中考總復(fù)習(xí)-函數(shù)專題復(fù)習(xí)

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初中數(shù)學(xué)函數(shù)專題復(fù)習(xí)

專題一一次函數(shù)和反比例函數(shù)

一、一次函數(shù)及其基本性質(zhì)

1、正比例函數(shù)

形如'=HQ≠O)的函數(shù)稱為正比例函數(shù)，其中Z稱為函數(shù)的比例系數(shù)。

S當(dāng)Qo時(shí)，直線y=船經(jīng)過第一、三象限，從左向右上升，即隨著X的增大y也增大；

⑵當(dāng)k<0時(shí)，直線y=依經(jīng)過第二、四象限，從左向右下降，即隨著X的增大y反而減小。

2、,一次函數(shù)

形如y=依+。的函數(shù)稱為一次函數(shù)，其中上稱為函數(shù)的比例系數(shù)，方稱為函數(shù)的常數(shù)項(xiàng)。

(1)當(dāng)k>O,b>O,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、三象限；y隨X的增大而增大;

(2)當(dāng)k>O,b<O,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三、四象限；y隨X的增大而增大;

(3)當(dāng)k<O,b>O,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、二、四象限；y隨X的增大而減小;

(4)當(dāng)k<O,b<O,這時(shí)此函數(shù)的圖象經(jīng)過第二、三、四象限：y隨X的增大而減小。

例題1：在一次函數(shù)y=(/n—3)x，mi+x+3中，符合x≠Q(mào)則機(jī)的值為。

隨堂練習(xí)：已知自變量為X的函數(shù)y=∕nx+2-m是正比例函數(shù)，則m=,該函數(shù)的解析式為

例題2：已知一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，則b的值可以是()

A、-2B、-1C、0D、2

隨堂練習(xí):

1、直線y=x—1的圖像經(jīng)過象限是()

A、第一、二、三象限B、第一、二、四象限C、第二、三、四象限D(zhuǎn)、第一、三、四象限

2、一次函數(shù)y=6x+l的圖象不經(jīng)過()

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D(zhuǎn)、第四象限

例題3：已知一次函數(shù)y=mχ+〃-2的圖像如圖所示，則加、”的取值范圍是。

A、m>o,n<2B、m>o,∏>2C、m<o,n<2D、m<o,n>2

隨堂練習(xí)：已知關(guān)于X的一次函數(shù)y=〃的圖象如圖所示，貝IJ—m∣J菽可化簡

為。

例題4：已知一次函數(shù)y=fcr+b的圖像經(jīng)過二四象限，如果函數(shù)上有點(diǎn)(x,y),(x,y),

1122

如果滿足y>y,那么XX。

12I2

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3、待定系數(shù)法求解函數(shù)的解析式

(1)一次函數(shù)的形式可以化成一個(gè)二元一次方程，函數(shù)圖像上的點(diǎn)滿足函數(shù)的解析式，亦即滿足二元一

次方程。

(2)兩點(diǎn)確定一條直線，因此要確定一次函數(shù)的圖像，我們必須尋找一次函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，列方程

組，解方程，最終求出參數(shù)左、b。

例題5：己知：一次函數(shù)y=fcv+b的圖象經(jīng)過M(0,2),(I,3)兩點(diǎn)。

①求我、〃的值；

②若一次函數(shù)y=H+b的圖象與X軸的交點(diǎn)為A(q,0),求〃的值。

隨堂練習(xí)：

1、直線y=區(qū)一1一定經(jīng)過點(diǎn)()。

A、(1,0)B、(1,k)C、(0,&)D、(0,-1)

2、若點(diǎn)Cm,W)在函數(shù)y=2x+1的圖象上，則2m-n的值是()

A、2B、-2C、1D、-1

3、一次函數(shù)>=-2%+4的圖象與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是()

A、(0,4)B、(4,0)C、(2,0)D、(0,2)

4,已知一次函數(shù)y=依+。QNO)圖象過點(diǎn)(0,2),且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為2,求此一次函數(shù)

的解析式。

4、一次函數(shù)與方程、不等式結(jié)合

(1)一次函數(shù)中的比較大小問題，主要考察

(2)一次函數(shù)的交點(diǎn)問題：求解兩個(gè)一次函數(shù)的交點(diǎn)，只需通過將兩個(gè)一次函數(shù)聯(lián)立，之后通過解答一

個(gè)二元一次方程組即可。

例題1：已知一次函數(shù)y=以+8的圖象過第一、二、四象限，且與X軸交于點(diǎn)(2,0),則關(guān)于X的不等

式"(x-l)-b>0的解集為()

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A、x<-?B、x>-1C、x>?D、x<l

隨堂練習(xí)：

1、若直線y=-2x-4與直線y=4x+。的交點(diǎn)在第三象限，則人的取值范圍是()

A、-4<∕J<8B、-4<?<0C、。<-4或人〉8D、-4<∕><8

2、結(jié)合正比例函數(shù)產(chǎn)4x的圖像回答:當(dāng)x>l時(shí),y的取值范圍是()

