物理課后答案

習題解答

習題一

1-1IArI與4有無不同？業(yè)和業(yè)有無不同？蟲和蟲有無

dtdtdtdt

不同?其不同在哪里?試舉例說明.

解：（1）加|是位移的模，Ar是位矢的模的增量，即|Ar|=h-八|,

可-同；

（2）支是速度的模，即上訓=乎.

drdt1dt

乎只是速度在徑向上的分量.

dr

,?,有r=”（式中/做單位矢），則匕=匕f+廠史

drdtdt

式中日就是速度徑向上的分量，

dt

橫向/?

???生與匕不同如題1-1圖所示.0/

drdt

題1-1圖

（3）電表示加速度的模，即同=電，當是加速度a在切向上的分

dr11dtdt

量.

?.?有v=v4T表軌道節(jié)線方向單位矢），所以

dvdv_df

—=—T+V——

drdrdt

式中半就是加速度的切向分量.

dt

（???理與好的運算較復雜，超出教材規(guī)定，故不予討論）

dtdr

1-2設質(zhì)點的運動方程為x=x⑺，y=y("，在計算質(zhì)點的速度

和加速度時，有人先求出廠=廳7了，然后根據(jù)v=手，及。=些

dtdr

而求得結(jié)果；又有人先計算速度和加速度的分量，再合成求得結(jié)

果，即

你認為兩

種方法哪一種正確？為什么？兩者差別何在?

解：后一種方法正確.因為速度與加速度都是矢量，在平面直角

坐標系中，有了=婷+q,

_drdx-dy-

v=—=—i+一j

dtdtdt

_d2rd2x-rd2y

a=-=--i+—j

d/2rdt2drr

故它們的模即為

而前一種方法的錯誤可能有兩點，其一是概念上的錯誤，即誤把

速度、加速度定義作

drd2r

v=一a=-

drdr27

其二，可能是將日與冬誤作速度與加速度的模。在1-1題中已

dtdt

說明日不是速度的模，而只是速度在徑向上的分量，同樣，二也

dtdr

不是加速度的模，它只是加速度在徑向分量中的一部分

或者概括性地說，前一種方法只考慮了位矢不

在徑向（即量值）方面隨時間的變化率，而沒有考慮位矢不及速

度力的方向隨間的變化率對速度、加速度的貢獻。

1-3一質(zhì)點在xOy平面上運動，運動方程為

x=3，+5,y--

2

式中f以S計，以m計.（1）以時間f為變量，寫出質(zhì)點位置矢

量的表示式；（2）求出產(chǎn)1s時亥IJ和r=2s時刻的位置矢量，計

算這1秒內(nèi)質(zhì)點的位移；（3）計算，=0s時刻至lj/=4s時刻內(nèi)的平

均速度；（4）求出質(zhì)點速度矢量表示式，計算f=4s時質(zhì)點的速

度;（5）計算，=0s至l」r=4s內(nèi)質(zhì)點的平均加速度；（6）求出質(zhì)點

加速度矢量的表示式，計算，=4s時質(zhì)點的加速度（請把位置矢

量、位移、平均速度、瞬時速度、平均加速度、瞬時加速度都表

示成直角坐標系中的矢量式）.

解：（1）>=（3f+5?+（；產(chǎn)+3/—4），m

（2）將"1/=2代入上式即有

斤=87-0.57m

=117+4jm

Ar=^-rj=3j+4.57m

⑶1r0=5j-4j,r4+167

...葭.=曰=1方+2。入立+‘I

Ar4-04

(4)v=—=37+(f+3)Jm-s-1

dt

-1

則v4-3i+7jm-s

⑸;環(huán)=3；+3]戶4=3：+7]

亍=8=￡^=3=my?

444

「

(6)a-=——dv=1jm-s-2

dr

這說明該點只有y方向的加速度，且為恒量。

1-4在離水面高h米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，船在離岸S處,

如題1-4圖所示.當人以％(m?J)的速率收繩時，試求船運動的

速度和加速度的大小.

