中考數(shù)學(xué)思想方法 【數(shù)形結(jié)合】幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想（學(xué)生版+解析版）

幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想

知識(shí)方法精講

1.完全平方公式的幾何背景

（1）運(yùn)用兒何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)

完全平方公式做出幾何解釋.

（2）常見(jiàn)驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形

（“+〃）2=.2+2岫+/.（用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為4和邊長(zhǎng)為人的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長(zhǎng)

寬分別是“，人的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系）

2.平方差公式的幾何背景

（I）常見(jiàn)驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證

平方差公式）.

圖(2)

m<3>

（2）運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平

方差公式做出幾何解釋.

3.七巧板

（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小

形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形.

（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可

以拼成各種具體的人物形象，或者動(dòng)物或者是一些中、英文字符號(hào).

(3)制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫(huà)一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格.②再?gòu)?/p>

左上角到右下角畫(huà)一條線.③在上面的中間連一條線到右面的中間.④再在左下角到右上角

畫(huà)一條線，碰到第二條線就可以停了.⑤從剛才的那條線的尾端開(kāi)始一條線，畫(huà)到最下面四

份之三的位置，從左邊開(kāi)始數(shù)，碰到線就可停.⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線

條剪開(kāi)，你就有一副全新的七巧板了.

4.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng),那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng);

②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，

就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸.

(2)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

5.坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱(chēng)

(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

(2)關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)

縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

(3)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

①關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，PCa,b)=尸(2m-a,b)

②關(guān)于直線y=”對(duì)稱(chēng)，P(a,b)(a,2n-b)

6.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③

旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.注意:

三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣.

7.解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由己知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：NA+N8=90°；

②三邊之間的關(guān)系：/+必=02；

③邊角之間的關(guān)系：

_NA的對(duì)邊_a的鄰邊_bMK-NA的對(duì)邊_a

斜邊C斜邊cNA的鄰邊b

（?,b,c分別是NA、NB、NC的對(duì)邊）

8.簡(jiǎn)單組合體的三視圖

（1）畫(huà)簡(jiǎn)單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過(guò)仔細(xì)觀察和想象，再畫(huà)它的三視圖.

（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一

個(gè)平面上.

（3）畫(huà)物體的三視圖的口訣為:

主、俯：長(zhǎng)對(duì)正；

主、左：高平齊；

俯、左：寬相等.

9.由三視圖判斷幾何體

（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體

的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀.

（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：

①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、

寬、高;

②從實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)部分和看不見(jiàn)部分的輪廓線；

③熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖對(duì)復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助；

④利用由三視圖畫(huà)幾何體與有幾何體畫(huà)三視圖的互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.

10.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀

化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了

數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)

題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（2）函

數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中，在求函數(shù)的值域、

最值問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,

大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要

爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。

選擇題（共17小題）

1.（2021秋?襄汾縣期末）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)

學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)

之為“趙爽弦圖”.現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾

股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過(guò)程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和

公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“無(wú)字證明”.在驗(yàn)證過(guò)程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

A.函數(shù)思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.分類(lèi)思想D.統(tǒng)計(jì)思想

2.（2021秋?金水區(qū)校級(jí)期末）如圖是一種正方形地磚的花型設(shè)計(jì)圖，為了求這個(gè)正方形地

科的邊長(zhǎng)，可根據(jù)圖示列方程（

A.4—2x=6xB.2+4x=6xC.2+6x=4xD.4+2x=6x

3.（2021秋?宣化區(qū)期末）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（a>6）.把余

下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖）.通過(guò)計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式,

則這個(gè)等式是（)

A.a2-b1-(a+b)(a-b)B.(a+0)-=4-+2ab+b~

C.(a-b)2=a2-lab+b1D.a2-ab-a(a-b)

4.（2021?汝陽(yáng)縣二模）七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前

一世紀(jì).為祝賀辛丑年的到來(lái)，用一副七巧板（如圖①），拼成了“牛氣沖天”的圖案（如

圖②)，則圖②中NABC+NDEF=()

225°D.180°

5.（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，在AABC中，AB=AC=W,BC=12,點(diǎn)。為3c的

中點(diǎn)，于點(diǎn)E,則tanNBDE的值等于（

A

E,

BDC

6

A.-

5

6.（2021秋?禹州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)AABC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱(chēng)變

換，若原來(lái)點(diǎn)C坐標(biāo)是（5,2）,則經(jīng)過(guò)第2022次變換后點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

第1次1第2次,第3次?第4次,

關(guān)于J軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于J軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

A.（-5,-2）B.（5,-2）c.（-5,2）D.（5,2）

7.（2021秋?高青縣期中）已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為16加，它兩鄰邊長(zhǎng)分別為X?！?，ycm,

且滿足（x—y）2-2x+2y+l=0,則該長(zhǎng)方形的面積為（）

，,,,u231T631

A.16c加B.15CTMC.—cm'D.—cnr

24

8.（2021秋?舞鋼市期中）一個(gè)幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面看到的幾

何體形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個(gè)數(shù)，能表示該幾何體從

左面看到的形狀圖是（）

9.（2021秋?永春縣期中）一塊三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如圖所示），假

如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃，你認(rèn)為下列說(shuō)法正

確的是（

4

A.帶其中的任意兩塊去都可以B.帶1、4或2、3去就可以

C.帶1、3或3、4去就可以D.帶1、4或2、4去就可以

10.（2021秋?福州期中）在G）O中，將圓心繞著圓周上一點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度，，使旋轉(zhuǎn)后

