2024屆湖北省武漢市華中師大一附中高三上學期期中數(shù)學試題及答案

華中師大一附中2023-2024學年度上學期高三期中檢測數(shù)學試題試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.zzzi2zi的模為（1.已知復數(shù)滿足，則B.2）A.1C.5D.D.5eABRA2x4,Bx∣x32已知集合，則（）20,20,21,21,2A.B.”是“sinAC.12π3.在中，“A”的（）6A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件的圖象的一部分如圖，則圖中的函數(shù)圖像對應的函數(shù)是（）fxsinx(0)4.已知函數(shù)1212x122yf2xyfA.C.B.D.xyf1yf2x125.在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，（）A.6B.-6C.3D.-3pLp20L，其中是音量（單位為dB是基準聲壓為pP06.在聲學中，音量被定義為：05Pa，是實際聲音壓強人耳能聽到最小音量稱為聽覺下限閾值經(jīng)過研究表明，人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中240對應的聽覺下限閾值為20dB，1000對應的聽覺下限閾值為0dB，則下列結論正確的是（P.的.2）A.音量同為20dB的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽到.B.聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.C.240的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002Pa.D.240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.a,b,c滿足eaabbcc，則a,b,c的大小關系為（7.若實數(shù)）A.acbB.abcacC.cabD.bππ62fxsinxx0),8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個極值點，且ππff0，則62的值可以是（）A.6B.7C.8D.9?二多項選擇題：本題共小題，每小題分，共4520分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.fx9.已知函數(shù)及其導函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，設函數(shù)gxgx，則（）fxexA.在區(qū)間a,b上是減函數(shù)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)B.xaC.在時取極小值D.在xb時取極小值ab210.已知abab，且，則（）1111222A.B.D.aba2bab2C.2a2b222在區(qū)間nπ有）fxsinxatanxn11.若函數(shù)2024個零點，則整數(shù)可以是（A.2022B.2023C.2024D.2025yfxx,y均滿足eysinxex2013esinxex2013，且對任12.已知定義在R上的函數(shù)圖象上任意一點yx，都有fxae2x1fx0恒成立，則下列說法正確的是（意）2023是奇函數(shù)fxfxsinxxA.B.D.1eC.是增函數(shù)fxa?4520分三填空題：本題共小題，每小題分，滿分yxa13.若直線與曲線yex1b1相切，則ab__________.14.杭州第19屆亞洲運動會，于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運會的會徽名為“潮涌，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號及象征亞奧理事會的太陽圖形.已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內環(huán)和外環(huán)1均為圓周的一部分，若內環(huán)弧長是所在圓周長的，內環(huán)所在圓的半徑為1，徑長（內環(huán)和外環(huán)所在圓的3半徑之差）為1，則該扇面的面積為__________.的面積關于時間S15.一只鐘表的時針與分針長度分別為3和4，設0點為0時刻，則t24S取得最大值的次數(shù)為（單位：時）的函數(shù)解析式為__________，一晝夜內（即t__________.16.