初中數(shù)學第28章銳角三角函數(shù)

第二十八章銳角三角函數(shù)

測試1銳角三角函數(shù)定義

學習要求

理解一個銳角的正弦、余弦、正切的定義.能依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義，求給定銳角的

三角函數(shù)值.

課堂學習檢測

一、填空題

1.如圖所示，B、B'是NMAN的AN邊上的任意兩點，BCLAM于C點，B'C±

ARr()

A用于C'點，則△B/C's______,從而久_=￡￡_=」，又可得

BC()AC

①----=,即在RtZXABC中(/C=90°),當NA確定時，它的與

AB

的比是一個值；

AT'

②次；=,即在Rt/XABC中(NC=90°)，當N4確定時，它的與

的比也是一個；

?C'

^-=,即在RtZ\ABC中(NC=90°),當/A確定時，它的與

第1題圖

2.如圖所示，在Rt/XABC中，NC=90°.

()

①sinA=

斜邊

②)-()_

cosA=1cos8=

斜邊斜邊

tan8=42的型.

③tanA=-~5不不?

ZA的鄰邊()

3.因為對于銳角a的每一個確定的值，sina、cosa、tana分別都有與它

,所以sina、cosa、tana都是.又稱為a的.

4.在RtZiABC中，ZC=90°,若a=9,6=12,則c=,

sinA=,cosA=,tanA=

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

5.在RtZXABC中,ZC=90°；,若〃=1,b=3,貝ljc=,

sinA=,cosA=,tanA=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

6.在Rt/XABC中,ZB=90°,若a=16,c=30,則b=______

sinA=,cosA=，tanA=，

sinC=______，cosC=_____tanC=______?

7.在Rt/XABC中,ZC=90°；,若NA=30°,則NB=_____,

sinA=,cosA=，tanA=，

sinB=______,cosB=_____tanB=______.

二、解答題

8.已知：如圖，RtZXTNM中，NTMN=90°,MRLTN于R點,,TN=4,MN=3.

求：sinNTMR、cosNTTWR、tanZTM/?.

3

9.已知RtaABC中，NC=9(r,tanA=：,BC=12,求AC、A8和cosB.

綜合、運用、診斷

10.已知：如圖，Rt/XABC中，ZC=90°.。是AC邊上一點，DELAB于E點.

DE：AE=1：2.

求：sinB、cosB、tanB.

3

II.己知：如圖，。。的半徑04=16cm,OCJ_AB于C點，sinZAOC=--

4

求：A8及0C的長.

3

12.已知：。0中，OC_LA8于。點，AB=16cm,sinZ4OC=—?

5

(1)求。0的半徑OA的長及弦心距OC；

(2)求cosNAOC及tanZAOC.

sinA='

13.己知：如圖，△ABC中，AC=12cm,AB=16cm,

3

⑴求A8邊上的高CD；

(2)求△ABC的面積S；

⑶求tan艮

14.己知：如圖，△A8C中，A8=9,BC=6,△ABC的面積等于9,求sin8.

拓展、探究、思考

15.已知：如圖，RtZXABC中，ZC=90°,按要求填空:

A

b

/.tz=c-sinA,c=；

.h

(2)\*cosA=一,

c

,?6=,c~~；

(3)vtanA=—,

b

..a=,b=；

(4),/sinB=亍,cosB=,tanB=；

3.

(5)?.?cosB=1,*,?sinB-,tanA=；

(6)Vtan5=3,?'?sinB=,sinA=.

16.已知：如圖，在直角坐標系xOy中，射線OM為第一象限中的一條射線，A點的坐

標為(1,0),以原點。為圓心，04長為半徑畫弧，交y軸于B點，交0M于尸點,

作CAJ_x軸交OM于C點.設NX0M=a.

求：尸點和。點的坐標.(用a的三角函數(shù)表示)

17.已知:如圖，△A3C中，ZB=30°，P為AB邊上一點,于。.

(1)當BP:PA=2：1時，求sinZKcosNl、tanZl；

(2)當BP：B4=l：2時,求sin/1、cosZl>tanZl.

測試2銳角三角函數(shù)

學習要求

1.掌握特殊角(30°,45°,60°)的正弦、余弦、正切三角函數(shù)值，會利用計算器求

一個銳角的三角函數(shù)值以及由三角函數(shù)值求相應的銳角.

2.初步了解銳角三角函數(shù)的一些性質(zhì).

