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【一輪復(fù)習(xí)講義】2024年高考數(shù)學(xué)高頻考點題型歸納與方法總結(jié)(新高考通用)第26講復(fù)數(shù)(精講)題型目錄一覽①復(fù)數(shù)的有關(guān)概念②復(fù)數(shù)的四則運算③復(fù)數(shù)的模長④復(fù)數(shù)相等和共軛復(fù)數(shù)⑤復(fù)數(shù)的幾何意義⑥復(fù)數(shù)的三角形式一、知識點梳理一、知識點梳理一、復(fù)數(shù)的概念=1\*GB3①復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù),a,b分別是它的實部和虛部,叫虛數(shù)單位,滿足(1)當(dāng)且僅當(dāng)b=0時,a+bi為實數(shù);(2)當(dāng)b≠0時,a+bi為虛數(shù);(3)當(dāng)a=0且b≠0時,a+bi為純虛數(shù).其中,兩個實部相等,虛部互為相反數(shù)的復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù).=2\*GB3②兩個復(fù)數(shù)相等(兩復(fù)數(shù)對應(yīng)同一點)=3\*GB3③復(fù)數(shù)的模:復(fù)數(shù)的模,其計算公式二、復(fù)數(shù)的加、減、乘、除的運算法則1、復(fù)數(shù)運算(1)(2)其中,叫z的模;是的共軛復(fù)數(shù).(3).實數(shù)的全部運算律(加法和乘法的交換律、結(jié)合律、分配律及整數(shù)指數(shù)冪運算法則)都適用于復(fù)數(shù).2、復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)對應(yīng)平面內(nèi)的點;(2)復(fù)數(shù)對應(yīng)平面向量;(3)復(fù)平面內(nèi)實軸上的點表示實數(shù),除原點外虛軸上的點表示虛數(shù),各象限內(nèi)的點都表示復(fù)數(shù).(4)復(fù)數(shù)的模表示復(fù)平面內(nèi)的點到原點的距離.三、復(fù)數(shù)的三角形式(1)復(fù)數(shù)的三角表示式一般地,任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式,其中是復(fù)數(shù)的模;是以軸的非負(fù)半軸為始邊,向量所在射線(射線)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式,簡稱三角形式.(2)輻角的主值任何一個不為零的復(fù)數(shù)的輻角有無限多個值,且這些值相差的整數(shù)倍.規(guī)定在范圍內(nèi)的輻角的值為輻角的主值.通常記作,即.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式可以轉(zhuǎn)化為三角形式,三角形式也可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式.(3)三角形式下的兩個復(fù)數(shù)相等兩個非零復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的模與輻角的主值分別相等.(4)復(fù)數(shù)三角形式的乘法運算①兩個復(fù)數(shù)相乘,積的模等于各復(fù)數(shù)的模的積,積的輻角等于各復(fù)數(shù)的輻角的和,即.(5)復(fù)數(shù)三角形式的除法運算兩個復(fù)數(shù)相除,商的模等于被除數(shù)的模除以除數(shù)的模所得的商,商的輻角等于被除數(shù)的輻角減去除數(shù)的輻角所得的差,即.【常用結(jié)論】①當(dāng)時,.②.二、題型分類精講二、題型分類精講題型一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念策略方法解決復(fù)數(shù)概念問題的方法及注意事項(1)求一個復(fù)數(shù)的實部與虛部,只需將已知的復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式z=a+bi(a,b∈R),則該復(fù)數(shù)的實部為a,虛部為b.(2)復(fù)數(shù)是實數(shù)的條件:①z=a+bi∈R?b=0(a,b∈R);②z∈R?z=eq\x\to(z);③z∈R?z2≥0.(3)復(fù)數(shù)是純虛數(shù)的條件:①z=a+bi是純虛數(shù)?a=0且b≠0(a,b∈R);②z是純虛數(shù)?z+eq\x\to(z)=0(z≠0);③z是純虛數(shù)?z2<0.【典例1】(單選題)已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則實數(shù)a等于(
)A. B. C. D.2【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求得復(fù)數(shù)z,根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算,即得答案.【詳解】由題意得,因為它為純虛數(shù),所以,解得,故選:D.【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023春·貴州黔東南·高三??茧A段練習(xí))復(fù)數(shù)的虛部為(
)A. B. C.2 D.16【答案】C【分析】利用虛數(shù)單位的性質(zhì)可求,故可求其虛部.【詳解】因為,故,故的虛部為2,故選:C.2.(2023秋·廣東惠州·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)滿足,則的虛部是(
)A.2 B.2i C.1 D.i【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算化簡,再根據(jù)虛部的定義求解.【詳解】因為,所以,所以的虛部是1.故選:C.3.(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)復(fù)數(shù)z滿足,則z的實部是(
)A.-1 B.1 C.-3 D.3【答案】C【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算可得,即可知z的實部是.【詳解】由可得,所以z的實部是.故選:C4.(2023·遼寧遼陽·統(tǒng)考二模)復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)的實部和虛部分別是(
)A.3,2 B.3,2i C.1,2 D.1,2i【答案】C【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運算化簡復(fù)數(shù),即可確定實部、虛部.【詳解】由題意,則復(fù)數(shù)的實部和虛部分別是1和2.故選:C5.(2023·陜西安康·陜西省安康中學(xué)??寄M預(yù)測)設(shè)復(fù)數(shù)的實部與虛部互為相反數(shù),則(
)A. B. C.2 D.3【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算化簡復(fù)數(shù)z,根據(jù)實部與虛部互為相反數(shù)列式計算,即得答案.【詳解】,由已知得,解得,故選:D6.(2023·江蘇無錫·輔仁高中??寄M預(yù)測)已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則的值為(
