高二月考大題高考真題訓練

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學校：姓名：班級：學號：

一.解答題(共18小題)

Q2

1.ZXABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AABC的面積為一1

3sinA

(1)求sinBsinC；

(2)若6cosBcosC=l,a=3,求aABC的周長.

2.已知a,b,c分別是AABC內(nèi)角A,B,C的對邊，sin2B=2sinAsinC.

(1)若a=b,求cosB；

(II)設B=90。，且a=/，求△ABC的面積.

3.已知｛aj是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且的+<12=6,ara2=a3.

(1)求數(shù)列｛%｝通項公式；

(2)｛bn)為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為Sn，已知S?”產(chǎn)bh”，求數(shù)列—｝

的前n項和Tn.

4.記Sn為等比數(shù)列｛%｝的前n項和.已知良=2,S3=-6.

(1)求｛%｝的通項公式；

(2)求S”,并判斷SMS.?Sn+2是否成等差數(shù)列.

5.如圖，已知四棱臺ABCD-ABCD的上、下底面分別是邊長為3和6的正方形，

AA|=6,且AA」底面ABCD,點P、Q分別在棱DD「BC±.

(1)若P是DP的中點,證明：AB.1PQ；

⑵若PQ〃平面ABBA，二面角P-QD-A的余弦值為寺求四面體ADPQ的體

6.如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃CD,且NBAP=NCDP=90°.

(1)證明：平面PAB_L平面PAD；

(2)若PA=PD=AB=DC,ZAPD=90°，求二面角A-PB-C的余弦值.

7.如圖，已知拋物線x2=y，點A(-工，工)，B(W,2),拋物線上的點P(x,

2424

y)(-1<X<2),過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.

22

(1)求直線AP斜率的取值范圍；

(II)求|PA|"PQ|的最大值.

2

8.設A,B為曲線C：尸工上兩點，A與B的橫坐標之和為4.

4

(1)求直線AB的斜率;

(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMLBM,求直線

AB的方程.

9.已知拋物線C：y2=2px過點P(1,1).過點(0,1)作直線1與拋物線C交

2

于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP、ON交于點A,B,其中

0為原點.

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

(2)求證：A為線段BM的中點.

22再

10.在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：J+Xhl(a>b>0)的離心率為出,

a，b2*42

橢圓C截直線y=l所得線段的長度為2近.

(I)求橢圓C的方程；

(II)動直線1：y=kx+m(mWO)交橢圓C于A,B兩點，交y軸于點M.點N

是M關于0的對稱點，ON的半徑為|NO|.設D為AB的中點，DE,DF與。N分

別相切于點E,F,求NEDF的最小值.

22

11.設橢圓V+J=l(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,離心率為已知

a21b224

A是拋物線y2=2px(p>0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線1的距離為L.

2

(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；

(H)設1上兩點P,Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B(B異于A),

直線BQ與x軸相交于點D.若aAPD的面積為逅，求直線AP的方程.

2

12.在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：(a>b>0)的離心率為退,

a2b22

焦距為2.

(I)求橢圓E的方程.

(II)如圖，動直線1：y=Lx-送交橢圓E于A,B兩點，C是橢圓E上的一點，

2

直線0C的斜率為kz,且kg亞,M是線段0C延長線上一點,K|MC|：|AB|=2：

4

3,G)M的半徑為|MC1,OS,0T是。M的兩條切線，切點分別為S,T,求NS0T

的最大值，并求取得最大值時直線1的斜率.

13.設圓x?+y2+2x-15=0的圓心為A,直線1過點B(l,0)且與x軸不重合，1

交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(1)證明|EA|+|EB|為定值,并寫出點E的軌跡方程；

(II)設點E的軌跡為曲線C”直線1交C于M,N兩點，過B且與1垂直的直

線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

14.已知函數(shù)f(x)=e'cosx-x.

(1)求曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線方程；

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,2口上的最大值和最小值.

2

15.已知函數(shù)f(x)=e"(ex-a)-a2x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)20,求a的取值范圍.

16.已知函數(shù)f(x)=(x-V2^T)e-x(x2L).

2

(1)求f(x)的導函數(shù)；

(2)求f(x)在區(qū)間［工，+8)上的取值范圍.

2

17.已知函數(shù)f(x)=ae2x+(a-2)ex-x.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若f(x)有兩個零點，求a的取值范圍.

18.設a,b￡R,|a|W1.已知函數(shù)f(x)=x3-6x2-3a(a-4)x+b,g(x)=exf

(x).

