2024屆四川省成都市彭州中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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2024屆四川省成都市彭州中學(xué)高三第四次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,a5=16,a3a4=﹣32,則S8=()A.﹣21 B.﹣24 C.85 D.﹣852.函數(shù)在的圖像大致為A. B. C. D.3.已知橢圓:的左、右焦點(diǎn)分別為,,過的直線與軸交于點(diǎn),線段與交于點(diǎn).若,則的方程為()A. B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)到直線的距離之和的最大值為,若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知復(fù)數(shù)是純虛數(shù),其中是實(shí)數(shù),則等于()A. B. C. D.6.設(shè)i為虛數(shù)單位,若復(fù)數(shù),則復(fù)數(shù)z等于()A. B. C. D.07.已知向量,若,則實(shí)數(shù)的值為()A. B. C. D.8.將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍(縱坐標(biāo)不變),再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為()A. B. C. D.9.已知為坐標(biāo)原點(diǎn),角的終邊經(jīng)過點(diǎn)且,則()A. B. C. D.10.若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.12.已知,,那么是的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.如圖,在平行四邊形中,,,則的值為_____.14.已知函數(shù),則曲線在點(diǎn)處的切線方程為___________.15.已知數(shù)列滿足:點(diǎn)在直線上,若使、、構(gòu)成等比數(shù)列,則______16.公比為正數(shù)的等比數(shù)列的前項(xiàng)和為,若,,則的值為__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知a=4,.(1)求A的余弦值;(2)求△ABC面積的最大值.18.(12分)已知中,,,是上一點(diǎn).(1)若,求的長(zhǎng);(2)若,,求的值.19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求曲線的直角坐標(biāo)方程和曲線的參數(shù)方程;(2)設(shè)曲線與曲線在第二象限的交點(diǎn)為,曲線與軸的交點(diǎn)為,點(diǎn),求的周長(zhǎng)的最大值.20.(12分)已知函數(shù).(1)若,,求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;(2)時(shí),若對(duì)一切恒成立,求a的取值范圍.21.(12分)如圖,在三棱錐A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,點(diǎn)E,F(xiàn)(E與A,D不重合)分別在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求證:(1)EF∥平面ABC;(2)AD⊥AC.22.(10分)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b(a2+c2﹣b2)=a2ccosC+ac2cosA.(1)求角B的大??;(2)若△ABC外接圓的半徑為,求△ABC面積的最大值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由等比數(shù)列的性質(zhì)求得a1q4=16,a12q5=﹣32,通過解該方程求得它們的值,求首項(xiàng)和公比,根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式解答即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,∵a5=16,a3a4=﹣32,∴a1q4=16,a12q5=﹣32,∴q=﹣2,則,則,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,根據(jù)等比數(shù)列建立條件關(guān)系求出公比是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】

由分子、分母的奇偶性,易于確定函數(shù)為奇函數(shù),由的近似值即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè),則,所以是奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱,排除選項(xiàng)C.又排除選項(xiàng)D;,排除選項(xiàng)A,故選B.【點(diǎn)睛】本題通過判斷函數(shù)的奇偶性,縮小考察范圍,通過計(jì)算特殊函數(shù)值,最后做出選擇.本題較易,注重了基礎(chǔ)知識(shí)、基本計(jì)算能力的考查.3、D【解析】

由題可得,所以,又,所以,得,故可得橢圓的方程.【詳解】由題可得,所以,又,所以,得,,所以橢圓的方程為.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓的定義,橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求解.4、B【解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍,所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓,再通過此圓的圓心到直線距離,半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和,即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設(shè)線段的中點(diǎn),則,在圓上,到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍,點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積,點(diǎn)到直線的距離,數(shù)列求和等知識(shí),是一道不錯(cuò)的綜合題.5、A【解析】

對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn),由于為純虛數(shù),則化簡(jiǎn)后的復(fù)數(shù)形式中,實(shí)部為0,得到的值,從而得到復(fù)數(shù).【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù),所以,得所以.故選A項(xiàng)【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,純虛數(shù)的概念,屬于簡(jiǎn)單題.6、B【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則,即可求解.【詳解】.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】

由兩向量垂直可得,整理后可知,將已知條件代入后即可求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解:,,即,將和代入,得出,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積,考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算.對(duì)于向量問題,若已知垂直,通??傻玫絻蓚€(gè)向量的數(shù)量積為0,繼而結(jié)合條件進(jìn)行化簡(jiǎn)、整理.8、D【解析】

先化簡(jiǎn)函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對(duì)稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為,故選D.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一,經(jīng)??疾槎x域、值域、周期性、對(duì)稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等,其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn),在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識(shí)的理解與落實(shí).三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵,在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質(zhì)求解.9、C【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的定義,即可求出,得出,得出和,再利用二倍角的正弦公式,即可求出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意,,解得,所以,所以,所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)定義的應(yīng)用和二倍角的正弦公式,考查計(jì)算能力.10、B【解析】

復(fù)數(shù),在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,可得關(guān)于a的不等式組,解得a的范圍.【詳解】,由其在復(fù)平面對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限,得,則.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義、不等式的解法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo),對(duì)a分類討論,分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值,結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵,.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增,不合題意.當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,也不合題意.當(dāng)時(shí),則時(shí),,在上單調(diào)遞減,時(shí),,在上單調(diào)遞增,又,所以在上有兩個(gè)零點(diǎn),只需即可,解得.綜上,的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題,考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題,屬于中檔題.12、B【解析】