如圖，在四邊形ABCD中，CD,2120，則面積的最大值為__________.?四解答題：本題共小題，共670分，解答應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.?π3fxsinx17.已知（1）求的單調遞增區(qū)間與對稱中心；fx32xa時，fx的取值范圍為a（2）當，求實數(shù)的取值范圍.πbc2asinC18.記的內角,B,C的對邊分別為a,b,c，已知.6（1）求A的值；（2）若BC交于點D,23，求面積的最小值.的平分線與fxxx(a0且a319.已知函數(shù)，a（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；fx1322（2）若函數(shù)有最大值fxlogaa，求實數(shù)的值.33區(qū)域為居民區(qū)，內的區(qū)域為內20.某城市平面示意圖為四邊形ABCDACD工業(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段AB和線段AD上分別選一處位置，分別記為點E和點F，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路EF，線段EF與線段AC交于點G，EG段和GF段修建道路每公里的費用分別為10萬元和20萬元，已知線段長2公里，線段AB和線段AD長均為6公里，πABAC,CAD，設AEG.6y（單位：萬元）與的關系式（不用求（1）求修建道路的總費用y（2）求修建道路的總費用的最小值.21.已知函數(shù)xsinxsinx,xπ,0fxe（1）求的零點個數(shù)；fx4kfx0（2）若恒成立，求整數(shù)k的最大值.ex2xfx2x3kxx,x,xx122.已知函數(shù)有三個極值點，且.2123x（1）求實數(shù)的取值范圍；kf3f1k2（2）若2是的一個極大值點，證明：k.fx31e華中師大一附中2023-2024學年度上學期高三期中檢測數(shù)學試題命題人：余文抒徐聰王文瑩審題人：王文瑩試卷滿分：150分考試時間：120分鐘一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.zzzi2zi的模為（1.已知復數(shù)滿足，則B.2）A.1C.5D.5【答案】D【解析】z,【分析】先化簡求出再根據(jù)共軛復數(shù)定義求出zi,最后根據(jù)模長公式求解即可.21i221i1i1izzi2zz1i【詳解】,1i2ziz,zi=1=12+2=5.2故選:D.eABRA2x4,Bx∣x32.已知集合，則（）20,20,21,21,2D.A.B.C.【答案】C【解析】eAR【分析】利用指數(shù)函數(shù)單調性求解集合A，從而求解B，最后利用交集運算即可求解.，利用對數(shù)函數(shù)單調性結合整數(shù)概念求解集合eAxx2，Ax2x4xx2【詳解】因為集合，所以R2,3,4,5,7BxZx3xZ0x23又，2B1,2eAR所以.故選：C12π”是“sinA3.在中，“A”的（）6A.充分不必要條件【答案】BB.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【解析】1π5π【分析】結合正弦函數(shù)的性質由sinA，可得A，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義判斷即可.266Aπ，【詳解】在中，1π5π由sinA，可得A，2661π所以“A”是“sinA”的必要不充分條件.62故選：B.的圖象的一部分如圖，則圖中的函數(shù)圖像對應的函數(shù)是（）fxsinx(0)4.已知函數(shù)1212x122yf2xyfA.C.B.D.xyf1yf2x12【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的平移伸縮可以得出函數(shù)關系.1【詳解】fxsinx0)fxsinx,,1sin=π,1過點2得2由圖1和圖2可知：函數(shù)的周期減半，就是fxf2x,1圖1→圖2說明圖象向右平移單位，2yf2x的圖象．得到故選:D.5.在邊長為2的正六邊形ABCDEF中，（）A.6B.-6C.3D.-3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意建立平面直角坐標系，利用坐標表示向量，設出,C,B,F的坐標，求出即可得出答案．