(I)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(II)已知函數(shù)y=g(x)和y=e*的圖象在公共點

(x0,y0)處有相同的切線，(i)求證：f(x)在x=x。處的導數(shù)等于0；(ii)若

關于x的不等式g(x)We'在區(qū)間x°+l］上恒成立，求b的取值范圍.

高二月考大題高考真題訓練

參考答案與試題解析

一.解答題（共18小題）

1.（2017?新課標I）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AABC

2

的面積為a

3sinA

(1)求sinBsinC；

（2）若6cosBcosOl,a=3,求△ABC的周長.

【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理.

【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；4R：轉(zhuǎn)化法；56：三角函數(shù)的求值；

58：解三角形.

【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式和正弦定理可得答案，

（2）根據(jù)兩角余弦公式可得cosA=l,即可求出A衛(wèi),再根據(jù)正弦定理可得bc=8,

23

根據(jù)余弦定理即可求出b+c,問題得以解決.

【解答】解：（1）由三角形的面積公式可得S&,Bc=UcsinB=上一，

23sinA

?\3csinBsinA=2a,

由正弦定理可得3sinCsinBsinA=2sinA,

VsinA^O,

sinBsinC=—；

3

(2)V6cosBcosC=l,

.*.cosBcosC=—,

6

.\cosBcosC-sinBsinC=—--=—-,

632

cos(B+C)=-—,

2

.*.cosA=—,

2

V0<A<n，

__g_=b=c卻=1=2時,

sinAsinBsinC黃

~2~

.?.sinBsinC=a?工bebc2

2R2R（2我）

/.bc=8,

a2=b2+c2-2bccosA,

/.b2+c2-bc=9,

(b+c)J9+3cb=9+24=33,

/.b+c=V33

，周長a+b+c=3+>/33.

【點評】本題考查了三角形的面積公式和兩角和的余弦公式和誘導公式和正弦定

理余弦定理，考查了學生的運算能力，屬于中檔題.

2.(2015?新課標I)已知a,b,c分別是AABC內(nèi)角A,B,C的對邊,sin?B=2sinAsinC.

(I)若a=b,求cosB；

(II)設B=90°,且a=V2,求4ABC的面積.

【考點】HP：正弦定理；HR：余弦定理.

【專題】58：解三角形.

【分析】(I)sin'B=2sinAsinC,由正弦定理可得：b2=2ac,再利用余弦定理即可

得出.

(II)利用(I)及勾股定理可得c,再利用三角形面積計算公式即可得出.

【解答】解：(I)Vsin2B=2sinAsinC,

由正弦定理可得：a=b=c=1>0,

sinAsinBsinCk

代入可得(bk)~=2akeck,

b2=2ac,

?a=b，??a=2c，

2.122

222aa-a

由余弦定理可得：co余=江+-----------=—

2ac

2ax|a4

(II)由(I)可得：b2=2ac,

?.?B=90°,且2=&,

/.a~+c2=b-2ac,解得a=c=&.

,,SAABC=-^-ac=L

2

【點評】本題考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面積計算公式，考查

了推理能力與計算能力，屬于中檔題.

3.(2017?山東)已知｛aj是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，Kai+a2=6,a,a2=a3.

(1)求數(shù)列｛aj通項公式；

(2)｛b?｝為各項非零的等差數(shù)列，其前n項和為S”已知S"“=bh”，求數(shù)列—｝

an

的前n項和T?.

【考點】8H：數(shù)列遞推式；8E：數(shù)列的求和.

【專題】11：計算題；35：轉(zhuǎn)化思想；49；綜合法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)

列.

【分析】(1)通過首項和公比，聯(lián)立a+a2=6、aia2=a3,可求出ai=q=2,進而利用

等比數(shù)列的通項公式可得結(jié)論；

(2)利用等差數(shù)列的性質(zhì)可知S2n+產(chǎn)(2n+l)b”結(jié)合Sm"=bn利”可知b=2n+l,

進而可知勾=2n+l,利用錯位相減法計算即得結(jié)論.

an2n

【解答】解：(1)記正項等比數(shù)列e｝的公比為q,

因為3|+&2=6ra1a尸a：”

2

所以(1+q)a1=6,qai2=qat,

解得：ai=q=2,

所以3I>=2"；

(2)因為｛bj為各項非零的等差數(shù)列，

所以%產(chǎn)(2n+l)b?H,

又因為S2n*l=bh+i，

bn_2n+l

所以b”=2n+l,

an2n

所以1=3?工+5?與…+(2n+l)?工，

2222n

k方5(2n-1)?」—+(2n+l),—,

232n2n

兩式相減得:LT0=3?[+2(3+±+…+A-)-(2n+l)?

