新教材2023版高中數學第一章空間向量與立體幾何1.4空間向量的應用1.4.1用空間向量研究直線平面的位置關系第3課時空間中直線平面的垂直課件新人教A版選擇性必修第一冊

第3課時空間中直線、平面的垂直[課標解讀]

1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關系．新知初探·課前預習題型探究·課堂解透新知初探·課前預習教材要點要點空間中垂直關系的向量表示線線垂直設直線l1的方向向量為u＝(a1，a2，a3)，直線l2的方向向量為v＝(b1，b2，b3)，則l1⊥l2?________?____________________．線面垂直設直線l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量是n＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?_______?_______?______________________(λ∈R)．面面垂直設平面α的法向量n1＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量n2＝(a2，b2，c2)，則α⊥β

?________?________?________________．u·v＝0a1b1＋a2b2＋a3b3＝0u∥nu＝λn(a1，b1，c1)＝λ(a2，b2，c2)n1⊥n2n1·n2＝0a1a2＋b1b2＋c1c2＝0狀元隨筆(1)若證線線垂直，則證直線的方向向量垂直．(2)若證線面垂直，則證直線的方向向量與平面的法向量平行．(3)若證面面垂直，則證兩平面的法向量垂直．基礎自測1.思考辨析(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)若兩直線方向向量的數量積為0，則這兩條直線一定垂直相交．(

)(2)若一直線與平面垂直，則該直線的方向向量與平面內的所有直線的方向向量的數量積為0.(

)(3)兩個平面垂直，則其中一平面內的直線的方向向量與另一平面內的直線的方向向量垂直．(

)(4)如果一個向量與平面內兩個向量垂直，則此向量是平面的一個法向量．(

)×√××2．若直線l1，l2的方向向量分別為m＝(2，－1，－1)，n＝(1，1，1)，則這兩條直線(

)A．平行

B．垂直C．異面垂直

D．垂直相交答案：B解析：因為m·n＝2×1＋(－1)×1＋(－1)×1＝0，所以m⊥n，所以l1⊥l2.3．直線l的方向向量a＝(2，－4，7)，平面α的法向量n＝(－2，4，－7)，則有(

)A．l∥α

B．l?α或l∥αC．l與α斜交D．l⊥α答案：D解析：∵a＝(2，－4，7)，n＝(－2，4，－7)，∴a＝－n，則a∥n，所以l⊥α.4．平面α的一個法向量是(1，2，3)，平面β的一個法向量是(3，0，－1)，則平面α與β的位置關系是(

)A．平行

B．相交且不垂直C．相交且垂直D．不確定答案：C解析：因為(1，2，3)·(3，0，－1)＝1×3＋2×0＋3×(－1)＝0，所以平面α⊥平面β.5．平面α與平面β垂直，平面α與平面β的法向量分別為u＝(－1，0，5)，v＝(t，5，1)，則t的值為________．5解析：∵平面α與平面β垂直，∴平面α的法向量u與平面β的法向量v垂直，∴u·v＝0，即－1×t＋0×5＋5×1＝0，解得t＝5.題型探究·課堂解透題型1利用向量方法證明線線垂直例1如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA＝AB＝1，點F是PB的中點，點E在邊BC上移動．求證：無論點E在邊BC上的何處，都有PE⊥AF.

方法歸納利用向量方法證明線線垂直的2種方法鞏固訓練1

如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求證：AC⊥BC1.

題型2利用向量方法證明線面垂直例2如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，E為PC的中點，EF⊥BP于點F.求證：PB⊥平面EFD.

方法歸納利用坐標法證明線面垂直的2種方法及步驟鞏固訓練2

如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點．求證：A1O⊥平面GBD.

題型

3利用向量方法證明面面垂直例3

在四面體ABCD中，