初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(七年級上)

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(1)

數(shù)的整除(一)

內(nèi)容提要：

如果整數(shù)A除以整數(shù)B(BWO)所得的商A/B是整數(shù)，那么叫做A被B整除.0能被所有非零的整

數(shù)整除.

一些數(shù)的整除特征

除數(shù)能被整除的數(shù)的特征

2或5末位數(shù)能被2或5整除

4或25末兩位數(shù)能被4或25整除

8或末三位數(shù)能被8或125整除

125

3或9各位上的數(shù)字和被3或9整除(如771,54324)

奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位上的數(shù)和相減，其差能被11整

11除

(如143,1859,1287,908270等)

7,11,13從右向左每三位為一段，奇數(shù)段的各數(shù)和與偶數(shù)段的各數(shù)

和相減，其差能被7或11或13整除.(如1001,22743,

17567,21281等)

能被7整除的數(shù)的特征:

①抹去個(gè)位數(shù)②減去原個(gè)位數(shù)的2倍③其差能被7整除。

如1001100—2=98(能被7整除)又如7007700-14=686,68—12=56(能被

7整除)

能被11整除的數(shù)的特征：

①抹去個(gè)位數(shù)②減去原個(gè)位數(shù)③其差能被11整除

如1001100—1=99(能11整除)又如102851028-5=1023102—3=99(能

11整除)

例題

例1已知兩個(gè)三位數(shù)就和如的和仍是三位數(shù)期且能被9整除。求x,y

解：x,y都是0到9的整數(shù)，?.?期能被9整除，，y=6.V328+2^9=567,.,.x=3

例2己知五位數(shù)1234A-能被12整除，求X

解：???五位數(shù)能被12整除，必然同時(shí)能被3和4整除，

當(dāng)1+2+3+4+X能被3整除時(shí)，x=2,5,8當(dāng)末兩位灰能被4整除時(shí)，X=0,4,8/.

X=8

例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位數(shù)

解：五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10234,

但(1+2+4)-(0+3)=4,不能被11整除，只調(diào)整末位數(shù)仍不行

調(diào)整末兩位數(shù)為30,41,52,63,均可，五位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)是10263。

練習(xí)

1.分解質(zhì)因數(shù)：(寫成質(zhì)因數(shù)為底的累的速乘積)

①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296

2.若四位數(shù)標(biāo)能被3整除，那么a=

3.若五位數(shù)也而能被11整除，那么X=-

4.當(dāng)m=時(shí)，方而能被25整除

5.當(dāng)n=時(shí)，9610〃能被7整除

6.能被11整除的最小五位數(shù)是，最大五位數(shù)是

7.能被4整除的最大四位數(shù)是,能被8整除的最小四位數(shù)是

8.8個(gè)數(shù)：①125,②756,③1011,④2457,⑤7855,⑥8104,⑦9152,⑧70972中，能被下列各數(shù)

整除的有（填上編號）：6,8,9,11

9.從1至U100這100個(gè)自然數(shù)中，能同時(shí)被2和3整除的共個(gè)，

能被3整除但不是5的倍數(shù)的共個(gè)。

10.由1,2,3,4,5這五個(gè)自然數(shù)，任意調(diào)換位置而組成的五位數(shù)中，不能被3整除的數(shù)共有

幾個(gè)？為什么？

11.己知五位數(shù)1234A能被15整除，試求A的值。

12.求能被9整除且各位數(shù)字都不相同的最小五位數(shù)。

13.在十進(jìn)制中，各位數(shù)碼是。或1,并能被225整除的最小正整數(shù)是（1989年全國初中聯(lián)

賽題）

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（2）

倍數(shù)約數(shù)

內(nèi)容提要

1.兩個(gè)整數(shù)A和B（BWO）,如果B能整除A（記作BIA）,那么A叫做B的倍數(shù)，B叫做A的

約數(shù)。

例如3I15,15是3的倍數(shù)，3是15的約數(shù)。

2.因?yàn)?除以非0的任何數(shù)都得0,所以0被非0整數(shù)整除。。是任何非0整數(shù)的倍數(shù)，非0整數(shù)都

是。的約數(shù)。

如0是7的倍數(shù)，7是0的約數(shù)。

3.整數(shù)A（AW0）的倍數(shù)有無數(shù)多個(gè)，并且以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，0,±A,±2A,……都是A