的圓心落在楨上，則。的值可以是（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

11.（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，AABC與△關(guān)于直線MN對(duì)稱(chēng)，P為MN上任一

點(diǎn)（P不與河共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

A.AP=AP

B.AA8c與△AB|G面積相等

C.MN垂直平分必

D.直線他，&B|的交點(diǎn)不一定在MN上

12.（2021秋?三元區(qū)期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

形，其中5尸4,SB=2,S”2,力=1,則S=（）

B

A

A.25B.20C.9D.5

13.（2021秋?鄧州市期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=4,點(diǎn)。是邊他上一點(diǎn),

且3。=1,點(diǎn)P是邊上一動(dòng)點(diǎn)（。、月兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合），作“在：=60。，PE交

邊AC于點(diǎn)E.若CE=a,當(dāng)滿足條件的點(diǎn)F有且只有一個(gè)時(shí)，則。的值為（）

A.2B.2.5C.3D.4

14.（2021春?雁塔區(qū)期末）對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到

一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如，利用圖1可以得至lja（〃+份=〃2+ab,那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等

A.(〃+/?+c)2=a2+c2

B.(a+b+c)2=2a2+2h2+2c2

C.(a+b+c)2=a2+b2+c2+ab+he+ca

D.(a+h+c)2=a2+h2+c2+2ah+2bc+2ca

15.（2021秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）如圖，所有矩形都是正方形，設(shè)最大正方形的邊長(zhǎng)是最小

正方形邊長(zhǎng)的〃倍，則〃的值為（）

22

16.（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）在邊長(zhǎng)為。的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為力的小正方形（。>6,

把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過(guò)計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)

A.a2-ah=a(a-b)B.a2-h2=(a+h)(a-b)

C.(a4-h)2=a2+lab4-b2D.(a-h)2=a2-2ah+h2

17.（2018春?太原期末）如圖，小明用長(zhǎng)為。cm的10個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)無(wú)重疊,

無(wú)縫隙的大長(zhǎng)方形，這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積為（）

122222522

A.—acmB.—aC.IcrcirvD.一cTarr

452

二.填空題（共7小題）

18.（2021秋?平昌縣期末）三國(guó)時(shí)期,數(shù)學(xué)家趙爽繪制了“勾股圓方圖”,又叫“趙爽弦圖”，

如圖所示，MBH、ABCG>A8F和AQ4E是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形448和四

邊形比G”都是正方形，如果石尸=2,AH=6,那么四邊形ABC。的面積等于.

19.（2021秋?沂水縣期末）有兩個(gè)正方形A、B,現(xiàn)將3放在A的內(nèi)部得圖甲，將A、B

并列放置后構(gòu)造新的正方形得圖乙.若圖甲和圖乙中陰影部分的面積分別為1和10,則正

方形A,

圖甲

20.（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，AABC的頂點(diǎn)都在正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上，則tanNBAC

的值為

21.（2021秋?朝陽(yáng)區(qū)校級(jí)月考）如圖，在AA8C中，A/3=AC,ADA.BC,ZBAD=2S0,

HAD=AE,貝=

22.（2021秋?秦都區(qū)月考）己知幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的體積為—.（結(jié)

果保留7）

左視圖

俯視圖

23.（2021秋?思明區(qū)校級(jí)期中）4張長(zhǎng)為"、寬為伙”>燈的長(zhǎng)方形紙片，按如圖的方式拼成

一個(gè)邊長(zhǎng)為（a+與的正方形，圖中空白部分的面積為，，陰影部分的面積為S?.

（1）若a=3,b=\>則，=.

（2）若，=2S2,求。與￡滿足關(guān)系：—.

24.（2021秋?襄汾縣月考）有若干個(gè)大小形狀完全相同的小長(zhǎng)方形，現(xiàn)將其中4個(gè)如圖1

擺放，構(gòu)造出一個(gè)正方形，其中陰影部分面積為35；其中5個(gè)如圖2擺放，構(gòu)造出一個(gè)長(zhǎng)

方形，其中陰影部分面積為102（各個(gè)小長(zhǎng)方形之間不重疊不留空），則每個(gè)小長(zhǎng)方形的面

三.解答題（共11小題）

25.（2021秋?東?？h期中）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系X。），中，O。的半徑為1,點(diǎn)P（T0）.已

知點(diǎn)7是0。上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)T的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為點(diǎn)4，我們稱(chēng)點(diǎn)6為點(diǎn)P關(guān)于0。的反

射點(diǎn)，請(qǐng)解決下列問(wèn)題:

(1)在點(diǎn)A(1,O),B(3,-2),C(l,l),D(5,0)中，不是點(diǎn)P關(guān)于。。的反射點(diǎn)的是

；(只填寫(xiě)對(duì)應(yīng)字母)

(2)若T點(diǎn)從(-1,0)逆時(shí)針運(yùn)動(dòng)到試求點(diǎn)尸關(guān)于OO的反射點(diǎn)片的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)；

(3)若在直線y=x+z＞上存在點(diǎn)P關(guān)于0O的反射點(diǎn)，求b的取值范圍.

26.(2021春?蕭山區(qū)期中)兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為。和6的正方形如圖放置，其未疊合部分(陰影)

面積為若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形(如圖2),兩個(gè)小

正方形疊合部分(陰影)面積S2.

(1)用含4,方的代數(shù)式分別表示？，52；

(2)若“+方=15,ab=5,求Si+S?的值；

27.(2021春?臨渭區(qū)期末)數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種重要的思想方法，借助圖的直

觀性，可以幫助理解數(shù)學(xué)問(wèn)題.

