2024屆浙江省麗水地區(qū)四校高考數(shù)學(xué)三模試卷含解析

2024屆浙江省麗水地區(qū)四校高考數(shù)學(xué)三模試卷注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．2．某幾何體的三視圖如右圖所示,則該幾何體的外接球表面積為()A． B．C． D．3．設(shè)函數(shù)定義域為全體實數(shù)，令．有以下6個論斷：①是奇函數(shù)時，是奇函數(shù)；②是偶函數(shù)時，是奇函數(shù)；③是偶函數(shù)時，是偶函數(shù)；④是奇函數(shù)時，是偶函數(shù)⑤是偶函數(shù)；⑥對任意的實數(shù)，．那么正確論斷的編號是（）A．③④ B．①②⑥ C．③④⑥ D．③④⑤4．為了得到函數(shù)的圖象，只需把函數(shù)的圖象上所有的點（）A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度5．函數(shù)（其中是自然對數(shù)的底數(shù)）的大致圖像為（）A． B． C． D．6．在中，角的對邊分別為，，若，，且，則的面積為（）A． B． C． D．7．如圖是一個幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A． B． C． D．8．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．9．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限為（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限11．已知若在定義域上恒成立，則的取值范圍是（）A． B． C． D．12．已知排球發(fā)球考試規(guī)則：每位考生最多可發(fā)球三次，若發(fā)球成功，則停止發(fā)球，否則一直發(fā)到次結(jié)束為止．某考生一次發(fā)球成功的概率為，發(fā)球次數(shù)為，若的數(shù)學(xué)期望，則的取值范圍為()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線f(x)=(x2+x)lnx在點(1，f(1))處的切線方程為____.14．在四面體中，與都是邊長為2的等邊三角形，且平面平面，則該四面體外接球的體積為_______．15．設(shè)f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．16．已知向量，，則______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在以ABCDEF為頂點的五面體中，底面ABCD為菱形，∠ABC＝120°，AB＝AE＝ED＝2EF，EFAB，點G為CD中點，平面EAD⊥平面ABCD.（1）證明：BD⊥EG；（2）若三棱錐，求菱形ABCD的邊長.18．（12分）的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求的面積的最大值．19．（12分）已知數(shù)列，其前項和為，若對于任意，，且，都有.（1）求證：數(shù)列是等差數(shù)列（2）若數(shù)列滿足，且等差數(shù)列的公差為，存在正整數(shù)，使得，求的最小值.20．（12分）已知橢圓：（）的離心率為，且橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合.過點的直線交橢圓于，兩點，為坐標(biāo)原點.（1）若直線過橢圓的上頂點，求的面積；（2）若，分別為橢圓的左、右頂點，直線，，的斜率分別為，，，求的值.21．（12分）已知數(shù)列滿足：對任意，都有.（1）若，求的值；（2）若是等比數(shù)列，求的通項公式；（3）設(shè)，，求證：若成等差數(shù)列，則也成等差數(shù)列.22．（10分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）討論零點的個數(shù).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

根據(jù)雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應(yīng)用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是應(yīng)用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關(guān)系式．2、A【解析】

由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，結(jié)合直觀圖判斷外接球球心的位置，求出半徑，代入求得表面積公式計算．【詳解】由三視圖知：幾何體為三棱錐，且三棱錐的一條側(cè)棱垂直于底面，高為2，底面為等腰直角三角形，斜邊長為，如圖：的外接圓的圓心為斜邊的中點，，且平面，，的中點為外接球的球心，半徑，外接球表面積．故選：A【點睛】本題考查了由三視圖求幾何體的外接球的表面積，根據(jù)三視圖判斷幾何體的結(jié)構(gòu)特征，利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征與數(shù)據(jù)求得外接球的半徑是解答本題的關(guān)鍵．3、A【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義即可判斷函數(shù)的奇偶性并證明.【詳解】當(dāng)是偶函數(shù)，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)是奇函數(shù)時，則，所以，所以是偶函數(shù)；當(dāng)為非奇非偶函數(shù)時，例如：，則，，此時，故⑥錯誤；故③④正確.故選：A【點睛】本題考查了函數(shù)的奇偶性定義，掌握奇偶性定義是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.4、D【解析】

通過變形，通過“左加右減”即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意，故只需把函數(shù)的圖象上所有的點向右平移個單位長度可得到函數(shù)的圖象，故答案為D.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的平移變換，難度不大.5、D【解析】由題意得，函數(shù)點定義域為且，所以定義域關(guān)于原點對稱，且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，故選D.6、C【解析】

由，可得，化簡利用余弦定理可得，解得．即可得出三角形面積．【詳解】解：，，且，，化為：．，解得．．故選：．【點睛】本題考查了向量共線定理、余弦定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱，根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱，直觀圖如圖所示：其中，底面為直角三角形，，，高為.∴該幾何體的體積為故選：A.【點睛】本題考查三視圖及棱柱的體積，屬于基礎(chǔ)題.8、D【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點時，取得最大值.由得：，故選：D【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.9、B【解析】

分別比較復(fù)數(shù)的實部、虛部與0的大小關(guān)系，可判斷出在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點所在的象限.【詳解】因為時，所以，，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第二象限.故選：B.【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，考查學(xué)生的計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.10、C【解析】

化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應(yīng)點在第三象限.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限，意在考查學(xué)生的計算能力.11、C【解析】