FAE30，有EAAB，【詳解】正六邊形ABCDEF中，每個內角都是，F(xiàn)EA以A為原點，AB為x軸，AE為y軸，，建立平面直角坐標系，如圖所示：123F3，則有2，因為，，2，(0,0)B(2,0)C3所以，，AC3)，3，3333936.由平面向量數(shù)量積的運算可得故選：B．pLp20L，其中是音量（單位為dB是基準聲壓為pP06.在聲學中，音量被定義為：05Pa，是實際聲音壓強人耳能聽到的最小音量稱為聽覺下限閾值經(jīng)過研究表明，人耳對于不同頻率的聲音有不同的聽覺下限閾值，如下圖所示，其中240對應的聽覺下限閾值為20dB，1000對應的聽覺下限閾值為0dB，則下列結論正確的是（P..2）A.音量同為20dB的聲音，30~100的低頻比1000~10000的高頻更容易被人們聽到.B.聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大而減小.C.240的聽覺下限閾值的實際聲壓為0.002Pa.D.240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值實際聲壓的10倍.【答案】D【解析】【分析】對于選項A、B，可以直接觀察圖像得出聽覺下限閾值與聲音頻率的關系進行判斷；對于C、D，pLp20通過所給函數(shù)關系代入聽覺下限閾值計算即可判斷.0【詳解】對于A，30~100的低頻對應圖像的聽覺下限閾值高于20dB，1000~10000的高頻對應的聽覺下限閾值低于20dB，所以對比高頻更容易被聽到，故A錯誤；對于B，從圖像上看，聽覺下限閾值隨聲音頻率的增大有減小也有增大，故B錯誤；對于C，240對應的聽覺下限閾值為20dB，P0210Pa，5pLp2020p1000.0002Pa，此時，故C錯誤；令0對于D，1000的聽覺下限閾值為0dB，pLp200，此時pp，所以240的聽覺下限閾值的實際聲壓為1000的聽覺下限閾值0令0實際聲壓的10倍，故D正確.故選：D.a,b,c滿足eaabbcc，則a,b,c的大小關系為（7.若實數(shù)）A.acbB.abcD.bacC.cab【答案】A【解析】【分析】由切線放縮可求，根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質和正弦值域可判斷b，由不等式的關系可判斷bca.，則，易知當fx時，0sin1<1，當x0fxexx1時，設ex1x0【詳解】因為f0e010fxx0x1；，當x0時，單調遞增，所以ex所以sin1=eaaa1aa0；由已知可得b0，因為0sin1<1，所以0b1；b0，所以bsin1b；因為c0c0，所以csin1cb；故acb；故選：Aππ62fxsinxx0),8.已知函數(shù)在區(qū)間上恰有兩個極值點，且ππff0，則62的值可以是（）A.6B.7C.8D.9【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)輔助角公式計算化簡函數(shù)，再結合選項得出矛盾判斷A,B,D選項，再計算說明C選項正確即可.π3fxsinxx=2sinx【詳解】,ππ36π2π3π303,A=6時,fx6xff=2sinπ+2sin3π3當選項錯誤;ππ36π27ππ637ππ23當時,項錯誤;210,B選fx7xff=2sin+2sinππ36π9ππ639ππ23當時,2110,fx9xff=2sin+2sinππ62π11π29π6π3x,,9x,fx9x,6恰有三個極值點，D選項錯誤;3ππ36π8ππ638ππ23時fx8xff=2sin+2sin330,當,2ππ62π5π13π33π3x,,8x,fx8x,恰有兩個極值點，C選項正確;3故選:C.?二多項選擇題：本題共小題，每小題分，共4520分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.fx9.已知函數(shù)及其導函數(shù)fx的部分圖象如圖所示，設函數(shù)gxgx，則（）fxexA.在區(qū)間a,b上是減函數(shù)在區(qū)間a,b上是增函數(shù)B.xaC.在時取極小值D.