四川省遂寧市2023屆高三第二次診斷性考試數(shù)學(xué)（理）試題（解析版）

遂寧市高2023屆第二次診斷性考試

數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、座位號(hào)和準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本

試卷上無(wú)效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)

是符合題目要求的.

1.已知（"I，z=2+i,則z=（）

【答案】A

【解析】

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算直接求解即可.

【詳解】（l+i）2z=2+i,

2+i2+i1.

/.Z=----------7=-------=-------1

（l+i）22i2-

故選：A.

2.設(shè)全集為R,集合A{小>1},則Ac&3)=()

三1"B=

A{x|-3<x<2}B.3<%<11C.34x〈l}D.{x[l<x〈2}

【答案】C

【解析】

【分析】求出集合A中元素范圍，再求A（。3）即可.

【詳解】A=[五|voj=?4（"￥（：-2）?0]={力3?X<2},

[x—2J九一2w0|

又=

An(^B)={x|-3<x<l}.

故選：C.

3.某鄉(xiāng)鎮(zhèn)為推動(dòng)鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)發(fā)展,優(yōu)化產(chǎn)業(yè)結(jié)構(gòu)，逐步打造高品質(zhì)的農(nóng)業(yè)生產(chǎn)，在某試驗(yàn)區(qū)種植了某農(nóng)作物.為

了解該品種農(nóng)作物長(zhǎng)勢(shì)，在實(shí)驗(yàn)區(qū)隨機(jī)選取了100株該農(nóng)作物苗，經(jīng)測(cè)量，其高度(單位：cm)均在區(qū)間

[10,20]內(nèi),按照[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20]分成5組，制成如圖所示的頻率分布直

方圖，記高度不低于16cm的為“優(yōu)質(zhì)苗”.則所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為()

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)頻率分布直方圖計(jì)算出“優(yōu)質(zhì)苗”的占比，再乘以100可得結(jié)果

【詳解】由頻率分布直方圖可知，“優(yōu)質(zhì)苗”的占比為(0.2+0.1)x2=0.6,

因此，所選取的農(nóng)作物樣本苗中，“優(yōu)質(zhì)苗”株數(shù)為100x0.6=60.

故選：C.

4.數(shù)學(xué)與音樂(lè)有著緊密的關(guān)聯(lián)，我們平時(shí)聽(tīng)到的樂(lè)音一般來(lái)說(shuō)并不是純音，而是由多種波疊加而成的復(fù)合

音.如圖為某段樂(lè)音的圖象，則該段樂(lè)音對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式可以為()

A.y=sinx+—sin2x+—sin3xB.y=sinx——sin2x——sin3x

2323

1cle1cle

C.y=smx+—cos2x+-cos3xD.y=cosx+—cos2x+-cos3x

23

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，再利用特殊值的函數(shù)值，逐一判斷即可.

【詳解】對(duì)于A,函數(shù)y=/(x)=sinx+gsin2x+；sin3x,

因?yàn)?—sinx—；sin2x-；sin3x=-/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),

?71>1V21>/212\/2八認(rèn)s人用石

又/—=----11-----=—H-------->0?故A4符合圖象；

⑷22623

對(duì)于B,函數(shù)y=/(x)=sinx——sin2x——sin3x,

23

因?yàn)?(-x)=-sinx+gsin2x+；sin3x=-/(x),所以函數(shù)為奇函數(shù),

又/(四］=也_』_也=也_,<至_』=0,故B不符題意;

⑷2263232

對(duì)于C,函數(shù)y=/(x)=sinx+gcos2x+gcos3x,

因?yàn)?(0)=2,故C不符題意；

6

一,

對(duì)于D,當(dāng)x=0時(shí)，y-cosx+—1cosc2x+l—ceos3x=一11故D不符題意.

236

故選：A.

5.已知ae[()，Dcos2a+2sin2<z=l,貝Usina=()

14

A-B.C.D.—

555

【答案】D

【解析】

【分析】先利用倍角公式將條件變形，然后結(jié)合siVa+cos2a=1列方程組求解.