(1)請(qǐng)寫(xiě)出圖1、圖2、圖3分別能解釋的乘法公式.

(2)用4個(gè)全等的長(zhǎng)和寬分別為。、￡的長(zhǎng)方形拼擺成一個(gè)如圖4的正方形，請(qǐng)你寫(xiě)出這三

個(gè)代數(shù)式（4+〃）2、（22、時(shí)之間的等量關(guān)系.

（3）根據(jù)（2）中你探索發(fā)現(xiàn)的結(jié)論，完成下列問(wèn)題：

①當(dāng)a+b=5,ab=—6時(shí)，則a—。的值為.

②設(shè)AT2匕3,B=x-2y-3,計(jì)算：（A+B『的結(jié)果.

4

28.（2020秋?延邊州期末）【知識(shí)生成】我們己經(jīng)知道，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的面積可以表示

一些代數(shù)恒等式.

例如圖1可以得至lj（a+份2=/+2?！?/,基于此，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：

（1）根據(jù)圖2,寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：—.

（2）利用（1）中得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：若a+6+c=10,ab+ac+bc=35,則

a2'+b12'+c2=.

（3）小明同學(xué)用圖3中、張邊長(zhǎng)為。的正方形，y張邊長(zhǎng)為b的正方形，;張寬、長(zhǎng)分別為。、

分的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（2。+6）（。+2與長(zhǎng)方形，則x+y+z=____.

【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示

的是一個(gè)邊長(zhǎng)為I的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖

形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)代數(shù)恒等式：―.

29.（2020春?祁江區(qū)期末）如圖1是一個(gè)長(zhǎng)為4〃、寬為匕的長(zhǎng)方形，沿圖中虛線用剪刀平

均分成四塊小長(zhǎng)方形，然后用四塊小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)“回形”正方形（如圖2）

（1）觀察圖2請(qǐng)你寫(xiě)出（。+。）2、（a-h）\而之間的等量關(guān)系是—；

_9

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論，若％+y=5,x-y=-,則x-y=；

4-

（3）拓展應(yīng)用:若（2019-相）2+（相-2020）2=15,求（2019-加）（加-2020）的值.

ba

圖1圖2

30.（2021秋?鼓樓區(qū)校級(jí)期中）我們將（4+6）2=/+2"+從進(jìn)行變形，如:

a2+b2=（a+b）2-2ab,而=（"+'）一十”）等.根據(jù)以上變形解決下列問(wèn)題：

2

（1）已知M+加=10,3+4=18,則刈=.

(2)已知,若x滿足(25-x)(x-10)=-15,求(25-4+(X-IO：的值.

（3）如圖，長(zhǎng)方形AB/D,DAA.AB,FB1AB,AD=AC,BE=BC,連接CD,CE,

若AC.8C=1O,則圖中陰影部分的面積為一.

31.（2021秋?光澤縣期中）如圖所示，已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為。米，寬為b米，半圓半徑為「米.

（1）這個(gè)長(zhǎng)方形的面積等于一平方米;

（2）用代數(shù)式表示陰影部分的面積S;

（3）當(dāng)a=3,b=2,r=0.5時(shí)，求陰影部分的面積S（結(jié)果保留勸.

Y

32.（2021秋?南安市期中）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師準(zhǔn)備了若干個(gè)如圖1的三種紙片，A種紙

片是邊長(zhǎng)為。的正方形，8種紙片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C種紙片是長(zhǎng)為b,寬為。的長(zhǎng)方

形.并用A種紙片一張，5種紙片一張，C種紙片兩張拼成如圖2的大正方形.利用圖2

正方形面積的不同表示方法，可以驗(yàn)證公式：3+份2=/+2而+/.

（1）類(lèi)似的，請(qǐng)你用圖1中的三種紙片拼一個(gè)圖形驗(yàn)證：（4+頒4+2價(jià)=/+3"+?2,

請(qǐng)畫(huà)出圖形.

(2)已知：a+b=5,a2+b2=13,求H的值；

(3)已知(2021-a)?+(a-2020)2=4043,求(2021-a)(。-2020)的值;

(4)已知(a-2020)2+(“-2022>=64,求(a-2021『的值.

33.（2021秋?西城區(qū)校級(jí)期中）數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中經(jīng)常使用的數(shù)學(xué)方法之一，在研究

代數(shù)問(wèn)題時(shí)，如：學(xué)習(xí)平方差公式和完全平方公式，我們通過(guò)構(gòu)造幾何圖形，用面積法可以

很直觀地推導(dǎo)出公式.以下三個(gè)構(gòu)圖都可以用幾何方法生成代數(shù)結(jié)論，請(qǐng)嘗試解決問(wèn)題.

構(gòu)圖一，小函同學(xué)從邊長(zhǎng)為a的大正方形紙板中挖去一個(gè)邊長(zhǎng)為匕的小正方形后，將其裁成

四個(gè)相同的等腰梯形（如圖（1））,然后拼成一個(gè)平行四邊形（如圖（2））,那么通過(guò)計(jì)

算兩個(gè)圖形陰影部分的面積，可以驗(yàn)證成立的公式為（一）.

A.a2-b2^（a-b）2B.（a+b）2^a2+2ab+b2C.（a-b）2^a2-2ab+b2D.