由,可得,解出即可判斷出結(jié)論.【詳解】解:因?yàn)?,且.,解得.是的必要不充分條件.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)、三角函數(shù)求值、簡(jiǎn)易邏輯的判定方法,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)ABCD是平行四邊形可得出,然后代入AB=2,AD=1即可求出的值.【詳解】∵AB=2,AD=1,∴=1﹣4=﹣1.故答案為:﹣1.【點(diǎn)睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,相等向量和相反向量的定義,向量數(shù)量積的運(yùn)算,考查了計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.14、【解析】

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率,利用點(diǎn)斜式求切線方程.【詳解】因?yàn)?,所以,又故切線方程為,整理為,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義,切線方程,屬于容易題.15、13【解析】

根據(jù)點(diǎn)在直線上可求得,由等比中項(xiàng)的定義可構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】在上,,成等比數(shù)列,,即,解得:.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)三項(xiàng)成等比數(shù)列求解參數(shù)值的問題,涉及到等比中項(xiàng)的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16、56【解析】

根據(jù)已知條件求等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比,再代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式,即可得到答案.【詳解】,,.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)【解析】

(1)根據(jù)正弦定理化簡(jiǎn)得到,故,得到答案.(2)計(jì)算,再利用面積公式計(jì)算得到答案.【詳解】(1),則,即,故,,故.(2),故,故.當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.,故,,故△ABC面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理,面積公式,均值不等式,意在考查學(xué)生的綜合應(yīng)用能力.18、(1)(2)【解析】

(1)運(yùn)用三角形面積公式求出的長(zhǎng)度,然后再運(yùn)用余弦定理求出的長(zhǎng).(2)運(yùn)用正弦定理分別表示出和,結(jié)合已知條件計(jì)算出結(jié)果.【詳解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理、三角形面積公式以及余弦定理,結(jié)合三角形熟練運(yùn)用各公式是解題關(guān)鍵,此類題目是??碱}型,能夠運(yùn)用公式進(jìn)行邊角互化,需要掌握解題方法.19、(1)曲線的直角坐標(biāo)方程為,曲線的參數(shù)方程為為參數(shù)(2)【解析】

(1)將代入,可得,所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.由可得,將,代入上式,可得,整理可得,所以曲線的參數(shù)方程為為參數(shù).(2)由題可設(shè),,,所以,,,所以,因?yàn)?,所以,所以?dāng),即時(shí),l取得最大值為,所以的周長(zhǎng)的最大值為.20、(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)【解析】

(1)求導(dǎo),根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可求出.(2)解法一:分類討論:當(dāng)時(shí),觀察式子可得恒成立;當(dāng)時(shí),利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,可知;當(dāng)時(shí),令,由,,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可得,進(jìn)而可得在上,單調(diào)遞減,即不滿足題意;解法二:通過分離參數(shù)可知條件等價(jià)于恒成立,進(jìn)而記,問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值問題,通過二次求導(dǎo),結(jié)合洛比達(dá)法則計(jì)算可得結(jié)論.【詳解】(1)當(dāng),,,,令,解得,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)解法一:當(dāng)時(shí),函數(shù),若時(shí),此時(shí)對(duì)任意都有,所以恒成立;若時(shí),對(duì)任意都有,,所以,所以在上為增函數(shù),所以,即時(shí)滿足題意;若時(shí),令,則,所以在上單調(diào)遞增,,,可知,一定存在使得,且當(dāng)時(shí),,所以在上,單調(diào)遞減,從而有時(shí),,不滿足題意;綜上可知,實(shí)數(shù)a的取值范圍為.解法二:當(dāng)時(shí),函數(shù),又當(dāng)時(shí),,對(duì)一切恒成立等價(jià)于恒成立,記,其中,則,令,則,在上單調(diào)遞增,,恒成立,從而在上單調(diào)遞增,,由洛比達(dá)法則可知,,,解得.實(shí)數(shù)a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與不等式恒成立問題,考查了分類與整合的解題思想,涉及分離參數(shù)法等技巧、涉及到洛比達(dá)法則等知識(shí),注意解題方法的積累,屬于難題.21、(1)見解析(2)見解析【解析】試題分析:(1)先由平面幾何知識(shí)證明,再由線面平行判定定理得結(jié)論;(2)先由面面垂直性質(zhì)定理得平面,則,再由AB⊥AD及線面垂直判定定理得AD⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.試題解析:證明:(1)在平面內(nèi),因?yàn)锳B⊥AD,,所以.又因?yàn)槠矫鍭BC,平面ABC,所以EF∥平面ABC.(2)因?yàn)槠矫鍭BD⊥平面BCD,平面平面BCD=BD,平面BCD,,所以平面.因?yàn)槠矫?,所?又AB⊥AD,,平面ABC,平面ABC,所以AD⊥平面ABC,又因?yàn)锳C平面ABC,所以AD⊥AC.點(diǎn)睛:垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型:(1)證明線面、面面平行,需轉(zhuǎn)化為證明線線平行;(2)證明線面垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直;(3)證明線線垂直,需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.22、(1)B(2)【解析】

(1)由已知結(jié)合余弦定理,正弦定理及和兩角和的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)可求cosB,進(jìn)而可求B;(2)由已知結(jié)合正弦定理,余弦定理及基本不等式即可求解ac的范圍,然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解.【詳解】(

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