圖1-4

解：設人到船之間繩的長度為/,此時繩與水面成。角，由圖可

知

2=h~+$2

將上式對時間f求導，得

2/—=25—

dtdt

根據(jù)速度的定義，并注意到/…是隨,減少的,

.d/ds

而=%"船dr

ds/d/Iv

即0

晞=一畝=-^7=1，°=國萬

_ZV_(/22+S2)，/2V

或O0

Vflft=T=-T

將院再對，求導，即得船的加速度

d/7ds

dv船drdt..—%，s+/v船

-=------------2---------V0=--------------]----------

dtss

//2、，

(—5+一)%h2v2

S_nV0

1-5質(zhì)點沿X軸運動，其加速度和位置的關系為a=2+6，，a的

單位為m§2,X的單位為m.質(zhì)點在x=0處，速度為lOm.s-1,試

求質(zhì)點在任何坐標處的速度值.

冷力??dvdvdxdv

?a=—=---=v—

drdxdtdx

分離變量：udu=adx=(2+6x2)dx

兩邊積分得

12c3

—v=2x+2x+c

2

由題知，x=O時，v0=10,/.c=50

v=2,丁+x+25m-s-1

1-6已知一質(zhì)點作直線運動，其加速度為a=4+3/m.s-2,開始

運動時，x=5m,v=0,求該質(zhì)點在r=10s時的速度和位置.

解：:a=—=4+3/

dr

分離變量，得dv=(4+3f)df

積分，得^4t+-t2+c,

v2

由題知，，=0,%=0,工C[=0

故^4t+-r

v2

又因為"工=今+'2

dt2

分離變量，dx=(4t+-t2)dt

積分得x^2t2+-t3+c

22

由題知=0,x0=5,??c2=5

故x=2r+-/3+5

2

所以"10s時

3.

v=4x10+—xlO2=190m-s-1

1(0)2

1q

2,3

x10=2X10+-X10+5=705m

1-7一質(zhì)點沿半徑為1m的圓周運動，運動方程為6=2+3

6式中以弧度計，，以秒計，求：(1)r=2s時，質(zhì)點的切向和

法向加速度；(2)當加速度的方向和半徑成45°角時，其角位移

是多少？

解：O=K=9",￡=%=18

drdr

2

(l)f=2s時，aT-Rfi=1x18x2=36m-s~

222

an-R①2-lx(9x2)=1296m-s-

(2)當加速度方向與半徑成45。角時，有

tan450=幺=1

a“

即Reo2=R/3

亦即(9/2)2=18/

則解得「二

9

于是角位移為

2

。=2+3/=2+3xW=2.67rad

9

1-8質(zhì)點沿半徑為R的圓周按5=的規(guī)律運動，式中s為

質(zhì)點離圓周上某點的弧長，匕，匕都是常量，求：(1*時刻質(zhì)點的

加速度；(2)，為何值時,加速度在數(shù)值上等于人

ds

解：⑴v=—=v-b7t

dta0

dv,

a=—=-b

Trdr

V2d-初打

d==

nRR

則。

加速度與半徑的夾角為

a—Rb

(P=arctan—=--------

a

n(V0-bt)

(2)由題意應有

a=

VR2

即小二尸+”「,)：,=d_4)4=0

R~

.?.當"幺時-，a=b

b

1-9以初速度%=20m.sT拋出一小球，拋出方向與水平面成

a=60。的夾角,

求：（1）球軌道最高點的曲率半徑與；（2）落地處的曲率半徑此.

（提示：利用曲率半徑與法向加速度之間的關系）

解：設小球所作拋物線軌道如題1-9圖所示.

題1-9圖

（1）在最局點，

Vj=vx=v0cos60°

a,A=g=lOml

v.2(20xcos600)2

?P、=-=---行----a10

??,h

=10m

⑵在落地點，

-1

v2=v0=20m-s,

而=gxcos60°

*2

1-10飛輪半徑為0.4m,自靜止啟動，其角加速度為￡=0.2

rad?s-2,求f=2s時邊緣上各點的速度、法向加速度、切向加速

度和合加速度.