課堂學習檢測

一、填空題

1.填表.

銳角a30°45°60°

sina

cosa

tana

二、解答題

2.求下列各式的值.

(I)2sin30°-V2cos45<,

(2)tan300—sin60°?sin300

(3)cos45°+3tan30°+cos30°+2sin60°—2tan45°

(4)cos245°——!—+—!—+cos230°+sin245°

sin3(Ttan3(y

3.求適合下列條件的銳角a.

(2)tana=W

(l)cosa=—

2

⑶sin2a=*

(4)6cos(a-16°)=3V3

4.用計算器求三角函數(shù)值(精確到0.001).

(I)sin23°=；(2)tan54°53'40"=

5.用計算器求銳角a(精確到1").

(1)若cosa=0.6536,則￡=；

(2)若tan(2a+10°31'7")=1.7515,則&=

綜合、運用、診斷

12

6.已知：如圖，在菱形ABCD中，DELABE,fi￡=16cm,sin^=—?

13

求此菱形的周長.

7.己知：如圖，在AABC中，NBAC=120°,AB=10,AC=5.

求：sin/ACB的值.

8.已知I：如圖，RtZ\ABC中，ZC=90°,NBAC=30°,延長C4至。點，使A￡>=

AB.求：

(1)ND及NDBC；

(2)tanD及tanZDBC；

(3)請用類似的方法，求tan22.5°.

9.已知：如圖，RtZXABC中，ZC=90°,AC=BC=6作ND4C=30°,AD

交CB于D點,求:

B

(l)ZBADi

(2)sinZBADcosZBADtanZBAD.

10.已知：如圖△ABC中，。為8C中點，且NBAD=90°,tanN3=1,求：sinZCAD.

3

cosZCADytanZCAD.

拓展、探究、思考

11.已知：如圖，/AOB=90°,AO=OB,C、。是&上的兩點，ZAOD>ZAOC,

求證：

(l)0<sinZ^OC<sinZAOD<l；

(2)1>cosZAOC>cosZAOD>0；

(3)銳角的正弦函數(shù)值隨角度的增大而

(4)銳角的余弦函數(shù)值隨角度的增大而

12.已知1：如圖，CArAO,E、F是AC上的兩點，ZAOF>ZAOE.

(1)求證：lan/4Ob>lanN4OE；

(2)銳角的正切函數(shù)值隨角度的增大而

13.已知：如圖，RtZXABC中，ZC=90°，求證:

(l)sin2A+cos2A=1；

sinA

(2)tanA=

cosA

14.化簡：Jl-2sincrcosa(其中0°<a<90°)

15.(1)通過計算(可用計算器)，比較下列各對數(shù)的大小，并提出你的猜想:

①sin30°2sinl5°cosl50；②sin36°2sinl80cosl8°

③sin45。—____2sin22.5°cos22.5°；(4)sin60°_____2sin30°cos30°

⑤sin8(T2sin40°cos400；@sin90°2sin45°cos450

猜想：若0°Va<45°,則sin2a2sinacosa.

(2)己知：如圖，△ABC中，AB=AC=\,N8AC=2a.請根據(jù)圖中的提示，利用

面積方法驗證你的結(jié)論.

16.已知：如圖，在△ABC中，AB=AC,AO_LBC于。，BELAC于E,交A。于“

點.在底邊BC保持不變的情況下，當高AD變長或變短時，△ABC和△HBC的面

積的積SZMBC?SMBC的值是否隨著變化?請說明你的理由.

測試3解直角三角形（一）

學習要求

理解解直角三角形的意義，掌握解直角三角形的四種基本類型.

課堂學習檢測

一、填空題

1.在解直角三角形的過程中，一般要用的主要關(guān)系如下（如圖所示）:

在中，ZC=90°,AC=b,BC=a,AB=c,

第1題圖

①三邊之間的等量關(guān)系:

②兩銳角之間的關(guān)系:

③邊與角之間的關(guān)系：

sinA=cos5=；cosA=sin3=

“11八

tanA=-------=_____；-----=tanB=______

tanBtanA

④直角三角形中成比例的線段（如圖所示）.

第④小題圖

在Rt^ABC中，ZC=90°,CDLABTD.

CD2=；AC2=；

Bd=；AC?BC=

⑤直角三角形的主要線段（如圖所示）.

第⑤小題圖

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的,斜邊的中點是.

若7?是RtZ\ABC（NC=90°）的內(nèi)切圓半徑，則r==.