【詳解】as0,^

COS6Z>0,sina>0

cos2a+2sin2。=cos?i-sin2a+4sinacosa=1①,

又sin?a+cos?a=1②,

由①②得sina=2亞

5

故選：D.

6.一個(gè)四棱臺(tái)的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖均為上底長(zhǎng)為2,下底長(zhǎng)為4,腰長(zhǎng)為2的等腰梯

形，則該四棱臺(tái)的體積為（)

A28G56

B.C.2873D.56

A.--------T

3

【答案】A

【解析】

【分析】由三視圖可知該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，利用勾股定理求出棱臺(tái)的高，再根據(jù)臺(tái)體的體積公式即可得解.

【詳解】由三視圖可知該四棱臺(tái)為正四棱臺(tái)，且側(cè)面的高為2,

則該棱臺(tái)的高為亞二1=6,

所以棱臺(tái)的體積丫=；*（4+16+仄正卜百=言后

故選：A.

7.已知實(shí)數(shù)。，人滿足Iog2a<bg2人<0,則下列各項(xiàng)中一定成立的是（）

ha

A.八）&B.sin2a<sin2bC.logue<log/,eD.a<b

【答案】D

【解析】

【分析】由1。82。<142匕<0,可得根據(jù)不等式的性質(zhì)即可判斷A；根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性

即可判斷B；根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷C；根據(jù)指數(shù)函數(shù)及基函數(shù)的單調(diào)性即可判斷D.

【詳解】因?yàn)閘og2a<log2b<0，所以0<a<b<l,

則揚(yáng)，故A錯(cuò)誤；

兀117C11

當(dāng)。=一,/?=一時(shí)，2a=—<2b=一<7i,所以sin2/>sin2Z?,故B錯(cuò)誤；

41226

因?yàn)镺vacbvl,所以In。<lnb<0,

所以_L>J_,Bplogae>logfte,故C錯(cuò)誤；

Ina\nh

因?yàn)樗詀"<戌,前<b",即為<6",故D正確.

故選：D.

8.已知四棱柱ABC?！?4G2的底面是正方形，A6=2，AA=2正,點(diǎn)瓦在底面ABC。的射影為

BC中點(diǎn)〃，則直線A。與平面ABC。所成角的正弦值為（）

AER2「近nV6

4443

【答案】C

【解析】

【分析】由已知可得4"，平面ABCD,然后以點(diǎn)”為坐標(biāo)原點(diǎn)，BA、HC、H用的方向分別為x、y、

z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得直線A。1與平面ABC。所成角的正弦值.

【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)名在底面A8CQ的射影為BC中點(diǎn)H,則用“，平面A8CQ,

又因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，以點(diǎn)H為坐標(biāo)原點(diǎn)，區(qū)4、HC、”用的方向分別為'、丫、z軸的

正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系”一節(jié)z,

因?yàn)?4，平面ABC。，BCu平面ABC。，則

因?yàn)锳B=2，AA=2&,則B[H=QBB；-BfP=返二I=J7,

則A（2,—1,0）、0（2,1,0）、3（0,—1,0）、4（0,0,療），

所以，AD^AD+DD^AD+BB,=（0,2,0）+（0,1,V7）=（0,3,V7）,

易知平面ABC。的一個(gè)法向量為〃=（0,0,1）,

COJAD〃）_/??〃一五一女

15/\AD\\]n\4x1-4-

因此，直線與平面A8CD所成角的正弦值為五.

4

故選：C.

9.已知函數(shù)〃x）=gsinx—cosx.給出下列結(jié)論：①/（一/）是“X）的最小值；②函數(shù)“X）在

[-￡,弓]上單調(diào)遞增；③將函數(shù)y=2sinx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移半個(gè)單位長(zhǎng)度，可得到函數(shù)

\2276

y=/（x）的圖象.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

【答案】B

【解析】

【分析】先利用輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可判斷①②，根據(jù)平移變換的原則即可判斷③.