Asy=?B、1<},<4Csy=4D、y>4

例題2：在同一平面直角坐標(biāo)系中，若一次函數(shù)y=-x+3與y=3x-5圖象交于點(diǎn)M,則點(diǎn)M的坐標(biāo)()

A、(-1,4)Bs(-1,2)C、(2,-1)D、(2,1)

.y

隨堂練習(xí)：如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象1與y=kx+b的圖象1相交于點(diǎn)P,則?/I

111222二;/

[y=kx-?-b,

方程組Kl.l的解是()

?y=kx+b

I22

A、卜=-2,b卜=3,C、卜=2,D、卜

Iy=3Iy=-2Iy=31)

1

例題3：如圖，直線廣履+6經(jīng)過A(3,1)和B(6,0)兩點(diǎn)，則不等式O<fcr+?<3%

的解集為________。?

隨堂練習(xí)：如圖，已知函數(shù)y=3x+。和y=or—3的圖象交于點(diǎn)P(—2,—5),則根據(jù)圖象可得不等式3x

+?>or-3的解集是。

y

2'/、=3才+分

/∕y=0∕-3

--ɑ/o?2/3?

4∕3-↑

5`一次函數(shù)的基本應(yīng)用問題

例題1:如圖,正方形ABcD的邊長為動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿折線ATB—DTC→A的路徑運(yùn)動(dòng),回到點(diǎn)4時(shí)運(yùn)動(dòng)

停止.設(shè)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)的路程長為X,AP長為y,則y關(guān)于X的函數(shù)圖象大致是()

隨堂練習(xí)：如圖3,直角梯形AoC。的邊OC在無軸上，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，CC垂直于X軸，D（5,4）-AD=2.

若動(dòng)點(diǎn)E、尸同時(shí)從點(diǎn)。出發(fā)，E點(diǎn)沿折線。A→AO→OC運(yùn)動(dòng)，到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止；F前沿OC運(yùn)動(dòng),

到達(dá)C點(diǎn)時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是每秒1個(gè)單位長度。設(shè)E運(yùn)動(dòng)秒X時(shí)，△石。尸的面積為丫（平方

單位），則》關(guān)于X的函數(shù)圖象大致為（）

例題2：某景區(qū)的旅游線路如圖1所示，其中A為入口，B,C,。為風(fēng)景點(diǎn)，E為三岔路的交匯點(diǎn)，圖1

中所給數(shù)據(jù)為相應(yīng)兩點(diǎn)間的路程（單位：km）.甲游客以一定的速度沿線路“A-。TC?→E-4”步行游覽,

在每個(gè)景點(diǎn)逗留的時(shí)間相同，當(dāng)他回到A處時(shí)，共用去3h.甲步行的路程S（km）與游覽時(shí)間t（h）之間的

部分函數(shù)圖象如圖2所示.

（第2題）

（1）求甲在每個(gè)景點(diǎn)逗留的時(shí)間，并補(bǔ)全圖象;

（2）求C,E兩點(diǎn)間的路程;

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（3）乙游客與甲同時(shí)從A處出發(fā)，打算游完三個(gè)景點(diǎn)后回到A處，兩人相約先到者在A處等候，等候

時(shí)間不超過10分鐘.如果乙的步行速度為3km∕h,在每個(gè)景點(diǎn)逗留的時(shí)間與甲相同，他們的約定能否實(shí)現(xiàn)？

請(qǐng)說明理由。

隨堂練習(xí)：煤炭是攀枝花的主要礦產(chǎn)資源之一，煤炭生產(chǎn)企業(yè)需要對(duì)煤炭運(yùn)送到用煤單位所產(chǎn)生的費(fèi)用進(jìn)

行核算并納入企業(yè)生產(chǎn)計(jì)劃。某煤礦現(xiàn)有1000噸煤炭要全部運(yùn)往4、B兩廠，通過了解獲得A、B兩廠的

有關(guān)信息如下表（表中運(yùn)費(fèi)欄“元”?女機(jī)”表示：每噸煤炭運(yùn)送一千米所需的費(fèi)用）：

廠別運(yùn)費(fèi)（元It?km）路程（km）需求量（D

A0.45200不超過600

Bα（“為常數(shù)）150不超過800

Φ寫出總運(yùn)費(fèi)y（元）與運(yùn)往廠的煤炭量X3）之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；

0請(qǐng)你運(yùn)用函數(shù)有關(guān)知識(shí)，為該煤礦設(shè)計(jì)總運(yùn)費(fèi)最少的運(yùn)送方案，并求出最少的總運(yùn)費(fèi)（可用含?的

代數(shù)式表示）

例題3：如圖，直線產(chǎn)辰-6經(jīng)過點(diǎn)A（4,0）,直線y=-3x+3與X軸交于點(diǎn)8,且兩直線交于點(diǎn)C。

（1）求A的值：

0求AABC的面積。

隨堂練習(xí)：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（一4,0）,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（0"）（6>0）.P

是直線48上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PCaX軸，垂足為C記點(diǎn)尸關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P（點(diǎn)P不在y軸上），

連結(jié)PP',P'A,P'C.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為”.

