專(zhuān)題06導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用（解密講義）

專(zhuān)題06導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用（解密講義）【知識(shí)梳理】【考點(diǎn)1】導(dǎo)數(shù)的定義1、導(dǎo)數(shù)的定義如果函數(shù)f（x）在（a，b）中每一點(diǎn)處都可導(dǎo)，則稱(chēng)f（x）在（a，b）上可導(dǎo)，則可建立f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，記為f′（x）；如果f（x）在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，且在區(qū)間端點(diǎn)a處的右導(dǎo)數(shù)和端點(diǎn)b處的左導(dǎo)數(shù)都存在，則稱(chēng)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上可導(dǎo)，f′（x）為區(qū)間[a，b]上的導(dǎo)函數(shù)，簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)．2、導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)就是切線(xiàn)的斜率k．例如：函數(shù)f（x）在x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義：k切線(xiàn)＝f′（x0）＝．3、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（1）基本函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)①C′＝0（C為常數(shù)）②（xn）′＝nxn﹣1（n∈R）③（sinx）′＝cosx④（cosx）′＝﹣sinx⑤（ex）′＝ex⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′＝*（logae）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．（2）和差積商的導(dǎo)數(shù)①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．（3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)y＝u（t），t＝v（x），則y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）方法技巧：導(dǎo)數(shù)的幾何意義是每年高考的重點(diǎn)內(nèi)容，考查題型多為選擇題或填空題，有時(shí)也會(huì)作為解答題中的第一問(wèn)，難度一般不大，屬中低檔題型，求解時(shí)應(yīng)把握導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切點(diǎn)處切線(xiàn)的斜率，常見(jiàn)的類(lèi)型及解法如下：（1）已知切點(diǎn)P(x0，y0)，求y=f(x)過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程：求出切線(xiàn)的斜率f′(x0)，由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；（2）已知切線(xiàn)的斜率為k，求y=f(x)的切線(xiàn)方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，通過(guò)方程k=f′(x0)解得x0，再由點(diǎn)斜式寫(xiě)出方程；（3）已知切線(xiàn)上一點(diǎn)(非切點(diǎn))，求y=f(x)的切線(xiàn)方程：設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，利用導(dǎo)數(shù)求得切線(xiàn)斜率f′(x0)，再由斜率公式求得切線(xiàn)斜率，列方程(組)解得x0，最后由點(diǎn)斜式或兩點(diǎn)式寫(xiě)出方程．（4）若曲線(xiàn)的切線(xiàn)與已知直線(xiàn)平行或垂直，求曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程時(shí)，先由平行或垂直關(guān)系確定切線(xiàn)的斜率，再由k=f′(x0)求出切點(diǎn)坐標(biāo)(x0，y0)，最后寫(xiě)出切線(xiàn)方程．（5）①在點(diǎn)P處的切線(xiàn)即是以P為切點(diǎn)的切線(xiàn)，P一定在曲線(xiàn)上．②過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)即切線(xiàn)過(guò)點(diǎn)P，P不一定是切點(diǎn)．因此在求過(guò)點(diǎn)P的切線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)首先檢驗(yàn)點(diǎn)P是否在已知曲線(xiàn)上．【考點(diǎn)2】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)相關(guān)問(wèn)題1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是增函數(shù)，f′（x）＞0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，則f（x）在（a，b）上是減函數(shù)，f′（x）＜0的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：（1）確定f（x）的定義域；（2）計(jì)算導(dǎo)數(shù)f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根將f（x）的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f′（x）的符號(hào)，進(jìn)而確定f（x）的單調(diào)區(qū)間：f′（x）＞0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f′（x）＜0，則f（x）在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間．3、極值的定義：（1）極大值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＜f（x0），就說(shuō)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極大值，記作y極大值＝f（x0），x0是極大值點(diǎn)；（2）極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f（x）在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f（x）＞f（x0），就說(shuō)f（x0）是函數(shù)f（x）的一個(gè)極小值，記作y極小值＝f（x0），x0是極小值點(diǎn)．4、極值的性質(zhì)：（1）極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最??；（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個(gè)；（3）極大值與極小值之間無(wú)確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn)．