新教材2023版高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.4曲線與方程課件新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

2.4曲線與方程[課標(biāo)解讀]

1.了解曲線上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.2.理解曲線的方程和方程的曲線的概念.3.掌握求軌跡方程建立坐標(biāo)系的一般方法，熟悉求曲線方程的五個(gè)步驟.4.掌握求軌跡方程的幾種常用方法.5.初步學(xué)會(huì)通過曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)．新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升新知初探·自主學(xué)習(xí)教材要點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)一曲線與方程的概念一般地，一條曲線可以看成動(dòng)點(diǎn)依某種條件運(yùn)動(dòng)的軌跡，所以曲線的方程又常稱為滿足某種條件的點(diǎn)的________．一個(gè)二元方程總可以通過移項(xiàng)寫成F(x，y)＝0的形式，其中F(x，y)是關(guān)于x，y的解析式．在平面直角坐標(biāo)系中，如果曲線C與方程F(x，y)＝0之間具有如下關(guān)系：①________________都是方程F(x，y)＝0的解；②以方程F(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在________C上．那么，方程F(x，y)＝0叫做__________；曲線C叫做__________．軌跡方程曲線C上點(diǎn)的坐標(biāo)曲線曲線的方程方程的曲線

知識(shí)點(diǎn)二兩條曲線的交點(diǎn)坐標(biāo)曲線C1：F(x，y)＝0和曲線C2：G(x，y)＝0的交點(diǎn)坐標(biāo)為____________的實(shí)數(shù)解．知識(shí)點(diǎn)三解析幾何研究的主要問題(1)由曲線求它的________．(2)利用方程研究曲線的________．

方程性質(zhì)知識(shí)點(diǎn)四求曲線的方程的步驟有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)P＝{M|p(M)}p(M)f(x，y)＝0f(x，y)＝0方程的解狀元隨筆求曲線方程的步驟是否可以省略．[提示]可以省略．如果化簡(jiǎn)前后方程的解集是相同的，可以省略步驟“證明”，如有特殊情況，可以適當(dāng)說明．基礎(chǔ)自測(cè)1．方程x2y2＝1的曲線是(

)答案：D

2．如圖，圖形的方程與圖中曲線對(duì)應(yīng)正確的是(

)A

B

C

D答案：D3．下列各點(diǎn)中，在曲線x2－xy＋2y＋1＝0上的是(

)A．(1，－2)B．(1，2)C．(－1，－2)D．(－2，3)答案：A解析：將各點(diǎn)代入驗(yàn)證，得點(diǎn)(1，－2)滿足．

答案：y2＝8x(x≠0)

課堂探究·素養(yǎng)提升題型1曲線與方程的概念例1

(1)命題“以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”是命題“曲線C的方程是f(x，y)＝0”的(

)A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件

D．既不充分也不必要條件答案：B解析：根據(jù)曲線方程的概念，“曲線C的方程是f(x，y)＝0”包含“曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x，y)＝0的解”和“以方程f(x，y)＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上”兩層含義．(2)若曲線C的方程為y＝2x－1(1<x<5)，則下列四個(gè)點(diǎn)中在曲線C上的是(

)A．(0，0)B．(7，15)C．(2，3)D．(4，4)答案：C解析：由y＝2x－1(1<x<5)得A，B的橫坐標(biāo)不滿足題意，D項(xiàng)中坐標(biāo)代入后不滿足方程，故選C.方法歸納解決“曲線”與“方程”的判定這類問題(即判定方程是不是曲線的方程或判定曲線是不是方程的曲線)，只要一一檢驗(yàn)定義中的“兩性”是否都滿足，并作出相應(yīng)的回答即可．判斷點(diǎn)是否在曲線上，就是判斷點(diǎn)的坐標(biāo)是否適合曲線的方程．

答案：③

題型2由方程研究曲線的性質(zhì)例2

寫出方程y2－4x－4＝0的曲線的主要性質(zhì)．解析：(1)曲線變化情況：∵y2＝4x＋4≥0，得x≥－1，y可取一切實(shí)數(shù)，x逐漸增大時(shí)，|y|無限增大．∴曲線在直線x＝－1的右側(cè)，向上向下無限伸展．(2)對(duì)稱性：用－y代y方程不變，故曲線關(guān)于x軸對(duì)稱．(3)截距：令y＝0，得x＝－1；令x＝0得y＝±2，∴曲線的與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為－1，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為±2.(4)畫方程的曲線：列表：描點(diǎn)作圖如圖所示．x－10123…y0±2±2.83±3.46±4…方法歸納利用方程研究曲線性質(zhì)的一般過程跟蹤訓(xùn)練2

畫出到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)的軌跡圖形．解析：到兩坐標(biāo)軸距離之差等于1的點(diǎn)(x，y)，滿足的方程是||x|－|y||＝1，其中以－x代x，或－y代y，方程都不變，所以方程的曲線關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱，同時(shí)也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，需畫出x≥0，y≥0的圖形后，利用對(duì)稱性完成畫圖，如圖．題型3直接法求曲線方程例3

已知兩定點(diǎn)A(－2，0)，B(1，0)，如果動(dòng)點(diǎn)P滿足條件|PA|＝2|PB|，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡所圍成的圖形的面積等于(

)A．9π

B．8π

C．4π

D．π答案：C

方法歸納直接法是求軌跡方程的最基本的方法，根據(jù)所滿足的幾何條件，將幾何條件{M|p(M)}直接翻譯成x，y的形式F(x，y)＝0，然后進(jìn)行等價(jià)變換，化簡(jiǎn)為f(x，y)＝0.要注意軌跡上的點(diǎn)不能含有雜點(diǎn)，也不能少點(diǎn)，也就是說曲線上的點(diǎn)一個(gè)也不能多，一個(gè)也不能少．跟蹤訓(xùn)練3

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P到直線x＝8的距離是它到點(diǎn)A(2，0)的距離的2倍．求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程．

題型4代入法求曲線的方程【思考探究】1．為什么說“建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的基礎(chǔ)”？[提示]

只有建立了坐標(biāo)系，才有點(diǎn)的坐標(biāo)，才能把曲線代數(shù)化，才能用代數(shù)法研究幾何問題．2．常見的建系原則有哪些？[提示]

(1)若條件中只出現(xiàn)一個(gè)定點(diǎn)，常以定點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系．(2)若已知兩定點(diǎn)，常以兩定點(diǎn)的中點(diǎn)為原點(diǎn)，兩定點(diǎn)所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系．3．求得曲線方程后，如何避免出現(xiàn)“增解”或“漏解”？[提示]

在化簡(jiǎn)的過程中，注意運(yùn)算的合理性與準(zhǔn)確性，盡量避免“漏解”或“增解”．同時(shí)注意題中隱含信息，比如“三點(diǎn)不能共線”，若共線就不能?。?

動(dòng)點(diǎn)M在曲線x2＋y2＝1上移動(dòng)，M和定點(diǎn)B(3，0)連線的中點(diǎn)為P，求P點(diǎn)的軌跡方程．

狀元隨筆所求動(dòng)點(diǎn)與已知曲線上動(dòng)點(diǎn)相關(guān)，可通過條件確定兩動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系求得．

跟蹤訓(xùn)練4