解：當f=2s時，co=j3t=0.2x2=0.4rad-s-1

貝tlv=Reo=0.4x0.4=0.16m-s-1

an-R①=0,4x(0.4)=0.064m?s

Rf3-0.4x0.2=0.08m-s

=7(0.064)2+(0.08)2=0.102m-s

1-11如題1T1圖，物體A以相對8的速度丫=屈沿斜面滑動,

y為縱坐標，開始時A在斜面頂端高為/?處，B物體以〃勻速向右

運動，求A物滑到地面時的速度.

解：當滑至斜面底時，y=3則％=即，A物運動過程中又受到

8的牽連運動影響，因此，A對地的速度為

3=1+呢

=(?+12ghcosa)i+Q2ghsina)j

題1-11圖

1-12一船以速率匕=30km-h"沿直線向東行駛，另一小艇在其

前方以速率丫2=40km?h'

沿直線向北行駛，問在船上看小艇的速度為何?在艇上看船的速

度又為何?

解：(1)大船看小艇，則有%=弓-不依題意作速度矢量圖如題

1T2圖(a)

(a)

題1-12圖

由圖可知v21=+v\-50km.h"

y3

方向北偏西0-arctan—=arctan-=36.87°

4

⑵小船看大船，則有兀=V,-V2，依題意作出速度矢量圖如題1-12

圖(b),同上法，得

-1

v12=50kmh

方向南偏東36.87。

1-13在河水流速3=2nrsT的地方有小船渡河.如果希望小船以

u=4m-s-1的速率垂直于河岸橫渡，問小船相對于河水的速度大

小和方向應如何?

解：設小船相對于河水的速度方向“如圖

示.

u2二2u2

u—+u；=2V5m/s=4.47

tan(6—90°)=%=3=立

v2^55

3=114.09

習題二

2-1一細繩跨過一定滑輪，繩的一邊懸有一質(zhì)量為叫的物體，

另一邊穿在質(zhì)量為%的圓柱體的豎直細孔中，圓柱可沿繩子滑

動.今看到繩子從圓柱細孔中加速上升，柱體相對于繩子以勻加

速度這下滑，求叫，也相對于地面的加速度、繩的張力及柱體與

繩子間的摩擦力(繩輕且不可伸長，滑輪的質(zhì)量及輪與軸間的摩

擦不計).

解：因繩不可伸長，故滑輪兩邊繩子的加速度均為由,其對于性

則為牽連加速度，又知叫對繩子的相對加速度為。'，故叫對地加

速度，由圖(b)可知，為

f

a2=a1-a

①

又因繩的質(zhì)量不計，所以圓柱體受到的摩擦力/在數(shù)值上等于繩

的張力T,由牛頓定律，有

m]g-T=

②

T-m2g=m2a2

聯(lián)立①、②、③式，得

(m-m)g+ma'

a\=1---2---；--2----

mx+m2

_(〃?l_加2)g_〃?M，

a2-'

g+m2

f=T=?！?(2g4)

m}+m2

討論(1)若屋=0,則%=%表示柱體與繩之間無相對滑動?

⑵若a，=2g,則T=/=0,表示柱體與繩之間無任何作用力，此

時叫，叫均作自由落體運動.

(a)(b)

題2-1圖

2-2質(zhì)量為16kg的質(zhì)點在xOy平面內(nèi)運動，受一恒力作用，力

的分量為人=6N,人=一7N,當r=0時，x=），=0,匕=-28?十,

匕,=0.求

當t=2s時質(zhì)點的（1）位矢；（2）速度.

(1)

A35

v=v+Iadt=-2+-x2=——m-s"

*vxv。0J))84

/7—7c7_i

v=v+adt=——x2=——m-s

>v,v°0?168

于是質(zhì)點在2s時的速度

5「7r

V=-I-Im-s-1

48

(2)

22-

131-7_

-(-2x2+—x—x4)z+—(——)x4/

28216

13.7t

=-----1——im

48

2-3質(zhì)點在流體中作直線運動，受與速度成正比的阻力初晨為

常數(shù)）作用，產(chǎn)0時質(zhì)點的速度為％,證明（1）f時刻的速度為V=

丫。廣》；（2）由0到f的時間內(nèi)經(jīng)過的距離為

、=（詈）［『）4］；（3）停止運動前經(jīng)過的距離為小￡）；（4）

證明當f=m/k時速度減至％的工式中"為質(zhì)點的質(zhì)量.

