陜西省西安市第三綜合中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

陜西省西安市第三綜合中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)文期末試

題含解析

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共5()分。在每小題給出的四個(gè)選

項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的

ax2+2x+1,(-2<0)

1.已知函數(shù)f(x)=lax-3,(x>0)有3個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

()

_31

A.(4,1)B.(4,1)C.(0,1)D.(-8,1)

參考答案：

A

【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

【分析】令f(x)在(-2,0］上有2個(gè)零點(diǎn)，在(0,+8)上有1個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)類

型及零點(diǎn)范圍及個(gè)數(shù)列出不等式組，解出a的范圍.

【解答】解：(x)由3個(gè)零點(diǎn)，...f(x)在(-2,0］上有2個(gè)零點(diǎn)，在(0,+8)

上有1個(gè)零點(diǎn).

'4a-4+1>0

-2<-—<0

二|a>0,解得W<a<l.

故選：A.

2.在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與鴛馬發(fā)長安至齊,

齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；鴛馬初日行九十七

里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎鴛馬，二馬相逢.問：幾日相逢？()

A.9BB.8日C.16日D.12B

參考答案：

A

【考點(diǎn)】89：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.

【分析】良馬每日行的距離成等差數(shù)列，記為｛aj,其中aF103,d=13；號(hào)馬每日行的距

離成等差數(shù)列，記為伯“｝,其中bi=97,d=-0.5.求和即可得到答案.

【解答】解：由題意知，良馬每日行的距離成等差數(shù)列，

記為｛a?｝,其中ai=103,d=13；

鴛馬每日行的距離成等差數(shù)列，

記為｛bj,其中b1=97,d=-0.5；

設(shè)第m天相逢，則ai+a2+--+a?+bi+b2+--+bm

m（nrl）X13m（m-l）義（-0.5）

=103m+2+97m+2=2X1125,

解得：m=9.

故選：A.

3.下列有關(guān)命題的說法中錯(cuò)誤的是（）

A.對(duì)于命題尸：BxeR,使得犬+芯+1<0,則黃：Vxe凡均有XA+X+INO

B.“x=l”是“-—3x+2=0”的充分不必要條件

C.命題“若"--3x+2=0"，則x=l”的逆否命題為：“若貝ij

-—3x+2h0”

D.若「八夕為假命題，則"均為假命題

參考答案：

D

對(duì)于命題產(chǎn)：3xeR,使得/+x+l〈O,則Y：Vxe凡均有-+x+i2o故人為真

命題；“x=l”是“X2_3X+2=0”的充分不必要條件故B為真命題；

命題“若"/_3x+2=0“，則x=l”的逆否命題為:“若xwl,則/-3X+2H0”

故C為真命題；若「八勺為假命題，則PM存在至少一個(gè)假命題，但不一定均為

假命題，故D為假命題；

1

y=―，_

4.函數(shù)Diogos?1）的定義域?yàn)?/p>

33

A.(4,1)B.(4,8)C.(1,+°°)D.

3

(4,1)U(1,+8)

參考答案：

A

,/V、II

5.偶函數(shù)”工)定義域?yàn)?疊"其導(dǎo)函數(shù)是7V)0<x<—

,當(dāng)2時(shí)，有

/5)+/3fcmr<0,則關(guān)于x的不等式Z"")005"的解集為()

(-芳兒(諄

A彩)B.

C.(4磯(吟)D.(一中0)%為)

參考答案:

C

71

由當(dāng)Xm時(shí)，有*X)+Rx)lanx二gj,可得：出Ncosx+f(x)sinx<0

(7X\|P(x)cosx-f(x)sinx

根據(jù)題意，設(shè)g(x)=。。7其導(dǎo)數(shù)為g，(x)=cos-x,

y〈兀

又由2時(shí)，有也XJcosx+f(x)sinxVO,則有g(shù)，(x)<0,

兀

則函數(shù)g(x)在(0,2)上為減函數(shù)，

(--0)U(O-i

又由f(x)為定義域?yàn)?52的偶函數(shù),

一f(-x)㈣

則g(-x)=cesds&(x),則函數(shù)g(X)為偶函數(shù),

r(?