Φ當(dāng)6=3時(shí)，①求直線AB的解析式；②若點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1,m），求機(jī)的值；

②若點(diǎn)P在第一象限，記直線AB與Pe的交點(diǎn)為Q.當(dāng)PD:DC=L3時(shí)，求α的值；

③是否同時(shí)存在a，b,使APCA為等腰直角三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的“，b的值；若

不存在，請(qǐng)說明理由。.

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二、反比例函數(shù)及其基本性質(zhì)

1、反比例函數(shù)的基本形式

∣i∣c

—般地，形如y=-(A為常數(shù)，k≠o)的函數(shù)稱為反比例函數(shù)。>=-還可以寫成y=Aχ-∣

XX

XX

2、反比例函數(shù)中比例系數(shù)攵的幾何意義

(1)過反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)，向X軸作垂線，則以圖像上這個(gè)點(diǎn)、垂足，原點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的面積

等于反比例函數(shù)Z的絕對(duì)值的一半。

k

(2)正比例函數(shù)y=kX(k>0)與反比例函數(shù)y=_(?>0)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作ACj_x軸，

11X

垂足是C,三角形ABC的面積設(shè)為S,則S=?k?,與正比例函數(shù)的比例系數(shù)Z無關(guān)。

k

(3)正比例函數(shù)y=&x(?>0)與反比例函數(shù)產(chǎn)_(?>0)的圖像交于A、B兩點(diǎn)，過A點(diǎn)作ACj_x軸，

//X

過B點(diǎn)作BC_Ly軸，兩線的交點(diǎn)是C,三角形ABC的面積設(shè)為S,則S=2?k?,與正比例函數(shù)的比例系數(shù)

勺無關(guān)。

1

例題1：點(diǎn)P是X軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過P作X軸的垂線交雙曲線>=一于點(diǎn)Q，連續(xù)。。，當(dāng)點(diǎn)P

X

沿X軸正方向運(yùn)動(dòng)時(shí)，RtAQOP的面積()

A、逐漸增大B、逐漸減小C、保持不變D、無法確定

k

例題2：如圖，雙曲線y=一(Z>0)與0°在第一象限內(nèi)交于P、Q兩點(diǎn)，分別過p、Q兩點(diǎn)向X軸和)，軸

X

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作垂線，已知點(diǎn)P坐標(biāo)為（1,3）,則圖中陰影部分的面積為。

隨堂練習(xí)：

1、如圖，矩形ABCD的對(duì)角線BD經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形的邊分別平行于坐標(biāo)軸，點(diǎn)C在反比例函數(shù)

k2+2k+l

V=---------------的圖象上。若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-2,-2）,則A的值為

X

4、18、-3C、4。、1或一3

2

2、如圖所示，在反比例函數(shù)y=_（x>0）的圖象上有點(diǎn)P,P,P,P,它們的橫坐標(biāo)依次為1,2,3,4,

X1234

分別過些點(diǎn)作X軸與y軸的垂線，圖中所構(gòu)成的陰影部分的面積從左到右依次為S,S,S,S,則

I234

S+S+S=。

?23

3、如圖,直線/和雙曲線丁=匕&>。）交于人、B亮點(diǎn),P是線段AB上的點(diǎn)（不與A、B重合），過點(diǎn)A、B、

X

P分別向X軸作垂線,垂足分別是C、D、E,連接OA、OB、OP,設(shè)^AOC面積是外△BOO面積是S、￡P(guān)OE

面積是S、則（）

3

A、S1<S2<S3B、5j>S2>S3C、51=S2>S3D^S1=S2<S3

3、反比例函數(shù)的圖像問題

（1）反比例函數(shù)的圖像取決于比例系數(shù)。

（2）利用反比例函數(shù)的圖像與一次函數(shù)、一元一次不等式結(jié)合

例題1：函數(shù)y=-αr+Q與yj"（α≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（如圖所示）

X

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隨堂練習(xí)：一次函數(shù)y=χ+加(〃?N0)與反比例函數(shù)y=_的圖像在同一平面直角坐標(biāo)系中是()

例題2：如圖，正比例函數(shù)y=Lx的圖象與反比例函數(shù)y=A(女工0)在第一象限的圖象交于A點(diǎn)，過A點(diǎn)

2X

作X軸的垂線，垂足為已知AQ4M的面積為1.

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

(2)如果B為反比例函數(shù)在第一象限圖象上的點(diǎn)(點(diǎn)8與點(diǎn)A不重合)，且8點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1,在X軸上

求一點(diǎn)P,使PA+PB最小.

OM

隨堂練習(xí)：如圖，直線產(chǎn)2χ-6與反比例函數(shù)y=±(x>θ)的圖象交于點(diǎn)A(4,2),與X軸交于點(diǎn)B.