12-b2-(a+b^a-b)

構(gòu)圖二、小云同學(xué)在數(shù)學(xué)課上畫(huà)了一個(gè)腰長(zhǎng)為（I的等腰直角三角形，如圖3,他在該三角形

中畫(huà)了一條平行于--腰的線段，得到一個(gè)腰長(zhǎng)為仇協(xié)的新等腰直角三角形，請(qǐng)你利用這

個(gè)圖形推導(dǎo)出一個(gè)關(guān)于a、b的等式.

圖⑴圖（2）圖（3）

34.（2021春?高郵市期中）【知識(shí)生成】我們已經(jīng)知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)不同的方法計(jì)

算圖形的面積可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式，例如由圖1可以得到（。+3（。+〃）="+2"+^,請(qǐng)

解答下列問(wèn)題：

（1）寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式―；

（2）利用（1）中所得到的結(jié)論，解決下面的問(wèn)題：

已知a+6+c=ll,ab+be+ac=38^求a-+從+c~的值；

（3）小明同學(xué)用圖3中1張邊長(zhǎng)為。的正方形，y張邊長(zhǎng)為匕的正方形，z張寬、長(zhǎng)分別為。、

b的長(zhǎng)方形紙片拼出一個(gè)面積為（%+6）3+2b）長(zhǎng)方形，則x+y+Z=—;

【知識(shí)遷移】（4）事實(shí)上，通過(guò)計(jì)算幾何圖形的體積也可以表示一些代數(shù)恒等式，圖4表示

的是一個(gè)邊長(zhǎng)為I的正方體挖去一個(gè)小長(zhǎng)方體后重新拼成一個(gè)新長(zhǎng)方體，請(qǐng)你根據(jù)圖4中圖

形的變化關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)數(shù)學(xué)等式：

35.（2019春?雨花區(qū)校級(jí)月考）許多代數(shù)恒等式可以借助圖形的面積關(guān)系直觀表達(dá)，如圖

①,根據(jù)圖中面積關(guān)系可以得到：（2〃?+〃）（〃?+〃）=21+

（1）如圖②，根據(jù)圖中面積關(guān)系，寫(xiě)出一個(gè)關(guān)于機(jī)、〃的等式.

（2）利用（1）中的等式求解：a-b=2,ab=h,則（a+與、

4

(3)小明用8個(gè)面積一樣大的長(zhǎng)方形(寬。，長(zhǎng)勾拼圖拼出了如圖甲、乙的兩種圖案：圖

案甲是一個(gè)大的正方形，中間的陰影部分是邊長(zhǎng)為3的小正方形；圖案乙是一個(gè)大的長(zhǎng)方形,

求a,b的值.

幾何圖形中的數(shù)形結(jié)合思想

知識(shí)方法精講

1.完全平方公式的幾何背景

（1）運(yùn)用幾何直觀理解、解決完全平方公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)

完全平方公式做出幾何解釋.

（2）常見(jiàn)驗(yàn)證完全平方公式的幾何圖形

（a+b）2=/+2岫+/.（用大正方形的面積等于邊長(zhǎng)為〃和邊長(zhǎng)為6的兩個(gè)正方形與兩個(gè)長(zhǎng)

寬分別是。，6的長(zhǎng)方形的面積和作為相等關(guān)系）

2.平方差公式的幾何背景

（1）常見(jiàn)驗(yàn)證平方差公式的幾何圖形（利用圖形的面積和作為相等關(guān)系列出等式即可驗(yàn)證

fffd）

（2）運(yùn)用幾何直觀理解、解決平方差公式的推導(dǎo)過(guò)程，通過(guò)幾何圖形之間的數(shù)量關(guān)系對(duì)平

方差公式做出幾何解釋.

3.七巧板

（1）七巧板是由下面七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小

形三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形.

（2）用這七塊板可以拼搭成幾何圖形，如三角形、平行四邊形、不規(guī)則的多角形等；也可

以拼成各種具體的人物形象，或者動(dòng)物或者是一些中、英文字符號(hào).

(3)制作七巧板的方法：①首先，在紙上畫(huà)一個(gè)正方形，把它分為十六個(gè)小方格.②再?gòu)?/p>

左上角到右下角畫(huà)一條線.③在上面的中間連一條線到右面的中間.④再在左下角到右上角

畫(huà)一條線，碰到第二條線就可以停了.⑤從剛才的那條線的尾端開(kāi)始一條線，畫(huà)到最下面四

份之三的位置，從左邊開(kāi)始數(shù)，碰到線就可停.⑥最后，把它們涂上不同的顏色并跟著黑線

條剪開(kāi)，你就有一副全新的七巧板了.

4.軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)

(1)如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng),那么對(duì)稱(chēng)軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得到一下結(jié)論：

①如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線被同一條直線垂直平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng);

②如果兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱(chēng)，我們只要找到一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，作出連接它們的線段的垂直平分線，

就可以得到這兩個(gè)圖形的對(duì)稱(chēng)軸.

(2)軸對(duì)稱(chēng)圖形的對(duì)稱(chēng)軸也是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線.

5.坐標(biāo)與圖形變化-對(duì)稱(chēng)

(1)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù).

(2)關(guān)于)，軸對(duì)稱(chēng)

縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù).

(3)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)

①關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，PCa,b)=尸(2m-a,b)

②關(guān)于直線y=”對(duì)稱(chēng)，P(a,b)(a,2n-b)

6.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

(1)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：

①對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等.②對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角.③

旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等.（2）旋轉(zhuǎn)三要素：①旋轉(zhuǎn)中心；②旋轉(zhuǎn)方向；③旋轉(zhuǎn)角度.注意:

三要素中只要任意改變一個(gè)，圖形就會(huì)不一樣.