【詳解】/(x)=V3sinx-cosx=

對(duì)于①，W）=2sin]-5）=—2,是“X）的最小值，故①正確；

對(duì)于②，當(dāng)刊-了之時(shí)，

所以函數(shù)在區(qū)間-7,'J上不具有單調(diào)性，故②錯(cuò)誤；

11JT

對(duì)于③，將函數(shù)y=2sinx的圖象上的所有點(diǎn)向左平移T個(gè)單位長(zhǎng)度,

得y=2sin[x+-^J=2sin[x-t+27tJ=2sin[x-Ej=/(x),故③正確，

所以正確的有①③.

故選：B.

10.已知直線/：y=Mx+2)仕>0)與拋物線y2=4x交于點(diǎn)A、B,以線段為直徑的圓經(jīng)過(guò)定點(diǎn)

0(2,0),則|蜴=()

A.4B.6C.8D.10

【答案】C

【解析】

【分析】記根=,>0,則直線/的方程可表示為X=-2,設(shè)點(diǎn)A(5，x)、3(%,%)，將直線/的方程

K

與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合D4.DB=0以及A>0可求得病的值，再利用弦長(zhǎng)公式可求得

\AB\的值.

【詳解】記加=,>0,則直線/的方程可表示為》=根>一2,設(shè)點(diǎn)A(%,y)、3(%,%)，

K

x=my-2,

聯(lián)立〈21可得產(chǎn)-4根)>+8=0,A=16加2-32>0，可得加2>2，

y'=4x

由韋達(dá)定理可得X+必=4根，y,y2=8,

>

=（%-2,%）=（世-4,%）,DB=（x2-2,y2）=（my2-4,%），

由已知可得ZM_LDB，則DADB=（沖】一4）（，佻-4）+乂%=（加+1）M%-4制,+%）+16

=8（〃/+1）—16〃/+16=24—8，/=0,可得加2=3,

所以，|A3|=yj\+m2-J（y+%.—4.?必=Vl+w2-J16加2-32=Vi+3-716x3-32=8.

故選：C.

11.在菱形ABC。中，AB=2,NA=60。，將△BCD繞對(duì)角線8。所在直線旋轉(zhuǎn)至BP￡>，使得

4尸=?，則三棱錐產(chǎn)一/W。的外接球的表面積為（）

A8兀D20K「2OV1571c25兀

A.—D.----C.-------D.---

33273

【答案】B

【解析】

【分析】如圖，取3。的中點(diǎn)M，連接的利用勾股定理證明FMJ_A/0，則有平面

平面4?。，設(shè)點(diǎn)E為△A8O的外接圓的圓心，則E在AM上，設(shè)點(diǎn)。為三棱錐P—A8O的外接球的球

心，外接球的半徑為A,利用勾股定理求出外接球的半徑，再根據(jù)球的表面積公式即可得解.

【詳解】如圖，取8。的中點(diǎn)〃，連接

在菱形ABC。中，ZA=60°,則..ABD,二都是等邊三角形，

則PM=PA=y/3,PM±BD,AM±BD,

因?yàn)槠矫嬉馈?、i平面AB￡>=8D,

所以NPMA即為二面角A的平面角，

兀

因?yàn)?=”2，所以PM_LAM，即NPM4=一，

2

所以平面PBD，平面ABD,

1h

如圖，設(shè)點(diǎn)E為△ABO的外接圓的圓心，則E在A"上，且=二,

33

設(shè)點(diǎn)0為三棱錐P-ABD的外接球的球心，則QE_L平面ABD,

外接球半徑為/?,設(shè)OE=x,

2G、2解得》=立,

則22

R=X+亍+回日

7\373

145

所以六----1----=一

333

20兀

所以三棱錐P-ABD的外接球的表面積為47rH2

故選：B.

12.若存在與?-1,2],使不等式與+卜2-1111。之一^+€2*0-2成立，則。的取值范圍是（）

_L2Xe21e4

A.eB.C.D.-,e4

2e，e2'e2)e

【答案】D

【解析】

222

【分析】x0+(e-ijln4z>—-i-ex0-2<=>(e-l^ln—>--2,令三=/,構(gòu)造函數(shù)

/(z)=(e2-l)lnr-2r+2,從而問(wèn)題轉(zhuǎn)化為存在，使得/⑺20成立.

