高等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)力學(xué)

高等數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)授課人：韓萬(wàn)強(qiáng)電話：電子郵箱：han.1力學(xué)第一章物理學(xué)和力學(xué)一、微積分基礎(chǔ)知識(shí)1.函數(shù)，導(dǎo)數(shù)與微分函數(shù)：自變量，因變量，定義域，對(duì)應(yīng)法則，值域等；函數(shù)的一些基本性質(zhì)（如連續(xù)性，對(duì)稱性，周期性，奇偶性等），（基本）初等函數(shù)等。導(dǎo)數(shù)：設(shè)函數(shù)y=f(x)當(dāng)自變量在點(diǎn)x處有一增量△x時(shí)，函數(shù)y相應(yīng)的有一改變量△y=f(x+△x)-f(x)，那么當(dāng)△x趨于零時(shí)，若比值△y/△x的極限存在（為一確定的有限值），則這個(gè)極限為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處導(dǎo)數(shù)，記作：這時(shí)稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x處是可導(dǎo)的。2力學(xué)函數(shù)y=f(x)在x處的導(dǎo)數(shù)f’(x)等于曲線y=f(x)在點(diǎn)x處的切線的斜率，即：

導(dǎo)數(shù)的幾何意義：數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)在物理上，動(dòng)點(diǎn)的位置矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)就是該動(dòng)點(diǎn)的速度矢量；位置矢量對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)（也是：速度矢量對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)）是動(dòng)點(diǎn)的加速度矢量，詳見運(yùn)動(dòng)學(xué)部分——速度矢量與加速度矢量。3力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)注意：以下是易混淆的兩個(gè)表示：和前者：只要是在上面加一點(diǎn)的，都是對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，即：，當(dāng)然加兩點(diǎn)，則是對(duì)時(shí)間的二階導(dǎo)數(shù)，即：后者：永遠(yuǎn)是函數(shù)對(duì)自變量的導(dǎo)數(shù)。如對(duì)于函數(shù)y=y(x)，則4力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)若自變量有多個(gè)，則應(yīng)該用偏導(dǎo)，是函數(shù)y=y(x,t)(同時(shí)又有x=x(t))對(duì)時(shí)間的偏導(dǎo)。（注意：，對(duì)于多元函數(shù)，一般）。5力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)基本求導(dǎo)公式：(1)(C)

=0，(2)(xm)

=m

xm-1，(3)(sinx)

=cosx，(4)(cosx)

=-sinx，(5)(tanx)

=sec2x，(6)(cotx)

=-csc2x，(7)(secx)

=secxtanx，(8)(cscx)

=-cscxcotx，(9)(ax)

=ax

lna，(10)(ex)

=ex，，6力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則：(1)(u

v)

=u

v

，(2)(Cu)

=Cu

(C是常數(shù))，(3)(uv)

=u

v+u

v

，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：

反函數(shù)求導(dǎo)法：求導(dǎo)法則7力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：

解：函數(shù)y=lntanx是由y=lnu，u=tanx復(fù)合而成，例1y=lntanx，求dxdy。8力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)例2y=3xe，求dxdy。9力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)例3212sinxxy+=，求dxdy。10力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)函數(shù)y=y(x)的微分存在的充分必要條件是：函數(shù)存在有限的導(dǎo)數(shù)y’=f’(x)，這時(shí)函數(shù)的微分是：微分：dy是函數(shù)的增量，函數(shù)的微分；dx是自變量的增量，自變量的微分。叫函數(shù)的對(duì)自變量的一階微商11力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)2.不定積分不定積分：對(duì)函數(shù)y=y(x)，如果在給定區(qū)間[a,b]上有則其逆運(yùn)算就是求G(x)的不定積分（即：求G(x)的原函數(shù)）：上式中可以看出：G(x)（被積函數(shù)）的原函數(shù)為y(x)+C，不止一個(gè)。其中，C為積分常數(shù)。積分變量；被積式；被積函數(shù)；積分常數(shù)12力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)3.定積分由上面的不定積分,再加上一定的初始條件，被積函數(shù)的原函數(shù)就是唯一確定的。幾何意義：由y=f(x)的函數(shù)曲線，初始條件表示的直線，x軸所圍成的曲邊梯形的面積。牛頓——萊布尼茲公式（Newton-Leibnizformula）：若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，或分段連續(xù)，則y=f(x)在[a,b]上有原函數(shù)，設(shè)F(x)是f(x)在[a,b]上的一個(gè)原函數(shù)，則(定積分與不定積分的內(nèi)在聯(lián)系)13基本積分表

k

x

C(k是常數(shù))，

arctanx

C，

arcsinx

C，

ln|x|

C，

sinx

C，

cosx

C，力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)14力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)基本積分表15力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)不定積分的性質(zhì)

性質(zhì)1函數(shù)的和的不定積分等各個(gè)函數(shù)的不定積分的和，即

性質(zhì)2求不定積分時(shí)，被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號(hào)外面來(lái)，即16力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)例4例517力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)

arctanx

ln|x|

C．例6例7例8定積分18力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)三、矢量分析基礎(chǔ)(由于物理學(xué)研究的需要而產(chǎn)生了矢量)1.矢量的定義：具有一定的大小和方向，且加法遵從平行四邊形法則的量。矢量表示：2.矢量的加法、減法：矢量的加法應(yīng)滿足平行四邊形法則，而減法是加法的逆運(yùn)算，可用三角形法則；如圖所示。一般計(jì)算矢量的加法、減法時(shí)，對(duì)各分量分別相加減：19力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)3.矢量的數(shù)乘以實(shí)數(shù)

乘以矢量稱為矢量的數(shù)乘，記作，顯然有：實(shí)數(shù)只是一個(gè)系數(shù)，矢量的數(shù)乘可以看作是把原矢量的模伸縮為原來(lái)的倍。的方向?yàn)椋簳r(shí)，與方向不變；時(shí)，與方向相反。4.矢量的正交分解把矢量分解成沿著幾個(gè)正交單位矢量方向上的分矢量，各分矢量按照平行四邊形法則，又可合成原矢量。20力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)5.矢量的標(biāo)積和矢積已知兩矢量和，夾角記作：，則：（1）矢量的標(biāo)積（又稱：數(shù)量積、點(diǎn)乘、點(diǎn)積、內(nèi)積）：（結(jié)果為標(biāo)量）（2）矢量的矢積（又稱：叉乘、叉積、外積）：∴矢積的結(jié)果為矢量；大小為以A、B為邊的平行四邊形的面積：21力學(xué)數(shù)學(xué)補(bǔ)充知識(shí)6.矢量對(duì)t的導(dǎo)數(shù)對(duì)矢量函數(shù)（簡(jiǎn)稱矢函數(shù)），如果極限：存在，就稱它為矢