5、判別f（x0）是極大、極小值的方法：若x0滿(mǎn)足f′（x0）＝0，且在x0的兩側(cè)f（x）的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則x0是f（x）的極值點(diǎn)，f（x0）是極值，并且如果f′（x）在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左正右負(fù)”，則x0是f（x）的極大值點(diǎn)，f（x0）是極大值；如果f′（x）在x0兩側(cè)滿(mǎn)足“左負(fù)右正”，則x0是f（x）的極小值點(diǎn)，f（x0）是極小值．6、求函數(shù)f（x）的極值的步驟：（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格，檢查f′（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f（x）在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，則f（x）在這個(gè)根處無(wú)極值．在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．7、函數(shù)的最大值和最小值觀察圖中一個(gè)定義在閉區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f（x）的圖象．圖中f（x1）與f（x3）是極小值，f（x2）是極大值．函數(shù)f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)的函數(shù)f（x）在[a，b]上必有最大值與最小值．說(shuō)明：（1）在開(kāi)區(qū)間（a，b）內(nèi)連續(xù)的函數(shù)f（x）不一定有最大值與最小值．如函數(shù)f（x）＝在（0，+∞）內(nèi)連續(xù)，但沒(méi)有最大值與最小值；（2）函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的．（3）函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，是f（x）在閉區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件．（4）函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè)8、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟：由上面函數(shù)f（x）的圖象可以看出，只要把連續(xù)函數(shù)所有的極值與定義區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較，就可以得出函數(shù)的最值了．設(shè)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導(dǎo)，則求f（x）在[a，b]上的最大值與最小值的步驟如下：（1）求f（x）在（a，b）內(nèi)的極值；（2）將f（x）的各極值與f（a）、f（b）比較得出函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值．在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）按定義，極值點(diǎn)x0是區(qū)間[a，b]內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a，b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）．（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可．要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)點(diǎn)取得．一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說(shuō)極大值與極小值沒(méi)有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值?。?）若f（x）在（a，b）內(nèi)有極值，那么f（x）在（a，b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間上單調(diào)的函數(shù)沒(méi)有極值．（4）若函數(shù)f（x）在[a，b]上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，當(dāng)函數(shù)f（x）在[a，b]上連續(xù)且有有限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)f（x）在[a，b]內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)．方法技巧：函數(shù)的單調(diào)性及應(yīng)用是高考中的一個(gè)重點(diǎn)內(nèi)容，題型多以解答題的形式呈現(xiàn)．常見(jiàn)的題型及其解法如．由函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍的方法（1）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上單調(diào)，實(shí)際上就是在該區(qū)間上(或)(在該區(qū)間的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于0)恒成立，然后分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，從而獲得參數(shù)的取值范圍；（2）可導(dǎo)函數(shù)在某一區(qū)間上存在單調(diào)區(qū)間，實(shí)際上就是(或)在該區(qū)間上存在解集，這樣就把函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題轉(zhuǎn)化成了不等式問(wèn)題；（3）若已知在區(qū)間I上的單調(diào)性，區(qū)間I中含有參數(shù)時(shí)，可先求出的單調(diào)區(qū)間，令I(lǐng)是其單調(diào)區(qū)間的子集，從而可求出參數(shù)的取值范圍．4．利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題時(shí)，一般先由零點(diǎn)的存在性定理說(shuō)明在所求區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，再利用導(dǎo)數(shù)判斷在所給區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，由此求解．從近年高考情況來(lái)看，導(dǎo)數(shù)的概念及計(jì)算一直是高考中的熱點(diǎn)，對(duì)本知識(shí)的考查主要是導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算法則、導(dǎo)數(shù)的幾何意義等內(nèi)容，常以選擇題或填空題的形式呈現(xiàn)，有時(shí)也會(huì)作為解答題中的一問(wèn)．解題時(shí)要掌握函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)定義、幾何意義以及基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則，會(huì)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用也一直是高考的熱點(diǎn)，尤其是導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值問(wèn)題是高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容，一般以基本初等函數(shù)為載體，考查導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識(shí)及應(yīng)用，題型有選擇題、填空題，也有解答題中的一問(wèn)，難度一般較大，常以把關(guān)題的位置出現(xiàn)．