2023-2024學(xué)年北師大版選擇性必修第一冊 1-1橢圓及其標準方程 課件43張

第二章1.1橢圓及其標準方程基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)重難探究·能力素養(yǎng)全提升成果驗收·課堂達標檢測目錄索引

課程標準1.了解圓錐曲線的實際背景,感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用.2.掌握橢圓的定義和標準方程.3.會求橢圓的標準方程.基礎(chǔ)落實·必備知識全過關(guān)知識點1

橢圓的定義1.定義平面內(nèi)到兩個定點F1,F2的距離之

等于

(大于|F1F2|)的點的集合(或軌跡)叫作橢圓.

這兩個定點F1,F2叫作橢圓的焦點,兩個焦點間的距離|F1F2|叫作橢圓的焦距.2.定義的集合語言表述集合P={M||MF1|+|MF2|=2a,2a>|F1F2|}.和常數(shù)名師點睛在橢圓定義中,要求常數(shù)必須大于兩定點F1,F2之間的距離,這是橢圓定義中非常重要的一個條件,可以驗證:如果這個常數(shù)等于兩定點F1,F2之間的距離,動點的軌跡將是一條線段;如果這個常數(shù)小于兩定點F1,F2之間的距離,動點的軌跡將不存在.因此在根據(jù)橢圓定義判斷動點的軌跡時,務(wù)必注意這一隱含的條件.過關(guān)自診(多選題)已知在平面直角坐標系中,點A(-3,0),B(3,0),點P為一動點,且|PA|+|PB|=2a(a≥0),下列說法中正確的是(

)A.當(dāng)a=2時,點P的軌跡不存在B.當(dāng)a=4時,點P的軌跡是橢圓,且焦距為3C.當(dāng)a=4時,點P的軌跡是橢圓,且焦距為6D.當(dāng)a=3時,點P的軌跡是以AB為直徑的圓AC解析

當(dāng)a=2時,2a=4<|AB|,故點P的軌跡不存在,A正確;當(dāng)a=4時,2a=8>|AB|,故點P的軌跡是橢圓,且焦距為|AB|=6,B錯誤,C正確;當(dāng)a=3時,2a=6=|AB|,故點P的軌跡為線段AB,D錯誤.知識點2

橢圓的標準方程標準方程一定是分式且分母大的在前

焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程

圖形

焦點的位置焦點在x軸上焦點在y軸上焦點坐標

a,b,c的關(guān)系

F1(-c,0),F2(c,0)F1(0,-c),F2(0,c)a2=b2+c2名師點睛1.橢圓的標準方程是指當(dāng)橢圓在標準位置時的方程,所謂標準位置,就是指橢圓的中心在坐標原點,橢圓的對稱軸為坐標軸.2.兩種橢圓

(a>b>0)的相同點是:它們的形狀、大小都相同,都有a>b>0,a2=b2+c2;不同點是:兩種橢圓的位置不同,它們的焦點坐標也不同.3.給出橢圓方程

(m>0,n>0,m≠n),判斷該方程所表示的橢圓的焦點位置的方法是:橢圓的焦點在x軸上?標準方程中x2項的分母較大;橢圓的焦點在y軸上?標準方程中y2項的分母較大,這是判斷橢圓焦點所在坐標軸的重要方法.可簡記作:焦點位置看大小,焦點跟著大的跑.過關(guān)自診1.[人教B版教材習(xí)題]設(shè)橢圓

+y2=1的兩個焦點分別為F1,F2,且P為橢圓上一點,求|PF1|+|PF2|的值.2.[人教B版教材習(xí)題]分別根據(jù)下列條件,求橢圓的標準方程.(1)a=,b=1,焦點在x軸上;(2)b=3,經(jīng)過點(0,-4),焦點在y軸上.重難探究·能力素養(yǎng)全提升探究點一求橢圓的標準方程【例1】

求適合下列條件的橢圓的標準方程.(1)焦點在y軸上,且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0);規(guī)律方法

