2024屆南陽六校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

2024屆南陽六校高三第三次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若復(fù)數(shù)，則（）A． B． C． D．202．橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上，若，則的大小為（）A． B． C． D．3．已知點(diǎn)P不在直線l、m上，則“過點(diǎn)P可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線l、m都與這些平面平行”是“直線l、m互相平行”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，其中，，，下列敘述正確的是（）A．若是等差數(shù)列，則一定有 B．若是等比數(shù)列，則一定有C．若不是等差數(shù)列，則一定有 D．若不是等比數(shù)列，則一定有5．函數(shù)的部分圖象如圖中實(shí)線所示，圖中圓與的圖象交于兩點(diǎn)，且在軸上，則下列說法中正確的是A．函數(shù)的最小正周期是B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱C．函數(shù)在單調(diào)遞增D．函數(shù)的圖象向右平移后關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱6．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．27．已知直線：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)且與其中一條漸近線平行，則雙曲線的方程為（）A． B． C． D．8．已知中，，則（）A．1 B． C． D．9．函數(shù)f(x)=2x-3A．[32C．[3210．一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后,剩余部分的三視圖如下圖,則截去部分體積與剩余部分體積的比值為（）A． B． C． D．11．已知正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，若存在兩項(xiàng)，，使得，則的最小值為（）.A．16 B． C．5 D．412．若函數(shù)（）的圖象過點(diǎn)，則（）A．函數(shù)的值域是 B．點(diǎn)是的一個(gè)對(duì)稱中心C．函數(shù)的最小正周期是 D．直線是的一條對(duì)稱軸二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.14．在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．15．已知實(shí)數(shù)，滿足約束條件，則的最小值為______.16．某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：℃）依次為8，，，0，2，則該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；（2）若在上單調(diào)遞增，且求c的最大值.18．（12分）（江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行于軸的動(dòng)直線交拋物線：于點(diǎn)，點(diǎn)為的焦點(diǎn).圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線相切于點(diǎn)，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點(diǎn)，.當(dāng)線段的長度最小時(shí)，求的值.19．（12分）已知函數(shù)，將的圖象向左移個(gè)單位，得到函數(shù)的圖象.（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若，的一條對(duì)稱軸是，求在的值域.20．（12分）在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．21．（12分）已知矩陣，.求矩陣；求矩陣的特征值.22．（10分）已知函數(shù).（1）若，，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）時(shí)，若對(duì)一切恒成立，求a的取值范圍.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】

化簡(jiǎn)得到，再計(jì)算模長得到答案.【詳解】，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.2、C【解析】

根據(jù)橢圓的定義可得，，再利用余弦定理即可得到結(jié)論.【詳解】由題意，，，又，則，由余弦定理可得.故.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的定義，考查余弦定理，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)直線和平面平行的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．【詳解】點(diǎn)不在直線、上，若直線、互相平行，則過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行，即必要性成立，若過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行，則直線、互相平行成立，反證法證明如下：若直線、互相不平行，則，異面或相交，則過點(diǎn)只能作一個(gè)平面同時(shí)和兩條直線平行，則與條件矛盾，即充分性成立則“過點(diǎn)可以作無數(shù)個(gè)平面，使得直線、都與這些平面平行”是“直線、互相平行”的充要條件，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合空間直線和平面平行的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．4、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】A：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等差數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；B：當(dāng)時(shí)，，顯然符合是等比數(shù)列，但是此時(shí)不成立，故本說法不正確；C：當(dāng)時(shí)，因此有常數(shù)，因此是等差數(shù)列，因此當(dāng)不是等差數(shù)列時(shí)，一定有，故本說法正確；D：當(dāng)時(shí)，若時(shí)，顯然數(shù)列是等比數(shù)列，故本說法不正確.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列和等比數(shù)列的定義，考查了推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.5、B【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖象，求得函數(shù)，再根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)，即可求解，得到答案．【詳解】根據(jù)給定函數(shù)的圖象，可得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，所以，解得，所以的最小正周期，不妨令，，由周期，所以，又，所以，所以，令，解得，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心為，即函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱．故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式，以及三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)函數(shù)的圖象求得三角函數(shù)的解析式，再根據(jù)三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了數(shù)形結(jié)合思想，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．6、A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.【詳解】.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì),考查基本量的計(jì)算,難度容易.7、A【解析】

根據(jù)直線：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，得，又和其中一條漸近線平行，得到，再求雙曲線方程.【詳解】因?yàn)橹本€：過雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，所以，所以，又和其中一條漸近線平行，所以，所以，，所以雙曲線方程為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的幾何性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

以為基底，將用基底表示，根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律，即可求解.【詳解】,,.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查向量的線性運(yùn)算以及向量的基本定理，考查向量數(shù)量積運(yùn)算，屬于中檔題.9、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對(duì)實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b，則函數(shù)fgx10、D【解析】

試題分析：如圖所示，截去部分是正方體的一個(gè)角,其體積是正方體體積的,剩余部分體積是正方體體積的,所以截去部分體積與剩余部分體積的比值為,故選D.考點(diǎn)：本題主要考查三視圖及幾何體體積的計(jì)算.11、D【解析】