(1)求攵的值及點(diǎn)B的坐標(biāo)；

②在尢軸上是否存在點(diǎn)C,使得AC=A3?若存在，求出點(diǎn)。的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

BX

例題3：已知一次函數(shù)y=x-1和反比例函數(shù)yA、B兩點(diǎn)，當(dāng)y>y

2彳的圖象在平面直角坐標(biāo)系中交于

時(shí)，X的取值范圍是().

A、x>2B、-l<x<0C、x>2,一IVXVoD、XV2,%>0

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隨堂練習(xí)：

1、如圖，反比例函數(shù)y勺和正比例函數(shù)y=Gx的圖象交于A(-1，-3)、8(1,3勺

I=Y.22)兩點(diǎn)，若丫>5則

X的取值范圍是

A、-l<x<OB、-l<x<lC、x<-l或O<x<lD、-l<x<0或x>l

、，-3

2、點(diǎn)A(XJ)B(X,y),C(x,y)都在反比例函數(shù)y

?12233=X的圖象上，若

、,,B,d丫

A>'3<3I<}2'y3<y2<>∣'2?

=f[κθ)的圖象交于4(],4)、B(4,1)兩點(diǎn)，若

3、如圖，一次函數(shù)y=ax+b(α≠0與反比例函數(shù)y

X

y>y,則X的取值范圍是

12

4、反比例函數(shù)的基本應(yīng)用

例題1：如圖，等腰梯形48CO放置在平面直角坐標(biāo)系中，已知A(—2,0)、3(6,0)、O(0,3),反比例函

數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.

①求C點(diǎn)坐標(biāo)和反比例函數(shù)的解析式；

⑵將等腰梯形ABCO向上平移m個(gè)單位后，使點(diǎn)B恰好落在雙曲線上，求“2的值.

隨堂練習(xí)：已知一次函數(shù)y=χ+機(jī)的圖象與反比例函數(shù)>=—的圖象交于A、B兩點(diǎn)，已知當(dāng)X>1時(shí),

?2X

『2；當(dāng)°<χ<ι時(shí)，η<η?

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(I)求一次函數(shù)的解析式;

(2)已知一次函數(shù)在第一象限上有一點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離為3,求aABC的面積。

k

例題2：如圖，點(diǎn)A在雙曲線y=」的第一象限的那一支上，AB垂直于X軸與點(diǎn)B,點(diǎn)C在X軸正半軸

X

上，且0C=2AB,點(diǎn)E在線段AC上，且AE=3EC,點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，若aADE的面積為3,則4的

值為.

隨堂練習(xí)：如圖，M為雙曲線y=Y—上的一點(diǎn)，過點(diǎn)M作X軸、y軸的垂線，分別交直線y=-"+”于

'一.‘‘X

D、C兩點(diǎn)，若直線y=-X+"2與y軸交與點(diǎn)A,與X軸交與點(diǎn)B,則AD?BC的值為。

專題二二次函數(shù)

一、二次函數(shù)的基本性質(zhì)以及二次函數(shù)中三大參數(shù)的作用

1`二次函數(shù)的解析式及其求解

一般的，形如y=ar2+>x+c(aw0,a、b、C是常數(shù))的函數(shù)叫做二次函數(shù)，其中，X是自變量,

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a、b、C分別為二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。

0)一般式：y=cιχ2+bx+ca已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值，通常選擇一般式.

⑵頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

⑶交點(diǎn)式：已知圖像與X軸的交點(diǎn)坐標(biāo)》x?，通常選用交點(diǎn)式：y=αQ-χ)Q—為).

④對(duì)稱點(diǎn)式：已知圖像上有兩個(gè)關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)Q∣,z),q,z),那么函數(shù)的方程可以選用對(duì)稱點(diǎn)式

y=a(x-x‰-x)+%,代入已知的另外的點(diǎn)就可以求出函數(shù)的方程來了。

12

例題1：根據(jù)題意，求解二次函數(shù)的解析式。

(1)求過點(diǎn)A(l,0),B(2,3),C(3,l)的拋物線的方程

2已知拋物線與X軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-2和1,且通過點(diǎn)(2,8),求二次函數(shù)的解析式.

9已知二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3,-2),并且圖象與X軸兩交點(diǎn)間的距離為4,求二次函數(shù)的解析式。

4已知二次方程αc2+?χ+c=3的兩個(gè)根是-1和2,而且函數(shù)y=αχ2+6χ+c過點(diǎn)(3,4),求函數(shù)

y=aχ2+hx+c的解析式。

5已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),且通過點(diǎn)(1,10),求此二次函數(shù)的解析式.

