導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與相關(guān)定理

匯報(bào)人:XX2024-01-26導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用與相關(guān)定理目錄CONTENCT導(dǎo)數(shù)的基本概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)在曲線形狀描述中的應(yīng)用相關(guān)定理及其證明01導(dǎo)數(shù)的基本概念與性質(zhì)導(dǎo)數(shù)的定義導(dǎo)數(shù)的幾何意義導(dǎo)數(shù)的定義及幾何意義設(shè)函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量$x$在$x_0$處取得增量$Deltax$（點(diǎn)$x_0+Deltax$仍在該鄰域內(nèi)）時(shí)，相應(yīng)地函數(shù)取得增量$Deltay=f(x_0+Deltax)-f(x_0)$；如果$Deltay$與$Deltax$之比當(dāng)$Deltaxto0$時(shí)極限存在，則稱函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，并稱這個(gè)極限為函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)，記作$f'(x_0)$。函數(shù)$y=f(x)$在點(diǎn)$x_0$處的導(dǎo)數(shù)$f'(x_0)$在幾何上表示曲線$y=f(x)$在點(diǎn)$(x_0,f(x_0))$處的切線的斜率。可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系可導(dǎo)必連續(xù)如果函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必定連續(xù)。連續(xù)不一定可導(dǎo)即使函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，也不一定在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如，函數(shù)$y=|x|$在$x=0$處連續(xù)但不可導(dǎo)。加法法則$(u+v)'=u'+v'$減法法則$(u-v)'=u'-v'$乘法法則$(uv)'=u'v+uv'$除法法則$left(frac{u}{v}right)'=frac{u'v-uv'}{v^2}$（其中$vneq0$）導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則02導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性中的應(yīng)用根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義，通過比較函數(shù)值的大小關(guān)系來判斷函數(shù)的單調(diào)性。定義法通過求導(dǎo)并判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。導(dǎo)數(shù)法函數(shù)單調(diào)性的判定方法求導(dǎo)判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)確定單調(diào)區(qū)間首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。通過導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性。如果導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)增加；如果導(dǎo)數(shù)小于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)減少。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)在各個(gè)區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性例題1判斷函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$在區(qū)間$(-infty,+infty)$內(nèi)的單調(diào)性。解首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，然后判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)。當(dāng)$x<0$或$x>2$時(shí)，$f'(x)>0$，因此函數(shù)在$(-infty,0)$和$(2,+infty)$內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)$0<x<2$時(shí)，$f'(x)<0$，因此函數(shù)在$(0,2)$內(nèi)單調(diào)減少。例題2判斷函數(shù)$g(x)=sinx+cosx$在區(qū)間$[0,pi]$內(nèi)的單調(diào)性。解首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)$g'(x)=cosx-sinx$，然后判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)。當(dāng)$0leqx<frac{pi}{4}$時(shí)，$g'(x)>0$，因此函數(shù)在$[0,frac{pi}{4}]$內(nèi)單調(diào)增加；當(dāng)$frac{pi}{4}<xleqpi$時(shí)，$g'(x)<0$，因此函數(shù)在$(frac{pi}{4},pi]$內(nèi)單調(diào)減少。典型例題分析03導(dǎo)數(shù)在函數(shù)極值中的應(yīng)用設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$的某鄰域$U(x_0)$內(nèi)有定義。如果對(duì)于去心鄰域$dot{U}(x_0)$內(nèi)的任一$x$，有$f(x)<f(x_0)$（或$f(x)>f(x_0)$），那么就稱$f(x_0)$是函數(shù)$f(x)$的一個(gè)極大值（或極小值）。極值點(diǎn)處函數(shù)值異于附近函數(shù)值；極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)為零或不存在；極值點(diǎn)處函數(shù)單調(diào)性改變。函數(shù)極值的定義及性質(zhì)函數(shù)極值的性質(zhì)函數(shù)極值的定義首先求出函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$。求導(dǎo)數(shù)解方程判斷單調(diào)性計(jì)算極值令$f'(x)=0$，解出所有可能的極值點(diǎn)$x_1,x_2,ldots,x_n$。在每個(gè)極值點(diǎn)的左右兩側(cè)分別判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而確定該點(diǎn)是極大值點(diǎn)還是極小值點(diǎn)。將極值點(diǎn)代入原函數(shù)，求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，即為函數(shù)的極大值或極小值。