在xb時取極小值【答案】BC【解析】fxfx【詳解】根據(jù)圖象得到的符號，即可得到gxgx的符號，進而得到的單調性和極值.xafxfxfxfx，當axb時，00，【分析】結合圖像可知，當時fxfx0，xb當時，fxfxgx，因xe0，exfxfxxa時，gx在區(qū)間上單調遞減，0，gx,a故當exfxfx當axb時，gx，gx在區(qū)間a,b上單調遞增，0exfxfxxb當時，gx，gx在區(qū)間b,上單調遞減，0ex故在處取得極小值，在xb處取得極大值，gxxa故選：BCab210已知abab，且，則（）11112ab22A.B.D.a2bab2C.2a22b22【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)基本不等式即可結合選項逐一求解.ba1111112ba1b2baabab2222，即ab時，當且僅當【詳解】ab2abaab112取等號，由于a1b，所以，A正確，aba2b21111211由于ab1，22，當且僅當且ab時，即ab時取等2b2a2b2aba2b2a1122，B正確，號，由于a1b，所以a2bab2abab由以及可得2a2b22a2b22ab4，2b，即ab時取等號，由于a1b，所以2242，故C正確，當且僅當2aabbaababab10ab，當且僅當，即時取等號，由于ab，12222ab0所以D錯誤，22故選：ABC在區(qū)間nπ有）fxsinxatanxn個零點，則整數(shù)可以是（11.若函數(shù)2024A.2022B.2023C.2024D.2025【答案】BCD【解析】fxsincosxatanx0【分析】令sincosxatanx，將函數(shù)零點轉化為兩個函數(shù)，則ygxyatanx與的交點，結合函數(shù)性質以及函數(shù)圖象分析判斷.fxsincosxatanx0，則【詳解】令sincosxatanx，gxsincosx對于函數(shù)，x，可知gxsincosxsin1由，因為gx2πxxgx，sin2πsin且xxsincosxgx，g2πsin2π的周期為2π，且關于直線對稱，gxxπ又因為，gxcosxsinxxπx1,sinx，且x0，當，則可知πgx，則在上單調遞減，gxcosxsinx0可知在,2π上單調遞增，gxπ若a0時，因為yx的定義域為x|xπ,kZ，2，無零點，不合題意，x0，可知fxsinx0則若a0時，結合圖象可知：交點，a0，éπ?π÷???÷?3π3π22ygx與ya,,π÷π,,,2πtanx在÷?÷?內各有一個交點，在內沒有ê2?2所以fxsinxatanx在π內有個零點，在π,2π2ygx與ya周期為2π，fxtanx因為2π的周期均為，則fxsinxatanx結合周期可知：若數(shù)在區(qū)間nπ有n個零點，則整數(shù)可以是20242023或2024，a0a0，若時，éπ?π÷???÷?3π3π22ygx與ya,÷,ππ,,,2πtanx結合圖象可知：交點，在÷?÷?內沒有交點，在內各有一個ê2?2fxsinxatanxπ內沒有零點，在π,2π內有2所以在fxsinxatanx結合周期可知：若數(shù)在區(qū)間nπ有n個零點，則整數(shù)可以是20242024或2025；n綜上所述：整數(shù)可以是2023或2024或2025.故選：BCD.【點睛】關鍵點睛：將函數(shù)轉為兩個函數(shù)：gxyatanx與的零點，結合函數(shù)性質分析判fxy斷，并注意討論a的符號.yfx圖象上任意一點x,y均滿足eysinxex2013esinxex2013，且對任12.已知定義在R上的函數(shù)yx，都有fxae2x1fx0恒成立，則下列說法正確的是（意）2023是奇函數(shù)fxfxsinxxA.B.D.1eC.是增函數(shù)afx【答案】BCD【解析】【分析】利用函數(shù)gx=exex的單調性可求fxsinxx2013判斷A，根據(jù)奇函數(shù)的定義判斷B，根xx上恒成立，a據(jù)導數(shù)符號判斷函數(shù)的單調性判斷C構造函數(shù)求解最值即可判斷D.在2x1ex2013sinxyex2013eysinx【詳解】eysinxee，有eysinx=ex2013ex2013，記xex，則gx=exex0，所以gx=eex在R上單調遞增，xgx=efxsinxx2013所以因為ysinxx2013，所以，故選項A錯誤；x20132013sinxxfsinxxfx且定義域關于原點對稱，R所以是奇函數(shù)，故選項B正確；fx記fxcosx2013x2012，x，則，hxsinx20132012x2011，xhxxysinxxycosx10，則，對，因為ysinxx單調遞減，即函數(shù)在x0y0，則sinxx0，即sinxx20132012x2011x，又時，，根據(jù)冪函數(shù)性質知hxsinx20132012x2011xsinx0所以，所以函數(shù)fxcosx2013x2012在上單調遞增，hx所以f010fxsinxx，所以函數(shù)2013在上單調遞增，fx又是奇函數(shù)，由奇