求導(dǎo)判斷單調(diào)性求得當(dāng)l?r〈e2時(shí)，/(r)N0,進(jìn)而得到qVe2且221,即可求解.

ee

【詳解】X。+(e1—1)Ina2―-—~Fe~x0—2■o(e——l)lna—(e~—1)/N---2

ee

o(e2-l)ln(2-(e2-l)lnex°>—-2<=>fe2—>--2

號(hào)*=t,gp(e2-l)lnr-2^+2>0,

因?yàn)楣?￡[-1,2],所以，￡—,

_ee

令/⑺=12-1加-21+2.

則原問(wèn)題等價(jià)于存在/￡烏,白，使得了⑺之。成立.

ee

e2—1(c2—11—2z

rw=--2=^__/—

tt

令廣⑺<0,即(e2—1)—2r<0,解得/>[!,

令廣⑺>0,即.一1)-2r>0,解得?！?lt;用1,

22

(e-1^<e-l、

所以/9)在0,——上單調(diào)遞增，在——,+a)上單調(diào)遞減.

\2JI2J

又因?yàn)?⑴=0,/卜2)=6—l)lne2-2e2+2=2e2—2—2e2+2=0

k1e-12

而1<----<e，

2

，當(dāng)iWe?時(shí),

若存在，使得了⑺20成立.

只需-TWe~且>1,解得aWe"且。2—,

eee

所以JvaWe，

e

故”的取值范圍為-,e4.

_e_

故選：D

【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：構(gòu)造函數(shù)是基本的解題思路，因此觀察題目所給的數(shù)的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，以及數(shù)與數(shù)之間的

內(nèi)在聯(lián)系，合理構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知AB=(1,2),AC=(2,f),卜。|=1,則實(shí)數(shù)f=.

【答案】2

【解析】

【分析】先求出向量BC的坐標(biāo)，再利用模的坐標(biāo)運(yùn)算列方程求解即可.

【詳解】由已知得8C=AC-AB=(U-2),

|BC|=I,

.-.l+(Z-2)2=1,

解得r=2.

故答案為：2.

14.已知(x+a)(x—2)5的展開(kāi)式中含V項(xiàng)的系數(shù)為-60,則。=.

【答案】g##0.5

【解析】

【分析】求出(x-2)5的展開(kāi)式通項(xiàng)，然后利用含丁項(xiàng)的系數(shù)為-60列方程求解.

【詳解】(x+a)(x-2)s=x(x—2)5+a(x—2)5,

r

又x(x—2)5的展開(kāi)式通項(xiàng)為xTr+x=(_2)’=(-2)

5

?(x-2)的展開(kāi)式通項(xiàng)為aTr+i=aC,-r(_2丫=a(—2)‘C；/"

291

??.(-2)C；+a(—2)C；=—60,解得〃=^.

故答案為：一.

2

22

15.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=x+2與雙曲線c：=—j=i(q>o力>0)的兩條漸近線從左往右順次

交于AB兩點(diǎn).若2\OA\=\OB\,則雙曲線C的離心率為.

【答案】M

【解析】

【分析】分別聯(lián)立直線y=x+2與雙曲線漸近線的方程，求出A,5兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)A在8的右側(cè)，可

得ys>yA，再根據(jù)2|。4|=|。耳，求得。力的齊次式，由此求出:，進(jìn)而可得答案.

【詳解】雙曲線C:存一方=l(a>0力>0)的漸近線方程為卜=土，X,

由題意可得2*1,則出b,

a

2a

x=

b-a

聯(lián)立解得<

2b

y=

b-a

2a

y=——xb+a

聯(lián)立彳a解得

2b

y=x+2y=-------

b+a

因?yàn)閮蓷l漸近線從左往右順次交于AB兩點(diǎn)，且|0卸>|Q4|

2a2b2b2b

所以A->0,所以

b+a'b+ab-ab+a

因?yàn)?|Q4|=|O@,

4a24Z?24a24h2

所以4----------5---------r

伍+a)[b-a)2e-

整理得36+3/?2一10。匕=0，

則3與一102+3=0,解得2=3或2=_1(舍去)，

a~aaa3

所以離心率e--=Jl+4=V10"

故答案為：V10-

16.中，角A、B、。所對(duì)的邊分別為“、h.c.若(2a-c)cos5=8cosC,且貝ij

..ABC周長(zhǎng)的最大值為.