⑥直角三角形的面積公式.

在RtZ\A8C中，/C=90°,

S&ABC=.（答案不唯一）

2.關(guān)于直角三角形的可解條件，在直角三角形的六個元素中，除直角外，只要再知道

（其中至少）,這個三角形的形狀、大小就可以確定下來.解直

角三角形的基本類型可分為己知兩條邊（兩條或斜邊和）及已知

一邊和一個銳角（和一個銳角或和一個銳角）

3.填寫下表：

已知條件解法

i條邊和斜邊c和銳角/AZB=—___，a=______，b—______

一個銳角直角邊a和銳角NA/B=—___，h=______，c=______

兩條直角邊。和匕c=_____由_____求2,NB=______

兩條邊

直角邊a和斜邊cb=_____由______求4,NB=______

二、解答題

4.在RtZ^ABC中，ZC=90°.

(1)已知：4=35,c=35y/2,求/4、NB,b；

(2)已知：a=26，b=2,求NA、ZB,c；

.2

（3）已知:sinA=—,c=6,求a、b；

3

3

（4）己知:tanB=—,b=9,求〃、

2

(5)已知：NA=60°,/XABC的面積S=12、/》,求a、b、c及NB.

綜合、運用、診斷

5.已知：如圖，在半徑為R的。。中，/AO8=2a,OC_LAB于C點.

(1)求弦AB的長及弦心距；

(2)求。。的內(nèi)接正〃邊形的邊長斯及邊心距/??.

6.如圖所示，圖①中，一棟舊樓房由于防火設施較差，想要在側(cè)面墻外修建一外部樓

梯，由地面到二樓，再從二樓到三樓，共兩段(圖②中AB、BC兩段)，其中CC'=

BB'=3.2m.結(jié)合圖中所給的信息，求兩段樓梯AB與BC的長度之和(結(jié)果保留到

0.1m).(參考數(shù)據(jù)：sin30°=0.50,cos30°-0.87,sin35°弋0.57,cos350*=0.82)

7.如圖所示，某公司入口處原有三級臺階，每級臺階高為20cm,臺階面的寬為30cm,

為了方便殘疾人士，擬將臺階改為坡角為12°的斜坡，設原臺階的起點為A,斜坡

的起點為C,求AC的長度(精確到1cm).

拓展、探究、思考

8.如圖所示，甲樓在乙樓的西面，它們的設計高度是若干層，每層高均為3m,冬天太

陽光與水平面的夾角為30°.

（1）若要求甲樓和乙樓的設計高度均為6層，且冬天甲樓的影子不能落在乙樓上，那

么建筑時兩樓之間的距離BD至少為多少米?（保留根號）

（2）由于受空間的限制，甲樓和乙樓的距離BL?=21m,若仍要求冬天甲樓的影子不能

落在乙樓上，那么設計甲樓時，最高應建幾層？

9.王英同學從A地沿北偏西60°方向走100m到8地，再從8地向正南方向走200m

到C地，此時王英同學離A地多少距離？

10.已知：如圖，在高2m,坡角為30°的樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少需要多少

米?（保留整數(shù)）

測試4解直角三角形（二）

學習要求

能將解斜三角形的問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形.

課堂學習檢測

1.已知：如圖，ZiABC中，ZA=30°,ZB=60°,AC=10cm.

求AB及BC的長.

C

AB

2.已知：如圖，RtZ\ABC中，ZD=90°,ZB=45°,ZACD=60°.BC=10cm.求A。

的長.

3.已知：如圖，△ABC中，NA=30°,ZB=135°,AC=10cm.

求AB及BC的長.

4.己知：如圖，RtZ\4BC中，NA=30°,/C=90°,NBDC=60°,BC=6cm.求A。

的長.

綜合、運用、診斷

5.已知：如圖，河旁有一座小山，從山頂4處測得河對岸點C的俯角為30°,測得岸邊點

。的俯角為45°,又知河寬8為50m.現(xiàn)需從山頂A到河對岸點C拉一條筆直的纜繩

AC,求山的高度及纜繩AC的長（答案可帶根號）.