解題時(shí)要熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性、極值與最值之間的關(guān)系，理解導(dǎo)數(shù)工具性的作用，注重?cái)?shù)學(xué)思想和方法的應(yīng)用．考點(diǎn)命題點(diǎn)考題導(dǎo)數(shù)的定義=1\*GB3①導(dǎo)數(shù)的概念=2\*GB3②導(dǎo)數(shù)的計(jì)算2023全國(guó)甲卷（文）T8，2023全國(guó)乙卷（文）T202023北京卷T202022新高考II卷T9，2022新高考II卷T142022新高考I卷T15，2022北京卷T20利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)相關(guān)問(wèn)題=1\*GB3①利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性=2\*GB3②利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值2023全國(guó)乙卷（理）T21，2023全國(guó)乙卷（理）T162023新高考I卷T19，2023新高考I卷T112022全國(guó)乙卷（文）T11，2022全國(guó)甲卷（文）T20考點(diǎn)一導(dǎo)數(shù)的定義命題點(diǎn)1導(dǎo)數(shù)的概念典例01（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線(xiàn)y=exx+1在點(diǎn)1,A．y=e4x B．y=e2x【答案】C【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線(xiàn)方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線(xiàn)的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【詳解】設(shè)曲線(xiàn)y=exx+1在點(diǎn)1,因?yàn)閥=e所以y'所以k=所以y-所以曲線(xiàn)y=exx+1在點(diǎn)1,故選：C典例02（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）曲線(xiàn)y=ln|x|過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的兩條切線(xiàn)的方程為，【答案】y=1e【分析】分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0【詳解】[方法一]：化為分段函數(shù)，分段求分x>0和x<0兩種情況，當(dāng)x>0時(shí)設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線(xiàn)的斜率，從而表示出切線(xiàn)方程，再根據(jù)切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)求出解：因?yàn)閥=ln當(dāng)x>0時(shí)y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-lnx0=1x0當(dāng)x<0時(shí)y=ln-x，設(shè)切點(diǎn)為x1,ln-x又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-ln-x1=1x1-x[方法二]：根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性，數(shù)形結(jié)合當(dāng)x>0時(shí)y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-lnx0=1x0因?yàn)閥=lnx是偶函數(shù)，所以當(dāng)x<0時(shí)的切線(xiàn)，只需找到y(tǒng)=1ex關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)直線(xiàn)[方法三]：因?yàn)閥=ln當(dāng)x>0時(shí)y=lnx，設(shè)切點(diǎn)為x0,lnx0又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-lnx0=1x0當(dāng)x<0時(shí)y=ln-x，設(shè)切點(diǎn)為x1,ln-x又切線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以-ln-x1=1x故答案為：y=1ex典例03（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）若曲線(xiàn)y=(x+a)ex有兩條過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)，則a的取值范圍是【答案】-【分析】設(shè)出切點(diǎn)橫坐標(biāo)x0，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線(xiàn)方程，根據(jù)切線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)得到關(guān)于x0的方程，根據(jù)此方程應(yīng)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求得a【詳解】∵y=(x+a)ex，∴設(shè)切點(diǎn)為x0,y0,則y切線(xiàn)方程為：y-x∵切線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，∴-x整理得：x0∵切線(xiàn)有兩條，∴Δ=a2+4a>0,解得∴a的取值范圍是-∞故答案為：-命題點(diǎn)2導(dǎo)數(shù)的計(jì)算典例01（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f(x)=alnx+bx取得最大值-2，則A．-1 B．-12 C．12【答案】B【分析】根據(jù)題意可知f1=-2，f'1=0【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx定義域?yàn)?,+∞，所以依題可知，f1=-2，f'1=0，而f'x=ax-bx2，所以故選：B.典例02（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）設(shè)函數(shù)f(x)=exx+a．若f'(1)=【答案】1【分析】由題意首先求得導(dǎo)函數(shù)的解析式，然后得到關(guān)于實(shí)數(shù)a的方程，解方程即可確定實(shí)數(shù)a的值【詳解】由函數(shù)的解析式可得：f'則：f'1=整理可得：a2-2a+1=0，解得：故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，方程的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)，屬于中等題.典例03（2021·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)fx:①fx1x2=fx1fx2【答案】fx=x4（答案【分析】根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)可得所求的fx【詳解】取fx=x4，則f'x=4x3，x>0f'x=4又f'-x=-4x3故答案為：fx=x4（答案1．已知fx=2sinx+φ-1,φ＞0在πA．12 B．32 C．