【答案】3百

【解析】

【分析】利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求得COSB的值，結(jié)合角B的取值范圍可求得角8的值，利

用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得a+c的最大值，即可得出-ABC周長(zhǎng)的最大值.

【詳解】S^(2tz-c)cosB=Z?cosC,由正弦定理可得(2sinA-sinC)cosB=sin6cosC,

所以，2sinAcosB=sinficosC+cos5sinC=sin(8+C)=sinA,

因?yàn)锳、Be(0,7i),則sinA>0,所以，cosB=-,故B=§,

由余弦定理可得3=〃=a2+c2—laccosB-a2+c2—ac-^a+c^—Sac

/、23(a+c)"(a+cX

>(a+c)一一----=-------L，

v744

所以，(a+c)2?12,即a+cW26，故。+匕+o436，

當(dāng)且僅當(dāng)a=c=6時(shí)，等號(hào)成立，故周長(zhǎng)的最大值為36.

故答案為：3y/3-

三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.第17~21題為必考題，每

個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生依據(jù)要求作答.

(-)必考題：共60分.

17.某商店銷(xiāo)售某種產(chǎn)品，為了解客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)，現(xiàn)隨機(jī)調(diào)查了200名客戶，其評(píng)價(jià)結(jié)果為“一般”

或“良好”，并得到如下列聯(lián)表：

一般良好合計(jì)

男20100120

女305080

合計(jì)50150200

（1）通過(guò)計(jì)算判斷，有沒(méi)有99%的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系？

（2）該商店在春節(jié)期間開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，該產(chǎn)品共有如下兩個(gè)銷(xiāo)售方案.方案一：按原價(jià)的8折銷(xiāo)售；方案

二：顧客購(gòu)買(mǎi)該產(chǎn)品時(shí)，可在一個(gè)裝有4張“每滿200元少80元”，6張“每滿200元少40元”共10張優(yōu)惠

券的不透明箱子中，隨機(jī)抽取1張，購(gòu)買(mǎi)時(shí)按照所抽取的優(yōu)惠券進(jìn)行優(yōu)惠.已知該產(chǎn)品原價(jià)為260（元/

件）.顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，估計(jì)顧客甲需支付的金額；你認(rèn)為顧客甲選擇哪種購(gòu)買(mǎi)

方案較為合理？

附表及公式：

2

P(K>ku)0.150.100.050.0250.010

2.0722.7063.8415.0246.635

n(ad-be)"

(a+/?)(c+d)(a+c)(0+d)

【答案】（1）有99%的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系

（2）204元，選擇方案二較為合理

【解析】

【分析】（1）根據(jù)公式求出K2,再對(duì)照臨界值表即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)甲顧客按方案二購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品需要出X元，寫(xiě)出X的所有可能取值，求出對(duì)應(yīng)概率，再根據(jù)期望

公式求出期望即可，再求出選擇方案一所需的金額，即可得出結(jié)論.

【小問(wèn)1詳解】

,200x(20x50-100x30)2

K--------------------------------?11.111>6.635-

120x80x50x150

所以有99%的把握認(rèn)為客戶對(duì)該產(chǎn)品的評(píng)價(jià)結(jié)果與性別有關(guān)系;

【小問(wèn)2詳解】

若甲顧客按方案二購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，設(shè)需要出X元，則X可取180,220,

P（X=180）=3=2,P（X=220）=3=1，

23

所以E（X）=180XM+220X,=204（元），

所以顧客甲若想采用方案二的方式購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，估計(jì)顧客甲需支付204元，

若甲顧客按方案一購(gòu)買(mǎi)一件產(chǎn)品，則需要260x0.8=208（元），

因?yàn)?04<208，

所以顧客甲選擇方案二購(gòu)買(mǎi)較為合理.