23n

22222

即之*3?g+(X+A-+-L+--?+^--)-(2n+l)?

22222232n-1

i—^7

即T.=3+l+L+L+A_+…+-^)-(2n+l)?匚3+―\——(2n+l)?L

222232"2ni-A-2n

=5_2n+5

2n

【點評】本題考查數(shù)列的通項及前n項和，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，考查錯位相減

法，注意解題方法的積累，屬于中檔題.

4.（2017?新課標I）記S”為等比數(shù)列｛aj的前n項和.已知，=2,S3=-6.

（1）求｛aj的通項公式；

（2）求S0,并判斷Sn”Sn,S/2是否成等差數(shù)列.

【考點】8E：數(shù)列的求和；89：等比數(shù)列的前n項和.

【專題】35：轉(zhuǎn)化思想；4R：轉(zhuǎn)化法；54：等差數(shù)列與等比數(shù)列.

【分析】（1）由題意可知a3=S3-S2=-6-2=-8,a,=a2=-^-=—,由at+a2=2,

qqqq

列方程即可求得q及a“根據(jù)等比數(shù)列通項公式，即可求得｛a0｝的通項公式；

（2）由（1）可知.利用等比數(shù)列前n項和公式，即可求得出，分別求得S向，

S"2,顯然Sm+SnaZS“，貝S"，S3成等差數(shù)列.

【解答】解：⑴設等比數(shù)列｛%｝首項為a“公比為q,

===

則a3=S3-S2=-6-2=-8,則a,:=g,3,2————，

qqqq

由3.]+22=2,/■十二1^2,整理得：q44q+4=0,解得:q=-2,

q2q

則a1=-2,a=(-2)(-2)n-1=(-2)n,

n

{aj的通項公式a.=(-2);

(2)由(1)可知：Sjl(D=-2[l-'-27]=_1讖+(_2)%，

1-q1-(-2)3

則S?H=-L(2+(-2)"),Sn+2=-1(2+(-2)欣)，

33

由Se+S"2=-L(2+(-2)nt2)-X(2+(-2)"3)=-1[4+(-2)X(-2)

333

%(-2)2X+(-2)n+1],

=-X[4+2(-2)"1=2X[-L(2+(-2)向)],

33

=2S“，

=

即Sn+l+Sn+22Sn>

S“，S”+2成等差數(shù)列.

【點評】本題考查等比數(shù)列通項公式，等比數(shù)列前n項和，等差數(shù)列的性質(zhì)，考

查計算能力，屬于中檔題.

5.（2015?湖南）如圖，已知四棱臺ABCD-ABCD的上、下底面分別是邊長為3

和6的正方形，AA尸6,且AA」底面ABCD,點P、Q分別在棱DD'BC±.

（1）若P是DD的中點，證明：AB.1PQ；

（2）若PQ〃平面ABBA，二面角P-QD-A的余弦值為3,求四面體ADPQ的體

7

積.

【考點】MT：二面角的平面角及求法；LX：直線與平面垂直的性質(zhì).

【專題】5F：空間位置關系與距離；5G：空間角；5H：空間向量及應用.

【分析】（1）首先以A為原點，AB,AD,AAi所在直線分別為x,y,z軸，建立

空間直角坐標系，求出一些點的坐標，Q在棱BC上，從而可設Q(6,y“0),

只需求可?而=0即可；

(2)設P(0,y2,z2),根據(jù)P在棱DDi上，從而由而=入可即可得到Z2=12-

2y2,從而表示點P坐標為P(0,y2,12-2y2).由PQ〃平面ABBA便知道而與

平面ABBA的法向量垂直，從而得出y尸丫2，從而Q點坐標變成Q(6,y2.0),

，—，，?

設平面PQD的法向量為；=(x,y,2)，根據(jù)「不加即可表示三二(空2,〉

,n*DQ=0

平面AQD的一個法向量為再，從而由cos<],而〉號即可求出丫2,從而得

出P點坐標，從而求出三棱錐P-AQD的高，而四面體ADPQ的體積等于三棱錐P

-AQD的體積，從而求出四面體的體積.

