離散序列褶積與相關分析

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信號與數(shù)字信號處理概述連續(xù)傅里葉級數(shù)變換離散頻譜（+Gibbs現(xiàn)象）連續(xù)傅里葉積分變換：積分變換連續(xù)傅里葉積分變換：性質及其計算（+Gibbs現(xiàn)象）Matlab語言及其操作（上機）級數(shù)與積分的關系、連續(xù)譜抽樣定理；連續(xù)褶積與相關。連續(xù)信號的離散化與離散序列傅里葉變換抽樣定理離散信號的連續(xù)化、假頻問題單位脈沖信號（Impluse）的表示式為回顧：單位脈沖信號），

并且

與單位脈沖信號對應的是單位脈沖序列，數(shù)學上稱其為Kronecker函數(shù)，其表示式為回顧：單位脈沖序列），

因此有例2：計算的頻譜。單位脈沖序列），

例1：回顧：連續(xù)信號的褶積），

連續(xù)信號x(t)與y(t)的線性褶積(簡稱褶積):表明:任何連續(xù)信號等于其與單位脈沖信號的褶積，稱此性質為連續(xù)信號關于線性褶積的脈沖不變性，簡稱線性褶積的脈沖不變性。并且有離散信號的褶積），

將前面的公式進行離散化：

稱其為離散序列x(nΔ)與y(nΔ)的線性褶積,簡稱褶積。這就是離散序列線性褶積的脈沖不變性。離散褶積），

這說明離散褶積具有可交換性質。

離散褶積），

因此有離散褶積），

這表明：兩個無限離散序列的褶積，其頻譜就是兩個對應離散序列頻譜的乘積。反過來講，兩個離散序列頻譜乘積，其信號就是相應的兩個離散序列的褶積。離散褶積），

定義：設信號和均是周期為N的離散序列，則稱

為序列與的周期褶積。周期褶積也具有脈沖不變性，即

表示對n-k做模N運算，即n-k除以N所得的非負余數(shù)。例如

離散褶積），

對N點有限序列來說，還有一種循環(huán)褶積（CyclicConvolution）定義如下

循環(huán)褶積具有可交換性，即

其中，式

離散褶積），

通常我們所講的普通離散褶積表示的是線性褶積并且將其簡化為例：計算兩有限長度離散序列的線性褶積。離散褶積），

例：計算兩有限長度離散序列的線性褶積?？梢赃x擇兩種方法計算它們的褶積（課堂做）

：（1）、直接利用褶積表達式；（2）、先單獨計算各自的頻譜，再計算它們頻譜的乘積，最后進行逆變換。離散褶積），

第一種方法：分別計算時上述表達式的值。離散褶積），

將第一種計算方法中用到的計算公式寫成如下的形式：離散褶積），

將第一種計算方法中用到的計算公式寫成如下的形式：離散褶積），

根據(jù)線性褶積的可交換性，第一種計算方法中用到的計算公式也可寫成如下的形式：離散褶積），

對于普通的具有如下形式的離散序列則有問題：對于有限分布離散序列，是否需要無限寫下去？SFT（或DTFT）），

取時便可得到如下的變換

這就是無限離散序列的傅里葉積分變換（SequenceFourierTransform，簡寫成SFT；也可稱其為DiscreteTimeFourierTransform，簡稱DTFT），或稱序列傅里葉（積分）變換。離散褶積），

因此有第二種方法：離散褶積），

對比公式可以得到離散褶積），

在數(shù)列的有效長度較小時，選擇第一種計算方法比較直觀；第二種計算方法顯得有點不太靈活！

但是，第二種方法在數(shù)列的有效長度較大時就會顯示出無比的優(yōu)越性：實際工作中的絕大多數(shù)科學計算，均采用第二種計算方法。為什么？這與后面將要講到的快速Fourier變換方法有密切關系。離散褶積），

例1：根據(jù)萬有引力定律，對一條直線上排列的4個質點進行觀測（也只觀測四個點上的數(shù)據(jù)），并且只分析垂直方向上的水平引力。例2：在上例中，如果四個質點均勻地坐在一個大的圓環(huán)上，而觀測點位于四個質點正上方的一個水平面上，情況又怎么樣？試寫出相對應的表達式

。離散褶積），

例：線性褶積

A*X=B

所對應的表達式：其中的系數(shù)矩陣為Toeplitz矩陣。離散褶積），

例：循環(huán)褶積

所對應的表達式：其中的系數(shù)矩陣為循環(huán)矩陣。離散褶積），

例：循環(huán)褶積

所對應的表達式：離散褶積），

例：計算兩有限長度離散序列的循環(huán)褶積。此處兩序列的實際有效長度分別為3和4。若我們需要計算有限長度的循環(huán)褶積，實際意義是：我們需要從上面的離散序列中截取對應的長度做分析。離散褶積），