函數(shù)性質知是增函數(shù)，故選項C正確；fxfxx，都有fxae2x1fx0恒成立，因為對任意在上恒成立，fxae2x1fxfx所以xx上恒成立，在a所以xae2x1x即2x1e1m(x)x1xx(x)1x1記，，則，當m(x)0時，，x當m(x)0時，x1，當m(x)0時，0x1，m(x)x1x上單調遞增，在上單調遞減，在所以所以m(x)x1xm0x1x，所以，xxx2x22x1xnxxxnx，則所以，，記，，2x1e2x1e2x1e2x1en(x)0x1，當n(x)00x1，當n(x)0時，x1，當時，時，x2在上單調遞減，在上單調遞增，所以nx2x1ee21exxx所以nxn11，當且僅當時等號成立，x1，所以2x1e2x11ea所以，故選項D正確.故選：BCD【點睛】方法點睛：對于利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題的求解策略：1、通常要構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構造新函數(shù)，直接把問題轉化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構造的新函數(shù)能直接求出最值點的情況，進行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別.三填空題：本題共小題，每小題分，滿分20分?45yxa13.若直線與曲線yex1b1相切，則ab__________.【答案】1【解析】【分析】求導，結合導數(shù)的幾何意義分析求解.x1，e【詳解】因為yex1，則yb111x10ab1設切點坐標為，則，解得x,y.00b10x1ea故答案為：1.14.杭州第19屆亞洲運動會，于2023年9月23日至10月8日在中國浙江省杭州市舉行，本屆亞運會的會徽名為“潮涌，主體圖形由扇面、錢塘江、錢江潮頭、賽道、互聯(lián)網(wǎng)符號及象征亞奧理事會的太陽圖形.已知該扇面呈扇環(huán)的形狀，內環(huán)和外環(huán)1均為圓周的一部分，若內環(huán)弧長是所在圓周長的，內環(huán)所在圓的半徑為1，徑長（內環(huán)和外環(huán)所在圓的3半徑之差）為1，則該扇面的面積為__________.π【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意求出內環(huán)圓弧所對的圓心角，并求出外環(huán)圓弧所在圓的半徑，利用扇形的面積公式可求得該扇面的面積.1【詳解】設內環(huán)圓弧所對的圓心角為，因為內環(huán)弧長是所在圓周長的，且內環(huán)所在圓的半徑為1，312π12π1，可得所以，，33因為徑長（內環(huán)和外環(huán)所在圓的半徑之差）為1，所以，外環(huán)圓弧所在圓的半徑為112，12ππ222因此，該扇面的面積為.23π故答案為：.的面積關于時間S15.一只鐘表的時針與分針長度分別為3和4，設0點為0時刻，則t24S取得最大值的次數(shù)為（單位：時）的函數(shù)解析式為__________，一晝夜內（即t__________.π6nS6|sint|（t0，且t,nN）【答案】【解析】①.②.44611【分析】根據(jù)給定條件，求出，再利用三角形面積公式列式即得；探求面積函數(shù)的周期即可計算得解.πrad/h【詳解】旋轉的角速度為π，旋轉的角速度為2rad/h，611t2π2πt2πkZ或，，661π6nS34|sinAOB6|sint|，而當t,nN時，不能構成三角形，2611π6nS6|sint|（t0，且t,nN所以2444的周期為且每個周期僅出現(xiàn)一次最大值，而611π66S6|sint|顯然函數(shù)，61111所以S取得最大值的次數(shù)為44.π6nS6|sint|（t0，且t,nN44故答案為：61116.如圖，在四邊形ABCD中，CD,2120，則面積的最大值為__________.【答案】33【解析】【分析】通過證明【詳解】由題意，是等邊三角形并得出邊長，即可求出三角形面積的最大值.ABCDBDABC120，在四邊形中，∴60,180,ABCD∴四邊形四點共圓，在ACD中，ADCD，120,∴ACD是等腰三角形，ACDCAD30，中，2120在∴60，133ABBC2,SABBCsinABCABBC2248ABBC當且僅當時，等號成立，ABBCBDAC,垂直平分∵當時，∴ACBD,2是等邊三角形，，11ABDCBDABC30ADECDEADC60∴,22∴BCD180306090,∴AE3DE,BE3AE3,∵BDBE44,∴AE3,AC2AE23332面積的最大值為SAC22333,∴44故答案為：33.?