)A. B.12 C. D.3【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡,根據(jù)純虛數(shù)的概念列式計算,可得答案.【詳解】由題意,因為復(fù)數(shù)是純虛數(shù),故,解得,故選:C7.(2023·江蘇鹽城·鹽城中學(xué)校考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)是純虛數(shù),則(
)A.-2 B.2 C.-1 D.1【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的特征,設(shè)(),再根據(jù)復(fù)數(shù)的運算,利用復(fù)數(shù)相等,列式求解.【詳解】由題意設(shè)(),,即,則,解得:.故選:D題型二復(fù)數(shù)的四則運算策略方法復(fù)數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘法:復(fù)數(shù)的加、減、乘法類似于多項式的運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可.(2)復(fù)數(shù)的除法:除法的關(guān)鍵是分子分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù),使分母實數(shù)化.解題中要注意把i的冪寫成最簡形式.【典例1】(單選題)若復(fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】對已知等式化簡直接求解復(fù)數(shù)【詳解】由,得,,故選:A【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023春·湖南邵陽·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試)若復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則z=(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)乘法法則計算出結(jié)果.【詳解】.故選:B2.(2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知為虛數(shù)單位,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則直接計算.【詳解】由題意得,.故選:D3.(2023·全國·高三專題練習(xí))(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算即可得出答案.【詳解】.故選:D.4.(2023春·重慶萬州·高三重慶市萬州第二高級中學(xué)??茧A段練習(xí))若,則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算求解即可.【詳解】由得,,所以.故選:A.5.(2023·內(nèi)蒙古赤峰·赤峰二中校聯(lián)考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運算即可求解.【詳解】因為,則,故選:C.6.(2023·全國·高三專題練習(xí))若復(fù)數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的除法運算即可得出答案.【詳解】.故選:C.7.(2023·新疆喀什·??寄M預(yù)測)已知,則(
).A. B. C. D.0【答案】B【分析】根據(jù)即可得到的值,進(jìn)而可以用復(fù)數(shù)的四則運算法則進(jìn)行計算.【詳解】,所以,故選:B8.(2023·福建泉州·校聯(lián)考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第四象限,且滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)題意求出,再根據(jù)復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點所在象限,即可求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)滿足:,即,故或,因為復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點在第四象限,故復(fù)數(shù),所以.故選:C.題型三復(fù)數(shù)的模長策略方法【典例1】(單選題)已知復(fù)數(shù)滿足,則(
)A. B. C. D.5【答案】B【分析】先由化簡計算求出復(fù)數(shù),從而可求出其模.【詳解】由,得,所以,故選:B【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023春·河北石家莊·高三石家莊二中??茧A段練習(xí))已知復(fù)數(shù),則(
)A. B.2 C. D.10【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)的乘法公式和模的計算公式即可求解.【詳解】因為,所以.故選:C.2.(2023秋·山西大同·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知復(fù)數(shù)滿足,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運算求出,再求出模作答.【詳解】依題意,,所以.故選:D3.(2023·重慶沙坪壩·重慶八中??级#┤?,,則(
)A. B. C.2 D.10【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及求模公式得解.【詳解】,所以,故選:A.4.(2023·湖南長沙·周南中學(xué)??级#┤魪?fù)數(shù),則(
)A. B. C.4 D.5【答案】D【分析】先化簡,再由復(fù)數(shù)的加法運算求出,由復(fù)數(shù)的模長公式求解即可.【詳解】因為,所以所以,所以.故選:D.5.(2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)??既#┮阎獮樘摂?shù)單位,且復(fù)數(shù)滿足,則(
)A.1 B.2 C. D.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法、乘方運算求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念和模長公式可求出結(jié)果.【詳解】因為,所以,所以,所以,所以.故選:D6.(2023·四川·校聯(lián)考模擬預(yù)測)(
)A.1 B. C. D.2【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)得除法運算求出復(fù)數(shù),再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算公式即可得解.【詳解】由,得.故選:B.7.(2023·黑龍江·黑龍江實驗中學(xué)??既#┮阎獜?fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的虛部為(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運算法則化簡,再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義判斷即可.【詳解】因為,所以,所以復(fù)數(shù)的虛部為.故選:C8.(2023·廣東東莞·統(tǒng)考模擬預(yù)測)復(fù)數(shù)滿足,則(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式及復(fù)數(shù)的運算法則求得,利用共軛復(fù)數(shù)的概念得出答案.【詳解】因為,所以,所以.故選:A.9.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知復(fù)數(shù),則(