e

答：⑴："出=曳

mdt

分離變量，得

du_-kdt

vm

In—=Ine

%

(2)x=jvdz=Jvo^-^dr=)

⑶質(zhì)點停止運動時速度為零，即t-8,

故有

K

(4)當弋=/時，其速度為

v=ve一立?旦*=ve-I=—口0

ooe

即速度減至%的L

e

2-4一質(zhì)量為機的質(zhì)點以與地的仰角。=30°的初速均從地面拋

出，若忽略空氣阻力，求質(zhì)點落地時相對拋射時的動量的增量.

解：依題意作出示意圖如題2-4圖

mv

題2-4圖

在忽略空氣阻力情況下，拋體落地瞬時的末速度大小與初速度大

小相同，與軌道相切斜向下，

而拋物線具有對y軸對稱性，故末速度與x軸夾角亦為30。，則動

量的增量為

Ap=mv-mvQ

由矢量圖知，動量增量大小為「叫方向豎直向下.

2-5一質(zhì)量為機的小球從某一高度處水平拋出，落在水平桌面

上發(fā)生彈性碰撞.并在拋出1s,跳回到原高度，速度仍是水平

方向，速度大小也與拋出時相等.求小球與桌面碰撞過程中，桌

面給予小球的沖量的大小和方向.并回答在碰撞過程中，小球的

動量是否守恒？

解：由題知，小球落地時間為0.5s.因小球為平拋運動，故小球

落地的瞬時向下的速度大小為匕=gy0.5g，小球上跳速度的大小

亦為V2=0.5g.設向上為y軸正向，則動量的增量

醞=mv2-/nvt方向豎直向上,

大小|明=mv2-(-mv})=mg

碰撞過程中動量不守恒.這是因為在碰撞過程中，小球受到地面

給予的沖力作用.另外，碰撞前初動量方向斜向下，碰后末動量

方向斜向上，這也說明動量不守恒.

2-6作用在質(zhì)量為101^的物體上的力為尸=(10+2。小，式中，的單

位是s,(1)求4s后，這物體的動量和速度的變化，以及力給予物

體的沖量.(2)為了使這力的沖量為200N?s,該力應在這物體

上作用多久，試就一原來靜止的物體和一個具有初速度

的物體，回I答這兩個問題.

解：(1)若物體原來靜止，則

Ap,=1Fdr=J，(10+2f)Fdz=56kg-m-s-ir,沿x軸正向，

△%=—=5.6m-s-7

m

7,二醞=56kg-m-s-,i

若物體原來具有-6m.sT初速，則

Po=-mv0,p=m(-v0+=-mv0+1戶df于是

醞2="一九=1戶d”醞，

同理,

AV2=AV],12=7j

這說明，只要力函數(shù)不變，作用時間相同，則不管物體有無初動

量，也不管初動量有多大，那么物體獲得的動量的增量(亦即沖

量）就一定相同，這就是動量定理.

（2）同上理，兩種情況中的作用時間相同，即

I=］（10+2/）df=10，+產(chǎn)

亦即Z2+10/-200=0

解得f=10s,（r=20s舍去）

2-7一顆子彈由槍口射出時速率為v°m.sT,當子彈在槍筒內(nèi)被加

速時，它所受的合力為￡=（〃-9）N（a力為常數(shù)），其中，以秒

為單位：（1）假設子彈運行到槍口處合力剛好為零，試計算子彈

走完槍筒全長所需時間；（2）求子彈所受的沖量.（3）求子彈的質(zhì)

量.

解：（1）由題意，子彈到槍口時，有

F=（a—bt）=0,得t=—

b

（2）子彈所受的沖量

I=1（a-bt）dt=at-

將”；代入，得

b

/上

2b

⑶由動量定理可求得子彈的質(zhì)量

Ia~

m=—=----

%2/7v0

2-8設戶=7f-6}N.⑴當一質(zhì)點從原點運動到尸=-3i+4/+16》m

時，求戶所作的功.（2）如果質(zhì)點到r處時需0.6s,試求平均功

率.（3）如果質(zhì)點的質(zhì)量為1kg,試求動能的變化.

