固體物理學 課件 第4章 晶格振動理論

固體物理學1固體物理學緒論掌握研究方法學習理論知識建立體系脈絡把握精髓提升素養(yǎng)我們要時時總結、常常反思，不要只顧向前奔跑，要時常低頭問路！2領悟真諦指導生活到目前為止，我們的學習進入了一個新的階段！理論總結第二章晶體結構第一章晶體結合原子的電子結構結合力類型周期性：原胞對稱性：晶胞七個晶系14種布拉維格子結合力性質動力學方程運動規(guī)律3第四章晶格振動第三章晶體衍射倒格子布拉格方程理論總結第二章晶體結構第一章晶體結合結合力類型結合力性質4第四章晶格振動第三章晶體衍射課后完成：設計緒論到第四章的理論體系思維導圖第四章晶格振動理論1954年玻恩與黃昆先生合著《晶格動力學理論》5

MaxBorn黃昆第四章晶格振動理論黃昆世界著名的物理學家，中國固體物理學和半導體物理學的奠基人。

提出：黃漫散射黃---佩爾理論黃昆方程2001國家最高科學技術獎6第四章晶格振動理論1966年出版的教材7新版教材第四章晶格振動理論x(n-1)a

xn-1

xn

xn+1

第一節(jié)一維單原子鏈

na：第n個原子的平衡位置xn：第n個原子離開平衡位置na的位移δn,n+1=xn-xn+1：第n原子和n+1原子的相對的位移8布拉維格子晶格常數a一、模型na

(n+1)a第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈平衡態(tài)下兩個相鄰原子間的相互作用能產生相對位移后原子間的相互作用能按照小量δ做級數展開可見第一項為常數，第二項為零，保留至2次項9二、受力分析第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈稱為恢復力在恢復力的作用下，原子在平衡位置附近做簡諧振動簡諧近似下分析第n個原子的受力10恢復力系數二、受力分析第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈理想晶體中的所有原子都能列出上述類似方程動力學方程的解也稱為格波解參照平面波的形式格波解為區(qū)分電子波矢，這里取格波波矢為q，其大小為角波數11三、動力學方程第四章晶格振動理論一維單原子鏈中的格波第一節(jié)一維單原子鏈12第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈1描述晶體中所有原子的集體運動行為2

相鄰原子之間有恒定的位相差3

格波隨角波數周期性變化原子的振動不是孤立的，而以行波的形式在晶體中傳播；對于確定的波矢，所有原子以相同的頻率和振幅做簡諧振動qna-q(n-1)a=qa13四、格波的性質第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈格波隨角波數周期性變化-----周期性在倒易空間的表現(xiàn)如果有兩個波矢量q與q′可見，波矢q在2π/a范圍內，可以給出所有獨立的格波解

為方便起見，限制q的范圍為稱為簡約布里淵區(qū)14第二節(jié)一維雙原子鏈第四章晶格振動理論一維單原子鏈的波長不確定性15第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈格波解16代回運動學方程五、色散關系第四章晶格振動理論角頻率ω是q的周期函數，周期為2π/a第一節(jié)一維單原子鏈17長波：q→0短波：q→±π/a第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈18簡約布里淵區(qū)(-π/a,π/a]簡約區(qū)給出獨立的格波解色散關系具有對稱性和周期性ω(-q)=ω(q)ω(q)=ω(q+2π/a)第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈19長波近似：q→0相速度：相位傳播速度群速度：振幅或者能量的傳播速度長波近似下，格波近似為連續(xù)的彈性介質波第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈20短波近似：q→±π/a相速度：群速度：2a=λ2asin90=λ短波近似下，相鄰原子位相差為π，形成駐波第四章晶格振動理論第一節(jié)小結一維單原子鏈模型動力學方程格波解色散關系21受力分析xna

xn

第四章晶格振動理論22第一章晶體結合理論王義偉．基于雙原子模型的原子間相互作用勢能數值分析，哈爾濱師范大學自然科學學報，2017，33（6）：23-26第二章晶體結構理論秦兆慧．立方晶系中同指數晶列與晶面的空間取向關系，大學物理，2017，36（9）：24-26第三章晶體衍射理論張超．折射和半波損失情況下布拉格方程的推導，大學物理，2016，35（1）：57-58王蕊．晶體X射線衍射模型和布拉格方程的一般推導，大學物理，2015，34(3)：1-2第四章晶格振動理論23第四章晶格振動理論趙遠.原子質量對一維三原子鏈色散關系的影響，大學物理，2021，40（4）：11-14王端陽．一維雙原子鏈色散關系的非線性擬合分析，哈爾濱師范大學自然科學學報，2016，32（4）：71-73孫美慧．一維三原子鏈的格波解及其色散關系，大學物理，2019，38（7）：4-8鄭金鑫．同質量原子一維晶格振動的色散關系，哈爾濱師范大學自然科學學報，2019，35（2）：54-57劉艷晶.一般情況下一維雙原子鏈的求解及其色散關系，物理與工程，2022，32（3）：271-275課后完成：提出一個物理問題并給出研究方案。固體物理學24第四章晶格振動理論第一節(jié)一維單原子鏈一維單原子鏈模型動力學方程格波解色散關系25受力分析xna

