新教材2023版高中數(shù)學(xué)第七章隨機(jī)變量及其分布7.3離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差課件新人教A版選擇性必修第三冊

7.3.2離散型隨機(jī)變量的方差新知初探·課前預(yù)習(xí)題型探究·課堂解透課標(biāo)解讀1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差的概念和意義．2．會求離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差．3．會利用離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差解決一些實(shí)際問題．新知初探·課前預(yù)習(xí)教

材

要

點(diǎn)要點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為我們稱D(X)＝____________________________________________＝_______________為隨機(jī)變量X的方差，有時也記為Var(X)，并稱________為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)?.Xx1x2…xnPp1p2…pn(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2·p2＋…＋(xn－E(X))2pn

要點(diǎn)二離散型隨機(jī)變量方差的性質(zhì)?設(shè)a，b，c為常數(shù)，則(1)D(X＋b)＝________；(2)D(aX)＝________；(3)D(aX＋b)＝________．D(X)a2D(X)a2D(X)助

學(xué)

批

注批注?隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取值的離散程度．方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量的取值越分散．批注?與均值的區(qū)別：離散型隨機(jī)變量X乘以一個常數(shù)a，其均值變?yōu)樵档腶倍，方差變?yōu)樵讲畹腶2倍．夯

實(shí)

雙

基1．判斷正誤(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)離散型隨機(jī)變量的方差越大，隨機(jī)變量越穩(wěn)定．(

)(2)若a是常數(shù)，則D(a)＝0.(

)(3)隨機(jī)變量的方差即為總體方差，不隨抽樣樣本的不同而不同．(

)(4)標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位．(

)×√√√

X－101P答案：D

答案：C

4．有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙，包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量ξ1，ξ2，已知E(ξ1)＝E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)，則自動包裝機(jī)________的質(zhì)量較好．乙解析：均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，如果兩個隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的取值如何在均值的周圍變化，方差大說明隨機(jī)變量取值較分散，方差小說明取值較集中，由題意，可得乙的質(zhì)量較好．題型探究·課堂解透題型1方差的性質(zhì)及應(yīng)用例1

[2022·福建龍巖高二期末]已知隨機(jī)變量X的分布列如下：則D(3X＋2)的值為(

)A．2B．6C．8

D．18X236Pa答案：D

方法歸納對于變量間存在關(guān)系的方差，在求解過程中應(yīng)注意性質(zhì)的應(yīng)用，如D(aξ＋b)＝a2D(ξ)．這樣處理既避免了求隨機(jī)變量η＝aξ＋b的分布列，又避免了繁雜的計算，簡化了計算過程．鞏固訓(xùn)練1

[2022·山東菏澤高二期末](多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為若離散型隨機(jī)變量Y滿足：Y＝2X＋1，則下列結(jié)論正確的有(

)A．E(X)＝2B．E(Y)＝4C．D(X)＝1.8

D．D(Y)＝3.6X01234Pq0.40.10.20.2答案：AC解析：由分布列知：q＝0.1，E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，A正確；E(Y)＝E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝5，B不正確；對于C，D(X)＝0.1×22＋0.4×12＋0.1×02＋0.2×12＋0.2×22＝1.8，C正確；對于D，D(Y)＝D(2X＋1)＝4D(X)＝7.2，D不正確．故選AC.題型2求離散型隨機(jī)變量的方差例2

[2022·廣東佛山高二期末]今年3月份以來，隨著疫情在深圳、上海等地爆發(fā)，國內(nèi)消費(fèi)受到影響，為了促進(jìn)消費(fèi)回暖，全國超過19個省份都派發(fā)了消費(fèi)券，合計金額高達(dá)50億元．通過發(fā)放消費(fèi)券的形式，可以有效補(bǔ)貼中低收入階層，帶動消費(fèi)，從而增加企業(yè)生產(chǎn)產(chǎn)能，最終拉動經(jīng)濟(jì)增長，除此之外，消費(fèi)券還能在假期留住本市居民，減少節(jié)日期間在各個城市之間的往來，客觀上能夠達(dá)到降低傳播新冠疫情的效果，佛山市某單位響應(yīng)政策號召，組織本單位員工參加抽獎得消費(fèi)優(yōu)惠券活動，抽獎規(guī)則是：從裝有質(zhì)地均勻、大小相同的2個黃球、3個紅球的箱子中隨機(jī)摸出2個球，若恰有1個紅球可獲得20元優(yōu)惠券，2個都是紅球可獲得50元優(yōu)惠券，其它情況無優(yōu)惠券，則在一次抽獎中：(1)求摸出2個紅球的概率；(2)設(shè)獲得優(yōu)惠券金額為X，求X的方差．

方法歸納求離散型隨機(jī)變量X的方差的一般步驟

答案：B

題型3方差的實(shí)際應(yīng)用例3

[2022·河北張家口高二期末]已知投資甲、乙兩個項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2.經(jīng)統(tǒng)計分析，X1和X2的分布列分別為表1：表2：X10.30.180.1P0.20.50.3X20.250.15P0.20.8

解析：(1)由題意，得E(X1)＝0.3×0.2＋0.18×0.5＋0.1×0.3＝0.18，D(X1)＝(0.3－0.18)2×0.2＋(0.18－0.18)2×0.5＋(0.1－0.18)2×0.3＝0.0048，E(X2)＝0.25×0.2＋0.15×0.8＝0.17，D(X2)＝(0.25－0.17)2×0.2＋(0.15－0.17)2×0.8＝0.0016，由E(aX＋b)＝aE(X)＋b，D(aX＋b)＝a2D(X)，又Y1＝100X1，Y2＝100X2，得E(Y1)＝100×0.18＝18，D(Y1)＝1002×0.0048＝48，E(Y2)＝100×0.17＝17，D(Y2)＝1002×0.0016＝16，因此投資甲的平均利潤18萬元大于投資乙的平均利潤17萬元，但投資甲的方差48也遠(yuǎn)大于投資乙的方差16.所以投資甲的平均利潤大，方差也大，相對不穩(wěn)定，而投資乙的平均利潤小，方差也小，相對穩(wěn)定．若長期投資可選擇投資甲，若短期投資可選投資乙．

方法歸納在實(shí)際決策問題中，一般先計算均值，比較隨機(jī)變量平均水平的高低，再計算方差，比較隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定性．鞏固訓(xùn)練3

[2022·重慶萬州高二期中]為選拔奧運(yùn)會射擊選手，對甲、乙兩名射手進(jìn)行選拔測試．已知甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分分別為兩個相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，a，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)并從中選拔一人．解析：(1)依據(jù)題意知，0.5＋3a＋a＋a＝1，解得a＝0.1.因?yàn)橐疑渲?0，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)結(jié)合(1)中ξ，η的分布列，可得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2，E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7，D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.