7.解直角三角形

（1）解直角三角形的定義

在直角三角形中，由己知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的關(guān)系

①銳角、直角之間的關(guān)系：NA+N8=90°；

②三邊之間的關(guān)系：/+必=02；

③邊角之間的關(guān)系:

的對(duì)邊=

tanA=NAa

NA的鄰邊b

",b,c分別是NA、NB、NC的對(duì)邊）

8.簡(jiǎn)單組合體的三視圖

（1）畫(huà)簡(jiǎn)單組合體的三視圖要循序漸進(jìn)，通過(guò)仔細(xì)觀察和想象，再畫(huà)它的三視圖.

（2）視圖中每一個(gè)閉合的線框都表示物體上的一個(gè)平面，而相連的兩個(gè)閉合線框常不在一

個(gè)平面上.

（3）畫(huà)物體的三視圖的口訣為:

主、俯：長(zhǎng)對(duì)正；

主、左：高平齊；

俯、左：寬相等.

9.由三視圖判斷幾何體

（1）由三視圖想象幾何體的形狀，首先，應(yīng)分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體

的前面、上面和左側(cè)面的形狀，然后綜合起來(lái)考慮整體形狀.

（2）由物體的三視圖想象幾何體的形狀是有一定難度的，可以從以下途徑進(jìn)行分析：

①根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象幾何體的前面、上面和左側(cè)面的形狀，以及幾何體的長(zhǎng)、

寬、高;

②從實(shí)線和虛線想象幾何體看得見(jiàn)部分和看不見(jiàn)部分的輪廓線；

③熟記一些簡(jiǎn)單的幾何體的三視圖對(duì)復(fù)雜幾何體的想象會(huì)有幫助；

④利用由三視圖畫(huà)幾何體與有幾何體畫(huà)三視圖的互逆過(guò)程，反復(fù)練習(xí)，不斷總結(jié)方法.

10.數(shù)形結(jié)合思想

1.數(shù)形結(jié)合是數(shù)學(xué)解題中常用的思想方法，數(shù)形結(jié)合的思想可以使某些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題直觀

化、生動(dòng)化，能夠變抽象思維為形象思維，有助于把握數(shù)學(xué)問(wèn)題的本質(zhì)；另外，由于使用了

數(shù)形結(jié)合的方法，很多問(wèn)題便迎刃而解，且解法簡(jiǎn)捷。

2.所謂數(shù)形結(jié)合，就是根據(jù)數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，通過(guò)數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來(lái)解決數(shù)學(xué)問(wèn)

題的思想，實(shí)現(xiàn)數(shù)形結(jié)合，常與以下內(nèi)容有關(guān)：（1）實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系;（2）函

數(shù)與圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系；（3）線與方程的對(duì)應(yīng)關(guān)系;（4）所給的等式或代數(shù)式的結(jié)構(gòu)含有明顯

的幾何意義。如等式。

3.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象的數(shù)學(xué)問(wèn)題，可起到事半功倍的效果，數(shù)形

結(jié)合的重點(diǎn)是研究“以形助數(shù)”。

4.數(shù)形結(jié)合的思想方法應(yīng)用廣泛，常見(jiàn)的如在解方程和解不等式問(wèn)題中,在求函數(shù)的值域、

最值問(wèn)題中，運(yùn)用數(shù)形結(jié)思想，不僅直觀易發(fā)現(xiàn)解題途徑，而且能避免復(fù)雜的計(jì)算與推理,

大大簡(jiǎn)化了解題過(guò)程。這在解選擇題、填空題中更顯其優(yōu)越，要注意培養(yǎng)這種思想意識(shí)，要

爭(zhēng)取胸中有圖見(jiàn)數(shù)想圖，以開(kāi)拓自己的思維視野。

選擇題（共17小題）

1.（2021秋?襄汾縣期末）我國(guó)是最早了解勾股定理的國(guó)家之一，它被記載于我國(guó)古代的數(shù)

學(xué)著作《周髀算經(jīng)》中.漢代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”，后人稱(chēng)

之為“趙爽弦圖”.現(xiàn)在勾股定理的證明已經(jīng)有400多種方法，下面的兩個(gè)圖形就是驗(yàn)證勾

股定理的兩種方法，在驗(yàn)證著名的勾股定理過(guò)程，這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和

公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“無(wú)字證明”.在驗(yàn)證過(guò)程中它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（）

A.函數(shù)思想B.數(shù)形結(jié)合思想C.分類(lèi)思想D.統(tǒng)計(jì)思想

【考點(diǎn)】勾股定理的證明：數(shù)學(xué)常識(shí)

【分析】根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

【解答】解：這種根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法，簡(jiǎn)稱(chēng)為“無(wú)字證明”，

它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是數(shù)形結(jié)合思想，

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理的證明，掌握根據(jù)圖形直觀推論或驗(yàn)證數(shù)學(xué)規(guī)律和公式的方法

體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想為數(shù)形結(jié)合思想.

2.（2021秋?金水區(qū)校級(jí)期末）如圖是一種正方形地磚的花型設(shè)計(jì)圖，為了求這個(gè)正方形地

成的邊長(zhǎng)，可根據(jù)圖示列方程（）

A.4—2x=6xB.2+4x=6xC.2+6x=4xD.4+2x-6x

【考點(diǎn)】由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程

【分析】根據(jù)正方形的四條邊的長(zhǎng)度相等列出方程.