，兀1(x)1北Rx)|K兀

ffx)>J2l(-Xosx-.---Icos--

4?8鼠>"2f(4)?cos?4>4?g(x)>g(4),

兀XX

-(.-O)U(O-)

又由g(x)為偶函數(shù)且在(0,2)上為減函數(shù)，且其定義域?yàn)?,2,

兀

則有岡〈工，

兀兀

解可得：-4VxV0或0VxV4,

互冗

(--0)U(0-)

即不等式的解集為44.

故選：C.

6.已知數(shù)列弓，其中aHFUM}J=LZ34,5,則

滿足.+/+4+4+4=3的不同數(shù)列/一共有

A.15個(gè)B.25個(gè)C.30個(gè)D.35個(gè)

參考答案：

A

【考點(diǎn)】數(shù)列綜合應(yīng)用

【試題解析】

由題知：若為+&+%+&+%=3,

則4中可能有3個(gè)1,2個(gè)0或有4個(gè)1,1個(gè)-1.

所以數(shù)列共有：C；+C；=15個(gè)。

7.已知函數(shù)1+U)-(2x+l)產(chǎn)+=*,則滿足〃句＞0的實(shí)數(shù)K的取

值范圍是()

AMB.ST

)e，-i)u3同

參考答案：

A

試題分析：令M力=/1+尸），則蛇口D=3+?2（產(chǎn)1+。3）因由〃r）>0

可得因，（='+=T）>（2x+D2（e""+e-"T）,即版2c+l）.又/一功=如）,故函

數(shù)M功=，QX+=T）是偶函數(shù),所以當(dāng)%>0時(shí)，入‘3uFgx—eTHH"+。-工）>°,

即函數(shù)為（力=，3"+。-1）是單調(diào)遞增函數(shù),故由限工）>版21+1）可得111><2r+l|,即

,1

.-1<x<——

31+鈕+1<0,解之得3,故應(yīng)選A.

考點(diǎn)：函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性及不等式的解法等知識(shí)的綜合運(yùn)用.

【易錯(cuò)點(diǎn)晴】本題以可導(dǎo)函數(shù)〃"）='（—）一"+"（y<+="）滿足的不等式

f（K）>°為背景，考查的是導(dǎo)函數(shù)的與函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系的應(yīng)用問題解答本題的關(guān)

鍵是如何將不等式/（功>°進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為以工）>限2r+D.再依據(jù)題設(shè)條件先構(gòu)造函數(shù)

入8=，（='+1）,將問題轉(zhuǎn)化為證明函數(shù)為（力=+E1）是單調(diào)遞增函數(shù),從而將

不等式貼）>以2r+l）化為I工a2X+1\從而使得問題最終獲解.

8.已知定義在正上的函數(shù)了=/（*）滿足/3+2）=/（x）,當(dāng)7<x41時(shí)，/（x）=/,

若函數(shù)g（x）=/（x）-l°g/x|至少有5個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（）

門分（04）U[5,-K?）（01]U[5,+OO）

A.□，>B.5c.5D.

gl）U（L5]

參考答案：

B

兀

9.將函數(shù)丫=55（2乂+"）的圖像沿x軸向左平移8個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則

”的一個(gè)可能取值為（）

3兀Ti

A.TB.4C.0D.4

參考答案:

D

略

10.把一枚質(zhì)地均勻、半徑為1的圓形硬幣拋擲在一個(gè)邊長為8的正方形托盤上，已知硬

幣平放在托盤上且沒有掉下去，則該硬幣完全落在托盤上（即沒有任何部分在托盤以外）

的概率為（）

19^x

A.8B.16C.4

15

D.16

參考答案：

B

由題意可知，硬幣的圓心必須落在小正方形中，如圖：

——

_6x6_9

該硬幣完全落在托盤上（即沒有任何部分在托盤以外）的概率為P=X

故選：B

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

一的系數(shù)為:

11.已知的展開式中，則常數(shù)a的值

為________________

參考答案：

4

略

12平面區(qū)域^=（。））卜+^五6,“手0,>^0},4=（（木了）卜石4/今0,\_2_7今0},若

向區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)P,則點(diǎn)產(chǎn)落入?yún)^(qū)域工的概率為.