xn

26一維單原子鏈的色散關系長波近似：短波近似：連續(xù)的彈性介質波駐波簡約布里淵區(qū)第二節(jié)一維雙原子鏈的振動第四章晶格振動理論x2n-1

x2n

x2n+1

27

2na：第n個原胞中原子M的平衡位置x2n：第n個原胞中原子M離開平衡位置的位移δ2n,2n+1=x2n-x2n+1：第2n原子和2n+1原子的相對位移布拉維格子晶格常數2am

(2n-1)a

2na

(2n+1)aM

一、建立模型x28第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動簡諧近似下，對M和m進行受力分析，只考慮近鄰原子二、受力分析恢復力系數29第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動格波解兩列格波都是波矢q的周期函數，同樣限定在簡約布里淵區(qū)三、動力學方程30第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動格波解代入運動學方程四、色散關系31第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動關于齊次線性方程組，考慮A，B有非零解的條件四、色散關系32第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動A，B有非零解的條件：四、色散關系33第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動四、色散關系34第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動一維雙原子鏈的振動色散關系，角頻率是波矢的雙值函數四、色散關系35第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動光學波：與晶體的光學性質相關聲學波：與聲波的振動特點相似四、色散關系第二節(jié)一維雙原子鏈的振動第四章晶格振動理論36簡約布里淵區(qū)對稱性和周期性ω(-q)=ω(q)ω(q)=ω(q+π/a)第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動37長波近似：折合質量μq→0，λ→∞第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動38Δω=ω+-ω-

頻率禁帶：

短波近似：

頻率禁帶

Δωq→±π/2aλ→4a第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動3940第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動1長聲學波ω-：q→0，λ→∞取M和m的振幅比，由（1）式得五、長波近似41第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動由于q=0，ω-=01長聲學波ω-：表明：M和m以相同振幅同向振動，無位相差。此時長聲學波描述的是原胞的質心運動

。長波近似下，ω和q近似正比關系，vp=vg。長聲學波也稱為連續(xù)的彈性介質波。第二節(jié)一維雙原子鏈的振動第四章晶格振動理論一維雙原子鏈的振動的長聲學波4243第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動2長光學波ω+：取M和m的振幅比，由（2）式得44第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動由于q=02長光學波ω+：表明：原胞內M和m振動反向，質心不動，長光學波是駐波。AM+Bm=0

離子晶體的紅外吸收現(xiàn)象：紅外光中的高頻電場使正負離子反向運動，當紅外光頻率與長光學波的晶格振動頻率相等時，引起紅外共振吸收。第二節(jié)一維雙原子鏈的振動第四章晶格振動理論一維雙原子鏈的振動的長光學波45第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動46短波近似：q→±π/2a47第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動q→±π/2a，λ→4a1短聲學波ω-：取M和m的振幅比，由（2）式得由于q=±π/2a，cos(qa)=0，2β-mω2≠0，(A/B)-=∞表明：m不動群速度vg=0說明是駐波短聲學波是波節(jié)在小原子處的駐波六、短波近似48第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈的振動2短光學波ω+：取M和m的振幅比，由（1）式得由于q=±π/2a，cos(qa)=0，2β-Mω2≠0，(A/B)+=0表明：M不動群速度vg=0說明是駐波短光學波是波節(jié)在大原子處的駐波49第四章晶格振動理論第二節(jié)小結一維雙原子鏈模型動力學方程格波解色散關系受力分析50第二節(jié)一維雙原子鏈的振動第四章晶格振動理論一維雙原子鏈和一維單原子鏈的色散關系51第二節(jié)一維雙原子鏈的振動第四章晶格振動理論課后閱讀52鄭金鑫．同質量原子一維晶格振動的色散關系，哈爾濱師范大學自然科學學報，2019，35（2）：54-57第三節(jié)周期性邊界條件第四章晶格振動理論一維原子鏈模型的邊界問題53固體物理學5455第四章晶格振動理論第二節(jié)一維雙原子鏈一維雙原子鏈模型動力學方程格波解色散關系受力分析56第二節(jié)一維雙原子鏈第四章晶格振動理論一維雙原子鏈和一維單原子鏈的色散關系57第二節(jié)一維雙原子鏈第四章晶格振動理論一維單原子鏈格波波長的不確定性58經典的晶格振動理論第四章晶格振動理論一維原子鏈的邊界問題59有限長一維原子鏈的求解考慮邊界原子的動力學方程，求解困難原子數N足夠大，邊界對宏觀性質的影響可忽略一維原子鏈的振動理論第三節(jié)量子的晶格振動理論第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論60Bron?vonKarman邊界條件1912年，玻恩和卡門（Bron?Karman）提出一個理想化的周期性邊界條件第四章晶格振動理論61