π2【答案】D【分析】由fx=2sinx+φ-1,φ＞【詳解】因?yàn)閒x=2sinx+φ-所以fπ=2因?yàn)棣眨?，對(duì)照四個(gè)選項(xiàng)，只有當(dāng)k=1時(shí)，φ=故選：D2．已知x>0，y∈R，(x-y)2+xA．2 B．2 C．433 D【答案】B【分析】設(shè)Ax,x2-lnx+2是函數(shù)f(x)=x2-lnx+2圖象上的點(diǎn)，B(y,y)是函數(shù)y=x上的點(diǎn)，把(x-y)2+x【詳解】(x-y)2+x2-lnx+2-y2可以轉(zhuǎn)化為：Ax,x當(dāng)與直線(xiàn)y=x平行且與f(x)的圖象相切時(shí)，切點(diǎn)到直線(xiàn)y=x的距離為|AB|的最小值.令f'x=2x-1x=1，解得所以切點(diǎn)C(1,3)到直線(xiàn)y=x的距離即為|AB|的最小值.所以|AB|min=故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：距離的計(jì)算方法有兩類(lèi)：（1）幾何法：利用幾何圖形求最值；（2）代數(shù)法：把距離表示為函數(shù)，利用函數(shù)求最值.3．（多選）意大利畫(huà)家列奧納多·達(dá)?芬奇的畫(huà)作《抱銀鼠的女子》中，女士脖頸上黑色珍珠項(xiàng)鏈與主人相互映襯呈現(xiàn)出不一樣的美與光澤，達(dá)?芬奇提出：固定項(xiàng)鏈的兩端，使其在重力的作用下自然下垂，項(xiàng)鏈所形成的曲線(xiàn)是什么？這就是著名的“懸鏈線(xiàn)問(wèn)題”．后人給出了懸鏈線(xiàn)的函數(shù)解析式：f(x)=acosh(xa)，其中a為曲線(xiàn)頂點(diǎn)到橫坐標(biāo)軸的距離，coshx稱(chēng)為雙曲余弦函數(shù)，其函數(shù)表達(dá)式為coshx=ex+e-x2，相應(yīng)地，雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式為sinhx=ex-e-x2．若直線(xiàn)x=m與雙曲余弦函數(shù)C1雙曲正弦函數(shù)C2的圖象A．coshB．y=sinhC．(D．若△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則實(shí)數(shù)m=0【答案】ACD【分析】根據(jù)雙曲余弦函數(shù)、雙曲正弦函數(shù)的表達(dá)式可判斷A的正確，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷B的正誤，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的計(jì)算公式可判斷C的正誤，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可判斷D的正誤.【詳解】coshxcoshy-A正確；y=sinhxcoshx=eg(x)為奇函數(shù)，即y=sinhxcosh(ex+e-x因?yàn)锳B⊥x軸，設(shè)S(x)=ex+e所以若△PAB是以A為直角頂點(diǎn)的直角三角形，則kPA由kPA=S'(m)=故選：ACD．考點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)相關(guān)問(wèn)題命題點(diǎn)1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性典例01（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx=aex-lnxA．e2 B．e C．e-1 D【答案】C【分析】根據(jù)f'x=aex-【詳解】依題可知，f'x=aex-1x設(shè)gx=xex,x∈1,2，所以gx>g1=e，故e≥1故選：C．典例02（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，fx【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類(lèi)討論a≤0與a>0兩種情況，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）方法一：結(jié)合（1）中結(jié)論，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為a2-12-lna>0的方法二：構(gòu)造函數(shù)hx=ex-x-1，證得ex≥x+1，從而得到【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=aex+a-x，定義域?yàn)楫?dāng)a≤0時(shí)，由于ex>0，則aex所以fx在R當(dāng)a>0時(shí)，令f'x=a當(dāng)x<-lna時(shí)，f'x<0當(dāng)x>-lna時(shí)，f'x>0綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，fx在R當(dāng)a>0時(shí)，fx在-∞,-lna上單調(diào)遞減，（2）方法一：由（1）得，fx要證f(x)>2lna+32，即證1+令ga=a令g'a<0，則0<a<22所以ga在0,22所以gamin=g2所以當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>2lna+3方法二：令hx=e由于y=ex在R上單調(diào)遞增，所以h'又h'所以當(dāng)x<0時(shí)，h'x<0；當(dāng)x>0所以hx在-∞,0故hx≥h0=0，則因?yàn)閒(x)=ae當(dāng)且僅當(dāng)x+lna=0，即所以要證f(x)>2lna+32，即證令ga=a令g'a<0，則0<a<22所以ga在0,22所以gamin=g2所以當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>2lna+3典例03（2020·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f（x）=2lnx+1．（1）若f（x）≤2x+c，求c的取值范圍；（2）設(shè)a>0時(shí)，討論函數(shù)g（x）=f(x)-f(a)x-a【答案】（1）-1,+∞；（2）g(x)在區(qū)間(0,a)和(a,+【分析】（1）[方法三]不等式f(x)≤2x+c轉(zhuǎn)化為f(x)-2x-c≤0，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的最大值，進(jìn)而進(jìn)行求解即可；（2）對(duì)函數(shù)g(x)求導(dǎo)，把導(dǎo)函數(shù)g'(x)的分子構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)m(x)，再求導(dǎo)得到m'(x)，根據(jù)m'(x)的正負(fù)，判斷m(x)【詳解】（1）[方法一]【最優(yōu)解】：f(x)≤2x+c等價(jià)于2ln設(shè)h(x)=2lnx-2x，則當(dāng)0<x<1時(shí)，h'(x)>0，所以h(x)在區(qū)間當(dāng)x>1時(shí)，h'(x)<0，所以h(x)在區(qū)間故[h(x)]max=h(1)=-2，所以c-1≥-2，即c≥-1，所以c[方法二]：切線(xiàn)放縮若f(x)≤2x+c，即2lnx+1≤2x+c，即lnx≤x+c-1而y=lnx在點(diǎn)(1,0)處的切線(xiàn)為y=x-1，從而有當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)恒成立，即c-12≥-1，則c≥-1．