工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(同濟(jì)大學(xué)第六版)課后習(xí)題答案

工程數(shù)學(xué)線性代數(shù)(同濟(jì)大學(xué)第六版)課后習(xí)題答案緒論與基本概念矩陣及其運(yùn)算向量組的線性相關(guān)性線性方程組特征值與特征向量及相似對(duì)角化contents目錄緒論與基本概念01向量空間研究向量及其線性組合的性質(zhì)，包括向量的加法、數(shù)乘等運(yùn)算。線性變換研究向量空間之間的線性映射，即保持向量加法與數(shù)乘運(yùn)算不變的映射。矩陣作為線性變換的表示工具，研究矩陣的運(yùn)算性質(zhì)以及與向量之間的關(guān)系。行列式研究方陣的性質(zhì)以及求解線性方程組等問(wèn)題。線性代數(shù)的研究對(duì)象行列式的定義與性質(zhì)行列式的定義由方陣元素按一定規(guī)則組成的數(shù)值，表示方陣所代表的線性變換的某種性質(zhì)。行列式的性質(zhì)包括行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等、互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)、行列式的某一行（列）的所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式等。由數(shù)值組成的矩形陣列，表示線性變換在某種基下的矩陣表示。矩陣的概念包括矩陣的加法、數(shù)乘、乘法以及轉(zhuǎn)置等運(yùn)算，滿(mǎn)足一定的運(yùn)算律。矩陣的運(yùn)算矩陣的概念及運(yùn)算給定向量組和一組標(biāo)量，將向量組的每個(gè)向量乘以對(duì)應(yīng)的標(biāo)量后相加，所得結(jié)果稱(chēng)為這組向量的線性組合。若向量b可以表示為向量組a1,a2,...,am的線性組合，則稱(chēng)向量b可以由向量組a1,a2,...,am線性表示。向量的線性組合與線性表示向量的線性表示向量的線性組合三階行列式的計(jì)算通過(guò)降階法或拉普拉斯展開(kāi)定理進(jìn)行計(jì)算。特殊的三階行列式對(duì)于某些具有特殊性質(zhì)的三階行列式，可以采用特定的方法進(jìn)行計(jì)算，如范德蒙德行列式。二階行列式的計(jì)算直接應(yīng)用二階行列式的計(jì)算公式進(jìn)行計(jì)算。二階與三階行列式由n個(gè)數(shù)表成的n階方陣所確定的數(shù)稱(chēng)為n階行列式。n階行列式的定義在n階行列式中，不同行不同列的n個(gè)數(shù)的乘積代數(shù)和稱(chēng)為n階行列式的值。其中數(shù)的排列順序?qū)π辛惺降闹涤杏绊?，需要確定排列的逆序數(shù)。排列與逆序n階行列式的定義03行列式的性質(zhì)3如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零。01行列式的性質(zhì)1行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等。02行列式的性質(zhì)2互換行列式的兩行（列），行列式變號(hào)。行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)5行列式中某一行（列）的所有元素的公因子可以提到行列式符號(hào)的外面。行列式的性質(zhì)7把行列式某一行（列）的元素乘以一個(gè)數(shù)后加到另一行（列）對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。行列式的性質(zhì)6行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式等于零。行列式的性質(zhì)4行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一數(shù)k，等于用數(shù)k乘此行列式。行列式的性質(zhì)余子式和代數(shù)余子式在n階行列式中，把元素aij所在的第i行和第j列劃去后，留下來(lái)的n-1階行列式叫做元素aij的余子式，記作Mij；記Aij=(-1)^(i+j)Mij，Aij叫做元素aij的代數(shù)余子式。行列式按行（列）展開(kāi)法則行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和。即D=ai1Ai1+ai2Ai2+...+ainAin或D=a1jA1j+a2jA2j+...+anjAnj。行列式按行（列）展開(kāi)矩陣及其運(yùn)算0203矩陣的加法與數(shù)乘統(tǒng)稱(chēng)為矩陣的線性運(yùn)算01矩陣的加法滿(mǎn)足交換律和結(jié)合律02數(shù)乘矩陣滿(mǎn)足分配律矩陣的加法與數(shù)乘123矩陣的乘法不滿(mǎn)足交換律但滿(mǎn)足結(jié)合律和分配律矩陣的乘法與數(shù)乘可以交換順序單位矩陣在矩陣乘法中起著特殊作用，類(lèi)似于數(shù)的乘法中的1矩陣的乘法矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣的轉(zhuǎn)置是把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣矩陣的轉(zhuǎn)置滿(mǎn)足$(A+B)'=A'+B'$，$(kA)'=kA'$（$k$為常數(shù)），$(AB)'=B'A'$方陣的行列式滿(mǎn)足以下性質(zhì)$|kA|=k^n|A|$（$k$為常數(shù)）若方陣$A$可逆，則$|A|neq0$，且$|A^{-1}|=1/|A|$$n$階方陣$A$的行列式記作$|A|$或$det(A)$，是一個(gè)數(shù)值$|A^T|=|A|$$|AB|=|A||B|$010203040506方陣的行列式及其性質(zhì)向量組的線性相關(guān)性03向量組由若干個(gè)同維數(shù)的列向量（或行向量）所組成的集合。