MaxBorn

vonKarman第四章晶格振動理論62錢學森郭永懷錢偉長第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論63一維單原子鏈第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論64xn=xn+N

原子鏈的循環(huán)性使第n個原子的振動和第n+N個原子的振動相同qNa=2πs，s為整數一維單原子鏈第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論65可見，q取分立值。q的取值個數：簡約布里淵區(qū)：（原胞數）一維單原子鏈第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論66(q,ω)確定一列格波qω獨立格波數：

N一種振動模式：(q,ω)等于晶體內的原胞數一維單原子鏈第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論67一維雙原子鏈格波解：原胞數為N，每個原胞中有兩個不同的原子周期性邊界條件為第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論68一維雙原子鏈2qNa=2πs，s為整數L=2Naq的取值個數：簡約布里淵區(qū)：（原胞數）第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論69(q,ω)確定一列格波q獨立的格波數：2N振動模式：(q,ω±)晶體內原胞數的2倍ω-ω+第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論70三維晶體L1、L2、L3為棱長N1、N2、N3為原胞數三維晶格格波：晶體中有N=N1N2N3個原胞，每個原胞有n個原子塊狀晶體周期堆砌模型第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論71塊狀晶體堆砌模型第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論72塊狀晶體堆砌模型第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論73第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論74q的取值總數等于原胞數N1N2N3每個波矢點q占據的體積一維晶格使用周期性邊界條件得出的結論可以推廣到三維晶體。第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論75三維晶體振動規(guī)律格波支數=原胞中原子的總自由度數每支格波中的格波數=晶體中的原胞數格波總數=晶體中原子的總自由度數晶體中原胞數N，原胞中有n個原子，原子總數nN第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論76三維晶體振動規(guī)律如晶體中原胞數N，原胞中有n個原子，原子總數nN格波支數=3n每支含格波數=N格波總數=3nN聲學波=光學波=3支3(n-1)

支1支縱波和2支橫波(n-1)支縱波和2(n-1)

支橫波第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論77格波能量的量子化聲子1每一列格波描述一種簡諧振動晶格振動的總能量如晶體中原胞數N，原胞中有n個原子第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論78格波能量的量子化聲子2聲子3聲子與光子的聯(lián)系與區(qū)別1907年，Einstein提出晶格振動的能量子光子是傳遞電磁作用的基本粒子，光子可以脫離介質；聲子是為描述晶格的簡諧運動狀態(tài)引入的假想粒子，不能脫離晶格而獨立存在，稱為準粒子；第三節(jié)量子的晶格振動理論第四章晶格振動理論793聲子與光子的聯(lián)系與區(qū)別光子有確定的動量，被發(fā)射和吸收時遵從動量守恒；聲子不具有確定的動量，稱為準動量。被發(fā)射和吸收時遵從準動量守恒；；光子和聲子都是玻色子，遵從玻色-愛因斯坦統(tǒng)計規(guī)律；光子可以轉化為聲子：光子與晶格發(fā)生相互作用；引入聲子描述晶格的簡諧運動狀態(tài)，晶體看作理想的聲子氣體，問題得到簡化；小結第四章晶格振動理論80周期性邊界條件晶格振動的量子化格波與聲子一維單原子鏈一維雙原子鏈三維晶格q的個數=原胞數(q,ω)

個數=格波數第二節(jié)一維雙原子鏈第四章晶格振動理論一維單原子鏈格波波長的不確定性81固體物理學82知識回顧第四章晶格振動理論83經典的晶格振動理論量子的晶格振動理論晶格振動的熱容理論一維原子鏈周期性邊界條件(q,ω)