四解答題：本題共小題，共670分，解答應寫出必要的文字說明證明過程或演算步驟.?π3fxsinx17.已知（1）求的單調遞增區(qū)間與對稱中心；fx32xa時，fx的取值范圍為a，求實數(shù)的取值范圍.（2）當ππ3ππ12122π,+kZ，,kZ【答案】（1）6π2π,（2）33【解析】1）先利用三角恒等變換將函數(shù)表達式化簡，然后根據(jù)正弦的單調遞增區(qū)間與對稱中心的定義計算即可得解.32xaxx時，其中1x0|fx，（2）畫出函數(shù)圖象分析可知當且僅當12xx0|fx0，滿足題意，從而計算即可得解.2【小問1詳解】π3123fxsinx由題意2sinxsinxx2311π162sin2x3sinxxsin2x2xsin2x，222ππππππx+kZ,解得，2π2x2+kZ令令26263πππkZ2xπkZ，解得x，6212ππ3ππ1kZ.所以的單調遞增區(qū)間與對稱中心分別為，fxπ,+kZ,62122【小問2詳解】π162的函數(shù)圖象如圖所示，fxsin2x32xa時，fx的取值范圍為由題意當，32xaxx1x0|fx，xx0|fx2故當且僅當，其中，12π16232π6ππfxsin2x令sin2x1，即2x2πkZ，，得62πxπkZ，解得所以332ππxx0|fxx0|xπ,kZ，133π162π612ππfxsin2x令0，得sin2x2πkZ或，即2x66π7π2x2πkZ，662πxπkZ或πkxZ，解得所以332π2πxx0|fxx0|x或xπ,kZ，1233π2π33綜上所述：滿足題意的實數(shù)a的取值范圍為,.πbc2asinC18.記的內角,B,C的對邊分別為a,b,c，已知.6（1）求A的值；（2）若BC交于點D,23，求面積的最小值.的平分線與π【答案】（1）A3（2）43【解析】π162sinA1）根據(jù)題意，利用正弦定理和三角恒等變換化簡得，再結合正弦函數(shù)的性質分析求解；（2）根據(jù)題意得CAD，結合SSS，得到bc2bc，結合基本不等式，即可求解.【小問1詳解】ππbc2asinCsinBsinC2sinAsinC因為，由正弦定理可得，66sinBsinCsinACsinCsinACAsinCsinC，則π6312sinAsinC2sinAsinCcosC3sinAsinCsinAcosC，22即sinACAsinCsinC3sinAsinCsinAC，可得3sinAsinCcosAsinCsinC，Cπ，則sinC0因為，則3sinAA1，π162sinA整理得又因為，ππ5π66Aπ，則A,，6πππAA，所以可得.663【小問2詳解】π因為AD平分且AD22，所以BADCAD，613121112SSSb23由，可得bcc23，2222bc2bc4bc，當且僅當時，等號成立，bc整理得，則131643．故面積的最小值為22fxxx(a0且a319.已知函數(shù)，a（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；fx12323（2）若函數(shù)有最大值，求實數(shù)的值.fxlogaa3【答案】（1）答案見解析（2）e【解析】1）首先對求導，然后分fx0a1a1和討論導函數(shù)的符號，從而即可得解.111122a（2）結合（1）中分析可知，當且僅當，通過構造函數(shù)aa33lna3lna333123gxxxgxg即可得解.，說明a3【小問1詳解】1fx2fx，分以下兩種情形來討論函數(shù)的單調區(qū)間，3x,x0由題意xa13x2x0，情形一：當0a1時，afxxa所以的單調遞減區(qū)間為，沒有單調遞增區(qū)間.fx113xa3a13x20，情形二：當時，令afxxaxa1解得x0，33lna113x3a113xa3xfx0x,fx0，當3時，，當3時，3lna3axaxa11所以的單調遞增區(qū)間為，單調遞減區(qū)間為,.fx333lna3lna綜上所述：當0a1時，的單調遞減區(qū)間為，沒有單調遞增區(qū)間；fx的單調遞增區(qū)間為fx時，，單調遞減區(qū)間為11a1,.當333lna3lna【小問2詳解】13232由題意若函數(shù)有最大值，fxloga31有最大值，a1fxfxf則由（1）可知當且僅當時，33lna3111111122因此fa，333aa3lna3lna3lna33lna3lna13xa33311gxxxgx1,xa1不妨令，求導得，a33xa3xa13xa10，gx0x令當，解得3xa3lna113xa3xa13lna13xa3xaxx,gx0，時，gx0，當時，3lna1313lna13lnagx,上單調遞減，xx所以在上單調遞增，在a111122所以gx，aa33lna3lna3331231a,ae1故只能，解得符合題意；3lna2綜上所述，滿足題意的實數(shù)a的值為e.20.