【解答】解：根據(jù)已知條件知AB,AD,AAi三直線兩兩垂直，所以分別以這三直

線為x,y,z軸，建立如圖所示空間直角坐標系，則：

A(0,0,0),B(6,0,0),D(0,6,0),A,(0,0,6),B,(3,0,6),D,

(0,3,6)；

Q在棱BC上，設Q(6,力，0),0W%W6；

/.(1)證明：若P是DDi的中點，則P(0,1,3)；

PQ=(6,丫1得，-3)，AB；=(3,0,6)；

'PQ=0;

AAF[1PQ;

AAB.IPQ；

(2)設P(0,y2,z2),y2,z2G[0,6],P在棱D?上；

DP=XDD7，入Wl；

...(0,y2-6,z2)=x(o,-3,6)；

.y2-6=-3入

入

ZJ2=6

/.Z2=12-2y2；

：.P(0,y2,12-2y2)；

PQ=(6,丫［-丫2，2y廣12)；

平面ABBA的一個法向量為通=(o,6,0)；

???PQ〃平面ABB,A.；

PQ*AD=6(y,-y2)=0；

.,.yi=y2；

/.Q(6,y2>0)；

設平面PQD的法向量為；=(x,y,z)，則：

n-PQ=6x+(2y2-12)z=0

1______、；

n-DQ=6x+(y2-6)y=0

6-y26_

.,Jx:3z,取z=l,則②，2,1);

,y=2z

又平面AQD的一?個法向量為m^=(O,0,6)；

又二面角P-QD-A的余弦值為W；

7

Acos<n.

解得y?=4,或y2=8（舍去）;

Z.P(0,4,4)；

二三棱錐P-ADQ的高為4,且s極3x6X6=18；

V四面體M>PQ=V三棱椎P-M）Q=；，18?4=24.

J

【點評】考查建立空間直角坐標系，利用空間向量解決異面直線垂直及線面角問

題的方法，共線向量基本定理，直線和平面平行時，直線和平面法向量的關系,

平面法向量的概念，以及兩平面法向量的夾角和平面二面角大小的關系，三棱錐

的體積公式.

6.（2017?新課標I）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB〃CD,且NBAP=NCDP=90°.

(1)證明：平面PAB,平面PAD；

，求二面角A-PB-C的余弦值.

【考點】MT：二面角的平面角及求法；LY：平面與平面垂直的判定.

【專題】15：綜合題；31：數(shù)形結(jié)合；41：向量法；5G：空間角.

【分析】(1)由已知可得PALAB,PD±CD,再由AB〃CD,得AB_LPD,利用線面

垂直的判定可得AB_L平面PAD,進一步得到平面PAB_L平面PAD；

(2)由已知可得四邊形ABCD為平行四邊形，由(1)知AB_L平面PAD,得到AB

±AD,則四邊形ABCD為矩形，設PA=AB=2a,則AD=2&a.取AD中點0,BC中

點E,連接P0、0E,以0為坐標原點，分別以0A、0E、0P所在直線為x、y、z

軸建立空間直角坐標系，求出平面PBC的一個法向量，再證明PD_L平面PAB,得

而為平面PAB的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角A-PB-C

的余弦值.

【解答】(1)證明：VZBAP=ZCDP=90°,APA1AB,PD±CD,

VAB/7CD,AABIPD,

又?.?PAAPD=P,且PAu平面PAD,PDu平面PAD,

；.ABJ_平面PAD,又ABu平面PAB,

平面PAB_L平面PAD；

(2)解:VAB/7CD,AB=CD,四邊形ABCD為平行四邊形,

由(1)知AB_L平面PAD,...AB，AD,則四邊形ABCD為矩形,

在4APD中，由PA=PD,ZAPD=90°,可得4PAD為等腰直角三角形，

設PA=AB=2a,則AD=2亞a.

取AD中點0,BC中點E,連接P0、0E,

以0為坐標原點，分別以0A、0E、0P所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標

系，

則：D(-V23，0,0),B(&a,2a,0),p(o,0,近a),C()&，2a,0).

PD=(-V2a?0，-&aAPB=(aa,2a,-&a)，BC=(-2&a,0,0)-

設平面PBC的一個法向量為岸(x,y,z)，

由付舸'&ax+2ay-V2az=0

得取y=l,得U(C,1.V2),

n-BC=Ok-2V2ax=0

?.?AB,平面PAD,ADu平面PAD,.\AB±PD,

又PDJ_PA,PAAAB=A,

...PDL平面PAB,則向為平面PAB的一個法向量，而=(Sa,0,-&a>

cosV而，->_PD?n_-2，_

n|PD||nr2aX73="

由圖可知，二面角A-PB-C為鈍角,

...二面角A-PB-C的余弦值為，③.

y

【點評】本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練

了利用空間向量求二面角的平面角，是中檔題.