線性組合設(shè)向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$，對(duì)于任意一組實(shí)數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，表達(dá)式$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m$稱(chēng)為向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$的一個(gè)線性組合。向量組及其線性組合VS如果存在不全為零的實(shí)數(shù)$k_1,k_2,ldots,k_m$，使得$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱(chēng)向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性相關(guān)。線性無(wú)關(guān)如果只有當(dāng)$k_1=k_2=ldots=k_m=0$時(shí)，才有$k_1a_1+k_2a_2+ldots+k_ma_m=0$，則稱(chēng)向量組$a_1,a_2,ldots,a_m$線性無(wú)關(guān)。線性相關(guān)向量組的線性相關(guān)性1.$A_0$線性無(wú)關(guān)。2.向量組$A$中任意$r+1$個(gè)向量（如果存在的話(huà)）都線性相關(guān)。向量組的秩：向量組$A$的極大無(wú)關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱(chēng)為向量組$A$的秩，記作$R(A)$。則稱(chēng)$A_0$是向量組$A$的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)組，簡(jiǎn)稱(chēng)極大無(wú)關(guān)組。極大線性無(wú)關(guān)組：設(shè)向量組$A$的部分組$A_0:a_{i1},a_{i2},ldots,a_{ir}$滿(mǎn)足向量組的秩向量空間及其基與維數(shù)設(shè)$V$是數(shù)域$P$上的一個(gè)非空集合，如果集合$V$對(duì)于加法、數(shù)乘兩種運(yùn)算封閉，且滿(mǎn)足八條運(yùn)算法則，則稱(chēng)集合$V$為數(shù)域$P$上的一個(gè)線性空間或向量空間。向量空間設(shè)$V$是數(shù)域$P$上的一個(gè)線性空間，如果存在正整數(shù)$n$和$V$中的$n$個(gè)線性無(wú)關(guān)的向量$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$，使得$V$中任意向量$alpha$都可以由它們線性表示，則稱(chēng)$alpha_1,alpha_2,ldots,alpha_n$是線性空間$V$的一個(gè)基，稱(chēng)正整數(shù)$n$為線性空間$V$的維數(shù)，記作$dimV=n$。基與維數(shù)線性方程組04求解齊次線性方程組的基本方法01通過(guò)高斯消元法或克拉默法則求解齊次線性方程組。齊次線性方程組的解的性質(zhì)02齊次線性方程組的解構(gòu)成向量空間，解的性質(zhì)包括線性組合、數(shù)乘封閉性等。齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系和通解03基礎(chǔ)解系是齊次線性方程組的一個(gè)極大線性無(wú)關(guān)解組，通解可以表示為基礎(chǔ)解系的線性組合。齊次線性方程組01通過(guò)高斯消元法或克拉默法則求解非齊次線性方程組。求解非齊次線性方程組的基本方法02非齊次線性方程組的解不具有向量空間的性質(zhì)，但滿(mǎn)足疊加原理。非齊次線性方程組的解的性質(zhì)03特解是非齊次線性方程組的一個(gè)解，通解可以表示為特解與對(duì)應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系的線性組合。非齊次線性方程組的特解和通解非齊次線性方程組線性方程組的應(yīng)用舉例線性方程組在幾何中的應(yīng)用通過(guò)求解線性方程組可以確定平面或空間中點(diǎn)的位置、直線或平面的方程等。線性方程組在電路分析中的應(yīng)用通過(guò)求解線性方程組可以確定電路中各支路的電流或電壓。線性方程組在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的應(yīng)用通過(guò)求解線性方程組可以確定市場(chǎng)均衡價(jià)格、消費(fèi)者均衡等。線性方程組在化學(xué)計(jì)量學(xué)中的應(yīng)用通過(guò)求解線性方程組可以確定化學(xué)反應(yīng)的計(jì)量關(guān)系、反應(yīng)進(jìn)度等。特征值與特征向量及相似對(duì)角化05特征值與特征向量的定義設(shè)A是n階方陣，如果存在數(shù)λ和非零n維列向量x，使得Ax=λx成立，則稱(chēng)λ是A的特征值，x是A的對(duì)應(yīng)于特征值λ的特征向量。特征多項(xiàng)式與特征方程設(shè)A是n階方陣，則|λE-A|稱(chēng)為A的特征多項(xiàng)式，|λE-A|=0稱(chēng)為A的特征方程。特征方程是一個(gè)n次方程，它的n個(gè)根就是A的n個(gè)特征值（包括重根）。特征值與特征向量的計(jì)算步驟首先求出特征多項(xiàng)式并令其等于0，解出特征值；然后將每個(gè)特征值代入原方程求出對(duì)應(yīng)的特征向量。特征值與特征向量的概念及計(jì)算010405060302相似矩陣的定義：設(shè)A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P，使得P^(-1)AP=B，則稱(chēng)B是A的相似矩陣，或說(shuō)A和B相似。相似矩陣的性質(zhì)相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值。若A與B相似，則A與B的行列式相等，即|A|=|B|。若A與B相似，則A與B的秩相等，即r(A)=r(B)。若A與B相似，則A與B具有相同的跡，即tr(A)=tr(B)。相似矩陣的概念及性質(zhì)矩陣可相似對(duì)角化的條件n階矩陣A可對(duì)角化的充分必要條件是A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。或者說(shuō)，