專題08等差數(shù)列（知識梳理精講）原卷版

專題08等差數(shù)列知識點1、等差數(shù)列的概念及其定義一般地，如果一個數(shù)列從______________，相鄰每一項與它的前一項的差等于同一個______________，那么這個數(shù)列就叫做______________，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公差；公比通常用字母________表示，即：____________________________或____________________________。特別注意：證明或判斷等差數(shù)列____________________________。例1．（1）、（2023上·上?！じ叨？计谥校┮阎?，a，成等差數(shù)列，則a的值為．（2）、（2023上·安徽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列單調(diào)遞增且滿足，則的取值范圍是．（3）、（2023上·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，則（

）A．4 B．6 C．8 D．10（4）、（2024·四川自貢·統(tǒng)考一模）南末數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，但是逐項差數(shù)之差或者高次差成等差數(shù)列.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術(shù)”.現(xiàn)有高階等差數(shù)列，其前項分別為，則該數(shù)列的第項（

）A． B． C． D．1．（2024上·甘肅白銀·高二?？计谀┰诘炔顢?shù)列中，，則（

）A．6 B．8 C．9 D．122．（2023上·山東濰坊·高三統(tǒng)考期中）諾沃爾（Knowall）在1740年發(fā)現(xiàn)了一顆彗星，并推算出在1823年、1906年……人類都可以看到這顆彗星，即該彗星每隔年出現(xiàn)一次.從現(xiàn)在（2023年）開始到公元3000年，人類可以看到這顆彗星的次數(shù)為.3．（2023上·安徽安慶·高二?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列5，8，11，…與等差數(shù)列3，8，13，…都有100項，那么這兩個數(shù)列相同的項共有項．4．（2024上·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）中位數(shù)為1010的一組數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，其末項為2024，則數(shù)列的首項為（

）A． B． C．或 D．3或例2、（2023上·陜西咸陽·高二武功縣普集高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足：，.(1)計算數(shù)列的前4項；(2)求證：是等差數(shù)列；(3)求的通項公式.例3、（2023上·山東泰安·高二山東省泰安第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（1）已知數(shù)列滿足，.①證明：數(shù)列是等差數(shù)列；②求數(shù)列的通項公式；（2）數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項公式.1．（2023下·高二課時練習(xí)）已知數(shù)列，滿足，，記.(1)試證明數(shù)列為等差數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式．2．（2023上·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，(1)求證：數(shù)列為等差數(shù)列;(2)求數(shù)列的通項公式與最大值.知識點2、等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式：____________________________或____________________________。①當(dāng)時，等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于的一次函數(shù)，且斜率為公差；②若公差，則為遞增等差數(shù)列；若公差，則為遞減等差數(shù)列；若公差，則為常數(shù)列。例4．（1）、（2023上·重慶·高二重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列為遞增數(shù)列，且滿足，，則其通項公式為（

）A． B．C． D．（2）、（2023上·上海靜安·高二上海市回民中學(xué)校考期中）已知數(shù)列滿足，（，），則．（3）、（2023上·安徽淮北·高二淮北一中?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式為.1．（2023·全國·高二假期作業(yè)）等差數(shù)列的公差，且，則數(shù)列的通項公式是（

）A． B．C． D．2．（2023下·上海青浦·高二上海市青浦高級中學(xué)校考期中）等差數(shù)列首項為2，公差為2，則等差數(shù)列的通項公式為3．（2023下·山東日照·高二統(tǒng)考期中）在等差數(shù)列中，已知，那么.例5．（2023上·新疆喀什·高二?？茧A段練習(xí)）在等差數(shù)列中，(1)已知，公差，求；(2)已知公差，，求；1．（2023上·重慶·高二重慶市育才中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是等差數(shù)列，若，．(1)求的通項公式；(2)證明是等差數(shù)列．知識點3、等差中項若成等差數(shù)列，則A叫做與的_____________，且__________________。①當(dāng)時,則有，特別地，當(dāng)時，則有.例6．（1）、（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則（

）A．4 B．5 C． D．（2）、（2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列滿足，則（

）A． B． C． D．（3）、（2023上·安徽滁州·高二?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列是等差數(shù)列，，則．1．（2023上·湖南長沙·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知為等差數(shù)列，且是方程的兩根，則等于（

）A． B． C．2 D．42．（2023下·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，，則（

）A．36 B．48 C．60 D．723．（2022·高二課時練習(xí)）在等差數(shù)列中，若，則的值為．知識點4、等差數(shù)列的前n項和等差數(shù)列的前和：____________________________或____________________________。例7．（1）、（2023上·福建莆田·高三莆田第五中學(xué)?？计谥校┰诘炔顢?shù)列中，為前項和，，則.（2）、（2023上·山東青島·高二青島二中?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，則（

）A．240 B．180 C．120 D．60（3）、（2023上·貴州貴陽·高三貴陽一中?？茧A段練習(xí)）兩個等差數(shù)列和，其前項和分別為，且，則等于（

）A． B． C． D．（4）、（2023上·河北邢臺·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則.1．（2024·吉林·統(tǒng)考二模）已知等差數(shù)列滿足，前項和為，則（

）A．8 B．12 C．16 D．242．（2024·全國·模擬預(yù)測）設(shè)為各項均不為零的等差數(shù)列的前n項和，若，則（

）A． B．2 C． D．33．（2023上·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）等差數(shù)列中的前項和分別為，則（

）A． B． C． D．4．（2023上·湖南張家界·高二張家界市民族中學(xué)?？计谥校┮阎炔顢?shù)列的前項和為，若，，則．例8．（2024上·甘肅白銀·高二?？计谀┮阎獢?shù)列的通項公式，其前項和為．(1)若，求正整數(shù)；(2)若，求數(shù)列的前項和．1．（2023上·山東棗莊·高二棗莊市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列為等差數(shù)列，，且．(1)求的通項公式；(2)記為數(shù)列的前n項和，求．【重難點突破1—求數(shù)列最值項或最值問題】例9．（1）、（2023上·江蘇揚州·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，，，則使得不等式成立的最大的的值為（

）A． B． C． D．（2）、（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習(xí)）（多選題）已知等差數(shù)列的前n項和為，，，則（

）A． B．的前n項和中最小C．使時n的最大值為9 D．?dāng)?shù)列的前10項和為1．（2023上·山東泰安·高二新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的前項和為，若，則取得最大值時，n的值是（）A．23 B．13 C．14 D．122．（2023上·陜西西安·高二西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校考期中）已知等差數(shù)列，其前項和為，若，，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．當(dāng)時，最大C．使時，的最大值為16D．使時，的最大值為15【重難點突破2—絕對值求和】例10．（2024上·內(nèi)蒙古呼和浩特·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）記為數(shù)列的前n項和，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和．1．（2023上·河南洛陽·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列的前n項和為，且