【解答】解：由正方形的性質(zhì)知：4+2x=6x.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元一次方程，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到等

量關(guān)系，列出方程.

3.（2021秋?宣化區(qū)期末）在邊長(zhǎng)為。的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為小的小正方形（。＞與.把

余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖）.通過(guò)計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)等式，

則這個(gè)等式是（）

A.a2-h2=（a+b）（a-h）B.（a+h）2=a2+2ab+h2

C.（a-h）2=a2-2ah+b2D.a2-ah=a（a-h）

【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景

【分析】這個(gè)圖形變換可以用來(lái)證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下

的部分面積為42-/；因?yàn)槠闯傻拈L(zhǎng)方形的長(zhǎng)為（〃+與，寬為（4-協(xié)，根據(jù)“長(zhǎng)方形的面積

=長(zhǎng)乂寬”代入為：（a+b）x（a-〃），因?yàn)槊娣e相等，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為/-/；

拼成的長(zhǎng)方形的面積：（a+b）x（a-b）,

所以得出：a2-h2=（a+b）（a-b）,

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)圖的陰影部分面

積，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式求出拼成的長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論.

4.（2021?汝陽(yáng)縣二模）七巧板是中國(guó)古代勞動(dòng)人民的發(fā)明，其歷史至少可以追溯到公元前

一世紀(jì).為祝賀辛丑年的到來(lái)，用一副七巧板（如圖①），拼成了“牛氣沖天”的圖案（如

圖②)，則圖②中NABC+/D￡F=()

【考點(diǎn)】七巧板

【分析】七巧板是由七塊板組成的，完整圖案為一正方形：五塊等腰直角三角形（兩塊小形

三角形、一塊中形三角形和兩塊大形三角形）、一塊正方形和一塊平行四邊形.由此可知七

巧板中的角都是特殊的，出現(xiàn)的角是45。、90。、135。和180。，再求解即可.

【解答】解：七巧板中的角都是特殊的，出現(xiàn)的角是45。、90。、135。和180。，

vZABC=45°,Z￡>EF=135°,

ZABC+ZDEF=180°,

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查七巧板，熟練掌握七巧板圖形的構(gòu)成特點(diǎn)，知道出現(xiàn)的角是45。、90。、135。

和180。是解題的關(guān)鍵.

5.（2021秋?雁塔區(qū)校級(jí)月考）如圖，在AABC中，AB=AC=\G,8c=12,點(diǎn)。為3c1的

中點(diǎn)，DELAB于點(diǎn)E,貝iJtanNBOE的值等于（）

【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；解直角三角形

【分析】連接4）,由A4BC中，AB=AC=10,BC=12,。為3C中點(diǎn)，利用等腰三角

形三線合一的性質(zhì)，可證得AO_LBC,再利用勾股定理，求得4）的長(zhǎng)，那么在直角A48O

中根據(jù)三角函數(shù)的定義求出tanN34。，然后根據(jù)同角的余角相等得出,于

是tanABDE—tanZBAD.

【解答】解：連接4),

?.?A4BC中，AB=AC=10.BC=\2,D為BC中點(diǎn),

..AD±BC,BD=-BC=6,

2

AD=dAB?—BD?=8,

63

tanZBAD=—-=一

AD84

vADA.BC,DELAB,

/.ABDE+ZADE=90°,NBAD+NAZ汨=90。，

.\ZBDE=ZBAD,

3

/.tanNBDE=tan/.BAD=—,

4

故選：c.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解直角三角形、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理、銳角三角函數(shù)的定義以

及余角的性質(zhì).此題難度適中，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確作出輔助線，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

6.（2021秋?禹州市期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)A4BC進(jìn)行循環(huán)往復(fù)的軸對(duì)稱(chēng)變

換，若原來(lái)點(diǎn)C坐標(biāo)是(5,2),則經(jīng)過(guò)第2022次變換后點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(-5,-2)B.(5,-2)C.(-5,2)D.(5,2)

【考點(diǎn)】規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)；坐標(biāo)與圖形變化一對(duì)稱(chēng)

【分析】觀察圖形可知每四次對(duì)稱(chēng)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，用2022除以4,然后根據(jù)商和

余數(shù)的情況確定出變換后的點(diǎn)C所在的象限，然后解答即可.

【解答】解：點(diǎn)C第一次關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后在第二象限，

點(diǎn)。第二次關(guān)于X軸對(duì)稱(chēng)后在第三象限，

點(diǎn)C第三次關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后在第四象限，

點(diǎn)C第四次關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后在第一象限，即點(diǎn)A回到原始位置，

所以，每四次對(duì)稱(chēng)為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)，

2022+4=505余2,

經(jīng)過(guò)第2022次變換后所得的C點(diǎn)與第二次變換的位置相同，在第三象限,坐標(biāo)為(-5,-2).

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，點(diǎn)的坐標(biāo)變換規(guī)律，讀懂題目信息，觀察出每四次對(duì)稱(chēng)

為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán)是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn).

7.(2021秋?高青縣期中)已知長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為它兩鄰邊長(zhǎng)分別為xcm,ycm,

且滿足(x-y)2-2x+2y+l=0,則該長(zhǎng)方形的面積為()

A.16c/n2B.15c毋C.—cm2D.—cm2

24

【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景

【分析】由題意可求得V+2xy+y2=64和/_2xy+y2=i,則可求得“的值，此題得以求

解.