參考答案：

2

9

____sin'cos~~~

13.在AAFC中，tanj+tanB+J3=、/3tan4tanB,且4,則此三角

形為。

參考答案：

等邊三角形

略

14.如圖所示，點(diǎn)F是。。外一點(diǎn)，F(xiàn)Q為O。的一條切線，Q是切點(diǎn)，割線經(jīng)過圓心

0,若/質(zhì)Z）=3QP,PD=2^3,則F￡=.

參考答案:

2

15.?給出下列命題，其中正確的命題是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

①在A4BC中，若tanR+tanB+tanC>0,則以BC是銳角三角形；

②在2L48c中，A<8是cos工>cosB的充要條件;

③已知非零向量n,則“1否>0”是“3、占的夾角為銳角”的充要條件;

④命題“在三棱錐。-45c中,已知。產(chǎn)=xOA+yOB-20C若點(diǎn)尸在△A9C所

在的平面內(nèi)，則入+沙=3”的否命題為真命題;

⑤函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為/（X）,若對(duì)于定義域內(nèi)任意"1,X2?HX2）,

」（再）-/（々）=,（7+X2）

有士-02恒成立，則稱/⑶為恒均變函數(shù)，

那么〃*）=/-2芯+3為恒均變函數(shù)

參考答案：

①②④⑤

r=5^2

16.已知兩曲線參數(shù)方程分別為B=即°和卜=￡,它們的

交點(diǎn)坐標(biāo)為.

參考答案:

（1竽

17.已知不等式工-1的解集為P,不等式*+（a-Dx-a>°的解集為9,若P是9的充

分不必要條件,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是

參考答案：

（-2,1]

略

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.已知數(shù)列｛〃,,｝是以3為首項(xiàng)，“儂〉。）為公差的等差數(shù)列，且■,35%成等比數(shù)

列.

（1）求數(shù)列｛〃”｝的通項(xiàng)公式;

（2）設(shè)，=/一2:求數(shù)列｛兒｝的前〃項(xiàng)和s..

參考答案：

（D4=2?+1；（2）6口=-23+i+2?+2

【分析】

（1）根據(jù)等差數(shù)列｛4｝中，%3括，,成等比數(shù)列列出關(guān)于公差d的方程，解方程可

得&的值，從而可得數(shù)列｛4｝的通項(xiàng)公式；（2）由（1）知，/=（2"+口-2;利用分

組求和法，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式，計(jì)算即可得結(jié)果.

【詳解】（1）因?yàn)?，36，,成等比數(shù)列，

所以，％=45即（q+祖.+34）=45

因?yàn)?=3所以。+rf）Q+d）=15即/+癡_]2=0,

所以d=2或一6（舍去），所以，:2"44

（2）由⑴知，4=3+D-2、

所以耳=4+4+…+4=3+5+…+（2n+D-（2+4+巧

=3+2*12（1-2-）

Fn1-2

=01+孫”-（21-2）

=-2'H<+n2+2?+2

【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的求和公式以及利用“分組求和法”求數(shù)列前”

項(xiàng)和，屬于中檔題.利用”分組求和法“求數(shù)列前”項(xiàng)和常見類型有兩種：一是通項(xiàng)為兩個(gè)

公比不相等的等比數(shù)列的和或差，可以分別用等比數(shù)列求和后再相加減；二是通項(xiàng)為一個(gè)

等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的和或差，可以分別用等差數(shù)列求和、等比數(shù)列求和后再相加減.

19.某市隨機(jī)抽取部分企業(yè)調(diào)查年上繳稅收情況（單位：萬元），將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率

分布直方圖（如圖），年上繳稅收范圍是[0,100],樣本數(shù)據(jù)分組為[0,20）,[20,

40），[40,60）,[60,80）,[80,100].