所以[方法三]：利用最值求取值范圍函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?0,+f(x)≤2x+c?f(x)-2x-c≤0?2ln設(shè)h(x)=2lnx+1-2x-c(x>0)，則有當(dāng)x>1時(shí)，h'當(dāng)0<x<1時(shí)，h'所以當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)h(x)有最大值，即h(x)要想不等式(*)在(0,+∞)只需h(x)所以c的取值范圍為[-1,+∞（2）gx=2因此g'(x)=2(x-a-xln則有m'當(dāng)x>a時(shí)，lnx>lna，所以m'(x)<0，g'(x)<0，所以當(dāng)0<x<a時(shí)，lnx<lna，所以m'(x)>0，m(x)單調(diào)遞增，因此有m(x)<m(a)=0，即所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,a)和(a,+∞)【整體點(diǎn)評(píng)】(1)方法一：分類(lèi)參數(shù)之后構(gòu)造函數(shù)是處理恒成立問(wèn)題的最常用方法，它體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，同時(shí)是的導(dǎo)數(shù)的工具也得到了充分利用；方法二：切線(xiàn)放縮體現(xiàn)了解題的靈活性，將數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用到了解題過(guò)程之中，掌握常用的不等式是使用切線(xiàn)放縮的基礎(chǔ).方法二：利用最值確定參數(shù)取值范圍也是一種常用的方法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.命題點(diǎn)2利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值和最值典例01（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）函數(shù)fx=cosx+x+1A．-π2，π2 B．-3π【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得fx的單調(diào)區(qū)間，從而判斷出fx在區(qū)間0,2【詳解】f'所以fx在區(qū)間0,π2和3π2,2在區(qū)間π2,3π2上又f0=f2π=2所以fx在區(qū)間0,2π上的最小值為-3π故選：D典例02（多選）（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)f(x)=x3-x+1A．f(x)有兩個(gè)極值點(diǎn) B．f(x)有三個(gè)零點(diǎn)C．點(diǎn)(0,1)是曲線(xiàn)y=f(x)的對(duì)稱(chēng)中心 D．直線(xiàn)y=2x是曲線(xiàn)y=f(x)的切線(xiàn)【答案】AC【分析】利用極值點(diǎn)的定義可判斷A，結(jié)合f(x)的單調(diào)性、極值可判斷B，利用平移可判斷C；利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷D.【詳解】由題，f'x=3x2-1，令令f'(x)<0得所以f(x)在(-∞,-33)，(33因f(-33)=1+23所以，函數(shù)fx在-當(dāng)x≥33時(shí)，fx≥f3綜上所述，函數(shù)f(x)有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；令h(x)=x3-x，該函數(shù)的定義域?yàn)镽則h(x)是奇函數(shù)，(0,0)是h(x)的對(duì)稱(chēng)中心，將h(x)的圖象向上移動(dòng)一個(gè)單位得到f(x)的圖象，所以點(diǎn)(0,1)是曲線(xiàn)y=f(x)的對(duì)稱(chēng)中心，故C正確；令f'x=3x2當(dāng)切點(diǎn)為(1,1)時(shí)，切線(xiàn)方程為y=2x-1，當(dāng)切點(diǎn)為(-1,1)時(shí)，切線(xiàn)方程為y=2x+3，故D錯(cuò)誤.故選：AC.典例03（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）（1）證明：當(dāng)0<x<1時(shí)，x-x（2）已知函數(shù)fx=cosax-ln1-x【答案】（1）證明見(jiàn)詳解（2）-【分析】（1）分別構(gòu)建Fx=x-sin（2）根據(jù)題意結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)可知只需要研究fx在0,1上的單調(diào)性，求導(dǎo)，分類(lèi)討論0<a2<2和a【詳解】（1）構(gòu)建Fx=x-sinx,x∈0,1，則則Fx在0,1上單調(diào)遞增，可得F所以x>sin構(gòu)建Gx則G'構(gòu)建gx=G'x,x∈則gx在0,1上單調(diào)遞增，可得g即G'x>0對(duì)則Gx在0,1上單調(diào)遞增，可得G所以sinx>x-綜上所述：x-x（2）令1-x2>0，解得-1<x<1，即函數(shù)f若a=0，則fx因?yàn)閥=-lnu在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，y=1-x2在則fx=1-ln1-x故x=0是fx的極小值點(diǎn)，不合題意，所以a≠0當(dāng)a≠0時(shí)，令b=因?yàn)閒x且f-x所以函數(shù)fx由題意可得：f'（i）當(dāng)0<b2≤2時(shí)，取m=min1由（1）可得f'且b2所以f'即當(dāng)x∈0,m?0,1時(shí)，f'x結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：fx在-m,0所以x=0是fx（ⅱ）當(dāng)b2>2時(shí)，取x∈0,由（1）可得f'構(gòu)建hx則h'且h'0=b3>0,可知hx在0,1b所以hx在0,1b當(dāng)x∈0,n時(shí)，則hx<0則f'即當(dāng)x∈0,n?0,1時(shí)，f'x結(jié)合偶函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知：fx在-n,0所以x=0是fx綜上所述：b2>2，即a2>2，解得故a的取值范圍為-∞【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.當(dāng)0<a2≤22.當(dāng)a2≥2時(shí)，利用x-典例04（2021·北京·統(tǒng)考高考真題）已知函數(shù)fx（1）若a=0，求曲線(xiàn)y=fx在點(diǎn)1,f（2）若fx在x=-1處取得極值，求f【答案】（1）4x+y-5=0；（2）函數(shù)fx的增區(qū)間為-∞,-1、4,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為-1,4，最大值為1，最小值為-【分析】（1）求出f1、f（2）由f'-1=0可求得實(shí)數(shù)a的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)【詳解】（1）當(dāng)a=0時(shí)，fx=3-2xx2，則f此時(shí)，曲線(xiàn)y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線(xiàn)方程為y-1=-4x-1（2）因?yàn)閒x=3-2x由題意可得f'-1=故fx=3-2xx-∞,-1-1-1,444,+∞f+0-0+f增極大值減極小值增所以，函數(shù)fx的增區(qū)間為-∞,-1、4,+∞，單調(diào)遞減區(qū)間為-1,4當(dāng)x<32時(shí)，fx>0；當(dāng)所以，fxmax=f1．（多選）設(shè)函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)-12A>0,ω>0,0≤φ≤π2的最小正周期T>3π，且f(x+2π)+f(x)=0，f(x)的極大值與極小值的差為2．若f(x)A．π7 B．π5 C．