【解答】解：由題意得，2(x+y)=16,

「.(x+y)=8,

/.(x+y)2=x2+2xy4-y2=82=64,

???(x-y)2-2x+2y+l

=(九一y)2-2(x-y)+l

=(x_y_l)2=o,

.\x-y=l,

/.(x-y)2=x2-2xy+y2=1,

/.(x2+2孫+y?)-(f-2xy+y2)=4xy=64-1=63,

63

???呼=丁，

4

該長(zhǎng)方形的面積為半，

4

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題考查了運(yùn)用完全平方公式的幾何背景解決問(wèn)題的能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形準(zhǔn)確

列式并計(jì)算.

8.(2021秋?舞鋼市期中)一個(gè)幾何體由若干個(gè)大小相同的小正方體搭成，從上面看到的幾

何體形狀如圖所示，其中小正方形中的數(shù)字表示該位置小正方體的個(gè)數(shù)，能表示該幾何體從

左面看到的形狀圖是()

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單組合體的三視圖；由三視圖判斷幾何體

【分析】由已知條件可知，左視圖有3歹IJ,每列小正方形數(shù)目分別為2,4,3.

【解答】解：左視圖有3歹！I,每列小正方形數(shù)目分別為2,4,3,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查幾何體的三視圖畫(huà)法.以及幾何體的表面積，由幾何體的俯視圖及小正方

形內(nèi)的數(shù)字，可知主視圖的列數(shù)與俯視數(shù)的列數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯視圖中該列

小正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.左視圖的列數(shù)與俯視圖的行數(shù)相同，且每列小正方形數(shù)目為俯

視圖中相應(yīng)行中正方形數(shù)字中的最大數(shù)字.

9.（2021秋?永春縣期中）一塊三角形玻璃不慎碰破，成了四片完整碎片（如圖所示），假

如只帶其中的兩塊碎片去玻璃店就可以讓師傅切一塊與以前一樣的玻璃，你認(rèn)為下列說(shuō)法正

確的是（）

A.帶其中的任意兩塊去都可以B.帶1、4或2、3去就可以

C.帶1、3或3、4去就可以D.帶1、4或2、4去就可以

【考點(diǎn)】全等三角形的應(yīng)用

【分析】帶2、4雖沒(méi)有原三角形完整的邊，又沒(méi)有角，但延長(zhǎng)可得出原三角形的形狀；帶

1、4可以用“角邊角”確定三角形；帶3、4也可以用“角邊角”確定三角形.

【解答】解：帶3、4可以用“角邊角”確定三角形，

帶1、4可以用“角邊角”確定三角形，

帶2、4可以延長(zhǎng)還原出原三角形，

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形判定的應(yīng)用；確定一個(gè)三角形的大小、形狀，可以用全等三

角形的幾種判定方法.做題時(shí)要根據(jù)實(shí)際問(wèn)題找條件.

10.（2021秋?福州期中）在0。中，將圓心繞著圓周上一點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一定角度”，使旋轉(zhuǎn)后

的圓心落在上，則夕的值可以是（）

A.45°B.60°C.90°D.180°

【考點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【分析】首先依據(jù)題意畫(huà)出圖形，然后依據(jù)等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：如圖所示：

O,

由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AO=AO,

.-.OO=OA=AO，

.-.AOA<7為等邊三角形.

.-.6>=Z（M（7=60o.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查的是旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)是解

題的關(guān)鍵.

11.（2021秋?謝家集區(qū)期中）如圖，AABC與△關(guān)于直線"N對(duì)稱(chēng)，P為"N上任

一點(diǎn)（P不與"共線），下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）

B.A48C與△AB￡面積相等

C.A7N垂直平分外

D.直線45,4B1的交點(diǎn)不一定在MN上

【考點(diǎn)】三角形的面積；軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)

【分析】據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義，AABC與△關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，P為上任意一點(diǎn),

可以判斷出圖中各點(diǎn)或線段之間的關(guān)系.

【解答】解：,.?AA8C與△ABC關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，P為MV上任意一點(diǎn)，

AP=\P,

???△A/T尸是等腰三角形，“V垂直平分A4"CC,這兩個(gè)三角形的面積相等，A、3、

C選項(xiàng)正確；

直線A3,A9關(guān)于直線“V對(duì)稱(chēng)，因此交點(diǎn)一定在上.O錯(cuò)誤；

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)與運(yùn)用，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線與對(duì)稱(chēng)軸的位置關(guān)系是互相垂直，對(duì)

應(yīng)點(diǎn)所連的線段被對(duì)稱(chēng)軸垂直平分，對(duì)稱(chēng)軸上的任何一點(diǎn)到兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離相等，對(duì)

應(yīng)的角、線段都相等.

12.（2021秋?三元區(qū)期中）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角

%=1,則S=()

C.9D.5

【考點(diǎn)】勾股定理

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)和勾股定理的兒何意義解答即可.

根據(jù)勾股定理的幾何意義，可知:

S=SF+SG

二SA+S?+S。+5°

=4+2+2+l=9;

BP5=9;

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、勾股定理的幾何意義，關(guān)鍵是掌握兩直角邊的平方和等

于斜邊的平方.

13.（2021秋?鄧州市期中）如圖，在等邊三角形ABC中，AB=4,點(diǎn)。是邊鉆上一點(diǎn)，

且3。=1,點(diǎn)P是邊NC上一動(dòng)點(diǎn)（。、P兩點(diǎn)均不與端點(diǎn)重合），作N￡>PE=60。，PE交

邊AC于點(diǎn)E.若CE=a,當(dāng)滿足條件的點(diǎn)F有且只有一個(gè)時(shí)，則。的值為（）

A.2B.2.5C.3D.4

【考點(diǎn)】等邊三角形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】先證明ABL/cACPE;利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，進(jìn)而建立關(guān)于族的一

元二次方程，再判別式=0,建立方程求解，即可得出結(jié)論.