的倍數(shù),

例如5的倍數(shù)有±5,±10,……o

4.整數(shù)A（A#0）的約數(shù)是有限個(gè)的，并且也是以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)的，其中必包括±1和土A。

例如6的約數(shù)是±1,±2,±3,±6o

5.通常我們在正整數(shù)集合里研究公倍數(shù)和公約數(shù)，幾正整數(shù)有最小的公倍數(shù)和最犬的公約數(shù)。

6.公約數(shù)只有1的兩個(gè)正整數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)（例如15與28互質(zhì)）。

7.在有余數(shù)的除法中，被除數(shù)=除數(shù)X商數(shù)十余數(shù)

若用字母表示可記作：A=BQ+R,當(dāng)A,B,Q,R都是整數(shù)且BW0時(shí)，A-R能被B整除

例如23=3義7+2貝U23—2能被3整除。

例題

例1寫出下列各正整數(shù)的正約數(shù)，并統(tǒng)計(jì)其個(gè)數(shù)，從中總結(jié)出規(guī)律加以

應(yīng)用：2,22,23,24,3,32,33,3、2X3,22X3,22X32。

解：列表如下

個(gè)數(shù)

個(gè)數(shù)

個(gè)數(shù)

正整正約數(shù)正整正約數(shù)正整正約數(shù)

計(jì)

計(jì)

計(jì)

數(shù)數(shù)數(shù)

21,2231,322X31,2,4

3,6

221,2,43321,3,32322X31,2,3,6

4,6,12

231,2,4331,3,422X321,2,3,4,6,9

4,832,339,12,18,36

241,2,4,5341,3,32,5

8,1633,34

其規(guī)律是：設(shè)A=amt）n（a,b是質(zhì)數(shù),m,n是正整數(shù)）

那么合數(shù)A的正約數(shù)的個(gè)是（m+1）（n+1）

例如求360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)

解：分解質(zhì)因數(shù)：360=23義32*5,360的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是（3+1）X（2+1）X（1+1）=24（個(gè)）

例2用分解質(zhì)因數(shù)的方法求24,90最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)

解：V24=23X3,90=2X32X5

二最大公約數(shù)是2義3,記作（24,90）=6最小公倍數(shù)是23X32X5=360,記作[24,90]=360

例3己知32,44除以正整數(shù)N有相同的余數(shù)2,求N

解：?.?32—2,44—2都能被N整除，，N是30,42的公約數(shù)

V（30,42）=6,而6的正約數(shù)有1,2,3,6經(jīng)檢驗(yàn)1和2不合題意，，N=6,3

例4一個(gè)數(shù)被10余9,被9除余8,被8除余7,求適合條件的最小正整數(shù)

分析：依題意如果所求的數(shù)加上1,則能同時(shí)被10,9,8整除，所以所求的數(shù)是10,9,8的最小公倍

數(shù)減去lo

解：?.」10,9,8]=360,.??所以所求的數(shù)是359

練習(xí)2

1.12的正約數(shù)有,16的所有約數(shù)是

2.分解質(zhì)因數(shù)300=,300的正約數(shù)的個(gè)數(shù)是

3.用分解質(zhì)因數(shù)的方法求20和250的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)。

4.一個(gè)三位數(shù)能被7,9,11整除，這個(gè)三位數(shù)是

5.能同時(shí)被3,5,11整除的最小四位數(shù)是最大三位數(shù)是

6.己知14和23各除以正整數(shù)A有相同的余數(shù)2,則人=

7.寫出能被2整除，且有約數(shù)5,又是3的倍數(shù)的所有兩位數(shù)。答一

8.一個(gè)長方形的房間長1.35丈，寬1.05丈要用同一規(guī)格的正方形瓷磚鋪滿，問正方形最大邊長可以

是幾寸？若用整數(shù)寸作國邊長，有哪幾種規(guī)格的正方形瓷磚適合？

9.一條長階梯，如果每步跨2階，那么最后剩1階，如果每步跨3階，那么最后剩2階，如果每步

跨4階，那么最后剩3階，如果每步跨5階，那么最后剩4階，如果每步跨6階，那么最后剩5階,

只有每步跨7階，才能正好走完不剩一階，這階梯最少有幾階？

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料(3)

質(zhì)數(shù)合數(shù)

內(nèi)容提要

1

1.正整數(shù)的一種分類：，質(zhì)數(shù)

合數(shù)