解：（1）由題知，戶為恒力,

A合=」廳=（7:一6力?（一3；+4了+16J）

-21-24=-45J

⑵

（3）由動能定理，妝=A=-45J

2-9一根勁度系數(shù)為匕的輕彈簧4的下端，掛一根勁度系數(shù)為原

的輕彈簧8,8的下端

一重物C,C的質(zhì)量為M，如題2-9圖.求這一系統(tǒng)靜止時兩彈簧

的伸長量之比和彈性勢

能之比.

解：彈簧A、8及重物C受力如題2-9圖所示平衡時，有

題2-9圖

FB二七Ax：

所以靜止時兩彈簧伸長量之比為

k

k

彈性勢能之比為

"3k4；~

2-10如題2To圖所示，一物體質(zhì)量為2kg,以初速度％=3m?s'

從斜面A點處下滑，它與斜面的摩擦力為8N,到達8點后壓縮彈

簧20cm后停止，然后又被彈回，求彈簧的勁度系數(shù)和物體最后能

回到的高度.

解：取木塊壓縮彈簧至最短處的位置為重力勢能零點，彈簧原

長處為彈性勢能零點。則由功能原理，有

-frs+加g$sin37°)

1、

—mv+mgssin37°-frs

k

=---^-k-x--2--i-------------

2

式中s=4.8+0.2=5m,x=0.2m,再代入有關數(shù)據(jù),解得

女=1390N-m」

題2-10圖

再次運用功能原理，求木塊彈回的高度匯

1

-frs'=mgs'sin31°--kx

代入有關數(shù)據(jù)，得，=L4m,

則木塊彈回高度

?=s'sin370=0.84m

題2-11圖

2-11質(zhì)量為M的大木塊具有半徑為R的四分之一弧形槽，如題

2-11圖所示.質(zhì)量為〃?的小立方體從曲面的頂端滑下，大木塊放

在光滑水平面上，二者都作無摩擦的運動，而且都從靜止開始，

求小木塊脫離大木塊時的速度.

解：機從M上下滑的過程中，機械能守恒，以用，M,地球為

系統(tǒng)，以最低點為重力勢能零點，則有

mgR=—1mv2+—1MV2

又下滑過程，動量守恒，以〃,，M為系統(tǒng)則在〃?脫離M瞬間，水

平方向有

mv-MV=0

聯(lián)立，以上兩式，得

I2MgR

\('"+M)

2-12一質(zhì)量為機的質(zhì)點位于(XQ])處，速度為D=+質(zhì)點

受到一個沿X負方向的力/的作用，求相對于坐標原點的角動量

以及作用于質(zhì)點上的力的力矩.

解：由題知，質(zhì)點的位矢為

r=xj+yj

作用在質(zhì)點上的力為

f=~fi

所以，質(zhì)點對原點的角動量為

Lo=rxmv

=(xj+yJ)xm(vxi+vyj)

=(x{mvy-y\tnvx)k

作用在質(zhì)點上的力的力矩為

=rxf=(xli+ylj)x(-fi)=ylfk

2-13哈雷彗星繞太陽運動的軌道是一個橢圓.它離太陽最近距

離為八=8.75X10%時的速率是匕=5.46X10"m?s-1,它離太

2H

陽最遠時的速率是丫2=9.08X10m?s這時它離太陽的距離「2

多少？(太陽位于橢圓的一個焦點。)

解：哈雷彗星繞太陽運動時受到太陽的引力一一即有心力的作

用，所以角動量守恒；又由于哈雷彗星在近日點及遠日點時的速

度都與軌道半徑垂直，故有

rxmv{=r2mv2

/_8.75xl0i°x5.46xl()4

5.26xl012m

9.08xlO2

2-14物體質(zhì)量為3kg,尸0時位于尸=4:m,V=F+6jms-',如一恒

力了=57作用在物體上，求3秒后，(1)物體動量的變化；(2)相對

軸角動量的變化.