由，可得，由，可得，再利用“1”的妙用即可求出所求式子的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列公比為，由已知，，即，解得或（舍），又，所以，即，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查利用基本不等式求式子和的最小值問題，涉及到等比數(shù)列的知識(shí)，是一道中檔題.12、A【解析】

根據(jù)函數(shù)的圖像過點(diǎn)，求出，可得，再利用余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)，得出結(jié)論.【詳解】由函數(shù)（）的圖象過點(diǎn)，可得，即，，，故，對(duì)于A，由，則，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤；故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查了二倍角的余弦公式、三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，需熟記性質(zhì)與公式，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應(yīng)用，以及基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.14、C【解析】

根據(jù)確定是異面直線與所成的角，利用余弦定理計(jì)算得到答案.【詳解】由題意可得.因?yàn)?，所以是異面直線與所成的角，記為，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.15、【解析】

作出滿足約束條件的可行域，將目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率，觀察圖形斜率最小在點(diǎn)B處，聯(lián)立，解得點(diǎn)B坐標(biāo)，即可求得答案.【詳解】作出滿足約束條件的可行域，該目標(biāo)函數(shù)視為可行解與點(diǎn)的斜率，故由題可知，聯(lián)立得,聯(lián)立得所以，故所以的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查分式型目標(biāo)函數(shù)的線性規(guī)劃問題，屬于簡(jiǎn)單題.16、【解析】

先求出這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，再求出這組數(shù)據(jù)的方差，由此能求出該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差．【詳解】解：某地區(qū)連續(xù)5天的最低氣溫（單位：依次為8，，，0，2，平均數(shù)為：，該組數(shù)據(jù)的方差為：，該組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差為1．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查一組數(shù)據(jù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差的求法，考查平均數(shù)、方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）2【解析】

（1）將代入可得,令,則,設(shè),則轉(zhuǎn)化問題為與的交點(diǎn)問題,利用導(dǎo)函數(shù)判斷的圖象,即可求解；（2）由題可得在上恒成立,設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)可得,則,即,再設(shè),利用導(dǎo)函數(shù)求得的最小值,則,進(jìn)而求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí),,定義域?yàn)?由可得,令,則,由,得；由,得,所以在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的最大值為,且當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),,由此作出函數(shù)的大致圖象,如圖所示.由圖可知,當(dāng)時(shí),直線和函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)或,即或時(shí),直線和函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn),即函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)即時(shí),直線與函數(shù)的象沒有交點(diǎn),即函數(shù)無零點(diǎn).（2）因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,即在上恒成立,設(shè),則,①若,則,則在上單調(diào)遞減,顯然,在上不恒成立；②若,則,在上單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,故,單調(diào)遞減,不符合題意；③若,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,由,得,設(shè),則,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增,所以,所以,又,所以,即c的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題,考查利用導(dǎo)函數(shù)求最值,考查運(yùn)算能力與分類討論思想.18、(1)．(2)見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)根據(jù)題意得到，化簡(jiǎn)得到軌跡方程；（2）設(shè)，，，，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值.解析：（1）因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)閳A與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點(diǎn)，則直線的方程為，即，所以，又，所以，即，所以的方程為．（2）設(shè)，，，由（1）知，點(diǎn)處的切線的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，即取得最小值，此時(shí)．點(diǎn)睛：求軌跡方程，一般是問誰設(shè)誰的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對(duì)于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式，例如，可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解，然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計(jì)算一定要仔細(xì).19、（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.【解析】

（1）由題意利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求得的解析式，然后利用余弦函數(shù)的單調(diào)性，得出結(jié)論；（2）由題意利用余弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性求得，再根據(jù)余弦函數(shù)的定義域和值域，得出結(jié)論．【詳解】由題意得（1）向左平移個(gè)單位得到，增區(qū)間：解不等式，解得，減區(qū)間：解不等式，解得.綜上可得，的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）由題易知，，因?yàn)榈囊粭l對(duì)稱軸是，所以，，解得，.又因?yàn)?，所以，?因?yàn)椋裕瑒t，所以在的值域是.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，余弦函數(shù)圖象的對(duì)稱性，余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于中檔題．20、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理先求得邊c，然后由余弦定理可求得邊b；（Ⅱ）結(jié)合二倍角公式及和差公式，即可求得本題答案.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，由正弦定理可得，，又，所以，所以根?jù)余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因?yàn)?，所以，，，則．【點(diǎn)睛】本題主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，屬基礎(chǔ)題.21、；，.【解析】

由題意，可得，利用矩陣的知識(shí)求解即可.矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，求出矩陣的特征值.【詳解】設(shè)矩陣，則，所以，解得，，，，所以矩陣；矩陣的特征多項(xiàng)式為，令，解得，，即矩陣的兩個(gè)特征值為，.【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的知識(shí)點(diǎn)，屬于常考題.22、（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）【解析】

（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.（2）解法一：分類討論：當(dāng)時(shí)，觀察式子可得恒成立；當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增，可知；當(dāng)時(shí)，令，由，，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得，進(jìn)而可得在上，單調(diào)遞減，即不滿足題意；解法二：通過分離參數(shù)可知條件等價(jià)于恒成立，進(jìn)而記，問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題，通過二次求導(dǎo)，結(jié)合洛比達(dá)法則計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)，，，，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）解