)A. B.10 C. D.2【答案】A【分析】化簡復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模長公式即可得出答案.【詳解】因為,所以,所以.故選:A.10.(2023·湖北武漢·統(tǒng)考三模)設(shè)復(fù)數(shù)滿足為純虛數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式,根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù),根據(jù)純虛數(shù)的概念以及復(fù)數(shù)的模長公式可求出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,依題意得,即,則.故選:A11.(2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考三模)已知,,虛數(shù)是方程的根,則(
)A. B. C.2 D.【答案】B【分析】將虛數(shù)z代入方程,利用復(fù)數(shù)相等解方程組即可得出答案.【詳解】因為虛數(shù)()是方程的根,則,即,由復(fù)數(shù)相等得出,解得或,因為虛數(shù)中,所以,所以.故選:B12.(2023·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)復(fù)數(shù)滿足,則(
)A. B. C. D.2【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式即可化簡求解.【詳解】設(shè),由得,所以,解得,所以,故選:B題型四復(fù)數(shù)相等和共軛復(fù)數(shù)策略方法解決與集合的新定義有關(guān)問題的一般思路(1)在只含有z的方程中,z類似于代數(shù)方程中的x,可直接求解;(2)在z,eq\x\to(z),|z|中至少含有兩個的復(fù)數(shù)方程中,可設(shè)z=a+bi,a,b∈R,變換方程,利用兩復(fù)數(shù)相等的充要條件得出關(guān)于a,b的方程組,求出a,b,從而得出復(fù)數(shù)z.(3)求一個復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),只需將此復(fù)數(shù)整理成標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式,實部不變,虛部變?yōu)橄喾磾?shù),即得原復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù).復(fù)數(shù)z1=a+bi與z2=c+di共軛?a=c,b=-d(a,b,c,d∈R).【典例1】(單選題)已知為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù),其中a,,則(
)A., B., C., D.,【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)表達(dá)的唯一性求解.【詳解】,,故選:B.【典例2】(單選題)若,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的除法和共軛復(fù)數(shù)的定義求解.【詳解】若,則,所以.故選:D【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)??寄M預(yù)測)已知復(fù)數(shù),若的共軛復(fù)數(shù)為,則(
)A. B.5 C. D.10【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)運算法則和模長的性質(zhì)計算即可.【詳解】.故選:B2.(2023·陜西西安·??寄M預(yù)測)已知,則的值為(
)A. B.0 C.1 D.2【答案】C【分析】由復(fù)數(shù)相等的充要條件可得的值.【詳解】因為,所以,由復(fù)數(shù)相等的充要條件得,所以.故選:C.3.(2023·四川成都·四川省成都列五中學(xué)??既#┮阎獜?fù)數(shù)z滿足,則(
)A.1 B. C. D.2【答案】B【分析】運用復(fù)數(shù)乘法運算及復(fù)數(shù)相等可求得a、b的值,再運用共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)的模的運算公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)(a,),則,根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義,得,解得或,所以.故選:B.4.(2023春·云南昆明·高三昆明一中??茧A段練習(xí))已知復(fù)數(shù),,則(
)A. B. C.1 D.2【答案】B【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則化簡復(fù)數(shù),代入計算即可求解.【詳解】因為,則,所以,所以.故選:B.5.(2023·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測)復(fù)數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運算,求出,再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義,即可得出.【詳解】.則,故選:B.6.(2023春·安徽阜陽·高三安徽省臨泉第一中學(xué)??紝n}練習(xí))已知復(fù)數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】根據(jù)題意得到,結(jié)合復(fù)數(shù)的運算法則,即可求解.【詳解】因為,可得,所以.故選:A.7.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知i是虛數(shù)單位,設(shè)復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)運算法則求,在求其共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因為,所以,故選:D.8.(2023·甘肅金昌·永昌縣第一高級中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù)滿足,其中為虛數(shù)單位,則(