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法例題1求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的極值。首先求出導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-6x$，然后令$f'(x)=0$解得$x=0$或$x=2$。接著判斷單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)$f(x)$在$(-infty,0)$上遞增，在$(0,2)$上遞減，在$(2,+infty)$上遞增，因此$x=0$是極大值點(diǎn)，$x=2$是極小值點(diǎn)。最后代入原函數(shù)求出極值，得極大值為$f(0)=4$，極小值為$f(2)=0$。求函數(shù)$f(x)=(x-1)^2(x-3)$的極值。首先求出導(dǎo)數(shù)$f'(x)=3x^2-10x+9$，然后令$f'(x)=0$解得$x=1$或$x=3$。接著判斷單調(diào)性，發(fā)現(xiàn)$f(x)$在$(-infty,1)$上遞增，在$(1,3)$上遞減，在$(3,+infty)$上遞增，因此$x=1$是極大值點(diǎn)，$x=3$是極小值點(diǎn)。最后代入原函數(shù)求出極值，得極大值為$f(1)=4$，極小值為$f(3)=0$。解題思路例題2解題思路典型例題分析04導(dǎo)數(shù)在曲線形狀描述中的應(yīng)用80%80%100%曲線的凹凸性與拐點(diǎn)通過二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷曲線的凹凸性，若在某區(qū)間內(nèi)二階導(dǎo)數(shù)大于0，則曲線在該區(qū)間內(nèi)為凹；若小于0，則為凸。拐點(diǎn)是曲線凹凸性發(fā)生改變的點(diǎn)，即二階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處改變符號(hào)。若函數(shù)在某點(diǎn)的左右兩側(cè)二階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則該點(diǎn)為拐點(diǎn)。凹凸性的定義拐點(diǎn)的定義拐點(diǎn)的判定單調(diào)性的判定極值的判定曲線形狀的判定利用導(dǎo)數(shù)研究曲線形狀若函數(shù)在某點(diǎn)的左右兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則該點(diǎn)為函數(shù)的極值點(diǎn)。進(jìn)一步地，若在該點(diǎn)處二階導(dǎo)數(shù)大于0，則為極小值點(diǎn)；若小于0，則為極大值點(diǎn)。結(jié)合一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)的信息，可以判斷曲線的形狀，如上升、下降、凹、凸等。通過一階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的單調(diào)性，若在某區(qū)間內(nèi)一階導(dǎo)數(shù)大于0，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若小于0，則單調(diào)遞減。求函數(shù)$f(x)=x^3-3x^2+4$的單調(diào)區(qū)間和極值點(diǎn)。例題1判斷函數(shù)$g(x)=x^4-4x^3+6x^2$的凹凸性并找出拐點(diǎn)。例題2分析函數(shù)$h(x)=sin(x)+cos(x)$在$[0,2pi]$區(qū)間內(nèi)的曲線形狀。例題3典型例題分析05相關(guān)定理及其證明費(fèi)馬引理：設(shè)函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$x_0$處可導(dǎo)，且$x_0$為$f(x)$的極值點(diǎn)，則$f'(x_0)=0$。證明假設(shè)$x_0$為$f(x)$的極大值點(diǎn)，則存在$delta>0$，當(dāng)$xin(x_0-delta,x_0)$時(shí)，$f(x)leqf(x_0)$；當(dāng)$xin(x_0,x_0+delta)$時(shí)，$f(x)leqf(x_0)$。根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，有$lim_{{xtox_0^-}}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}geq0$和$lim_{{xtox_0^+}}frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}leq0$。由于$f(x)$在$x_0$處可導(dǎo)，故左右導(dǎo)數(shù)相等，即$f'(x_0)=0$。0102030405費(fèi)馬引理及其證明0102030405羅爾定理：如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且$f(a)=f(b)$，則至少存在一點(diǎn)$cin(a,b)$，使得$f'(c)=0$。證明由于$f(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，根據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，$f(x)$在$[a,b]$上存在最大值和最小值。因?yàn)?f(a)=f(b)$，所以最大值和最小值至少有一個(gè)在$(a,b)$內(nèi)取得。設(shè)最大值或最小值在點(diǎn)$cin(a,b)$處取得，根據(jù)費(fèi)馬引理，有$f'(c)=0$。羅爾定理及其證明010405060302拉格朗日中值定理：如果函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則至少存在一點(diǎn)$cin(a,b)$，使得$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。證明構(gòu)造輔助函數(shù)$g(x)=f(x)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}x$。易證$g(a)=g(b)$，且$g(x)$在$[a,b]$上連續(xù)，在$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)。根據(jù)羅爾定理，存在一點(diǎn)$cin(a,b)$，使得$g'(c)=0$。計(jì)算得$g'(c)=f'(c)-frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，故$f'(c)=frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。拉格朗日中值定理及其證明柯西中值定理及其證明柯西中值定理：如果函數(shù)$f(x)$和$g(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，且對(duì)于所有$x\in(a,b)$，有$g'(x)eq0$，則存在一點(diǎn)$c\in(a,b)$，使得$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}$。010203證明構(gòu)造輔助函數(shù)$F(x)=[f(b)-f(a)]g(x)-[g(b)-g(a)]f(