7.(2017?浙江)如圖，已知拋物線x?=y,點A(-工，上)，B(昌，9),拋物線

2424

上的點P(x,y)(-LvxvW),過點B作直線AP的垂線，垂足為Q.

22

(I)求直線AP斜率的取值范圍；

(II)求『PA|?|PQ|的最大值.

【考點】K0：圓錐曲線的最值問題；KN：直線與拋物線的位置關系.

【專題】11：計算題；33：函數(shù)思想；49；綜合法；5E：圓錐曲線中的最值

與范圍問題.

【分析】(I)通過點P在拋物線上可設P(x,x2),利用斜率公式結(jié)合-Lvx

2

〈工可得結(jié)論；

2

(II)通過(I)知P(x,X2),-1<X<1,設直線AP的斜率為k,聯(lián)立直線

22

AP.BQ方程可知Q點坐標，進而可用k表示出閑、血，計算可知|PAI-|PQ|=(l+k)

3(1-k),通過令f(x)=(1+x)3(1-x),-1<X<1,求導結(jié)合單調(diào)性可得

結(jié)論.

【解答】解：(I)由題可知P(x,x2),4VXV*

22

21

X

所以ki'=--------=x-—G(-1,1)>

AxJ2

故直線AP斜率的取值范圍是：(-1,1)；

(II)由(I)知P(x,x2),-LvxvW,

22

所以PA=(---x,--x2),

24

設直線AP的斜率為k,則AP：y=kx+^k+LBQ：y=-Lx+d+幺

24k2k4

22

聯(lián)立直線AP、BQ方程可知Q(3+4,-k,里坐+1p

2k2+24k2+4

2

故曲(i+k-k-k\

1+k21+k2

又因為PA=(-1-k,-k'-k),

故-|PA|?|PQ|=證?而=(1"+《2。粒)汐1)=(1+k)：，(k-1),

1+k21+k2

所以IPAHPQU(l+k)34(1-k),

令f(x)=(1+x)3(1-X),-1<X<1,

貝ijf'(x)=(1+x)2(2-4x)=-2(1+x)2(2x-1),

由于當-IVxvL時f'(x)>0,當工VxVl時f'(x)<0,

22

故f(x)MX=f(1)=21,即|PA|?|PQ|的最大值為21.

21616

【點評】本題考查圓錐曲線的最值問題，考查運算求解能力，考查函數(shù)思想，注

意解題方法的積累，屬于中檔題.

2

8.(2017?新課標I)設八，B為曲線C：y=2一上兩點，A與B的橫坐標之和為4.

4

(1)求直線AB的斜率；

(2)設M為曲線C上一點，C在M處的切線與直線AB平行，且AMLBM,求直線

AB的方程.

【考點】KN：直線與拋物線的位置關系；13：直線的斜率.

【專題】34：方程思想；48：分析法；5B：直線與圓；5D：圓錐曲線的定義、

性質(zhì)與方程.

22

【分析】（1）設A（X”3一）,B（X2,上一），運用直線的斜率公式，結(jié)合條件，

44

即可得到所求；

22

（2）設M（m,互求出y=J3勺導數(shù)，可得切線的斜率，由兩直線平行的條

44

件：斜率相等，可得m,即有M的坐標，再由兩直線垂直的條件：斜率之積為-

2

1,可得x”制的關系式，再由直線AB：y=x+t與y=2-聯(lián)立，運用韋達定理，即

4

可得到t的方程，解得t的值，即可得到所求直線方程.

22

【解答】解：（1）設A（x“&_）,B（X2,^2_）為曲線C：y=H2_上兩點，

444

則直線AB的斜率為k=4——LL（x,+x2）=1X4=1；

x「X244

2

（2）設直線AB的方程為y=x+t,代入曲線C：y=2_,

4

可得x2-4x-4t=0,即有XI+X2=4,XIX2=-4t,

21

再由y=2L一的導數(shù)為y，=Lx,

42

2,

設M（m,工!_）,可得M處切線的斜率為工m,

42

由C在M處的切線與直線AB平行，可得Ln=l,

2

解得m=2,即M（2,I）,

由AM_LBM可得,k^kB產(chǎn)-1,

22

x

—X]21

即為^4°--1，

x1一2x2-2

化為XIX2+2（Xi+x2）+20=0,

即為-4t+8+20=0,

解得t=7.

則直線AB的方程為y=x+7.