解：(1)Ap=^fdt-j^5jdr=15jkg-m-s-1

⑵解㈠x=Xo+v°J=4+3=7

17,-15-)___.

y—VpyZ4~—6/^—6x3+-x—x3^—25.5j

即>4：,r2=77+25.5]

vy=vOy+tzr=6+—x3=11

即G=X+6/,%+1U

/?L}=r}xmvx=4zx3(i+6y)=72k

L2=r2xmv2=(71+25.5j)x3(F+11J)=154.5^

2-1

/?/^L=L2-L]=S2.5kkg-m-s

解(二),:M=里

dt

/.AL=dr=J(rxF)dz

=f(4+，)；+(6f+；)x$2)jx5]df

=f5(4+t)kdt-82.5^kg-m2-s-1

2-15飛輪的質(zhì)量〃?=60kg,半徑R=0.25m,繞其水平中心軸。轉(zhuǎn)

動，轉(zhuǎn)速為900rev?min〔現(xiàn)利用一制動的閘桿，在閘桿的一端

加一豎直方向的制動力F,可使飛輪減速.已知閘桿的尺寸如題

2-25圖所示，閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)〃=0.4,飛輪的轉(zhuǎn)動慣

量可按勻質(zhì)圓盤計算.試求：

(1)設尸=100N,問可使飛輪在多長時間內(nèi)停止轉(zhuǎn)動?在這段時

間里飛輪轉(zhuǎn)了兒轉(zhuǎn)？

(2)如果在2s內(nèi)飛輪轉(zhuǎn)速減少一半，需加多大的力產(chǎn)？

解：(1)先作閘桿和飛輪的受力分析圖(如圖(b)).圖中N、M是

正壓力，工、斤是摩擦力，&和K是桿在A點轉(zhuǎn)軸處所受支承力，

R是輪的重力，P是輪在。軸處所受支承力.

0.75m

桿處于靜止狀態(tài)，所以對A點的合力矩應為零，設閘瓦厚度不計,

則有

F(/1+l2)-Nl=0N'=^^-F

A

對飛輪，按轉(zhuǎn)動定律有/=-工/?〃，式中負號表示〃與角速度0方

向相反.

丁Fr=/z/VN=N'

工=■尸

又I--mR~,

2

...—=-2M/4)F

ImRlx

①

以F=100N等代入上式，得

〃-2x0.40x(0.50+0.75)…40_

B=-----------------------------xlOO=----radJ-s2

60x0.25x0.503

由此可算出自施加制動閘開始到匕輪停止轉(zhuǎn)動的時間為

g_900x2萬x3

=7.06s

60x40

這段時間內(nèi)飛輪的角位移為

900x2491409

°=④0?+一〃-----------X—71——X—X（z一萬x）2

604234

=53.1x2萬rad

可知在這段時間里，飛輪轉(zhuǎn)了53』轉(zhuǎn).

⑵軟=900x葛rad,要求飛輪轉(zhuǎn)速在，=2s內(nèi)減少一■半，可知

色)乃,

B7?=-2........°..=——-=---1-5---rads2

t2t2

用上面式(1)所示的關系，可求出所需的制動力為

F=mRl\0

="

2/Z(/1+/2)

60x0.25x0.50x15^

-2x0.40x(0.50+0.75)x2

=177N

2-16固定在一起的兩個同軸均勻圓柱體可繞其光滑的水平對稱

軸。。，轉(zhuǎn)動.設大小圓柱體的半徑分別為R和r,質(zhì)量分別為M和

m.繞在兩柱體上的細繩分別與物體g和叫相連，叫和叫則掛在

圓柱體的兩側(cè)，如題2-26圖所示.設R=0.20m,r=0.10m,m=

4kg,M=10kg,m,=m2=2kg,且開始時如，血2離地均為4=

2m.求：

(1)柱體轉(zhuǎn)動時的角加速度；

(2)兩側(cè)細繩的張力.

解：設外,%和B分別為叫，叫和柱體的加速度及角加速度，方向

如圖（如圖b）.