18.已知數(shù)列｛4｝是公差為2的等差數(shù)列，4+4=4.｛〃｝是公比大于0的等比數(shù)列，仇=3,

4_”2=18.

（1）求數(shù)列｛4｝和也｝的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列｛%｝滿足c“=a/“，求｛%｝的前〃項(xiàng)和7；.

【答案】（1）%=2〃，2=3"

【解析】

【分析】（1）由等差數(shù)列的求和公式解方程可得首項(xiàng)，進(jìn)而得到/；由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，解方程可得

公比，進(jìn)而得到切；

（2）由等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合數(shù)列的錯(cuò)位相減法求和，可得所求和.

小問(wèn)1詳解】

數(shù)列｛??｝是公差為2的等差數(shù)列，

?=q+%=q+q+4=q+6,

得%=2,

an=In,

｛2｝是公比大于0的等比數(shù)列，仇=3,設(shè)公比為夕，q>0

:.b3-b2=3/-3“=18,解得4=3（負(fù)值舍去），

b,=3"；

【小問(wèn)2詳解】

由(1)得c“=2〃?3",

.-.7；,=2.3+4-32+6-33++(2〃一2>3。+2〃-3"①,

37；,=2-32+4-33+6-34++(2〃-2>3"+2〃3川②,

++2?3”-2〃-3.=2x-^------2小3'用

1-3

=3(3rt-l)-2n-3,,+|=(1-2?)3n+l-3,

19.如圖，在三棱錐P—ABC中，〃為一ABC的內(nèi)心，直線AH與8。交于M,NPAB=ZPAC,

/PCA=/PCB.

B

(1)證明：平面以MJ_平面ABC；

(2)若AB16C,PA^AB=3,BC=4,求二面角M-P4-C的余弦值.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)設(shè)取人平面A8C,垂足為N,作于E，NFLAC^F，連接先證

明△PAE三△PAF，從而可證得=從而可得點(diǎn)N為.ABC的內(nèi)心，即N,H兩點(diǎn)重合，再根據(jù)

面面垂直的判定定理即可得證；

(2)如圖，以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用等面積法求得一ABC內(nèi)切圓的半徑，再利用勾股定理

求得產(chǎn)”，即可得R"的坐標(biāo)，再利用向量法求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)PNA平面ABC,垂足為N,作NE_LAB于￡,NFLAC于尸，連接PE,PF,

