數(shù)列通項公式的求法j

數(shù)列通項公式的求法陳勁松數(shù)列是高考中的重點內(nèi)容之一，每年的高考題都會考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式——通項公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項公式的常用方法。一、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項②若已知數(shù)列的前項和與的關系，求數(shù)列的通項可用公式求解.(注意：求完后一定要考慮合并通項)例1．①已知數(shù)列的前項和滿足．求數(shù)列的通項公式.②已知數(shù)列的前項和滿足，求數(shù)列的通項公式.③已知等比數(shù)列的首項，公比，設數(shù)列的通項為，求數(shù)列的通項公式。③解析：由題意，，又是等比數(shù)列，公比為∴，故數(shù)列是等比數(shù)列，，∴二、累加（乘）法對于形如型或形如型的數(shù)列，我們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時的所有的遞推關系式，然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項公式。例2.若在數(shù)列中，，，求通項。解析：由得，所以，，…，，將以上各式相加得：，又所以=在數(shù)列中，，（），求通項。解析：由已知，，，…，，又，所以=…=…=三、取倒（對）數(shù)法a、這種類型一般是等式兩邊取對數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解b、數(shù)列有形如的關系，可在等式兩邊同乘以先求出c、解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例3.．設數(shù)列滿足求解：原條件變形為兩邊同乘以得.∵∴例4、設正項數(shù)列滿足，（n≥2）.求數(shù)列的通項公式.解：兩邊取對數(shù)得：，，設，則是以2為公比的等比數(shù)列，.，，，∴變式:1.已知數(shù)列｛an｝滿足：a1＝，且an＝求數(shù)列｛an｝的通項公式；證明：對于一切正整數(shù)n，不等式a1a2……an22、若數(shù)列的遞推公式為，則求這個數(shù)列的通項公式。3、已知數(shù)列{}滿足時，，求通項公式。4、已知數(shù)列｛an｝滿足：，求數(shù)列｛an｝的通項公式。5、若數(shù)列｛a｝中，a=1，a=n∈N，求通項a．四、待定系數(shù)法：求數(shù)列通項公式方法靈活多樣，特別是對于給定的遞推關系求通項公式，觀察、分析、推理能力要求較高。通?？蓪f推式變換，轉(zhuǎn)化成特殊數(shù)列（等差或等比數(shù)列）來求解，該方法體現(xiàn)了數(shù)學中化未知為已知的化歸思想，運用待定系數(shù)法變換遞推式中的常數(shù)就是一種重要的轉(zhuǎn)化方法。1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列{a+k}的形式求解。一般地，形如a=pa+q（p≠1，pq≠0）型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對常數(shù)q分解法：設a+k=p（a+k）與原式比較系數(shù)可得pk－k=q，即k=，從而得等比數(shù)列{a+k}。例5、數(shù)列{a}滿足a=1，a=a+1（n≥2），求數(shù)列{a}的通項公式。解：由a=a+1（n≥2）得a－2=（a－2），而a－2=1－2=－1，∴數(shù)列{a－2}是以為公比，－1為首項的等比數(shù)列∴a－2=－（）∴a=2－（）說明：通過對常數(shù)1的分解，進行適當組合，可得等比數(shù)列{a－2}，從而達到解決問題的目的。練習、1數(shù)列{a}滿足a=1，,求數(shù)列{a}的通項公式。解：由得設a，比較系數(shù)得解得∴{}是以為公比，以為首項的等比數(shù)列∴2、已知數(shù)列滿足，且，求．解：設，則，是以為首項,以3為公比的等比數(shù)列點評：求遞推式形如（p、q為常數(shù)）的數(shù)列通項，可用迭代法或待定系數(shù)法構(gòu)造新數(shù)列來求得,也可用“歸納—猜想—證明”法來求，這也是近年高考考得很多的一種題型．2、遞推式為（p、q為常數(shù)）時，可同除，得，令從而化歸為（p、q為常數(shù)）型．、例6．已知數(shù)列滿足，，求．解：將兩邊同除，得設，則．令．條件可化成，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．因,．3、形如解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例7:設數(shù)列：，求.解：令化簡得：所以解得，所以又因為，所以數(shù)列是以5為首項，3為公比的等比數(shù)列。從而可得變式:（2006，山東,文,22,本小題滿分14分）已知數(shù)列｛｝中，在直線y=x上，其中n=1,2,3…(Ⅰ)令(Ⅱ)求數(shù)列4、形如解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令，與已知遞推式比較，解出,z.從而轉(zhuǎn)化為是公比為的等比數(shù)列。例8:設數(shù)列：，求.5.遞推公式為（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為其中s，t滿足解法二(特征根法)：對于由遞推公式，給出的數(shù)列，方程，叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個根，當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）；當時，數(shù)列的通項為，其中A，B由決定（即把和，代入，得到關于A、B的方程組）。例9:已知數(shù)列中，,,，求。變式:1.已知數(shù)列滿足（I）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（II）求數(shù)列的通項公式；（III）若數(shù)列滿足證明是等差數(shù)列2.已知數(shù)列中，,,，求3.已知數(shù)列中，是其前項和，并且，⑴設數(shù)列，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；⑵設數(shù)列，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；⑶求數(shù)列的通項公式及前項和。例10：（1）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解法一（待定系數(shù)——迭加法）由，得，且。則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是。把代入，得，，，。把以上各式相加，得。。解法二（特征根法：這種方法一般不用于解答題）：數(shù)列：，的特征方程是：。,。又由，于是故(2)．已知數(shù)列滿足：求解：作方程當時，數(shù)列是以為公比的