題2-16(a)圖題2-16(b)圖

(1)叫，叫利柱體的運動方程如下：

T2-m2g=m2a2①

mxg-Ty=mxay②

T；R_T；r=I/3(§)

式中T；=T},T；=T2,a2=r/3,a}=Rp

而I^-MR*2+-mr2

22

由上式求得

Rm.-rm

-------------------2-g

I+mR+m2r

0.2x2-0.1x2

-xl0x0.202+-x4x0.102+2x0.202+2x0.102

22

=6.13rad-s-2

⑵由①式

T2=m2r/3+m2g=2x0.10x6.13+2x9.8=20.8N

由②式

T.=〃2|g—叫即=2x9.8-2x02x6.13=17.1N

2-17計算題2-17圖所示系統(tǒng)中物體的加速度.設滑輪為質(zhì)量均

勻分布的圓柱體，其質(zhì)量為M,半徑為r,在繩與輪緣的摩擦力

作用下旋轉(zhuǎn)，忽略桌面與物體間的摩擦，設叫=50kg,%=200

kg,M=15kg,r=0.1m

解:分別以〃小叫滑輪為研究對象，受力圖如圖⑹所示.對g,m2

運用牛頓定律，有

m2g~T2-m2a①

7\=m{a②

對滑輪運用轉(zhuǎn)動定律，有

2

T2r-Tir=(^Mr)/3③

又，arj3④

聯(lián)立以上4個方程，得

mg_200x9.8

2m-s

771,+fTl-y+-而二5+2…00+15

1222

題277(a)圖題277(b)圖

LL

題2-18圖

2-18如題2-18圖所示，一勻質(zhì)細桿質(zhì)量為機，長為/,可繞過一

端。的水平軸自由轉(zhuǎn)動，桿于水平位置由靜止開始擺下.求：

(1)初始時刻的角加速度；

(2)桿轉(zhuǎn)過。角時的角速度.

解：(1)由轉(zhuǎn)動定律，有

2/

(2)由機械能守恒定律，有

mggsin6=gml2)co2

：.吟

題2-19圖

2-19如題2T9圖所示，質(zhì)量為M,長為/的均勻直棒，可繞垂直

于棒一端的水平軸。無摩擦地轉(zhuǎn)動，它原來靜止在平衡位置

上.現(xiàn)有一質(zhì)量為〃，的彈性小球飛來，正好在棒的下端與棒垂直

地相撞.相撞后，使棒從平衡位置處擺動到最大角度6=30。

處.

⑴設這碰撞為彈性碰撞，試計算小球初速％的值；

(2)相撞時小球受到多大的沖量？

解：(1)設小球的初速度為咻，棒經(jīng)小球碰撞后得到的初角速度

為0,而小球的速度變?yōu)榘税搭}意，小球利棒作彈性碰撞，所

以碰撞時遵從角動量守恒定律和機械能守恒定律，可列式：

mvQl=/@+mvl

①

上兩式中/=g/2,碰撞過程極為短暫，可認為棒沒有顯著的角

位移；碰撞后，棒從豎直位置上擺到最大角度。=30。，按機械能

守恒定律可列式：

=A/^1(l-cos30°)

由③式得

由①式

ICO

"%一方

④

由②式

了7二說2-----1--(--0----

m

⑤

所以

//刃x212

30一,)2=%-0)-

mlm

求得

ICDI、l八IM.

%=《-Q+f)=彳(1+1一地

2ml23m

_Q6(2-y/53m+Mrjj

12m'

(2)相碰時小球受到的沖量為

jFdt=A//iv-mv-mva

由①式求得

JfcFvaur=mv-mv^=——g—=-—IMwl(o

《6(2-5M

6

負號說明所受沖量的方向與初速度方向相反.

題2-20圖

2-20一質(zhì)量為機、半徑為R的自行車輪，假定質(zhì)量均勻分布在輪

緣上，可繞軸自由轉(zhuǎn)動.另一質(zhì)量為人的子彈以速度％射入輪緣

（如題2-20圖所示方向）.

（I）開始時輪是靜止的，在質(zhì)點打入后的角速度為何值？

（2）用m,外利。表不系統(tǒng)（包括輪和質(zhì)點）最后動能和初始動能之

比.