求橢圓標準方程的方法(1)定義法:根據(jù)橢圓定義,確定a2,b2的值,結(jié)合焦點位置寫出橢圓的標準方程.(2)待定系數(shù)法:先判斷焦點位置,設(shè)出標準方程形式,最后由條件確定待定系數(shù)即可.即“先定位,后定量”.當(dāng)所求橢圓的焦點位置不能確定時,應(yīng)按焦點在x軸上和焦點在y軸上進行分類討論,但要注意a>b>0這一條件.(3)當(dāng)已知橢圓經(jīng)過兩點,求橢圓的標準方程時,把橢圓的方程設(shè)成mx2+ny2=1(m>0,n>0且m≠n)的形式有兩個優(yōu)點:①列出的方程組中分母不含字母;②不用討論焦點所在的位置,從而簡化求解過程.變式訓(xùn)練1求適合下列條件的橢圓的標準方程:(1)兩個焦點分別為(0,-2),(0,2),經(jīng)過點(4,3);探究點二橢圓定義的應(yīng)用【例2】

如圖所示,已知動圓P過定點A(-3,0),并且在定圓B:(x-3)2+y2=64的內(nèi)部與其內(nèi)切,求動圓圓心P的軌跡方程.解

設(shè)動圓P和定圓B內(nèi)切于點M,動圓圓心P到兩定點A(-3,0)和B(3,0)的距離之和恰好等于定圓半徑,即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8>|AB|,所以動圓圓心P的軌跡是以A,B為左、右焦點的橢圓,其中c=3,a=4,b2=a2-c2=42-32=7,其軌跡方程為規(guī)律方法

利用橢圓定義求動點軌跡方程的三個步驟

變式訓(xùn)練2如圖所示,在圓C:(x+1)2+y2=25內(nèi)有一點A(1,0).Q為圓C上任意一點,線段AQ的垂直平分線與點C,Q的連線交于點M,當(dāng)點Q在圓C上運動時,求點M的軌跡方程.解

如圖所示,連接MA.由題意知點M在線段CQ上,從而有|CQ|=|MQ|+|CM|.又點M在AQ的垂直平分線上,則|MA|=|MQ|,故|MA|+|MC|=|CQ|=5>2c=2.又A(1,0),C(-1,0),故點M的軌跡是以(1,0),(-1,0)為焦點的橢圓,探究點三橢圓中的焦點三角形問題【例3】

已知P為橢圓

上一點,F1,F2是橢圓的焦點,∠F1PF2=60°,求△F1PF2的面積.變式探究若將本例中“∠F1PF2=60°”變?yōu)椤啊螾F1F2=90°”,求△F1PF2的面積.規(guī)律方法

1.橢圓上一點P與橢圓的兩個焦點F1,F2構(gòu)成的△PF1F2稱為焦點三角形.解關(guān)于橢圓的焦點三角形的問題,通常要利用橢圓的定義,再結(jié)合正弦定理、余弦定理等知識求解.2.焦點三角形的常用公式(1)焦點三角形的周長L=2a+2c.(2)在△PF1F2中,由余弦定理可知|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2.(3)設(shè)P(xP,yP),焦點三角形的面積

變式訓(xùn)練3設(shè)點P為橢圓C:上一點,F1,F2分別是橢圓C的左、右焦點,且△PF1F2的重心為點G,若|PF1|∶|PF2|=3∶4,那么△GPF1的面積為(

)A.24 B.12C.8 D.6C本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)橢圓的定義及其應(yīng)用.(2)橢圓的標準方程.2.方法歸納:待定系數(shù)法,定義法.3.常見誤區(qū):(1)忽視橢圓定義中a,b,c的關(guān)系.(2)混淆不同坐標系下橢圓的兩種標準方程.成果驗收·課堂達標檢測1234561.[2023山東菏澤高二統(tǒng)考期末]已知F1,F2是橢圓C:的兩個焦點,點M在橢圓C上,則|MF1|·|MF2|的最大值為(

)A.36 B.25 C.20 D.16B1234562.已知△ABC的周長為20,且頂點B(0,-4),C(0,4),則頂點A的軌跡方程是(

)B1234561234563.若方程x2+ky2=2表示焦點在y軸上的橢圓,那么實數(shù)k的取值范圍是(

)A.(0,+∞) B.(0,2)C.(1,+∞) D.(0,1)D12