π3【答案】AC【分析】根據(jù)題目條件求出ω=2πT=12，A=1，轉(zhuǎn)化為sin12x+φ=12在[0,5π]內(nèi)恰有3個(gè)解，又12x+φ∈φ,【詳解】∵f(x+2π∴f(x+2π∴f(x+4π∴f(x)是以4π又f(x)的最小正周期T>3π∴T=4π∴ω=2∵f(x)的極大值與極小值的差為2，∴2A=2，A=1，∴f(x)=sin∵f(x)在[0,5π]內(nèi)恰有3個(gè)零點(diǎn)，即sin12x+φ其中12∵0≤φ≤π∴5π2+φ則0≤φ≤π6且2或者π6<φ≤π2解①可得0≤φ≤π6，解②可得∴φ的取值范圍是0,π∴φ的值可能是π7或π故選：AC．2．已知函數(shù)f(x)=lnx2+1+x+ex-e【答案】1【分析】構(gòu)造函數(shù)g(x)，h(x)，利用導(dǎo)數(shù)討論g(x)，h(x)的單調(diào)性、奇偶性，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-3，將原不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化Faex>F(lnx-lna)【詳解】令g(x)=lnx2+1+x，因?yàn)閤∈R易知g(x)在R上單調(diào)遞增．同理令h(x)=ex-由于h'(x)=ex+因此f(x)=lnx2令F(x)=f(x)-3=gx+hx則F(x)是在R上單調(diào)遞增的奇函數(shù)．不等式faex故Faex>-F(ln即ex+lna則G'(x)=ex+1>0，G(x)在R則x+lna>ln令H(x)=lnx-x，則H'(x)=1令H'(x)<0，得x>1，故H(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在故H(x)max=H(1)=-1，故ln故實(shí)數(shù)a的取值范圍是1e故答案為：1【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)比較大小的基本步驟（1）作差或變形；（2）構(gòu)造新的函數(shù)hx（3）利用導(dǎo)數(shù)研究hx（4）根據(jù)單調(diào)性及最值，得到所證不等式．特別地：當(dāng)作差或變形構(gòu)造的新函數(shù)不能利用導(dǎo)數(shù)求解時(shí)，一般轉(zhuǎn)化為分別求左、右兩端兩個(gè)函數(shù)的最值問(wèn)題．3．已知函數(shù)f(x)=x(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)已知x1，x20<x1<x2,x【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導(dǎo)函數(shù)，再分a≥18，0<a<1（2）首先得到a<0，即可得到g(x)min=g(-a)=a[ln(-a)-1]<0，則0<x1<-a<【詳解】（1）∵f(x)=x∴f'令h(x)=2x2-x+a(x>0)，則h'(x)=4x-1當(dāng)0<x<14時(shí)h'(x)<0，當(dāng)所以h(x)在0,14上單調(diào)遞減，在∴h當(dāng)a-18≥0，即a≥18時(shí)，h(x)min≥0，當(dāng)a-18<0，即a<18時(shí)，若1-1-8a≤0，即∴當(dāng)0<x<1+1-8a4時(shí)，h(x)<0，∴f∴當(dāng)x>1+1-8a4時(shí)，h(x)>0，∴f若1-1-8a>0，即0<a<18，∴當(dāng)∴f'(x)<0，此時(shí)∴當(dāng)0<x<1-1-8a4或x>1+1-8a4時(shí)，h(x)>0，綜上，當(dāng)a≥18時(shí)，f(x)在當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在0,1+1-8a4當(dāng)0<a<18時(shí)，f(x)在1-1-8a4,（2）證明：g(x)=f(x)-x則g'∵x1，x2為g(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，∴aln若a≥0，則ax+1>0，則g(x)在∴此時(shí)g(x)沒(méi)有兩個(gè)零點(diǎn)；若a<0，令g'(x)=0，得則令g'(x)<0，得0<x<-a，令g'∴g(x)在(0,-a)上單調(diào)遞減，在(-a,+∞∴g(x)∴l(xiāng)n(-a)-1>0，∴l(xiāng)n(-a)>1，∴-a>e，∴∴0<x又x1+x2=3e，∴∴g'aln1x1x【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).4．已知函數(shù)f(x)=xe(1)求曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程；(2)當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，證明：f(x)>0恒成立．【答案】(1)y=(1-a(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)條件求出f(1)，函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，并得到f'（2）已知條件變形得到ex-1-x+1>a利用導(dǎo)數(shù)得到g(x)min，h(x)max【詳解】（1）由題易知f(1)=1，f'則f'所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線(xiàn)方程為y-1=(1-ae)(x-1)，即（2）證明：由題意得x>0，當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，要證xex-1-令g(x)=ex-1-x+1(x>0),令g'(x)=φ(x)，則φ'(x)=e又因?yàn)間'(1)=0，所以當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)，g'因?yàn)閔'(x)=1-lnx令h'(x)<0，解得x∈(e因?yàn)閍∈(0,1)，所以aelnxx所以當(dāng)a∈(0,1)時(shí)，f(x)>0恒成立得證．【點(diǎn)睛】本題考查曲線(xiàn)的切線(xiàn)方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用、不等式恒成立的證明，考查考生運(yùn)算求解能力、推理論證能力、函數(shù)與方程的思想．AA·新題速遞1．（2023·四川成都·成都七中校考一模）與曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的切線(xiàn)垂直，且過(guò)該點(diǎn)的直線(xiàn)稱(chēng)為曲線(xiàn)在某點(diǎn)處的法線(xiàn)，若曲線(xiàn)y=x4的法線(xiàn)的縱截距存在，則其最小值為（A．34 B．1 C．1716 D【答案】A【分析】在曲線(xiàn)y=x4上任取一點(diǎn)Pt,t4，求出曲線(xiàn)y=x【詳解】在曲線(xiàn)y=x4上任取一點(diǎn)Pt,t4，對(duì)函數(shù)y=若曲線(xiàn)y=x4的法線(xiàn)的縱截距存在，則所以，曲線(xiàn)y=x4在點(diǎn)P處的法線(xiàn)方程為即y=-14t3x+t4令s=t2>0，令f則f's=2s-14當(dāng)0<s<12時(shí)，f'當(dāng)s>12時(shí)，f'所以，fs故選：A.2．（2023·海南?？凇ば？寄M預(yù)測(cè)）已知x表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，xm為函數(shù)f(x)=x+xlnxx-1（x1）的極值點(diǎn)，則fmA．3+3ln32 B．4+4ln43【答案】A【分析】求導(dǎo)函數(shù)f'(x)=x-lnx-2x-12，令g(x)=x-lnx-2，x>1，求導(dǎo)從而可確定g(x)的零點(diǎn)取值情況，即可得函數(shù)f(x)【詳解】函數(shù)f(x)=x+xlnxx-1令g(x)=x-lnx-2則g'(x)=1-1x>0因?yàn)間3=1-ln3<0，所以，函數(shù)g(x)=x-lnx-2,(x>1)存在唯一零點(diǎn)xx(1,(x0f-+f(x)單調(diào)遞減單調(diào)遞增所以x=x0∈(3,4)是函數(shù)f(x)的極小值點(diǎn)，即m=x0故選：A．