δ已知二次函數(shù)當(dāng)x=2時(shí)有最大值3,且它的圖象與X軸兩交點(diǎn)間的距離為6,求這個(gè)二次函數(shù)的解析

式。

隨堂練習(xí)：

1、已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A(2,1),B(3,4),且與y軸交點(diǎn)為(0,7),則求函數(shù)的解析式

2、己知過點(diǎn)(2,0),(3,5)的拋物線>=依2+"+c與直線y=3x+3相交與X軸上，求二次函數(shù)的

解析式

3、已知二次函數(shù)y=αχ2+0x+c,其頂點(diǎn)為(2,2),圖象在X軸截得的線段長為2,求這個(gè)二次函數(shù)的解

析式。

4、已知函數(shù)的y=ajfl+bx+c過點(diǎn)(1,3),且函數(shù)的對(duì)應(yīng)方程的根是2和4,求方程on+bx+c=?3的解

5、拋物線y=α(x+l)(x-3)(αwθ)的對(duì)稱軸是直線()

A、X=1B、x=-lC、X=-3D、X=3

2、二次函數(shù)的基本圖像

Φ二次函數(shù)y=aχ2的圖像：一般地，拋物線y=以2的對(duì)稱軸是y軸，頂點(diǎn)是原點(diǎn)。當(dāng)α>o時(shí)，拋物

線的開口向上，頂點(diǎn)是拋物線的最低點(diǎn)，α越大，拋物線的開口越小；當(dāng)α<0時(shí)，拋物線的開口向下，頂

點(diǎn)是拋物線的最高點(diǎn)，“越大，拋物線的開口越大。

學(xué)習(xí)好資料________________________________________________

0二次函數(shù)y=α(x-∕z)2+%的圖像：當(dāng)α>0時(shí)，開口向上；當(dāng)“<O時(shí)，開口向下；對(duì)稱軸是直線4人；

頂點(diǎn)坐標(biāo)是"，k).

③二次函數(shù)y=α(x-力)2+4與y=aχ2圖像的關(guān)系：一般地，拋物線>=”(x-力)2+Z與y=0χ2形

狀相同，位置不同。把拋物線>=62向上(下)向左(右)平移，可以得到拋物線y=a(x-h)2+k^平

移的方向、距離要根據(jù)h,出的值來決定。

(4)二次函數(shù)y=g+6x+c(α≠0)的圖像：一般地，我們可以用配方法求拋物線

（bV4αc-b2

y=aχ2+hx+c(a≠0)的頂點(diǎn)與對(duì)稱軸。y-aχ2+bχ2+C-ax+___+,因此，拋物線

2a）4a

/?∕ι4/7/、一卜2

y=ax2+bx+c（a≠0）的對(duì)稱軸是龍=——，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（一——,—：----）。

Ia2a4a

例題1：把拋物線y=3m先向上平移2個(gè)單位再向右平移3個(gè)單位，所得的拋物線是O

A、y=3(x+3)2-2B、γ=3(x+3)2+2C>)=3(工一3)2—2D、.y=3(χ-3)2+2

例題2：已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖，那么函數(shù)解析式為()

A、y=-X2+2X+3B>J=X2-2χ-3C>y=-Λ2-2X+3D>y=~x2~2x~3

例題3：已知拋物線的解析式為y=(x—2)2+1,則拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A、(-2,1)B.(2,I)C、(2,一1)D、(1,2)

隨堂練習(xí)：

1、在同一平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，將函數(shù)>=2%2+4》+1的圖象沿工軸方向向右平移2個(gè)單位長度后再沿y

軸向下平移1個(gè)單位長度，得到圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是()

A、(-1,1)B、(1,-2)C、(2,-2)。、(1,-1)

2、將拋物線y=3m向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為()

A、y=3(x+2)2+3B、y=3(x-2)2+3c、y=3(x+2)2-3D、y=3(x-2)2-3

3、如圖，在平面直角坐標(biāo)系XOy中，邊長為2的正方形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在X軸、y軸的正半軸上，

2

二次函數(shù)y=-^■尤2+bχ+c的圖像經(jīng)過B、C兩點(diǎn).

(1)求該二次函數(shù)的解析式;(2)結(jié)合函數(shù)的圖像探索：當(dāng)y>0時(shí)X的取值范圍。

學(xué)習(xí)好資料.

例題4：關(guān)于X的二次函數(shù)y=Λ2-2MJX+"12和一次函數(shù))，=—“tv+"(m≠0)>在同一坐標(biāo)系中的大致圖象正

確的是O

隨堂練習(xí):

1、二次函數(shù)y="(x+m)2+〃的圖象如圖，則一次函數(shù)y=∕77X+〃的圖象經(jīng)過(

A、第一、二、三象限8、第一、二、四象限C、第二、三、四象限。、第一、三、四象限

2、函數(shù)y=4x+1與y=0r2+∕>x+1(a≠0的圖象可能是()

3`二次函數(shù)的增減性及其最值

①開口向上的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著X的增大而減?。辉趯?duì)稱軸右側(cè)，y隨著X的增大而增

40c-b2

大；在對(duì)稱軸處取到最小值-------,，越靠近對(duì)稱軸，函數(shù)值越小。

②開口向下的二次函數(shù)，在對(duì)稱軸左側(cè)，y隨著X的增大而增大；在對(duì)稱軸右側(cè)，y隨著X的增大而減

4ac-b2

小；在對(duì)稱軸處取到最大值---------,越靠近對(duì)稱軸，函數(shù)值越大。

4α

學(xué)習(xí)好資料________________________________________________

例題1:二次函數(shù)y=αχ2+bχ+c的圖象如圖2所示，若點(diǎn)A(1,%)、B(2,y)是它圖象上的兩點(diǎn)，則

X與)，2的大小關(guān)系是()