質(zhì)數(shù)的定義：如果一個(gè)大于1的正整數(shù)，只能被1和它本身整除，那么這個(gè)正整數(shù)叫做質(zhì)數(shù)(質(zhì)數(shù)

也稱素?cái)?shù))。

合數(shù)的定義：一個(gè)正整數(shù)除了能被1和本身整除外，還能被其他的正整數(shù)整除，這樣的正整數(shù)叫做

合數(shù)。

2.根據(jù)質(zhì)數(shù)定義可知

1)質(zhì)數(shù)只有1和本身兩個(gè)正約數(shù)，

2)質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)2

如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和或差是奇數(shù)那么其中必有一個(gè)是2,

如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積是偶數(shù)那么其中也必有一個(gè)是2,3任何合數(shù)都可以分解為幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積。

能寫成幾個(gè)質(zhì)數(shù)的積的正整數(shù)就是合數(shù)。

例題

例1兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)a(a25)。求這兩個(gè)數(shù)

解：???兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和等于奇數(shù)，...必有一個(gè)是2.所求的兩個(gè)質(zhì)數(shù)是2和a—2。

例2己知兩個(gè)整數(shù)的積等于質(zhì)數(shù)m,求這兩個(gè)數(shù)

解：???質(zhì)數(shù)m只含兩個(gè)正約數(shù)1和m,又：(-1)(―m)=m,.?.所求的兩個(gè)整數(shù)是1和m或者一

1和一m.

例3己知三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于30,求適合條件的a,b,c的值

解：分解質(zhì)因數(shù)：30=2X3X5

。=2a=2。=3。=3a=5[tz=5

適合條件的值共有:<b=3<b=5<b=2<b=5b=2<b=3

c=5c=3c=5c=2c=3c=2

應(yīng)注意上述六組值的書寫排列順序，本題如果改為4個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c,d它們的積等于210,即abcd=2X3

X5X7那么適合條件的a,b,c,d值共有24組，試把它寫出來。

例4試寫出4個(gè)速續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。

解：(本題答案不是唯一的)

設(shè)N是不大于5的所有質(zhì)數(shù)的積，即N=2X3X5,

那么N+2,N+3,N+4,N+5就是適合條件的四個(gè)合數(shù).即32,33,34,35就是所求的一

組數(shù)。

本題可推廣到n個(gè)。

令N等于不大于n+1的所有質(zhì)數(shù)的積，那么N+2,N+3,N+4,……N+(n+l)就是所求的合數(shù)。

練習(xí)3

1.小于100的質(zhì)數(shù)共一個(gè)，它們是________________________________

2.己知質(zhì)數(shù)P與奇數(shù)Q的和是11,則P=，Q=

3.己知兩個(gè)素?cái)?shù)的差是41,那么它們分別是

4.如果兩個(gè)自然數(shù)的積等于19,那么這兩個(gè)數(shù)是

如果兩個(gè)整數(shù)的積等于73,那么它們是

如果兩個(gè)質(zhì)數(shù)的積等于15,則它們是

5.兩個(gè)質(zhì)數(shù)x和y,己知xy=91,那么x=,y=，或x=,y=

a=

6.三個(gè)質(zhì)數(shù)a,b,c它們的積等于1990.那么［b=

7.能整除3”+53的最小質(zhì)數(shù)是

AR

8.己知兩個(gè)質(zhì)數(shù)A和B適合等式A+B=99,AB=M。求M及2+巳的值

BA

9.試寫出6個(gè)速續(xù)正整數(shù)，使它們個(gè)個(gè)都是合數(shù)。

10.具備什么條件的最簡正分?jǐn)?shù)可化為有限小數(shù)？

11.求適合下列三個(gè)條件的最小整數(shù)：1）大于12）沒有小于10的質(zhì)因數(shù)3）不是質(zhì)數(shù)

12.某質(zhì)數(shù)加上6或減去6都仍是質(zhì)數(shù)，且這三個(gè)質(zhì)數(shù)均在30到50之間，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)是

13,一個(gè)質(zhì)數(shù)加上10或減去14都仍是質(zhì)數(shù)，這個(gè)質(zhì)數(shù)是—。

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（4）

零的特性

內(nèi)容提要

一零既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是介于正數(shù)和負(fù)數(shù)之間的唯一中性數(shù)。零是自然數(shù)，是整數(shù)，是偶數(shù)。