振動模式數=格波數三維晶格色散關系第四章晶格振動理論84熱容熱容：晶格振動在晶體宏觀性質上的直接體現(xiàn)第四節(jié)晶格熱容理論定義

定容熱容

固體內能=晶格振動能+電子動能+相互作用勢能

簡諧近似下相互作用勢能近似為常數。

第四章晶格振動理論85熱容在溫度不太低的情況下第四節(jié)晶格熱容理論晶格熱容第五章討論電子熱容本章討論第四章晶格振動理論86熱容對于晶體第四節(jié)晶格熱容理論定容熱容實驗熱容定壓熱容理論熱容實驗結果驗證理論結果第四章晶格振動理論87經典的熱容理論1杜隆-珀替（Dulong-Petit）定律：第四節(jié)晶格熱容理論1819年，室溫下晶體熱容為24.9JK-1mol-11875年，Weber發(fā)現(xiàn)隨溫度升高晶體的熱容趨于定值，室溫下隨溫度的降低而減小。第四章晶格振動理論88經典的熱容理論2經典的玻爾茲曼統(tǒng)計理論：第四節(jié)晶格熱容理論根據能量均分定理：能量按照自由度平均分配。線性諧振子在每個自由度上的平均能量為則由N個原子組成的晶體內能為摩爾熱容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1kBT3NkBT第四章晶格振動理論89經典的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論摩爾熱容：Cm=

3NAkB=3R=24.9JK-1mol-1可見：室溫下與實驗一致，低溫下與實驗結果不符。玻耳茲曼常數：kB阿弗加德羅常數：NA普適氣體常數：R第四章晶格振動理論90經典的熱容理論3經典熱容理論失敗的原因：第四節(jié)晶格熱容理論經典的玻爾茲曼統(tǒng)計不能正確描述線性諧振子體系的統(tǒng)計規(guī)律。需要引入量子的觀點，建立量子的熱容理論。第四章晶格振動理論91量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論為簡單起見，取由N個原子構成的晶體內能量子數ni=0,1,2,…i=1,2,3,…,3N頻率為ωi的聲子數聲子是玻色子，遵從Bose-Einstein統(tǒng)計規(guī)律1晶體內能第四章晶格振動理論92量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論2Bose-Einstein統(tǒng)計規(guī)律只考慮對熱容有貢獻的部分第四章晶格振動理論93量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容波矢和頻率取分立值，色散關系看作準連續(xù)變化qω第四章晶格振動理論94量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容ρ(ω)

：在ω~ω+

dω的格波數，稱為振動模式密度可以確定ωm第四章晶格振動理論95量子的熱容理論第四節(jié)晶格熱容理論3晶格熱容可見，求解熱容的關鍵是確定

ρ(ω)和ωm第四章晶格振動理論96愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論1獨立諧振子模型1907年，Einstein提出晶體中各原子的振動模式都是獨立的所有原子做頻率相等的簡諧振動原子的振動能量是量子化的，能量子為聲子第四章晶格振動理論97愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容fE稱為Einstein熱容函數稱為Einstein溫度第四章晶格振動理論98愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容高溫情況下第四章晶格振動理論99愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容高溫情況下1872年，Weber測得金剛石熱容量6CalK-1mol-1

第四章晶格振動理論100愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論2熱容低溫情況下1910年能斯特發(fā)現(xiàn)在液氫溫度(20.3K)下熱容量變化更緩慢第四章晶格振動理論101愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論3Einstein模型的成功與不足解決了經典理論的困難，證實量子理論的成功；模型過于簡單，忽略了低頻長聲學波的貢獻。小結第四章晶格振動理論102經典的熱容理論量子的熱容理論

Einstein模型

Debye模型第四章晶格振動理論103愛因斯坦模型第四節(jié)晶格熱容理論高溫情況下低溫情況下獨立諧振子模型模型過于簡單，忽略了低頻長聲學波的貢獻。第四章晶格振動理論104德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論1彈性的連續(xù)介質模型1912年，Debye提出對于長聲學波，晶格看作連續(xù)的彈性介質；格波為彈性介質波，ω=qc，υp=υg=c

；

聲學波3支：1支縱波和2支橫波，且波速相等。υL=υT=c

第四章晶格振動理論105德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論2振動模式密度ρ(ω)和頻率極限ωD=ωm一維單原子鏈一維雙原子鏈三維晶格(q,ω)

(q,±ω)

第四章晶格振動理論106德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論一個倒格點的體積格點密度：單位體積內的格點數可見，在波矢空間中倒格點均勻分布。第四章晶格振動理論107德拜模型第四節(jié)晶格熱容理論等頻率面：半徑為q的球面半徑為q厚度為dq