3．（2023·安徽合肥·合肥一六八中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）數(shù)學(xué)與音樂(lè)有著緊密的關(guān)聯(lián).聲音中也包含正弦函數(shù)，聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，每一個(gè)音都是由純音合成的.純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)y=Asinωx，我們平時(shí)聽(tīng)到的音樂(lè)一般不是純音，而是有多種波疊加而成的復(fù)合音．已知刻畫(huà)某復(fù)合音的函數(shù)為sinx+12A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，與選項(xiàng)中的圖象比較即可得出答案.【詳解】令y=fx求導(dǎo)得f=cos當(dāng)x∈0,π時(shí)，由f'當(dāng)x∈0,π4時(shí)，f當(dāng)x∈π4,2π3當(dāng)x∈2π3,3π4當(dāng)x∈3π4,π時(shí)，所以，當(dāng)x=π4和x=3π4時(shí)，fx由于f0可得fπ4>f3π結(jié)合圖象，只有C選項(xiàng)滿(mǎn)足．故選：C．4．（多選）（2023·云南紅河·統(tǒng)考一模）已知f(x)=ln|cosA．f(x)的值域?yàn)閇0,+B．fx+C．若xi(i=1,2,3?)為函數(shù)f(x)的零點(diǎn)，且xD．f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為k【答案】BC【分析】選項(xiàng)A：將f(x)=ln選項(xiàng)B：根據(jù)奇函數(shù)的定義證明；選項(xiàng)C：根據(jù)函數(shù)的周期和零點(diǎn)計(jì)算求解；選項(xiàng)D：判斷函數(shù)在x∈0,【詳解】對(duì)于A，f(x)=ln|cosx|-ln|sin對(duì)于B，f=lnsinx+對(duì)于C，顯然函數(shù)滿(mǎn)足f(-x)=f(x)且關(guān)于π4,0對(duì)稱(chēng)，所以f(x)是以又因?yàn)閒π4=f-π對(duì)于D，當(dāng)x∈0,π2f'(x)=-2sin2x<0，所以f(x)在所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為kπ-π故選：BC．5．（多選）（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)fn(x)=x-nlnx（n∈N*）有兩個(gè)零點(diǎn)，分別記為xn，yn（xnA．fn(x)在B．n>e（其中eC．xD．2θ<α+β【答案】BCD【分析】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值、最值，以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，對(duì)以上各項(xiàng)逐一判斷，即可求得本題答案.【詳解】∵f'n(x)=1-nx,由f'n(x)>0，得：x>n∵y=fn(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，即方程1n令g'(x)>0，解得0<x<e，令可得g(x)在(0,e)上遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，∴g(x)在x=e處取得極大值g(e)=由上可得：xn<e<y∵1n>1n+1，∴xn+1<xn由已知，有f'n∴f令t=βα(t>1)，則ln則h'(t)=(t-1)2t(t+1)2，當(dāng)t>1時(shí)，∴h(t)>h(1)=0，∴l(xiāng)nβα-2(β-α)β+α∴-nβ-α<0，∴f'n又f'n(x)=1-nx在(0,+∞)單調(diào)遞增，∴θ<故選：BCD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明或判定不等式問(wèn)題：1．通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值（最值），從而得出不等關(guān)系；2．利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題，從而判定不等關(guān)系；3．適當(dāng)放縮構(gòu)造法：根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮或利用常見(jiàn)放縮結(jié)論，從而判定不等關(guān)系；4．構(gòu)造“形似”函數(shù)，變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).6．（多選）（2023·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=4sinx-2ax-3a∈A．當(dāng)a=94時(shí)，函數(shù)fx和gB．若函數(shù)fx在-πC．函數(shù)gx在-D．若存在x∈0,π，使得f【答案】ACD【分析】對(duì)函數(shù)fx與gx求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義分別計(jì)算f'0與g'0，再根據(jù)直線(xiàn)垂直的斜率公式計(jì)算并判斷選項(xiàng)A，將條件轉(zhuǎn)化為f'x=4cosx-2a<0在-π,0內(nèi)有解，參變分離后，求解2cosx的最小值即可得a的取值范圍，判斷選項(xiàng)【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，當(dāng)a=94時(shí)，所以f'0=-12因?yàn)閒'所以函數(shù)fx和gx在x=0處的切線(xiàn)互相垂直，故對(duì)于選項(xiàng)B，因?yàn)閒'若函數(shù)fx在-可知f'x=4則a>2cosx在所以a>2cosx-2<2cosx<2，即a>-2，故對(duì)于選項(xiàng)C，當(dāng)x∈-π2gx<0，此時(shí)函數(shù)當(dāng)x∈-π,-令hx=cos則h'x=-1sin可得hx>h-π2可得g'x<0，所以函數(shù)g由于g-π=2所以函數(shù)gx在-綜上函數(shù)gx在-π,0對(duì)于選項(xiàng)D，由fx≥gx令mx=2則m'令nx=2xcos當(dāng)x∈0,π2時(shí)，n'x當(dāng)x∈0,π2此時(shí)m'x>0，則函數(shù)m當(dāng)x∈π2,π時(shí)，n'因?yàn)閚π2=所以存在x0∈π變形可得2cos當(dāng)x∈π2,x0時(shí)，n所以函數(shù)mx在0,x0mxmax=m令函數(shù)φ(x)=cosx+xsinx，所以φ(x)=cosx+xsin則φx<φπ所以a<π2成立，故故選：ACD．【點(diǎn)睛】利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立或存在型問(wèn)題，首先要構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出相應(yīng)的含參不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；也可分離變量，構(gòu)造函數(shù)，直接把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.7．