1.零是表示具有相反意義的量的基準(zhǔn)數(shù)。

例如：海拔0米的地方表示它與基準(zhǔn)的海平面一樣高；收支衡可記作結(jié)存。元。

2.零是判定正、負(fù)數(shù)的界限。

若a>0則a是正數(shù)，反過來也成立，若a是正數(shù)，則a>0

記作a>0。a是正數(shù)讀作a>0等價(jià)于a是正數(shù)

b<0ob是負(fù)數(shù)

cBOoc是非負(fù)數(shù)（即c不是負(fù)數(shù)，而是正數(shù)或0）

d<0。d是非正數(shù)（即d不是正數(shù)，而是負(fù)數(shù)或0）

e#0oe不是0（即e不是0,而是負(fù)數(shù)或正數(shù)）

3.在一切非負(fù)數(shù)中有一個(gè)最小值是0。

例如絕對值、平方數(shù)都是非負(fù)數(shù)，它們的最小值都是0。

記作：|a|20,當(dāng)a=0時(shí)，IaI的值最小，是0；a2^0,a?有最小值0（當(dāng)a=0時(shí)）。

3.在一切非正數(shù)中有一個(gè)最大值是0。

例如一|X|W0,當(dāng)X=0時(shí)，一兇值最大，是0,（:*/。時(shí)都是負(fù)數(shù)），

-（X-2）2?0,當(dāng)X=2時(shí)，一（X—2）2的值最大，是0。

二零具有獨(dú)特的運(yùn)算性質(zhì)

1.乘方：零的正整數(shù)次事都是零。

2.除法：零除以任何不等于零的數(shù)都得零；零不能作除數(shù)。從而推出，0沒有倒數(shù)，分?jǐn)?shù)的分母不

能是0。

3.乘法：零乘以任何數(shù)都得零。即aX0=0,反過來如果ab=0,那么a、b中至少有一個(gè)是0。

要使等式xy=0成立，必須且只需x=0或y=0o

4.加法互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零。反過來也成立。即a、b互為相反數(shù)oa+b=0

5.減法兩個(gè)數(shù)a和b的大小關(guān)系可以用它們的差的正負(fù)來判定，

若a-b=0,貝!]a=b;若a-b>0,則a>b;若a-b<0,則a<bo

反過來也成立，當(dāng)a=b時(shí)，a-b=0；當(dāng)a>b時(shí),a-b>0；當(dāng)a<b時(shí),a-b<Q

三在近似數(shù)中，當(dāng)0作為有效數(shù)字時(shí)，它表示不同的精確度。

例如近似數(shù)L6米與1.60米不同，前者表示精確到0.1米（即1分米），誤差不超過5厘米；

后者表示精確到0.01米（即1厘米），誤差不超過5毫米。

可用不等式表示其值范圍如下：

1.55〈近似數(shù)1.6<1.651.595W近似數(shù)1.60<1605

例題

例1兩個(gè)數(shù)相除，什么情況下商是1?是一1?

答：兩個(gè)數(shù)相等且不是0時(shí)，相除商是1;兩數(shù)互為相反數(shù)且不是。時(shí)，相除商是一1。

例2絕對值小于3的數(shù)有幾個(gè)？它們的和是多少？為什么？

答：絕對值小于3的數(shù)有無數(shù)多個(gè)，它們的和是0。因?yàn)榻^對值小于3的數(shù)包括大于一3并且小于3

的所有數(shù)，它們都以互為相反數(shù)成對出現(xiàn)，而互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得零。

例3要使下列等式成立X、丫應(yīng)取什么值？為什么？①X（Y-1）=0,②IX-3I+（Y

+2）2=0

答：①根據(jù)任何數(shù)乘以0都得0,可知當(dāng)X=0時(shí)，Y可取任何數(shù)；

當(dāng)丫=1時(shí)，X取任何數(shù)等式X(Y-1)=0都是能成立。

②?.?互為相反數(shù)相加得零，而IX-3I20,(Y+2)220,

它們都必須是0,即X—3=0且丫+2=0,故當(dāng)X=3且丫=一2時(shí)，等式IXI+(Y+2)

2=0成立。

練習(xí)4

1.有理數(shù)a和b的大小如數(shù)軸所示：b0a

比較下列左邊各數(shù)與0的大小(用>、V、=號速接)