【點評】本題考查直線與拋物線的位置關系，注意聯(lián)立直線方程和拋物線的方程,

運用韋達定理，考查直線的斜率公式的運用，以及化簡整理的運算能力，屬于中

檔題.

9.(2017?北京)已知拋物線C：y?=2px過點P(1,1).過點(0,1)作直線1

2

與拋物線C交于不同的兩點M,N,過點M作x軸的垂線分別與直線OP、0N交于

點A,B,其中0為原點.

(1)求拋物線C的方程，并求其焦點坐標和準線方程；

(2)求證：A為線段BM的中點.

【考點】K8：拋物線的簡單性質(zhì)；KN：直線與拋物線的位置關系.

【專題】11：計算題；34：方程思想；44：數(shù)形結(jié)合法；5D：圓錐曲線的定

義、性質(zhì)與方程.

【分析】(1)根據(jù)拋物線過點P(l，1).代值求出p,即可求出拋物線C的方程，

焦點坐標和準線方程；

(2)設過點(0,—)的直線方程為y=kx+工，M(X1,y(),N(x2,y2),根據(jù)韋

22

達定理得到X|+X2以*,x,x2=1根據(jù)中點的定義即可證明.

kZ4k2

【解答】解：(1)???y2=2px過點P(1,1),

.*.l=2p,

解得P=￡,

/.y2=x,

...焦點坐標為(工，0),準線為X=-L,

44

(2)證明：設過點(0,1)的直線方程為

2

y=kx+—,M(X|,y,),N(x2,y2)?

2

直線0P的y=x,直線ON為：y=^-x,

x2

由題意知A(xi,Xi),B(X”、1丫2),

x2

y-nA'1

由I2,可得k、2+(k-1)x+L=O,

24

\y=x

/.X1+X2=——>X1X2=~

k24k2

]—

x.yix,(kx+y).+xk2、

yi+---^?=kxi+—+-------2---=2kxi+―x=----2=2kxi+------z-----=2kx1+(1-k)

x

22X22X22：<—5—

4k，[

?2xi=2x1,

；.A為線段BM的中點.

【點評】本題考查了拋物線的簡單性質(zhì)，以及直線和拋物線的關系，靈活利用韋

達定理和中點的定義，屬于中檔題.

22

10.(2017?山東)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：3T+4=1(a>b>0)

ab

的離心率為返，橢圓C截直線y=l所得線段的長度為2班.

2

(I)求橢圓C的方程；

(II)動直線1：y=kx+m(mWO)交橢圓C于A,B兩點，交y軸于點M.點N

是M關于0的對稱點，(DN的半徑為|N0].設D為AB的中點，DE,DF與G)N分

別相切于點E,F,求NEDF的最小值.

X

A

【考點】KO：圓錐曲線的最值問題；K3：橢圓的標準方程.

【分析】（I）首先根據(jù)題中信息可得橢圓C過點（血,1）,然后結(jié)合離心率可

得橢圓方程；

（II）可將題目所求角度的最小值轉(zhuǎn)化為求角度正弦的最小值，結(jié)合題目信息可

求得D、N坐標及。N半徑，進而將DN長度表示出來，可求NEDF最小值.

【解答】解：（I）?.?橢圓C的離心率為經(jīng)，

2,21

*2*4

a=2b\

?.?橢圓C截直線y=l所得線段的長度為2a,

橢圓C過點（企，I）,

.?.￡=2,a=4,

22

橢圓C的方程為2-+。=I.

42

(II)設A,B的橫坐標為X”xz，

則A(X),kxi+m),B(x2>kx2+m),

22

xy

聯(lián)立,丁+丁=1可得(1+2產(chǎn))x2+，

、尸kx+m

.?.X]+X2=-_4軻

l+2k2

AD(-2km,—SL—),

l+2k2l+2k2

VM(0,m),則N(0,-m),

的半徑為|m|,

NV溫E+口)

設NEDF=a,

2

-a-EN-ON_______5!________M2k/

242

DNDN-^Mk4+3k2+12/k+3k+l

1+2/

Z：-J+2k2則，ak(4k2±l)______,

2Vk4+3k2+l2Vk4+3k2+l(k4+3k2+l)

當k=0時，sinW取得最小值，最小值為工.

22

...NEDF的最小值是60°.

【點評】本題考查圓錐曲線的最值問題，重要的是能將角度的最小值進行轉(zhuǎn)化求

解.