)A. B. C. D.【答案】C【分析】設(shè)復(fù)數(shù),則,根據(jù)復(fù)數(shù)的加減法與復(fù)數(shù)相等求得結(jié)果.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù),則,則,則,,所以.故選:C.9.(2023·江西鷹潭·貴溪市實驗中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù),則的虛部為(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù),進(jìn)而求其共軛復(fù)數(shù),即可求解.【詳解】,故,故的虛部為,故選:D.10.(2023·江西·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的運算化簡復(fù)數(shù),再求共軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】因為,所以.故選:B.11.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知,則(
)A. B. C.0 D.1【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算求出,再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到,從而解出.【詳解】因為,所以,即.故選:A.12.(2023·陜西咸陽·統(tǒng)考模擬預(yù)測)若,其中,則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的相等求得的值,再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計算求得答案.【詳解】由可得,故,故選:B13.(2023·全國·高三專題練習(xí))已知復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù),則(
)A. B. C.4 D.2【答案】C【分析】化簡結(jié)合已知可得,即可得出的值,進(jìn)而得出答案.【詳解】因為,所以,所以,所以.故選:C.14.(2023·廣東廣州·廣州市從化區(qū)從化中學(xué)校考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)滿足,則的共軛復(fù)數(shù)的虛部為(
)A.2 B. C.4 D.【答案】B【分析】設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)的模的公式及相等復(fù)數(shù)的定義求出參數(shù),再根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的定義及虛部的定義即可得解.【詳解】設(shè),則,則,即,所以,解得,所以,所以的共軛復(fù)數(shù)的虛部為.故選:B.15.(2023·江西·江西師大附中??既#┮阎獜?fù)數(shù)滿足(為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)的虛部為(
)A.3 B. C. D.【答案】A【分析】設(shè),則,代入,利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】解:設(shè),則,因為,所以,即,則,解得,所以復(fù)數(shù)的虛部為3,故選:A16.(2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模)已知復(fù)數(shù)滿足,則(
)A.1 B. C. D.2【答案】D【分析】設(shè),代入,利用復(fù)數(shù)相等求解.【詳解】解:設(shè),則,所以,則,解得或,所以,故選:D.17.(2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知(a,,i為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)(
)A.2 B. C. D.6【答案】B【分析】由復(fù)數(shù)的乘法運算結(jié)合復(fù)數(shù)相等的定義求出,,再由模長公式得出.【詳解】∵,∴,∴,解得,所以.故選:B.18.(2023春·湖南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))復(fù)數(shù),(為虛數(shù)單位),則(
)A. B. C. D.【答案】B【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的乘方及復(fù)數(shù)的模一一計算可得.【詳解】因為,,所以,,故A錯誤;,,所以,故B正確;,故C錯誤;又,所以,故D錯誤.故選:B.題型五復(fù)數(shù)的幾何意義策略方法與復(fù)數(shù)幾何意義相關(guān)的問題的一般解法【典例1】在復(fù)平面中,復(fù)數(shù)(為虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法化簡所求復(fù)數(shù),利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】因為,該復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限.故選:D.【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實驗中學(xué)??既#┮阎獜?fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算求出,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得解.【詳解】由,可得復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點所在的象限為第四象限.故選:D.2.(2023秋·四川內(nèi)江·高三期末)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為(
)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】利用復(fù)數(shù)的運算可化簡,從而可求對應(yīng)的點的位置.【詳解】,所以該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,該點在第一象限,故選:A.3.(2023·江蘇·金陵中學(xué)校聯(lián)考三模)已知復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)除法求出z,即可判斷.【詳解】因為,所以點位于第四象限.故選:D.4.(2023·廣東汕頭·統(tǒng)考三模)已知復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】由復(fù)數(shù)的運算求出復(fù)數(shù)z,再由復(fù)數(shù)幾何意義即可解答.【詳解】由題意,所以,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點,為第四象限內(nèi)的點.故選:D5.(2023春·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習(xí))已知,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)四則運算化簡復(fù)數(shù)z,然后由復(fù)數(shù)的幾何意義可得.【詳解】因為,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,位于第一象限.故選:A6.(2023·河南開封·??