A,y<yB、y=\'C、y>yD、不能確定

121212

例題2：設(shè)4(-2,y),B(1,y),C(2,y)是拋物線j=-(x+1)≡+m上的三點(diǎn)，則y,y,y的大小關(guān)系為()

123123

A、y>y>yB、y>y〉yC、y>y>yD、y>y>y

123132321213

115

隨堂練習(xí)：已知二次函數(shù)y=-_x2—7Λ+_,若自變量X分別取X,X,X,且0<x<χ<χ,則對(duì)應(yīng)

2~2123123

的函數(shù)值以，為，幾的大小關(guān)系正確的是()

A、丫1>)，/)啰、汴郢凈DTy<g<寸1

4'二次函數(shù)中三大參數(shù)的和函數(shù)圖像的關(guān)系

(1)&決定開口方向及開口大小，這與y="χ2中的α完全一樣。

(2)人和“共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置，由于拋物線y=αχ2+bχ+c的對(duì)稱軸是直線X=-',故：

2a

①人=0時(shí)，對(duì)稱軸為y軸；②2>o(即?、分同號(hào))時(shí)，對(duì)稱軸在y軸左側(cè)；③2<。(即“、b異號(hào))時(shí)，

aa

對(duì)稱軸在y軸右側(cè)。

(3)C的大小決定拋物線y=aχ2+bχ+c與y軸交點(diǎn)的位置。

當(dāng)X=O時(shí)，V=C,.?.拋物線y=ar2+6x+c與丫軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,C)：

①c=0,拋物線經(jīng)過原點(diǎn)：②c>0,與>軸交于正半軸；③c<0,與y軸交于負(fù)半軸。

bC

以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立：如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè)，則一<°。

a

例題1：已知二次函數(shù)y=aΛ2+6x+c(a≠0)的圖象如圖4所示，有下列四個(gè)結(jié)論：

?b<0?c>0?h2-4ac>Q@a-b+c<0,其中正確的個(gè)數(shù)有()

A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)

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例題2：已知二次函數(shù)y=α/+如c+c（dW0）的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：Φ?2-4ac>0；②αbc>O;

③8"+c>0;④9α+3%+c<0.其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）。

A、1B、2C、3D、4

隨堂練習(xí)：

1、已知二次函數(shù)y=aM+以x+c（α=0）（其中4>0,A>∩,c<∩）,關(guān)于這個(gè)二次函數(shù)的圖象有如下

說法：①圖象的開口一定向上；②圖象的頂點(diǎn)一定在第四象限；③圖象與X軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在y軸的

右側(cè)。以上說法正確的有（）.

A、0個(gè)B、1個(gè)C、2個(gè)D、3個(gè)

2、已知二次函數(shù)y=αx2+bχ+c（α。0）的圖象如圖所示對(duì)稱軸為》=一」。下列結(jié)論中，正確的是（）

2

A、abc>Oa+b=OC、2ft+c>0D、4。十CV2。

3、已知二次函數(shù)y=df2+氏T+已的圖象如圖所示，則下列5個(gè)代數(shù)式：ac,a+b+c,4a-2b÷c,2a+b,2a-b

中，其值大于0的個(gè)數(shù)為（）

A、2B、3C、4D、5

5、二次函數(shù)和不等式、方程的結(jié)合

①二次函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)以及求解：通過判斷A=。？-4"c的正負(fù)可以得到二次函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，注意，

前提是需要注意一個(gè)函數(shù)是否為二次函數(shù)，需要判斷二次項(xiàng)次數(shù)是否為零，其中元=-?！廊?

∣-22a

②二次函數(shù)和不等式的結(jié)合：在X軸上方，則函數(shù)大于零；在X軸下方，則函數(shù)小于零；在直線上方，

說明αX2+0χ+c>依+"?；在直線下方，則說明ɑv+"+c<丘+機(jī)。

例題1：如圖，已知拋物線J=-2X2÷2,直線χ=2x+2,當(dāng)X任取一值時(shí)，X對(duì)應(yīng)的函數(shù)值分別為％、y2.

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若）'音U?。?i、％中的較小值記為m''若P”2記M=>可個(gè)例如：當(dāng)X=I時(shí)，y平y(tǒng)=^>yWy，2此時(shí)

M=Oa下列判斷：

①當(dāng)x>0時(shí)，y>y；②當(dāng)XVO時(shí)，X值越大，M值越小;

12-1√2

③使得M大于2的X值不存在；④使得M=I的X值2?2或.