先解不等式，可得出，求出函數(shù)的值域，由題意可知，不等式在定義域上恒成立，可得出關(guān)于的不等式，即可解得實數(shù)的取值范圍.【詳解】，先解不等式.①當(dāng)時，由，得，解得，此時；②當(dāng)時，由，得.所以，不等式的解集為.下面來求函數(shù)的值域.當(dāng)時，，則，此時；當(dāng)時，，此時.綜上所述，函數(shù)的值域為，由于在定義域上恒成立，則不等式在定義域上恒成立，所以，，解得.因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.【點睛】本題考查利用函數(shù)不等式恒成立求參數(shù)，同時也考查了分段函數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用，考查分類討論思想的應(yīng)用，屬于中等題.12、A【解析】

根據(jù)題意，分別求出再根據(jù)離散型隨機(jī)變量期望公式進(jìn)行求解即可【詳解】由題可知，，，則解得，由可得，答案選A【點睛】本題考查離散型隨機(jī)變量期望的求解，易錯點為第三次發(fā)球分為兩種情況：三次都不成功、第三次成功二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程.【詳解】解：∵，

∴，

則，

又，即切點坐標(biāo)為（1，0），

則函數(shù)在點(1，f(1))處的切線方程為，

即，

故答案為：.【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和切線斜率之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.14、【解析】

先確定球心的位置，結(jié)合勾股定理可求球的半徑，進(jìn)而可得球的面積.【詳解】取的外心為，設(shè)為球心，連接，則平面，取的中點，連接，，過做于點，易知四邊形為矩形，連接，，設(shè)，.連接，則，，三點共線，易知，所以，.在和中，，，即，，所以，，得.所以.【點睛】本題主要考查幾何體的外接球問題，外接球的半徑的求解一般有兩個思路：一是確定球心位置，利用勾股定理求解半徑；二是利用熟悉的模型求解半徑,比如長方體外接球半徑是其對角線的一半.15、【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導(dǎo)數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設(shè)R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導(dǎo)數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當(dāng)t＞1時，S′＞0，當(dāng)0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)求面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.16、【解析】

求出，然后由模的平方轉(zhuǎn)化為向量的平方，利用數(shù)量積的運(yùn)算計算．【詳解】由題意得，.，.，，.故答案為：．【點睛】本題考查求向量的模，掌握數(shù)量積的定義與運(yùn)算律是解題基礎(chǔ)．本題關(guān)鍵是用數(shù)量積的定義把模的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運(yùn)算．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）詳見解析；（2）.【解析】

（1）取中點，連，可得，結(jié)合平面EAD⊥平面ABCD，可證平面ABCD，進(jìn)而有，再由底面是菱形可得，可得，可證得平面，即可證明結(jié)論；（2）設(shè)底面邊長為，由EFAB，AB＝2EF，，求出體積，建立的方程，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）取中點，連，底面ABCD為菱形，，，平面EAD⊥平面ABCD，平面平面平面，平面平面，底面ABCD為菱形，，為中點，，平面，平面平面，；（2）設(shè)菱形ABCD的邊長為，則，，，，，所以菱形ABCD的邊長為.【點睛】本題考查線線垂直的證明和椎體的體積，注意空間中垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化，體積問題要熟練應(yīng)用等體積方法，屬于中檔題.18、（1）（2）【解析】

(1)由正弦定理邊化角化簡已知條件可求得,即可求得;(2)由余弦定理借助基本不等式可求得,即可求出的面積的最大值.【詳解】（1），，所以，所以，，，，．（2）由余弦定理得.，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等，.所以的面積的最大值為.【點睛】本題考查了正余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查了三角形面積的最值問題,難度較易.19、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明即可；（2）根據(jù)條件可得，然后將用，，表示出來，根據(jù)是一個整數(shù)，可得結(jié)果．【詳解】解：（1）令，，則即∴，∴成等差數(shù)列，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，假設(shè)成等差數(shù)列，其中，公差為，令，，∴，∴，即，∴成等差數(shù)列，∴數(shù)列是等差數(shù)列；（2），，若存在正整數(shù)，使得是整數(shù)，則，設(shè)，，∴是一個整數(shù)，∴，從而又當(dāng)時，有，綜上，的最小值為．【點睛】本題主要考查由遞推關(guān)系得通項公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，關(guān)鍵是利用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列是等差數(shù)列，屬于難題．20、（1）（2）【解析】

（1）根據(jù)拋物線的焦點求得橢圓的焦點，由此求得，結(jié)合橢圓離心率求得，進(jìn)而求得，從而求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得橢圓上頂點的坐標(biāo)，由此求得直線的方程.聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，求得兩點的縱坐標(biāo)，由此求得的面積.（2）求得兩點的坐標(biāo)，設(shè)出直線的方程，聯(lián)立直線的方程和橢圓方程，寫出韋達(dá)定理，由此求得的值，根據(jù)在橢圓上求得的值，由此求得的值.【詳解】（1）因為拋物線的焦點坐標(biāo)為，所以橢圓的右焦點的坐標(biāo)為，所以，因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.其上頂點為，所以直線：，聯(lián)立，消去整理得，解得，，所以的面積.（2）由題知，，，設(shè)，.由題還可知，直線的斜率不為0，故可設(shè)：.由，消去，得，所以所以，又因為點在橢圓上，所以，所以.【點睛】本小題主要考查拋物線的焦點，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)、直線與橢圓，三角形的面積等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想.21、（1）3；（2）；（3）