(I)求直方圖中X的值;

(H)如果年上繳稅收不少于60萬元的企業(yè)可申請(qǐng)政策優(yōu)惠，若共抽取企業(yè)1200個(gè)，試

估計(jì)有多少企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠；

(III)從企業(yè)中任選4個(gè)，這4個(gè)企業(yè)年上繳稅收少于20萬元的個(gè)數(shù)記為X,求X的分布

列和數(shù)學(xué)期望.(以直方圖中的頻率作為概率)

參考答案：

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

專題：概率與統(tǒng)計(jì).

分析:(I)由直方圖可得：20X(x+0.025+0.0065+0.003X2)=1,解得x即可.

(II)企業(yè)繳稅收不少于60萬元的頻率=0.003X2X20=0.12,即可得出1200個(gè)企業(yè)中有

1200X0.12個(gè)企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠.

(III)X的可能取值為0,1,2,3,4.由(I)可得：某個(gè)企業(yè)繳稅少于20萬元的概率

11rkz_lxk(0)4-k

=0.0125X20=4.因此X?B(4,4),可得分布列為P(X=k)=，4'3’7,

1

(k=0,1,2,3,4),再利用E(X)=4xN即可得出.

解答：解：(I)由直方圖可得：20X(x+0.025+0.0065+0.003X2)=1,

解得x=0.0125.

(II)企業(yè)繳稅收不少于60萬元的頻率=0.003X2X20=0.12,

A1200X0.12=144.

.*.1200個(gè)企業(yè)中有144個(gè)企業(yè)可以申請(qǐng)政策優(yōu)惠.

(III)X的可能取值為0,1,2,3,4.

1

由(I)可得：某個(gè)企業(yè)繳稅少于20萬元的概率=0.0125X20=0.25=4

工

因此X?B(4,1),

rkz_l\k(g)4-k

.?.分布列為P(X=k)=4可,(k=0,1,2,3,4),

1

AE(X)=4x1=1.

點(diǎn)評(píng)：本題考查了頻率分布直方圖的有關(guān)性質(zhì)、隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布的分布列與數(shù)學(xué)

期望計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.

20.已知f(x)=|x+1+|x-2,g(x)=Ix+1-|x-a+a(aFR).

(I)解不等式f(x)W5；

(II)若不等式f(x)》g(x)恒成立，求a的取值范圍.

參考答案：

考點(diǎn)：絕對(duì)值不等式的解法.

專題：不等式的解法及應(yīng)用.

分析:(I)f(x)=|x+l|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，

而-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5,3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離

之和正好等于5,從而得到不等式f(x)W5的解集.

(II)由題意可得x-2+|x-a2a恒成立，而x-2|+x-a|的最小值為|2-a=Ia-

2,故有:a-2|2a,由此求得a的范圍.

解答：解：(I)f(x)=|x+l|+x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離

之和，

而-2對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5,3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到-1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離

之和正好等于5,

故不等式f(x)W5的解集為[-2,3L

(II)若不等式f(x)與g(x)恒成立，即|x-2|+x-a|》a恒成立.

而,x-2|+|x-a|的最小值為|2-a,=|a-2|,a-2|2a,

(2-a)=a：解得aW1,故a的范圍(-8,1].

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

21.(本題滿分14分)本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

sinA_y[3

在銳角LM8C中，a、b、c分別為內(nèi)角工、6、C所對(duì)的邊長，且滿足丁一萬.

(1)求N8的大?。?/p>

uS=也

(2)若力=或，口A3C的面積°助,4,求a+c的值.

參考答案：

a_bsin-4_抬_sinB?R4

sina=——

(1)由正弦定理：sin4sin5,得以2bb,2,（4分）

5=-

又由3為銳角，得3.(6分)

/、51ABe-大歐sin8^UABC--7~2

(2)2,又；4,ac=3,（8分）

根據(jù)余弦定理：b2=a2+c2-2￡tccosB=7+3=10,(12分)

222

...(a+c)=a+c+2ac=16(從而a+c=4.(14分)

1

22.已知函數(shù)f(x)=3x'-ax2+(a2-1)x+b(a,bGR).

(1)若x=l