其中正確的是（）

A、①②B、①④C、②③D、③④

例題2：二次函數(shù)>=62+"的圖象如圖，若一元二次方程αχ2+bχ+m=0有實(shí)數(shù)根，則機(jī)的最大值

為（）

A、~3B、3C、-5D、9

例題3：設(shè)二次函數(shù)>=χ2+fer+c,當(dāng)x≤1時(shí)，總有yNO；當(dāng)1≤x≤3時(shí)，總有yW0。那么C的取

值范圍是

A、C=38、c≥3c1≤c≤3θ?c≤3

隨堂練習(xí)：

1、如圖是二次函數(shù)曠=4柒+"+C的部分圖象，由圖象可知不等式0χ2+fer+c<0的解集是

A、-1<Λ<5BSX>5C、x<-1?>5D,X<-1BJ<Λ>5

2、如圖所示是二次函數(shù)y=m+bx+c圖象的一部分，其對(duì)稱軸為直線X=↑,若其與X軸一交點(diǎn)為（3,

0）,則由圖象可知，不等式。*+區(qū)+。>0的解集是。

3、對(duì)于二次函數(shù)y=α∕+岳τ+c（4Wθ）,我們把使函數(shù)值等于0的實(shí)數(shù)X叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)，則二次

函數(shù)y=爾+物-2（〃?為實(shí)數(shù)）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）A、1B、2C、0D,不能確定

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二、二次函數(shù)的基本應(yīng)用

1'二次函數(shù)求解最值問題

例題1：某商場(chǎng)在銷售旺季臨近時(shí)，某品牌的童裝銷售價(jià)格呈上升趨勢(shì)，假如這種童裝開始時(shí)的售價(jià)為每

件20元，并且每周（7天）漲價(jià)2元，從第6周開始，保持每件30元的穩(wěn)定價(jià)格銷售，直到11周結(jié)束，

該童裝不再銷售。

①請(qǐng)建立銷售價(jià)格y（元）與周次X之間的函數(shù)關(guān)系；

0若該品牌童裝于進(jìn)貨當(dāng)周售完，且這種童裝每件進(jìn)價(jià)Z（元）與周次X之間的關(guān)系為

Z=-IX—8）2+12,l<χ<ll,且X為整數(shù)，那么該品牌童裝在第幾周售出后，每件獲得利潤最大？

8

并求最大利潤為多少？

隨堂練習(xí):

1,新星電子科技公司積極應(yīng)對(duì)2008年世界金融危機(jī)，及時(shí)調(diào)整投資方向，瞄準(zhǔn)光伏產(chǎn)業(yè)，建成了太陽能

光伏電池生產(chǎn)線。由于新產(chǎn)品開發(fā)初期成本高，且市場(chǎng)占有率不高等因素的影響，產(chǎn)品投產(chǎn)上市一年來，

公司經(jīng)歷了由初期的虧損到后來逐步盈利的過程（公司對(duì)經(jīng)營的盈虧情況每月最后一天結(jié)算1次）.公司

累積獲得的利潤y（萬元）與銷售時(shí)間第X（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（即前X個(gè)月的利潤總和y與X之間的

關(guān)系）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在如圖所示的圖象上.該圖象從左至右，依次是線段。4、曲線AB和曲線BC,其中曲

線AB為拋物線的一部分，點(diǎn)A為該拋物線的頂點(diǎn)，曲線BC為另一拋物線y=-5x2+205χ-1230的一

部分，且點(diǎn)A,B,C的橫坐標(biāo)分別為4,10,12

Φ求該公司累積獲得的利潤y（萬元）與時(shí)間第X（月）之間的函數(shù)關(guān)系式；

0直接寫出第X個(gè)月所獲得S（萬元）與時(shí)間X（月）之間的函數(shù)關(guān)系式（不需要寫出計(jì)算過程）；

?前12個(gè)月中，第幾個(gè)月該公司所獲得的利潤最多？最多利潤是多少萬元？

學(xué)習(xí)好資料.

2、某商品的進(jìn)價(jià)為每件40元，售價(jià)為每件50元，每個(gè)月可賣出210件；如果每件商品的售價(jià)每上漲1

元，則每個(gè)月少賣10件（每件售價(jià)不能高于65元）.設(shè)每件商品的售價(jià)上漲X元（X為正整數(shù)），每個(gè)月

的銷售利潤為y元.

①求y與X的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量X的取值范圍;

0每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元?

0每件商品的售價(jià)定為多少元時(shí)，每個(gè)月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上結(jié)論，請(qǐng)你直接寫出售價(jià)在什

么范圍時(shí)，每個(gè)月的利潤不低于2200元？

2`二次函數(shù)中的面積問題

例題1：某居民小區(qū)要在一塊一邊靠墻（墻長15m）的空地上修建一個(gè)矩形花園ABCD,花園的一邊靠墻,

另三邊用總長為40m的柵欄圍成.若設(shè)花園的寬為χ（m）,花園的面積為.y（m2）.

