是上關(guān)于原點對稱的兩點，且，則的周長為___________．【答案】14設(shè)橢圓的右焦點為，連接，，根據(jù)橢圓的對稱性可得,即四邊形為矩形所以,由橢圓的定義可得，所以所以的周長為：故答案為：148．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左焦點為，點P是橢圓上異于頂點的任意一點，O為坐標(biāo)原點，若點M是線段的中點，則的周長為______.【答案】8由橢圓，得，由題意可知如圖：連結(jié)，點M是線段的中點，可得OM為的中位線，所以，由橢圓的定義可知，得，所以的周長為：.故答案為：89．（2022·湖北·高二階段練習(xí)）已知是橢圓：的左焦點，為上一點，，則的最小值為______.【答案】設(shè)為橢圓右焦點，由橢圓的定義可知，，所以.要求的最小值，也就是求的最大值.如圖示：而當(dāng)，，共線(A在中間)時，最大，此時，所以.所以的最小值為.故答案為：10．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點是橢圓上一點，是其左右焦點，且，則三角形的面積為_________【答案】由橢圓方程知：，，則；由橢圓定義知：，由余弦定理得：，，解得：，.故答案為：.11．（2022·全國·高二課時練習(xí)）橢圓的左、右焦點分別為，，，的面積為，且，則橢圓方程為（

）A． B．C． D．【答案】D由題意可得，且，，解得，，，所以橢圓的方程為，故選：D．12．（2022·黑龍江·大慶市東風(fēng)中學(xué)高二開學(xué)考試）已知?是橢圓：()的兩個焦點，為橢圓上的一點，且.若的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】B依題意有，所以又，，所以，又，可得，即，則，故選：B.13．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知點和，是橢圓上的動點，則最大值是（

）A． B． C． D．【答案】A解：橢圓，所以為橢圓右焦點，設(shè)左焦點為，則由橢圓定義，于是.當(dāng)不在直線與橢圓交點上時，??三點構(gòu)成三角形，于是，而當(dāng)在直線與橢圓交點上時，在第一象限交點時，有，在第三象限交點時有.顯然當(dāng)在直線與橢圓第三象限交點時有最大值，其最大值為.故選：A.重點題型四：與橢圓有關(guān)的軌跡問題典型例題例題1．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知的周長為，頂點、的坐標(biāo)分別為、，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D由已知可得，，且、、三點不共線，故點的軌跡是以、為焦點，且除去長軸端點的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點的軌跡方程為.故選：D.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)圓的圓心為，點是圓內(nèi)一定點，點為圓周上任一點，線段的垂直平分線與的連線交于點，則點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D為垂直平分線上的一點

點的軌跡是以為焦點的橢圓

，

的軌跡方程為故選：例題3．（2022·全國·高二）動點在圓上移動，過點作軸的垂線段，為垂足，則線段中點的軌跡方程是.A． B． C． D．【答案】B解：設(shè)線段中點為P設(shè)M（x0，y0），D（x0，0），∵P是的中點，∴，又M在圓上，∴x02+y02＝25，即x2+4y2＝25，．∴線段的中點P的軌跡方程是：．故選B．同類題型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知定點，動點在圓O：上，的垂直平分線交直線OQ于點，若動點的軌跡是橢圓，則m的值可以是（

）A． B．C． D．【答案】D要使動點M的軌跡是橢圓，則必須在圓內(nèi)，即，故選：D.2．（2022·全國·高二專題練習(xí)）△ABC的兩個頂點坐標(biāo)A（-4，0），B（4，0），它的周長是18，則頂點C的軌跡方程是（

）A． B．（y≠0）C． D．【答案】D因為，所以，所以頂點C的軌跡為以A，B為焦點的橢圓，去掉A，B，C共線的情況，即，所以頂點C的軌跡方程是，故選：D.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，分別在軸和軸上運動，為原點，,點的軌跡方程為A． B． C． D．【答案】A設(shè)動點坐標(biāo)為由得：即

故選A．第五部分：新定義問題第五部分：新定義問題1．（2022·