22

11.(2017?天津)設橢圓弓+勺1(a>b>0)的左焦點為F,右頂點為A,離

a2b2

心率為工.已知A是拋物線y、2px(p>0)的焦點，F(xiàn)到拋物線的準線1的距離

2

為L

2

(I)求橢圓的方程和拋物線的方程；

(H)設1上兩點P,Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B(B異于A),

直線BQ與x軸相交于點D.若4APD的面積為返，求直線AP的方程.

2

【考點】KI：圓錐曲線的綜合；K3：橢圓的標準方程；K7：拋物線的標準方程;

KL：直線與橢圓的位置關系.

【專題】38：對應思想；49：綜合法；5D：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

【分析】(I)根據(jù)橢圓和拋物線的定義、性質(zhì)列方程組求出a,b,p即可得出方

程；

（II）設AP方程為x=my+l,聯(lián)立方程組得出B,P,Q三點坐標，從而得出直線

BQ的方程，解出D點坐標，根據(jù)三角形的面積列方程解出m即可得出答案.

【解答】（I）解：設F的坐標為（-c,0）.

c__l_

7^2

依題意可得嶗，

1

解得a=l,cp=2,b2=a2-c2=—.

24

.2

所以，橢圓的方程為小警辦拋物線的方程為片X.

(II)解：直線1的方程為x=-l,設直線AP的方程為x=my+l(mWO),

聯(lián)立方程組,解得點P(-l,-2),故Q(-l,2).

(x=my+lmm

x=iuy+l

聯(lián)立方程組，。4V2,消去x,整理得(3m2+4)y2+6my=0,解得y=0,或y=

b+i-=i

_6m

3m?+4

?B(Tm2+q6m)

3m2+43m^+4

2

.??直線BQ的方程為(二15--2)(x+1)-(T：+4+I)(y-Z)=o,

3U2+4m3m2+4m

22

令y=0，解得x=2；m,故D(N.m,0).

3m+23m^+2

.?.|AD|=-23m2=61p2

3m2+23m2+2

又???△APD的面積為返，/.lx^Lx2=V6；

223m2+2hl2

整理得3m2-2巡|m|+2=0,解得牌|=返，.?.m=±?

33

，直線AP的方程為3x+旄y-3=0,或3x-泥y-3=0.

【點評】本題考查了橢圓與拋物線的定義與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關系，屬于

中檔題.

22

12.(2017?山東)在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：二■+J=1(a>b>0)的

a2b2

離心率為返，焦距為2.

2

(I)求橢圓E的方程.

(H)如圖，動直線1：y=Lx-亨交橢圓E于A,B兩點，C是橢圓E上的一點，

直線0C的斜率為kz,且kR=返，M是線段0C延長線上一點，且|MC|：|AB|=2：

4

3,。11的半徑為|MC|,OS,0T是。M的兩條切線，切點分別為S,T,求NS0T

的最大值，并求取得最大值時直線1的斜率.

【考點】KL：直線與橢圓的位置關系.

【專題】16：壓軸題；34：方程思想；4A：數(shù)學模型法；5D：圓錐曲線的定

義、性質(zhì)與方程.

【分析】(I)由題意得關于a,b,c的方程組，求解方程組得a,b的值，則橢

圓方程可求;

(H)設A(x,,y,),B(x2,y2),聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用根與系數(shù)的

關系求得A,B的橫坐標的和與積，由弦長公式求得|AB1,由題意可知圓M的半

徑r，則用網(wǎng)舉汕學匚由題意設知得到直線0C

33l+2kj24kl

的方程，與橢圓方程聯(lián)立，求得C點坐標，可得|0。，由題意可知,sinNS0T=

2

1

轉(zhuǎn)化為關于L的函數(shù)，換元后利用配方法求得NSOT的最大

川8|-]回.

r

值為2L,取得最大值時直線1的斜率為k產(chǎn)士率.

\=V2

a2

【解答】解：（I）由題意知,2c=2,解得a=如，b=l.

2.2.2

(a-bK+c

20

?,?橢圓E的方程為工-+丫2口；

2J

（II）設A（X）,yi）,B（X2,y2）,

x22

-2-+y2=i

聯(lián)立如，得(4k[2+2)x2-4V^kiX-l=0?

尸k[X-y

由題意得△=64k〔2+8>。-

25kl1

Xi<-X=------o—，X.X?=

z22k,2+l，2(2k/+i)

.I-------2IIrJl+kJJ1+8k/

/.|AB=寸.1+比2|X1-X2l=V2——2-

X?oK?