【解答】解：是等邊三角形，

/.ZB=ZC=60°,

.?.ZBDP+ZBPD=180°-ZB=120°,

???"PE=60。，

/.ABPD+NCPE=120。，

:./BDP=NCPE,

?/ZB=ZC=60°,

??.gDPs^cPE;

.BDBP

一~CP~~CE'

.1_BP

""BP一",

:.BP2-4BP+a=0,

???滿足條件的點(diǎn)尸有且只有一個(gè)，

方程8產(chǎn)-48尸+。=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

/.A=42-4xa=0,

/.a=4?

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】此題是相似形綜合題，主要考查了等式的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，利用方

程的思想解決問(wèn)題是解本題的關(guān)鍵.

14.(2021春?雁塔區(qū)期末)對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到

一個(gè)數(shù)學(xué)等式.例如，利用圖1可以得到。(。+份="+浦，那么利用圖2所得到的數(shù)學(xué)等

式為()

A.{u+b+c)-—u~+b+c~

B.(</+/?+c)—2。-+2.b~+2c

C.{a+b+c)1-a1+b2+C1+ab+be+ca

D.(a+b+c)2-a2+b2+c2+lab+2bc+2ca

【考點(diǎn)】單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式；完全平方公式的幾何背景

【分析】圖2的面積可表示為一個(gè)大的正方形的面積或所分成的9個(gè)圖形的面積之和.

【解答】解：圖2的面積可表示為：(a+h+c)(4+b+c)=(a+b+c)2

或+cih+etc+ah+3+be+ac+be+c2=+廣+2ab+2JJC+2nc

則有：(a+h+c)2=a2+h2+c2+2ah+2hc+2ca

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了整式的幾何意義，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想，

15.（2021秋?海曙區(qū)校級(jí)期中）如圖，所有矩形都是正方形，設(shè)最大正方形的邊長(zhǎng)是最小

正方形邊長(zhǎng)的〃倍，則〃的值為（）

17

C.—D.9

2

【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)

【分析】如圖，A、C、D、石為正方形的頂點(diǎn)，作ABLCD,交大正方形的邊于點(diǎn)3,

于是得至3csACQE,而這兩個(gè)相似三角形的相似比恰好是2:1,再設(shè)最小正方形的邊長(zhǎng)

為廠，可以列方程求出〃的值，得出答案.

【解答】解：如圖，A、C、D、E為正方形的頂點(diǎn)，作AB_LCD,交大正方形的邊于點(diǎn)

B,

?.?ZABC=ZACE=Z.CDE=90°，

,\ZACB=900-ZDCE=ZCEDf

:.^ABC^CDE,

.AB_BC_AC

一~CD~~DE~~CE

設(shè)最小正方形的邊長(zhǎng)為＞0),則A8="/一〃，BC-2DE—2r?CD=nr—2r—3r=nr—5rt

?.AB=2CD,

.'.nr-r=2(nr-5r),

解得〃=9,

故選：D.

BCD

【點(diǎn)評(píng)】此題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是通過(guò)作輔

助線構(gòu)造相似三角形，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)推出相等關(guān)系.

16.（2021春?羅湖區(qū)校級(jí)期中）在邊長(zhǎng)為a的正方形中挖掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（”＞與,

把余下的部分剪拼成一個(gè)矩形（如圖），通過(guò)計(jì)算圖形（陰影部分）的面積，驗(yàn)證了一個(gè)

等式，則這個(gè)等式是（）

A.a2-ab=a(a-b)B.a2-b2=(a+b)(a-b)

C.(a+b)2=a2+lab+b2D.(a-b)2=a2-lab+b2

【考點(diǎn)】平方差公式的幾何背景

【分析】這個(gè)圖形變換可以用來(lái)證明平方差公式：已知在左圖中，大正方形減小正方形剩下

的部分面積為廿；因?yàn)槠闯傻拈L(zhǎng)方形的長(zhǎng)為S+份，寬為（a-b）,根據(jù)“長(zhǎng)方形的面

積=長(zhǎng)、寬”代入為：（a+b）x（a-〃），因?yàn)槊娣e相等，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：由圖可知，大正方形減小正方形剩下的部分面積為/一戶；

拼成的長(zhǎng)方形的面積：（a+b）x（a-b）,

所以得出：a2-b2=（a+b）（a-b）,

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平方差公式的幾何背景，解題的關(guān)鍵是求出第一個(gè)圖的陰影部分面

積，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式求出拼成的長(zhǎng)方形的面積，根據(jù)面積不變得出結(jié)論.

17.（2018春?太原期末）如圖，小明用長(zhǎng)為a的10個(gè)全等的小長(zhǎng)方形拼成一個(gè)無(wú)重疊，

無(wú)縫隙的大長(zhǎng)方形，這個(gè)大長(zhǎng)方形的面積為（）

A.-a2cm2B.—a2cm2C.la1cnfD.-crcnr

452

【考點(diǎn)】完全平方公式的幾何背景

【分析】結(jié)合圖形分析出小長(zhǎng)方形的寬，從而計(jì)算大長(zhǎng)方形的面積即可.

【解答】解：設(shè)小長(zhǎng)方形的寬為XC771,結(jié)合圖形可得“=4x,x=^cm；