6.已知：如圖，一艘貨輪向正北方向航行，在點A處測得燈塔M在北偏西30°,貨輪以

每小時20海里的速度航行，1小時后到達B處，測得燈塔M在北偏西45°,問該貨輪

繼續(xù)向北航行時，與燈塔M之間的最短距離是多少?（精確到0.1海里，6al.732）

北

7.已知：如圖，在兩面墻之間有一個底端在A點的梯子，當它靠在一側(cè)墻上時，梯子的頂

端在8點；當它靠在另一側(cè)墻上時，梯子的頂端在。點.已知N84C=60°,ZDAE=

45°.點。到地面的垂直距離OE=3后m,求點8到地面的垂直距離BC.

8.已知：如圖，小明準備測量學校旗桿AB的高度，當他發(fā)現(xiàn)斜坡正對著太陽時，旗桿AB

的影子恰好落在水平地面和斜坡的坡面上，測得水平地面上的影長BC=20m,斜坡坡面

上的影長CO=8m,太陽光線AO與水平地面成26°角，斜坡CQ與水平地面所成的銳

角為30°,求旗桿AB的高度（精確到1m）.

9.已知：如圖，在某旅游地一名游客由山腳A沿坡角為30°的山坡AB行走400m,到達

一個景點8,再由8地沿山坡BC行走320米到達山頂C,如果在山頂C處觀測到景點

B的俯角為60°.求山高C"精確到0.01米).

10.已知：如圖，小明準備用如下方法測量路燈的高度：他走到路燈旁的一個地方，豎起一

根2m長的竹竿，測得竹竿影長為1m,他沿著影子的方向，又向遠處走出兩根竹竿的

長度，他又豎起竹竿，測得影長正好為2m.問路燈高度為多少米？

11.已知：如圖，在一次越野比賽中，運動員從營地A出發(fā)，沿北偏東60°方向走了500V3m

到達B點，然后再沿北偏西30°方向走了500m,到達目的地C點.求

(1)A、C兩地之間的距離；

(2)確定目的地C在營地A的什么方向?

12.已知：如圖，在1998年特大洪水時期，要加固全長為10000m的河堤.大堤高5m,壩

頂寬4m,迎水坡和背水坡都是坡度為1：1的等腰梯形.現(xiàn)要將大堤加高1m,背水坡

坡度改為1：1.5.已知壩頂寬不變，求大壩橫截面面積增加了多少平方米，完成工程需

多少立方米的土石？

拓展、探究、思考

13.己知：如圖，在△ABC中，AB=c,AC=b,銳角/4=a.

(1)BC的長;

⑵△ABC的面積.

14.已知：如圖，在△ABC中，AC=h,BC=a,銳角NA=a,AB=/3.

⑴求AB的長；

(2)求證：‘一=」一

sincrsin￡

15.已知：如圖，在RtZ\AQC中，ZD=90°,ZA=a,ZCBD=j3,AB=a.用含〃及

a、尸的三角函數(shù)的式子表示C。的長.

16.已知：△ABC中，ZA=30°,AC=10,8。=5后，求A8的長.

17.已知：四邊形ABC。的兩條對角線4C、8。相交于E點，AC=a,BD=b,NBEC

=?(0°<a<90°),求此四邊形的面積.

測試5綜合測試

1.計算.

2cos6002sin30°+sin245°+tan30°-tan60°

(1)--------尸------(2)---------------------------

tan60°-J2tan45°cos-30,+cos-60°

2.已知：如圖，ZvlBC中，ZACB=90°,CD_LAB于Q,AB=32,BC=12.

求：sin/AC。及AO的長.

4

3.已知：RtZ\ABC中，NACB=90°,CD_LAB于。點，AB^2m,BD^m~\,COS=--

(1)用含〃，的代數(shù)式表示BC；

(2)求機的值；

4.已知：如圖，矩形A8C￡>中，AB=3,BC=6,BE=2EC,OM_LAE于M點.求DW的

長.

B

EC

5.已知I：如圖，四邊形ABCQ中，NA=45°,ZC=90°,NABD=75°,NDBC=

30°,AB=2a.求BC的長.

6.已知：如圖，四邊形ABC。中，ZA=ZC=90°,ZD=60°,AD=5耳.AB=3,

求BC的長.

7.已知：如圖，ZVIBC內(nèi)接于。。，BC=m,銳角NA=a,

(1)求。。的半徑R；

(2)求△ABC的面積的最大值.

8.已知：如圖，矩形紙片ABC。中，BC=m,將矩形的一角沿過點8的直線折疊，使4點

落在DC邊上，落點記為A',折痕交AO于E,若/A'BE=a.