某城市平面示意圖為四邊形ABCDACD內的區(qū)域為居民區(qū)，內的區(qū)域為工業(yè)區(qū)，為了生產(chǎn)和生活的方便，現(xiàn)需要在線段AB和線段AD上分別選一處位置，分別記為點E和點F，修建一條貫穿兩塊區(qū)域的直線道路EF，線段EF與線段AC交于點G，EG段和GF段修建道路每公里的費用分別為10萬元和20萬元，已知線段長2公里，線段AB和線段AD長均為6公里，πABAC,CAD，設AEG.6y（單位：萬元）與的關系式（不用求（1）求修建道路的總費用y（2）求修建道路的總費用的最小值.20sin20π3y【答案】（1）sin（2）80萬元【解析】1π32sinEG，進而可得解析式；1）根據(jù)題意結合正弦定理可得，sinπ380sinπ33ytsin（2）利用三角恒等變換整理可得，換元令，結合函數(shù)單π324sin23調性求最值.【小問1詳解】AG2在Rt△AEG中，因為sin，可得EG，sinAEGsinπ在AFG中，可知AFG，3AGsin1π3AG由正弦定理，可得sinAFG，sinsinGAFsinAFG20sin20π3y10EG.所以sin【小問2詳解】2020204020sin203cosy由（1）可知：sinπsin3sin3sinsin2sin3π3π380sin80sin，2ππ32cos14sin233πππ2π0,333因為令，則，3t80π33ytsin,1，則t233，t2t3333yt,ytyt且在上單調遞增，可知在上單調遞增，t2t280y3t233在所以4上單調遞減，t2tπ當t1，即時，修建道路的總費用y取到最小值80萬元.621.已知函數(shù)xsinxsinx,xπ,0fxe（1）求的零點個數(shù)；fx4kfx0（2）若恒成立，求整數(shù)的最大值.k【答案】（1）2個（2）1【解析】exex1）令fxexsinxsinx0gxsinx可得，利用導數(shù)判斷出函數(shù)在x1x1exxπ,0在π,0sinx上的單調性，利用函數(shù)與方程的思想畫出函數(shù)gx與y內的圖象，x1根據(jù)交點個數(shù)即可求得的零點個數(shù)；fxxex，sinxx在xπ,0上恒成立，則可得（2）易知ex，求出1xsinxx11xxyx2x1在xπ,0上的最小值即可得fx2π22π1k，便可知整數(shù)k的最大值為1.4【小問1詳解】根據(jù)由題意可知，令fxesinxsinx0，xexxπ,0sinx；又，整理可得x1exxexexx2exgxπ,0，則令gx,x，x1x2x2exx2xπ,0gx時，<20顯然當恒成立，x1exex在π,0上單調遞減，且gxxπ,0<0在所以可得gx上恒成立，x1x1π2π,0ysinxπ,易知函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增；2eπ1ππ2>0g，sinsin00>g01且sinππex畫出函數(shù)gx,xπ,0和函數(shù)ysinx,xπ,0在同一坐標系下的圖象如下圖所示：x1ex在區(qū)間π,0上有兩個交點，由圖可知函數(shù)gxsinxy與x1即可得函數(shù)xsinxsinx,xπ,0有兩個零點；fxe【小問2詳解】fx4kfx0k若恒成立，可得，4hxxsinx,xπ,0令，則在π,0上恒成立，hx1cosx0即可得hxxsinxπ,0上單調遞增，所以hxxsinxh00在，xsinx0π,0上恒成立，即sinx在x所以；xe令xxx1,xπ,0，則xe10在π,0上恒成立，x即xex在π,0上單調遞減，即xex00x，ex在π,0上恒成立，x所以可得fxexsinxsinxex1xsinxx11xxx22x1；易知函數(shù)yx2x1在xπ,0上單調遞增，因此y2π22π1，π22π1yπ22π14kk即可得即只需，4π2π12.579621,0，所以k1；易知44注意到，由（1）可知，由有兩個零點可知，必存在xπ,00，使得4kfx0不恒成立；f00，fx4kfx0，故fx所以當k0時，00綜上，整數(shù)的最大值為1.kex2xfx2x3kxx,x,xx122.已知函數(shù)有三個極值點，且.2123x（1）求實數(shù)的取值范圍；kf3f1k2（2）若2是的一個極大