因?yàn)镻NA平面ABC,AB,ACu平面ABC,所以PNLAB,PN工AC,

又NE±AB,NEcPN=N,NE,PNu平面PNE,所以AB人平面PNE,

又PEu平面PNE,所以

因?yàn)镹F±AC,NFcPN=N,NF,PNu平面PNF,所以AC，平面PNF,

又P/u平面PNF,所以AC_LP尸，

在RtQ4E和RtZ\Z4/中，因?yàn)镹PAB=ZPAC,PA=PA,

所以△^4七三/\巳4尸，所以A￡=AF,

在RtN4E和Rt_N4/中，AF=AE,AN=AN,

所以NAE三一NAF,所以NE=NF,

即點(diǎn)N到AB,AC的距離相等，

同理點(diǎn)N到BC,AC的距離相等，

所以點(diǎn)N為,ABC的內(nèi)心，所以M"兩點(diǎn)重合,

所以平面A8C,

又因PHu平面EV0，

所以平面平面ABC；

【小問(wèn)2詳解】

如圖，以點(diǎn)8為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

則3（0,0,0）。4,0,0）,4（0,3,0）,

設(shè)-ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則SABC=SABU+SAHC+SHBC

即S.c=gx3x4=gr（3+4+5）,解得〃=1,

故A”=Vr2+A￡2=]戶+（AB_]『=逐,p"2=1p/一AH。=2,

則〃（l,l,0）,P（l,l,2）,

則HP=（0,0,2）,H4=（—1,2,0）,AP=（1,-2,2）,AC=（4,-3,0）,

設(shè)平面法向量〃=（X],y,zJ,

[n-HP^2z.=0

則,可取〃=（2,1,0）,

[n.HA--百+2y=0

設(shè)平面AC。的法向量〃z=（工2，%，Z2），

rh-AP=x-2y,+2z,=0.、

則〈.7''?'，可取機(jī)=（6,8,5）,

rh'AC=4X2-3y2=0

/\m-n4

則3仇〃”麻rs，

由圖可得二面角例-PA-C為銳角,

22/Q3、

20.已知橢圓E:f+當(dāng)=1（。＞。＞0）經(jīng)過(guò)A（0,l）,T—一一三兩點(diǎn)，M,N是橢圓E上異于T的

兩動(dòng)點(diǎn)，且NM4T=NN4T,若直線40,AN的斜率均存在，并分別記為勺，k2.

（1）求證：匕網(wǎng)為常數(shù)；

（2）求C.AAW面積的最大值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）設(shè)直線AV,AT,AN的傾斜角分別為a,a，，根據(jù)NM4T=NN4T,可得尸一。=2（/一。）,

即a+尸=2夕，求出。，從而可得出結(jié)論：

（2）利用待定系數(shù)法求出橢圓方程，設(shè)M（.y）,N（X2，%），4=%伙。0,女工1）,聯(lián)立方程求出

5，再根據(jù)S"=；|AM||AMsin/MAN=g|AM11AN“1一cos?/MAN

=；，|4"|[/^7「一（4加.可丁，化簡(jiǎn)計(jì)算結(jié)合基本不等式即可得解.

【小問(wèn)1詳解】

設(shè)直線AM,AT,AN的傾斜角分別為d仇尸,

因?yàn)镹M4T=NN4T,所以/MAN=2NNAT,

即4_a=2（夕—8）,故c+尸=26,

,3

/o3、1+fIT

因?yàn)锳（0,l）,ri--,--1,所以tane=-^￡=l,所以夕=；,

5

TT

所以a+/=26=E，

則k{k2=tana?tan￡=tana?tan[_a）=1,

所以A#2為常數(shù)1；

【小問(wèn)2詳解】

22/Qa\

橢圓￡:0+方=1（。>0>0）經(jīng)過(guò)4（0,1）,丁[一不一gj兩點(diǎn)，

A（a2=4

代入得憶n，解得，，，

_64_+_9_=1.=1

.25/25b1~

所以橢圓方程為三+丁=1,

4

設(shè)”（王,凹）小（孫％），k[=k（k￥0,k￥l）,由⑴得左2=L

則AM的方程為y=H+l，X=丘|+1,AN的方程為y=5x+l,%=?修+1，

kk

廠21

聯(lián)立《L,消y得（4公+1）/+8區(qū)=0,則玉

y=Ax+1

8

8k

同理可得X2I

4如女2+4'

則SAM”^^\AM\\AN\sinZMAN

=11AM11yW|Vl-cos2AMAN

=/制2|訓(xùn)［I—cos?/MAN

2

=；-(AM.A2V『

2

+&■;+p-

2

4

4A:27+-y+17

令.二女--J>0,

k

32攵」

k32t32「上心

則SAMN=7

4無(wú)2+:?+*4r+254-25一廠市5

4Z+

k272吃

2515

當(dāng)且僅當(dāng)4，=，，即時(shí)取等號(hào),

tK2

【點(diǎn)睛】圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：

(1)幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；

(2)代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)

的最值或范圍.

21.已知函數(shù)/(刀)=求"一/有兩個(gè)極值點(diǎn)看,*2(石＜々)，

(1)求。的取值范圍；

(2)若邙+(e—2)與之尢中?求2的取值范圍.