由題意可知圓M的半徑r為

r_2I4R12&M?Jl+8k/

r-彳|AB|=~^-----------------o-------

33l+2kj

由題意設知，kik?二乎，，管=；：，

因此直線OC的方程為產(chǎn)亞x-

4kl

8k[2

21

聯(lián)立＜y=-----------2

l+4kj2l+4k/

l+8k/

因此，|OCI=A/x2+y2

l+4kj2

由題意可知，sin仝L一

令t=l+2k[2，則t>l，ge（0,1）,

I明3t廠131、,

因此,

"272t2+i2/+士-

當且僅當工=1,即t=2時等式成立，此時女尸+返?

t2Ki-2

?./SOT/I用什/SOT,兀

??S1廣^-＜巨，因此一一《了

/.ZSOT的最大值為2L.

3

綜上所述：NS0T的最大值為工,取得最大值時直線1的斜率為k產(chǎn)士手.

【點評】本題考查直線與圓、圓與橢圓位置關系的應用，訓練了利用配方法求函

數(shù)的最值，考查計算能力，是壓軸題.

13.(2016?新課標I)設圓x?+y2+2x-15=0的圓心為A,直線1過點B(1,0)

且與x軸不重合，1交圓A于C,D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

(I)證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；

（II）設點E的軌跡為曲線a，直線1交c于M,N兩點，過B且與1垂直的直

線與圓A交于P,Q兩點，求四邊形MPNQ面積的取值范圍.

【考點】KL：直線與橢圓的位置關系；J2：圓的一般方程.

【專題】34：方程思想；48：分析法；5B：直線與圓；5D：圓錐曲線的定義、

性質(zhì)與方程.

【分析】（I）求得圓A的圓心和半徑，運用直線平行的性質(zhì)和等腰三角形的性

質(zhì)，可得EB=ED,再由圓的定義和橢圓的定義，可得E的軌跡為以A,B為焦點

的橢圓，求得a,b,c,即可得到所求軌跡方程；

（11）設直線1：x=my+l,代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，可得|MN|,

由PQ_L1,設PQ：y=-m（x-1）,求得A到PQ的距離，再由圓的弦長公式可得

|PQ1,再由四邊形的面積公式，化簡整理，運用不等式的性質(zhì)，即可得到所求范

圍.

【解答】解：（I）證明:圓x2+y2+2x-15=0即為（x+1）2+y2=16,

可得圓心A（-1,0）,半徑r=4,

由BE〃AC,可得NC=NEBD,

由AC=AD,可得ND=NC,

即為ND=NEBD,即有EB=ED,

則|EA|+|EB.HEA|+|ED|WAD|=4,

故E的軌跡為以A,B為焦點的橢圓，

且有2a=4,即a=2,c=l,b=5J^2Z^2=-73?

22

則點E的軌跡方程為工■+工~=1（yWO）；

43

（II）橢圓Ci：—+^—=1,設直線1：x=my+l,

43

由PQJ_1,設PQ：y=-m（x-1）,

由《可得（3m-+4）y+6my-9=0,

2

k3x+4y=12

設M（Xi,yi）,N（X2,丫2），

可.得yi+y2=-―粵一，yiy2=—-1—，

3ID2+43mZf4

則四邊形MPNQ面積為S=X|PQHMNI=工?坤K+4.

2271773m2+4

=24*yi+n)2--24

Y3m2+4

當m=0時，S取得最小值12,又_\>0,可得SV24?返=843

1+m23

即有四邊形MPNQ面積的取值范圍是［12,86).

【點評】本題考查軌跡方程的求法，注意運用橢圓和圓的定義，考查直線和橢圓

方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，以及直線和圓相交的弦長公式，考查不等

式的性質(zhì)，屬于中檔題.

14.(2017?北京)已知函數(shù)f(x)=excosx-x.

(1)求曲線y二f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;

(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,工］上的最大值和最小值.

2

【考點】6E：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；6H：利用導數(shù)研究曲線上某點切

線方程.

【專題】34：方程思想；48：分析法；53：導數(shù)的綜合應用.

【分析】(1)求出f(x)的導數(shù)，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程即可

得到所求方程；

(2)求出f(x)的導數(shù)，再令g(x)=f'(x),求出g(x)的導數(shù)，可得g

(x)在區(qū)間［0,工］的單調(diào)性，即可得到f(x)的單調(diào)性，進而得到f(x)的

2

最值.

【解答】解：(1)函數(shù)f(x)=excosx-x的導數(shù)為f'(x)=ex(cosx-sinx)

-1,

可得曲線y=f(x)在點(0,f(0))處的切線斜率為k=e°(cosO-sinO)-1=0,

切點為(0,e°cos0-0),即為(0,1),