解：（I）射入的過程對。軸的角動量守恒

Rsm^novo=（m+

0=W吧

(m+m0)R

msin20

(2)Ek*…。W］黑器2Q

Em+m

kKoQ

習題三

3-1慣性系S，相對慣性系s以速度"運動.當它們的坐標原點。

與。，重合時，，=/=(),發(fā)出一光波，此后兩慣性系的觀測者觀測

該光波的波陣面形狀如何?用直角坐標系寫出各自觀測的波陣面

的方程.

解：由于時間和空間都是均勻的，根據(jù)光速不變原理，光訊號為

球面波.波陣面方程為：

x2+y2+z2=(cr)2

+y'2+z'2=(ST

題3-1圖

3-2設圖3-5中車廂上觀測者測得前后門距離為2/?試用洛侖茲

變換計算地面上的觀測者測到同一光信號到達前、后門的時間

差.

解：設光訊號到達前門為事件1,在車廂8）系時空坐標為

區(qū)"）=（」，在車站（S）系：

C

乙=7（1+彳*；）=7（,+彳/）="（1+色）

CCCCC

光信號到達后門為事件2，則在車廂（S，）系坐標為⑷工）=（-/二），

C

在車站（S）系：

t2=?（1+彳K）=2（1一與

CCC

于是Gf=-2駕

C

,

或者\t'-O,Ar=-Z2,AX-x[-X2-21

△t=/（Af+4Ax，）=/（=21）

c~c

3-3慣性系S，相對另一慣性系S沿x軸作勻速直線運動，取兩

坐標原點重合時刻作為計時起點.在S系中測得兩事件的時空坐

標分別為3=6X10%,產(chǎn)2X10%,以及它=12X10%,.『lx

10s.已知在S'系中測得該兩事件同時發(fā)生.試問：（l）S'系

相對S系的速度是多少？（2）9系中測得的兩事件的空間間隔是

多少？

解：設S）相對S的速度為V,

⑴=/（?|--TXI）

C

X

‘2=7。2------r2）

C

由題意=0

則/2F=~r（X2-X1）

c

故v=c~———=--=-1.5x10sm-s-1

x2-x}2

（2）由洛侖茲變換4=/（匹-%），石=42一%）

4

代入數(shù)值，x'2-x\=5.2x10m

3-4長度/°=lm的米尺靜止于S'系中，與x'軸的夾角夕=30°,

sz系相對S系沿X軸運動，在S系中觀測者測得米尺與X軸夾角為

6=45。.試求：（1）S，系和S系的相對運動速度.（2）S系中測得

的米尺長度.

解：（1）米尺相對S，靜止，它在軸上的投影分別為:

L'x-Locos6'=0.866m，L'y-Losin6'=0.5m

米尺相對S沿x方向運動，設速度為v,對S系中的觀察者測得米

尺在x方向收縮，而y方向的長度不變，即

故

把6=45。及4代入

則得

故v=0.816c

⑵在S系中測得米尺長度為L=—，=0.707m

sin45°

3-5一門寬為今有一固有長度/。（/。＞.）的水平細桿，在門外

貼近門的平面內(nèi)沿其長度方向勻速運動.若站在門外的觀察者認

為此桿的兩端可同時被拉進此門，則該桿相對于門的運動速率〃

至少為多少？

解：門外觀測者測得桿長為運動長度，,當時，

可認為能被拉進門，則

a-，。JIT?

解得桿的運動速率至少為：〃=CJY)2

一一I?__r

題3-6圖

3-6兩個慣性系中的觀察者。和。以0.6c(c表示真空中光速)的相

對速度相互接近，如果。測得兩者的初始距離是20m,則。，測得

兩者經(jīng)過多少時間相遇？

解：。測得相遇時間為加

z420

v0.6c

。，測得的是固有時協(xié)

?A"△'Lo/1—仍

yv

=8.89x10'5,

V

0=—=0.6,

c

1

或者，。，測得長度收縮，

—2r

L=L。-(3?—L0V10.6=O.8Lo,Af=—

4，_0.8%=0.8X20=8.89x10-8$

0.6c0.6x3x10s

3-7觀測者甲乙分別靜止于兩個慣性參考系S和S，中，甲測得在

同一地點發(fā)生的兩事件的時間間隔為4