寄M預(yù)測)已知復(fù)數(shù)(是虛數(shù)單位),則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【分析】先根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運算得到,從而得到,再由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】由題意得:,所以,由復(fù)數(shù)的幾何意義得:在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為,位于第三象限,故選:C.7.(2023·陜西西安·陜西師大附中??寄M預(yù)測)已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】B【分析】根據(jù)題意化簡得到,結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義,即可求解.【詳解】由復(fù)數(shù)滿足,可得,所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為位于第二象限.故選:B.8.(2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)校考模擬預(yù)測)若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】化簡z,后由復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示可得答案.【詳解】,則,則z的坐標(biāo)表示為,則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限.故選:D9.(2023·河南·襄城高中校聯(lián)考三模)若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限,則實數(shù)m的取值范圍是(
)A. B.C. D.【答案】A【分析】化簡復(fù)數(shù)為,結(jié)合題意,列出不等式組,即可求解.【詳解】由題得,因為z對應(yīng)的點位于第二象限,所以,解得.故選:A.10.(2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測)已知復(fù)數(shù)與在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于實軸對稱,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)對應(yīng)點的對稱關(guān)系得,應(yīng)用復(fù)數(shù)除法化簡目標(biāo)式即得結(jié)果.【詳解】由對應(yīng)點為,則對應(yīng)點為,故,所以.故選:D11.(2023·重慶萬州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點在(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【分析】設(shè),根據(jù)復(fù)數(shù)相等得到方程,解出,再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可得到答案.【詳解】設(shè),,則,即,解得,故復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)點在第一象限,故選:A.12.(2023·湖北武漢·華中師大一附中??寄M預(yù)測)復(fù)數(shù)滿足在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,則(
)A. B. C. D.【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義計算即可.【詳解】由在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為可得,又,即.故選:D.13.(2023·河南洛陽·洛寧縣第一高級中學(xué)??寄M預(yù)測)在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為,則(
)A.2 B.1 C. D.【答案】B【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義及復(fù)數(shù)的除法法則,結(jié)合復(fù)數(shù)的模公式即可求解.【詳解】因為復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為,所以.所以,所以.故選:B.14.(2023·河北唐山·唐山市第十中學(xué)??寄M預(yù)測)已知,其中a,b為實數(shù),則在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于(
)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【分析】先求得在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo),進(jìn)而求得其所在象限.【詳解】由,可得,則,解之得,則,其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點的坐標(biāo)為,該點位于第四象限.故選:D題型六復(fù)數(shù)的三角形式策略方法一般地,任何一個復(fù)數(shù)都可以表示成形式,其中是復(fù)數(shù)的模;是以軸的非負(fù)半軸為始邊,向量所在射線(射線)為終邊的角,叫做復(fù)數(shù)的輻角.叫做復(fù)數(shù)的三角表示式,簡稱三角形式.【典例1】(單選題)把復(fù)數(shù)化三角形式為(
)A. B.C. D.【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的三角形公式求解求解即可.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)的三角形式為,則,,可取,從而復(fù)數(shù)的三角形式為.故選:C.【題型訓(xùn)練】一、單選題1.(2023·全國·高三專題練習(xí))歐拉公式(e為自然對數(shù)的底數(shù),為虛數(shù)單位)由瑞士數(shù)學(xué)家Euler(歐拉)首先發(fā)現(xiàn).它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”,則(
)A.-1 B.1 C.- D.【答案】A【分析】根據(jù)題已知中歐拉公式,直接計算可得答案.【詳解】由題意得:,故選:A2.(2023·全國·高三專題練習(xí))復(fù)數(shù)的輻角主值為(
)A. B. C. D.【答案】A【分析】設(shè)出輻角為,利用公式計算出,,結(jié)合輻角主值的取值范圍求出答案.【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為,則,所以,,因為,所以當(dāng)時,滿足要求,所以輻角主值為.故選:A3.(2023春·廣東揭陽·高三??茧A段練習(xí))歐拉是世紀(jì)數(shù)學(xué)界最杰出的人物之一,他不但為數(shù)學(xué)界作出貢獻(xiàn),更把數(shù)學(xué)推至幾乎整個物理領(lǐng)域,其中歐拉公式的諸多公式中,(為自然對數(shù)的底數(shù),為虛數(shù)單位)被稱為“數(shù)學(xué)中的天橋”,
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