求證：EB=------------------

cosa-sin2a

答案與提示

第二十八章銳角三角函數(shù)

測試1

1.ABAC,AB,AC.

BC

①1,對邊，斜邊，固定；

AB

AC

②------,鄰邊，斜邊，固定值:

AB

BC

③----，對邊,鄰邊，固定值.

AC

b

2.①/A的對邊,的對邊,

cC

a

②/A的鄰邊,-,ZB的鄰邊,

Cc

b

③/A的對邊,的鄰邊,

ba

3.唯一確定的值,對應，a的函數(shù)，銳角三角函數(shù).

343434

4.15,

5'5'4'5'5’3

而叵3V10J3V10V10

5.

J_151515

6.34

'17'17'15'17'17'8

昱叵叵

7.D6Gu,2L,2，3，2L6

8.sinZTMR=sinN=',cosZTMR=cosNN=二,tan/TMR=tanN=、

445

3

9.AC=16,AB=20,cosB=

5

10.sinB=-,cosB=,t皿B=2.

11.AB=2AC=2AO?sinZAOC=24cm,OC=VCM2—AC2=4V?cm

403943

12.(l)Q4=ycm,OC=ycm;(2)cosZAOC=-,tanZAOC=~

1

13.(1)CD=AC?sinA=4cm；(2)S=-ABxCD=32cm-9;

2+叵

(3)tanB

4

14.sinB=—?

3

a4b

15.(I)——；(2)c-cosA,------;

sinAcosA

(3)h-tanA,---;(4)—,V3；

tanA2

43-3函Vio

⑸二q；

16.P(cosa,sina),C(l,tana).提示：作軸于。點.

(l)sinZ1=噂,cosNl=—,tanZl=V3.

17.

22

⑵sin/l=第8sNl=￥，tanNl邛,

提示：作AE_LBC于E,設AP=2.

測試2

銳角a30°45°60°

sina也V3

2T

]_

cosa也V2

T2

tana1V3

~T

2.(1)0；(2)W^(3)~A/3+^^-2;(4)y[3--

12224

3.(l)a=60°；(2)a=30°；(3)22.5°；(4)46°.

4.(1)0.391；(2)1.423.

5.(1)49°ir11"；(2)24°52'44".

6.104cm.提示：設。E=12xcm,則得AZ)=13xcm,AE=5xcm.利用3E=16cm.

列方程8x=16.解得x=2.

7.華,提示：作3DLCA延長線于。點.

8.(1)ZD=15°,ZDBC=75°；

(2)tanO=2-底tanZDBC=2+73;(3)tan22.5°=V2-1.

9.(1)15°；

A/6—5/276+V2廣

(2)sin/.BAD=------,cosZ.BAD=--------,tan/BAO=2-V3.

44

10.可牛，結(jié)3,3.提示：作OE〃41,交AC于E點，或延長A。至凡使力尸=

13132

AD,連結(jié)CF.

11.提示：作CEJ_OA于E,作。尸，0A于尸.(3)增大，(4)減小.

12.(2)增大.

13.提示：利用銳角三角函數(shù)定義證.

14.原式=Jsin?cr+cos2a—2sinacosa

=J(sin<z-cosa)2

=|sina-cosa|

sina-cosa(45°<a<90°),

cosa-sina(0°<a<45°).

15.(1乂3)~⑥略.sin2a=2sinacosa.

(2)vS>ABC=gAC5E=gxlxsin2a=^sin2a,

SMBC=gBC-AD=BDxAD=sina?cosa,

/.sin2a=2sinacosa.

2

16.不發(fā)生改變，設NBAC=2a,BC=2m,則50品,Svffic=,（機？tana）=加*.

測試3

1.0a2+Z?2=c2；②/A+/B=90。：③”,0,2；

ccba

@AD?BD,AD?AB,BD?BA,AB?CD：

⑤一半，它的外心，"+8—c（或_業(yè)）

2a-^-b+c

⑥〃或（/:為斜邊上的高）或,〃csinA或'acsinA或，r（a+Z?+c）.

22

什為內(nèi)切圓半徑）

2.兩個元素，有一個是邊，直角邊，一條直角邊，斜邊，一條直角邊.

3.90°—ZA,sinA,cosA；

9tanAsinA9

c=yja2+b2,tanA=—,90°-ZA;

b

b-ylc2-a2,sinA=—,90°-ZB.

c

4.(1)ZA=45°,N8=45°,6=35；

(2)NA=60°,ZB=30°,c=4；