【答案】(1)

(2)(-oo,(e-l)2]

【解析】

2v2r2—2r

【分析】(1)根據(jù)題意轉(zhuǎn)化為方程。=下有兩個(gè)不同的實(shí)根，設(shè)〃(x)=晟，求得〃'(口=一”，求

得函數(shù)〃(力的單調(diào)性和極大值，進(jìn)而求得”的取值范圍;

(2)由(1)得到ae"-2%=(),ae*-2x,=0,得出x,一%=In上>0,令，=上>1,得到

-'斗士

/7?)=缸2)/+2七,求得/⑺=[恁二2"2+e]?與2f(e二2)產(chǎn)+_g,令

')tint')t2ln2r

夕(x)=[(e-2)廣+e]Int—2r(e—2)廣+e,取得(x)=2(e—2)fIn/—2—(e—2)f+e?—,再令

p(x)=2(e—2)〃nf-2-(e-2)f+e?；,利用導(dǎo)數(shù)求得d(f)的單調(diào)性，進(jìn)而得出h{t}單調(diào)遞性和最小

值，即可求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：因?yàn)楹瘮?shù)〃x)=ae*-可得/(力=改”一2%,

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=ae、有兩個(gè)極值點(diǎn)，

Oy

所以方程/'(x)=0有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即方程。=下有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，

設(shè)〃(x)=4，可得“(x)=2一戶,

e-e

當(dāng)x<l時(shí),可得“(x)>0,〃(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)4>1時(shí),可得"(x)<0,〃(x)單調(diào)遞減，

2

所以x=l時(shí)，函數(shù)〃(X)取得極大值，極大值為〃(1)=一，

e

又因?yàn)閤<0時(shí)，4(x)<0；x>0時(shí)，〃(x)>0,且x->+8時(shí)，.

2x9

所以方程。=丁有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根時(shí)，可得0<。<上,

ee

(2、

即函數(shù)/(x)有兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，。的取值范圍是0,一.

\e/

【小問(wèn)2詳解】

解：由⑴知，函數(shù)“X)的兩個(gè)極值點(diǎn)用,當(dāng)是方程詔一2x=0的兩根，

2

且0<。<一,0<%<1<12，則有oe、一2蒼=0,。6小一2%=0,

e

兩式相除，可得e-=三，可得/一玉=ln三>0,

內(nèi)X,

又由5+(e-2)w22玉々，可得(々一玉)[%+(e-2)X2]N2XIX21nN,

2+(e-2)±-e?&

所以----------------殳，令"強(qiáng)>1,

In巡王

再

令九什)=2+(e_2)f_e7_(e_2)r2+2/_e,則需要；IW/z(r)恒成立，

,㈠一liv.Tint()

則“⑺=[(e-2)/+e]In，-2f(e-2)y+e

k7t2In21

令夕(x)=[(e—2)/+e]Inf—2r(e—2)r+e,則p(x)=2(e—2)"nt-2—(e-2)f+e.1,

令p(x)=e'(x)=2(e-2)ZInZ—2—(e-2)r+e--,

則”(%)=2億-2)1型+2伯―2)—伯—2)—6?：在(1,+?)上單調(diào)遞增，

又由p'(l)<0,p'(e)>0,則存在(w(l,e),使得p(幻=0,

當(dāng)fe(l,%)時(shí)，p'⑺<0,則pQ)即為單調(diào)遞減：

當(dāng)小伉,+00)時(shí)，p⑺>0,貝UP⑺即為單調(diào)遞增，

又夕'⑴=0,“(e)>0,所以存在4G(l,e),使得“(r)=0

當(dāng)fG(l/)時(shí)，"⑺<0,則/⑺單調(diào)遞減：

當(dāng)fG(i+oo)時(shí)，”?)>0,則e⑺單調(diào)遞增，

又夕⑴-0(e)=O,所以當(dāng)re(l,e)時(shí)，°?)<0,則萬(wàn)⑺<0,力⑺單調(diào)遞減；

當(dāng)re(e,”)時(shí)，/)>0,則〃'⑺>0,用⑺單調(diào)遞增，

所以當(dāng)f=e時(shí)，〃(x)n“n=〃(e)=(e-l)2,所以，w(e-l)2,

故實(shí)數(shù)幾的取值范圍是(-,(e-Ip]

【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問(wèn)題的求解策略：

1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；

2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造

的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問(wèn)題，就要考慮利用分類(lèi)討論法和放

縮法，注意恒成立與存在性問(wèn)題的區(qū)別.

（二）選考題：共10分.請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一

題記分.

［選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】

”/—

22.在直角坐標(biāo)系X。），中，直線/的參數(shù)方程為a為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，X軸的

22

正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線。