選擇N=5時，則有：對應的循環(huán)褶積為（應該怎樣寫？）（應該怎樣寫？）離散褶積），

選擇N=6時，則有：對應的循環(huán)褶積為離散褶積），

從上面的例子中，可以清楚地看出“從離散序列中截取對應的長度做分析”的含義！一定不要有如下的錯誤認識（以N=6為例）因為我們不知道：上面的離散序列是從何處截取而來的！它們與原始序列之間存在有很大的差別！離散褶積），

問題：在上例中，若已知兩序列的有效長度分別為N1和N2。請問：循環(huán)褶積的長度N應滿足什么條件時，所得到的線性褶積與循環(huán)褶積在有效離散數(shù)值上是對等的？離散褶積），

已知兩個如下的離散序列：1、計算它們的線性褶積；2、取N=5，計算對應的循環(huán)褶積；3、當N滿足什么條件時，計算得到的循環(huán)褶積等同于線性褶積？離散褶積），

離散序列的相關分析

有的同學反映：課堂上好象懂了，課外做作業(yè)時又都不會了。這種現(xiàn)象很正常，就象我認識同學們一樣：在教室里好象都認識，教室外面又有點陌生了；不認識的時候，感覺好多同學的長相有點像，認識多了才能夠區(qū)別開。生活中也是這樣：有的雙胞胎長的只有他們的父母才能區(qū)別開。遠的不說，就拿我們自己來說吧：小時候的我們同現(xiàn)在的我們，長相有什么變化？變化有多大？

那么，如何判別彼此之間的相似性？這就牽涉到一個判別準則的選擇問題。

離散序列的相關分析

小時候的‘我’（用一個序列x1(n)

來表示）與現(xiàn)在的‘我’（用一個序列x２(n)

來表示）在主要特征上保留了很多的相同之處。盡管我們身材高大了，但還是存在著一定程度的相對比例。因此，我們可以采樣如下的表達式

：

來定量地表示兩序列之間的區(qū)別（其中α為一常數(shù)）。

問題：α應該取多大時，才能使Q達到最??？離散序列的相關分析問題：α應該取多大時，才能使Q達到最小？可以得到離散序列的相關分析此時顯然，代表了兩組序列的相似程度：（2）若其等于1，誤差為零。

（1）若其等于零，誤差最大；離散序列的相關分析稱為序列x1(n)與x2(n)的相關系數(shù)。有時也稱為序列x1(n)與x2(n)的未標準化的相關系數(shù)，簡稱為相關系數(shù)?；仡?連續(xù)信號的相關），

信號x(t)和y(t)的線性相關（LinearCorrelation，簡稱相關）定義為

特別地，若信號x(t)=y(t),我們稱其為自相關(Auto-Correlation)，否則就是互相關(Cross-Correlation)。

通常記回顧:連續(xù)信號的相關），

設則有i.e.，這說明了信號的相關運算不具有可交換性質。

離散序列的相關分析

同連續(xù)信號一樣，離散序列也存在線性相關、周期相關和循環(huán)相關這三種運算：

離散序列的相關分析線形相關等同于離散序列的相關分析設

（1）、兩個無限離散序列x(nΔ)與y(nΔ)的相關，其頻譜就是x(nΔ)頻譜乘以y(nΔ)頻譜的共軛

。（2）、線性相關不具有可交換性。這說明：離散序列的相關分析設證明過程：離散序列的相關分析通常所說的相關指的是線性相關，并且將其簡化為離散序列的相關分析其中的系數(shù)矩陣為Hankel矩陣。線性相關對應的表達式：離散序列的相關分析其中的系數(shù)矩陣為循環(huán)Hankel矩陣。循環(huán)相關對應的表達式（N=9）：離散序列的相關分析

在做相關分析時，若兩離散序列是完全相等的，則稱其為自相關，否則為互相關。

離散序列的相關分析自相關序列具有如下的性質：

1、是對稱共軛的，即

特別地，對于實序列而言，對應的自相關是實對稱的。

離散序列的相關分析自相關序列具有如下的性質：

2、在n=0時是實的，并且達到最大值(>0)，即

離散序列的相關分析自相關序列具有如下的性質：

3、若序列x(n)是能量有限的，則有

4、序列x(n)自相關只與其振幅譜有關（與相位譜無關），即褶積與相關的關系兩序列x(nΔ)與y(nΔ)的褶積表達式：而它們之間的相關表達式因此，若記

，則有

褶積與相關的關系離散序列的褶積與相關分析1、離散序列的褶積是重點；3、線性褶積與循環(huán)褶積是重點！必須熟練掌握相應公式的推導與計算方法及過程。（離散序列的褶積是DSP的重點！）2、相關分析只需了解（如褶積與相關兩者之間的關系；與相關有關的更多內容，將在短學期的編程實踐中來完成