12

2a0,-3b0,-0,--0,-a20,-b3*80,

ah

a+b0,a-b0,ab0,(-2b)30,-0,—0

b-b

2.a表示有理數(shù)，下列四個(gè)式子，正確個(gè)數(shù)是幾個(gè)？答：一個(gè)。

Ia|>a,a2>—a2,a>—a,a+l>a

3.x表示一切有理數(shù)，下面四句話中正確的共幾句？答：句。

1)(X-2)2有最小值0,2)-IX+3I有最大值0,

3)2—x2有最大值2,4)3+Ix—1I有最小3。

4.絕對值小于5的有理數(shù)有幾個(gè)？它們的積等于多少？為什么？

6.要使下列等式成立，字母X、丫應(yīng)取什么值？①。=0,②X(X—3)=0,③IX—11+(丫

X

+3)

7.下列說法正確嗎？為什么？

3

1)a的倒數(shù)是l/a；2)方程(a—l)X=3的解是X=——

a-\

3)n表示一切自然數(shù)，2n—1表示所有的正奇數(shù)；4)如果a>b,那么m2a>m2b(a、b、m都是有

理數(shù))

8.X取什么值時(shí)，下列代數(shù)式的值是正數(shù)？①X(X-1)②X(X+l)(X+2)

初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（5）

an的個(gè)位數(shù)

內(nèi)容提要

1.整數(shù)a的正整數(shù)次事a11,它的個(gè)位數(shù)字與a的末位數(shù)的n次基的個(gè)位數(shù)字相同。

例如20023與23的個(gè)位數(shù)字都是8o

2.0,L5,6,的任何正整數(shù)次基的個(gè)位數(shù)字都是它們本身。例如57的個(gè)位數(shù)是5,62。的個(gè)位數(shù)是

即24k+l與*2張+2與22,2.+3與23,2張+4與2d的個(gè)位數(shù)是相同的（K是正整數(shù)）。

3和7也有類似的性質(zhì)。

4.4,8,9的正整數(shù)次幕的個(gè)位數(shù)，可仿照上述方法，也可以用4=22,8=23,9=3?轉(zhuǎn)化為以2、3

為底的事。

5.綜上所述，整數(shù)a的正整數(shù)次幕的個(gè)位數(shù)有如下的一般規(guī)律：a，K+m與am的個(gè)位數(shù)相同（k,m都是

正整數(shù)。

例題

例120032003的個(gè)位數(shù)是多少？

解：20032。。3與32003的個(gè)位數(shù)是相同的，

?.?2003=4X500+3,..⑶期與33的個(gè)位數(shù)是相同的，都是7,二2003的個(gè)位數(shù)是7。

2（KK,

例2試說明63+1472a0的和能被w整除的理由

解：V2000=4X500,2002=4X500+2

??.632項(xiàng)與34的個(gè)位數(shù)相同都是1,1472。。2與72的個(gè)位數(shù)相同都是%

的和個(gè)位數(shù)是0,.?.632000+1472002的和能被10整除。

例3K取什么正整數(shù)值時(shí)，3卜+2k是5的倍數(shù)？

解：列表觀察個(gè)位數(shù)的規(guī)律

K1234.......

3的個(gè)位數(shù)3971.......

2的個(gè)位數(shù)2486.......

3k+2k的個(gè)位55.......

數(shù)

從表中可知，當(dāng)K=l,3時(shí)，3卜+2k的個(gè)位數(shù)是5,

???am與a4n+m的個(gè)位數(shù)相同（m,n都是正整數(shù)，a是整數(shù)），.?.當(dāng)K為任何奇數(shù)時(shí)，3卜+2k是5的倍

數(shù)。

練習(xí)5

1.在括號里填寫各基的個(gè)位數(shù)（K是正整數(shù)）

22。的個(gè)位數(shù)是（）45的個(gè)位數(shù)是（）33。的個(gè)位數(shù)是（）87的個(gè)位數(shù)是（）74K+I

的個(gè)位數(shù)是（）

3"+79的個(gè)位數(shù)是（）216X3^4的個(gè)位數(shù)是（）321+722的個(gè)位數(shù)是（）

72k—32k的個(gè)位數(shù)是（）74k」-64k-3的個(gè)位數(shù)是（）77“）X33"義22"）義55?5的個(gè)位數(shù)是（）

2.目前知道的最大素?cái)?shù)是22⑹91—1,它的個(gè)位數(shù)是。

3

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3

9

1

—

7

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②

3

3

—

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