①求y與X之間的函數(shù)關(guān)系，并寫出自變量的取值范圍；

②根據(jù)（1）中求得的函數(shù)關(guān)系式，描述其圖象的變化趨勢(shì)；并結(jié)合題意判斷當(dāng)X取何值時(shí)，花園的面

積最大，最大面積是多少？

隨堂練習(xí)：如圖所示，在一個(gè)直角AMBN的內(nèi)部作一個(gè)長方形ABCD其中AB和BC分別在兩直角邊上,

設(shè)A8=xm,長方形的面積為），m2,要使長方形的面積最大，其邊長X應(yīng)為（）

學(xué)習(xí)好資料

24~5~

a'-4~mB、6inC、15/nD、2m

1Γ2m1

例題2：如圖,Θ0的半徑為2,G是函數(shù)y,Λ2的圖象，C2是函數(shù)y—2底的圖象，則陰影部分的面積

是。

35

例題3：如圖，直線y=-_x+6分別與X軸、y軸交于A、8兩點(diǎn)，直線y=_X與AB交于點(diǎn)C,與過

44

點(diǎn)A且平行于y軸的直線交于點(diǎn)。.點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿X軸向左運(yùn)動(dòng).過點(diǎn)E作

X軸的垂線，分別交直線AB、OD于P、Q兩點(diǎn)，以PQ為邊向右作正方形PQMN,設(shè)正方形PQMN與

△ACO重疊部分（陰影部分）的面積為S（平方單位）.點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，（秒）.

（1）求點(diǎn)。的坐標(biāo)：

（2）當(dāng)0<f<5時(shí)，求S與，之間的函數(shù)關(guān)系式；

⑶求（2）中S的最大值；

nQ9、

（4）當(dāng)f〉0時(shí)，直接寫出點(diǎn)［I在正方形PQMN內(nèi)部時(shí)f的取值范圍.

隨堂練習(xí)：

1、如圖，矩形48CZ）的兩邊長AB=I8cm,AD=4cm,點(diǎn)P、。分別從A、B同時(shí)出發(fā)，P在邊AB上沿AB

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方向以每秒2cm的速度勻速運(yùn)動(dòng)，。在邊BC上沿BC方向以每秒1cm的速度勻速運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為X

秒，△PBQ的面積為y(cm2).

(1)求y關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范圍;

0求4PBQ的面積的最大值.

2、如圖，把拋物線產(chǎn)萬柒平移得到拋物線”,拋物線機(jī)經(jīng)過點(diǎn)A(-6,0)和原點(diǎn)O(0,0),它的頂點(diǎn)

3、如圖，已知拋物線)Hαr2+fer+c(α≠0的圖象經(jīng)過原點(diǎn)。，交X軸于點(diǎn)A,其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,-√3).

Φ求拋物線的函數(shù)解析式及點(diǎn)4的坐標(biāo)；

4'如圖，已知直線、=--x+1交坐標(biāo)軸于A,B兩點(diǎn)，以線段AB為邊向上作正方形ABCD,過點(diǎn)

A,D,。的拋物線與直線另一個(gè)交點(diǎn)為E.

(1)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)G。的坐標(biāo)；

⑵求拋物線的解析式；

⑶若正方形以每秒正個(gè)單位長度的速度沿射線AB下滑，直至頂點(diǎn)D落在X軸上時(shí)停止.設(shè)正方形落

在X軸下方部分的面積為S,求S關(guān)于滑行時(shí)間，的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量f的取值范圍;

(4)在(3)的條件下，拋物線與正方形一起平移，同時(shí)停止，求拋物線上C,E兩點(diǎn)間的拋物線弧所掃

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過的面積。

3`涵洞橋梁隧道問題

例題1：如圖，某公路隧道橫截面為拋物線，其最大高度為6米，底部寬度OM為12米.現(xiàn)以。點(diǎn)為原點(diǎn)，

OM所在直線為X軸建立直角坐標(biāo)系.

①直接寫出點(diǎn)M及拋物線頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；

0求這條拋物線的解析式；

?若要搭建一個(gè)矩形“支撐架"A。-DC-CB,使C、力點(diǎn)在拋物線上，4、B點(diǎn)在地面OM上，則這個(gè)

"支撐架''總長的最大值是多少？

隨堂練習(xí)：

1、如圖，小河上有一拱橋，拱橋及河道的截面輪廓線由拋物線的一部分ACB和矩形的三邊AE,ED,DB

組成，已知河底EC是水平的，EQ=I6米，AE=Q米，拋物線的頂點(diǎn)C到ED距離是11米，以E。所在

的直線為X軸，拋物線的對(duì)稱軸y軸建立平面直角坐標(biāo)系，

(1)求拋物線的解析式；

(2)己知從某時(shí)刻開始的40小時(shí)內(nèi)，水面與河底EQ的距離〃(單位：米)隨時(shí)間，(單位：時(shí)?)的變化

滿足函數(shù)關(guān)系。

19)2+8(0<∕<40)且當(dāng)水面到頂點(diǎn)C的距離不大于5米時(shí)，需禁止船只通行，請(qǐng)通過計(jì)算

128

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說明：在這一時(shí)段內(nèi)，需多少小時(shí)禁止船只通行？

2,一座拱橋的輪廓是拋物線型（如左圖所示），拱高6團(tuán)，跨度20〃?，相鄰兩支柱間的距離均為5機(jī)。

K將拋物線放在所給的直