新教材2023版高中數(shù)學(xué)第四章概率與統(tǒng)計(jì)4.2隨機(jī)變量4.2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征2課件新人教B版選擇性必修第二冊(cè)

4．2.4隨機(jī)變量的數(shù)字特征(2)新知初探·自主學(xué)習(xí)課堂探究·素養(yǎng)提升[課標(biāo)解讀]

1.通過(guò)具體實(shí)例，理解離散型隨機(jī)變量分布列及其數(shù)字特征(方差).2.通過(guò)具體實(shí)例，了解伯努利試驗(yàn)，掌握二項(xiàng)分布及其數(shù)字特征，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題.3.通過(guò)具體實(shí)例，了解超幾何分布及其方差，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題．新知初探·自主學(xué)習(xí)【教材要點(diǎn)】知識(shí)點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差名稱(chēng)定義意義方差一般地，設(shè)一個(gè)離散型隨機(jī)變量X所有可能取的值為x1，x2，…，xn，這些值對(duì)應(yīng)的概率是p1，p2，…，pn，則D(X)＝_____________________________________________________，叫做這個(gè)離散型隨機(jī)變量X的方差．離散型隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了離散型隨機(jī)變量取值相對(duì)于期望的___________(或說(shuō)離散程度).標(biāo)準(zhǔn)差

平均波動(dòng)大小知識(shí)點(diǎn)二服從兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的隨機(jī)變量的方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)＝________；(2)若X～B(n，p)，則D(X)＝________．知識(shí)點(diǎn)三隨機(jī)變量的數(shù)字特征的性質(zhì)如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，a，b都是任意實(shí)數(shù)且a≠0，則Y＝aX＋b也是一個(gè)隨機(jī)變量；D(Y)＝a2D(X).p(1－p)np(1－p)【基礎(chǔ)自測(cè)】1．下列說(shuō)法正確的有________．(填序號(hào))①離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③離散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的波動(dòng)水平；④離散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了X取值的波動(dòng)水平．④解析：①錯(cuò)誤．因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的期望E(X)反映了X取值的平均水平．②錯(cuò)誤．因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量X的方差D(X)反映了隨機(jī)變量偏離于期望的平均程度．③錯(cuò)誤．因?yàn)殡x散型隨機(jī)變量的方差D(X)反映了X取值的波動(dòng)水平，而隨機(jī)變量的期望E(X)反映了X取值的平均水平．④正確．由方差的意義可知．

答案：D解析：隨機(jī)變量ξ服從兩點(diǎn)分布，所以D(ξ)＝(0－m)2×(1－m)＋(1－m)2×m＝m(1－m)．3．已知X的分布列為：則D(X)等于(

)A．0.7 B．0.61C．－0.3 D．0X－101P0.50.30.2答案：B解析：E(X)＝－1×0.5＋0×0.3＋1×0.2＝－0.3，D(X)＝0.5×(－1＋0.3)2＋0.3×(0＋0.3)2＋0.2×(1＋0.3)2＝0.61.

課堂探究·素養(yǎng)提升題型1離散型隨機(jī)變量的方差的概念及應(yīng)用例1

(1)從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量X表示所選3人中女生的人數(shù)，求X的方差．(2)已知X的分布列如表：①計(jì)算X的方差；②若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差．X－101Pa

X012P狀元隨筆(1)先列出隨機(jī)變量X的分布列，再用定義求出方差即可．(2)利用分布列的性質(zhì)求出a值，再利用方差公式及性質(zhì)求解．方法歸納1．定義法求離散型隨機(jī)變量X的方差的步驟(1)理解X的意義，寫(xiě)出X可能取的全部值；(2)求X取各個(gè)值的概率，寫(xiě)出分布列；(3)根據(jù)分布列，由期望的定義求出E(X)；(4)根據(jù)公式計(jì)算方差．2．性質(zhì)法求離散型隨機(jī)變量X的方差應(yīng)用公式：D(aX＋b)＝a2D(X)求離散型隨機(jī)變量X的方差，既避免了求隨機(jī)變量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大數(shù)的計(jì)算，從而簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程．跟蹤訓(xùn)練1

設(shè)在12個(gè)同類(lèi)型的零件中有2個(gè)次品，抽取3次進(jìn)行檢驗(yàn)，每次抽取一個(gè)，并且取出不再放回，若以X和Y分別表示取出次品和正品的個(gè)數(shù)．(1)求X的分布列、均值及方差；(2)求Y的分布列、均值及方差．

X012P

Y123P題型2兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)方差例2

某廠一批產(chǎn)品的合格率是98%.(1)計(jì)算從中抽取一件產(chǎn)品為正品的數(shù)量的方差；(2)從中有放回地隨機(jī)抽取10件產(chǎn)品，計(jì)算抽出的10件產(chǎn)品中正品數(shù)的方差及標(biāo)準(zhǔn)差．