（2023下·山東煙臺(tái)·高二統(tǒng)考期末）若fx是區(qū)間a,b上的單調(diào)函數(shù)，滿(mǎn)足fa<0，fb>0，且f″x>0（f″x為函數(shù)f'x的導(dǎo)數(shù)），則可用牛頓切線(xiàn)法求fx=0在區(qū)間a,b上的根ξ的近似值：取初始值x0=b，依次求出y=fx圖象在點(diǎn)xk-1,fxk-1處的切線(xiàn)與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)xkk=1,2,3,???，當(dāng)xk與ξ的誤差估計(jì)值【答案】25【分析】根據(jù)牛頓切線(xiàn)法，求解切線(xiàn)方程為y=3xk-12+2x-2xk-13+1，進(jìn)一步得到【詳解】設(shè)fx=x3+2x-1，則f'x=3x2+2，由于f'x=3x2+2在x∈0,34y=fx圖象在點(diǎn)xk-1,fxk-1令y=0，則xk由于x0=b=34，所以fx1=fx2=故x2作為ξ故答案為：2，58．（2023·山東德州·德州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且a>1，函數(shù)fx=ax+(1)若直線(xiàn)y=bx與函數(shù)fx=ax+(2)當(dāng)a=e時(shí)，直線(xiàn)y=bx與函數(shù)fx有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1，x2，且【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）由條件可得x0lnaax0=ax（2）根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為ex-bx+e2=0有【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為x0，可得f'得ax0+化簡(jiǎn)得x0ln令t=x0ln記ht=所以t∈-∞,0時(shí)，h當(dāng)t∈0,+∞，ht單增，h2=0，所以fx0=（2）當(dāng)a=e時(shí)，由（1）得切線(xiàn)的斜率為e直線(xiàn)y=bx與函數(shù)fx有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，得b>即ex-bx+e2=0由題意得ex1+做差得ex2-欲證x1+x2<2ln令ex2=t2下面先證明t2-t即證m-1lnm>先證12m-1?'m=12所以?m>0，證得用m替換m，可得m-1ln所以t2-t1ln9．（2023·安徽亳州·蒙城第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知正實(shí)數(shù)0<a≤12≤b<1，函數(shù)fx=ax+(1)若a+b=1，求證：gb(2)求證；對(duì)任意正實(shí)數(shù)m，n，m+n=1，有mn【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）化簡(jiǎn)要證明的不等式后構(gòu)造hx=xln（2）由（1）知，應(yīng)用單調(diào)性證明可得.【詳解】（1）fxfg∴gx在0,1上單調(diào)遞增，得要證：g只需證：ablna≤即證：ln令φx=lnx∴φx在0,1故證aa≤令hx=xlnx-h'12=lne2∴存在唯一x0∈hx在0,x0∴h∴aa≤b（2）由（1）知，fx在0,1∴fb≤f由于m+n=1，且m，n為正實(shí)數(shù)，不妨令0<m≤∴mnBB·易錯(cuò)提升1．已知函數(shù)fx滿(mǎn)足f'x-fxtanA．fx的定義域?yàn)閤∈Rx≠kπ BC．fx在x=7π6處取極小值 D．【答案】C【分析】根據(jù)已知等式有意義可構(gòu)造不等式求得函數(shù)定義域，知A錯(cuò)誤；由已知等式變形可得fxsinx'=2cosx，由此得到fx=2sin2x+Csinx，根據(jù)f'-【詳解】對(duì)于A，∵f'x∴sinx≠0且cosx≠0∴fx的定義域?yàn)閤∈Rx≠k對(duì)于B，∵f∴sinxf∴fx=2sin∵fx在x=-π6處取極值，∴∴fx∴f-x=2sin2x-2對(duì)于C，由B知：f'令f'x=0，解得：x=-則當(dāng)x∈π,7π6時(shí)，f'∴fx在π,7π∴fx在x=7π6對(duì)于D，令t=sinx，則∵gt=2t即fx<4，D故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查采用構(gòu)造函數(shù)的方式來(lái)求解函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠通過(guò)對(duì)已知等式的變形，將其轉(zhuǎn)化為fxsinx的導(dǎo)函數(shù)的形式，進(jìn)而結(jié)合極值定義推導(dǎo)得到函數(shù)2．已知函數(shù)fx=ea?x+lnx+aa∈R，過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作曲線(xiàn)y=fx的切線(xiàn)l，切點(diǎn)為A，過(guò)A且與l垂直的直線(xiàn)lA．e+1,+∞ B．2e,+∞ C【答案】D【分析】先設(shè)出切點(diǎn)x0,fx0，求出f'x0，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出切線(xiàn)l方程，根據(jù)切線(xiàn)l過(guò)原點(diǎn)求出切點(diǎn)坐標(biāo)和直線(xiàn)l的斜率；再根據(jù)已知條件求出直線(xiàn)【詳解】因?yàn)閒x所以f'設(shè)切點(diǎn)A為x0則f'x0所以切線(xiàn)l方程為y=e因?yàn)榍芯€(xiàn)l過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，所以將0,0代入切線(xiàn)方程，整理得lnx0+a-1=0所以fx則點(diǎn)Ae1-a,因?yàn)橹本€(xiàn)l1過(guò)A且與直線(xiàn)l所以kl則直線(xiàn)l1的方程為y=-令y=0，解得x=e所以點(diǎn)B坐標(biāo)為e+2+所以S△OAB因?yàn)閑+2+1eea所以S△OAB故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵在于：先利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解決過(guò)原點(diǎn)的曲線(xiàn)切線(xiàn)方程問(wèn)題；再根據(jù)平面兩直線(xiàn)垂直得出直線(xiàn)l1的方程，進(jìn)而求出點(diǎn)B坐標(biāo)；最后表示出△OAB面積，利用基本不等式求解即可3．（多選）已知定義在R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)f(x)，g(x)，f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，若f'(x)-f(x)=ex，g(x)xA．g(x)=x?2x B．f(x)在C．n∈N*，gn【答案】AC【分析】由f'(x)-f(x)=ex及f(0)=0可得函數(shù)f(x)的解析式，結(jié)合導(dǎo)數(shù)即可判斷B；由g(x)x是指數(shù)函數(shù)及g(1)=2可得g(x)的解析式，可判斷A；由解析式計(jì)算可判斷C；D選項(xiàng)代入后為比較e2與2e的大小關(guān)系，可轉(zhuǎn)化為比較【詳解】由f'(x)-f(x)=e即有f(x)ex'=1，可得又f(0)=0，故c=0，所以f(x)=xe對(duì)于選項(xiàng)A，g(x)x=ax（a>0且a≠1），由故g(x)=x?2x，故對(duì)于選項(xiàng)B，f'(x)=(x+1)ex，當(dāng)故f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減，故對(duì)于選項(xiàng)C，gnln2故gnln2=n