狀元隨筆(1)利用兩點(diǎn)分布求解．(2)利用二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望、方差公式求解．方法歸納1．常見(jiàn)的兩種分布的均值與方差設(shè)p為一次試驗(yàn)中成功的概率，q＝1－p則(1)兩點(diǎn)分布E(X)＝p；D(X)＝pq(2)二項(xiàng)分布E(X)＝np；D(X)＝npq熟練應(yīng)用上述公式可大大減少運(yùn)算量，提高解題速度．2．兩點(diǎn)分布與二項(xiàng)分布辨析(1)相同點(diǎn)：一次試驗(yàn)中要么發(fā)生要么不發(fā)生．(2)不同點(diǎn)：①隨機(jī)變量的取值不同，兩點(diǎn)分布隨機(jī)變量的取值為0，1，二項(xiàng)分布中隨機(jī)變量的取值x＝0，1，2，…，n.②試驗(yàn)次數(shù)不同，兩點(diǎn)分布一般只有一次試驗(yàn)；二項(xiàng)分布則進(jìn)行n次試驗(yàn)．

0.166

題型3方差的綜合應(yīng)用【思考探究】

1．A，B兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)加工零件，每生產(chǎn)一批數(shù)量較大的產(chǎn)品時(shí)，出次品的概率如下表：A機(jī)床B機(jī)床試求E(X1)，E(X2).[提示]

E(X1)＝0×0.7＋1×0.2＋2×0.06＋3×0.04＝0.44.E(X2)＝0×0.8＋1×0.06＋2×0.04＋3×0.10＝0.44.次品數(shù)X10123P0.70.20.060.04次品數(shù)X20123P0.80.060.040.102．在1中，由E(X1)和E(X2)的值能比較兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品質(zhì)量嗎？為什么？[提示]

不能．因?yàn)镋(X1)＝E(X2).3．在1中，試想利用什么指標(biāo)可以比較A，B兩臺(tái)機(jī)床加工質(zhì)量？[提示]

利用樣本的方差．方差越小，加工的質(zhì)量越穩(wěn)定．例3

甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量ξ，η，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中射中的環(huán)數(shù)大于6環(huán)，且甲射中10，9，8，7環(huán)的概率分別為0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2.(1)求ξ，η的分布列；(2)求ξ，η的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)．解析：(1)由題意得：0.5＋3a＋a＋0.1＝1，解得a＝0.1.因?yàn)橐疑渲?0，9，8環(huán)的概率分別為0.3，0.3，0.2，所以乙射中7環(huán)的概率為1－(0.3＋0.3＋0.2)＝0.2.所以ξ，η的分布列分別為ξ10987P0.50.30.10.1η10987P0.30.30.20.2(2)由(1)得：E(ξ)＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2；E(η)＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7；D(ξ)＝(10－9.2)2×0.5＋(9－9.2)2×0.3＋(8－9.2)2×0.1＋(7－9.2)2×0.1＝0.96；D(η)＝(10－8.7)2×0.3＋(9－8.7)2×0.3＋(8－8.7)2×0.2＋(7－8.7)2×0.2＝1.21.由于E(ξ)>E(η)，D(ξ)<D(η)，說(shuō)明甲射擊的環(huán)數(shù)的均值比乙高，且成績(jī)比較穩(wěn)定，所以甲比乙的射擊技術(shù)好．狀元隨筆(1)由分布列的性質(zhì)先求出a和乙射中7環(huán)的概率，再列出ξ，η的分布列．(2)要比較甲、乙兩射手的射擊水平，需先比較兩射手擊中環(huán)數(shù)的數(shù)學(xué)期望，然后再看其方差值．方法歸納利用均值和方差的意義分析解決實(shí)際問(wèn)題的步驟1．比較均值．離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問(wèn)題中，需先計(jì)算均值，看一下誰(shuí)的平均水平高．2．在均值相等的情況下計(jì)算方差．方差反映了離散型隨機(jī)變量取值的穩(wěn)定與波動(dòng)、集中與離散的程度．通過(guò)計(jì)算方差，分析一下誰(shuí)的水平發(fā)揮相對(duì)穩(wěn)定．3．下結(jié)論．依據(jù)方差的幾何意義做出結(jié)論．跟蹤訓(xùn)練3

甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類(lèi)和數(shù)量也大致相等．兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為：甲保護(hù)區(qū)：乙保護(hù)區(qū)：試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平．X0123P0.30.30.20.2Y012P0.10.50.4解析：甲保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(X)＝0×0.3＋1×0.3＋2×0.2＋3×0.2＝1.3；D(X)＝(0－1.3)2×0.3＋(1－1.3)2×0.3＋(2－1.3)2×0.2＋(3－1.3)2×0.2＝1.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為：E(Y)