動態(tài)電路的時域分析

第二篇動態(tài)電路第五章動態(tài)電路的時域分析第六章動態(tài)電路的復(fù)頻域分析第七章動態(tài)電路的狀態(tài)變量分析第五章動態(tài)電路的時域分析含有動態(tài)元件（即儲能元件）的電路動態(tài)元件如電容元件和電感元件能儲存能量，其端口電壓－電流關(guān)系要用微分方程描述。動態(tài)電路的時域分析中，激勵和響應(yīng)都是時間的函數(shù)，電路方程是微分方程。直接求解微分方程的方法稱為經(jīng)典法。含有一個獨(dú)立儲能元件的電路響應(yīng)的求解還可以采用更為簡便的三要素法。動態(tài)電路由于電路結(jié)構(gòu)或元件參數(shù)等的變化引起換路時，電路的工作狀態(tài)通常會發(fā)生改變，從一種穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一種穩(wěn)定狀態(tài)。其中的過渡過程稱為暫態(tài)過程。5.1動態(tài)元件5.1.1電容元件定義:一個二端元件，如果在任一時刻t，它所儲存的電荷q和它的端電壓u之間的關(guān)系是由q

u平面（或u

q平面）上的一條曲線所確定，則此二端元件稱為電容元件。這條曲線稱庫伏特性曲線。電容元件的分類按時間：時變與非時變按qu關(guān)系：線性與非線性

1、線性非時變電容元件庫伏特性曲線是與時間變化無關(guān)的過原點(diǎn)的直線。

其中C是電容（特性曲線的斜率，常數(shù)）。S=1/C（稱倒電容）。

既是荷控的，又是壓控的2.伏安關(guān)系

電流i和電容電壓u取一致參考方向u和i之間的關(guān)系也可用積分形式表示電流取決于電容元件兩端電壓的變化快慢（微分方程），因此為動態(tài)元件。上式表明，電容元件在t時刻的電壓值取決于從–∞到t時刻的電流值。即電容電壓u與電容元件的電流i歷史有關(guān);電容元件具有“記憶”電流的性質(zhì)，是一種記憶元件。表明知道了電容電壓u(t0)初始值以及從初始時刻開始作用的電流，就可確定初始時刻之后任意時刻的電容電壓。電容電壓的連續(xù)性：當(dāng)t0=0時，在t時刻有在t+△t時刻有如果在時間區(qū)間[t，t+?t]內(nèi)，電流i均為有限值，即（M為有限常數(shù)）那么當(dāng)?t→0時，就有?u→0。表明只要電容電流是有界函數(shù)，電容電壓就是連續(xù)函數(shù)，不會跳變。若干個沒有初始儲能的電容并聯(lián)若干個沒有初始儲能的電容串聯(lián)或

二、電容元件的能量瞬時功率在時間間隔[t0,t]內(nèi)，電容吸收的能量線性非時變電容器q=Cu0說明電容器是一種儲存電荷或以電場形式儲存電場能的器件。電場能只取決于電容電壓而與其電流無關(guān)，即使i(t)=0，電場能仍然存在。如果電容元件的庫伏特性曲線位于一、三象限，電容器不消耗電能，也不能釋放出多于它儲存的能量，則這種電容元件是無源元件。如常用的線性非時變且C>0的電容元件。線性非線性定常時變符號定常時變特性方程電壓電流關(guān)系視具體函數(shù)，應(yīng)用庫伏特性曲線電感器L電容器C線性定常電感器線性定常電容器韋安特性曲線線性非時變電容特性方程線性非時變電感特性方程具有初始電流的電感的等效具有初始電壓的電容的等效+_u(t)uC(0)=0+_+_us=U0

(t)i(t)電容并聯(lián)的等效（電容）電容串聯(lián)的等效（倒電容）電感并聯(lián)的等效（倒電感）電感串聯(lián)的等效（電感）只要流經(jīng)電容的電流值是有限的，電容電壓值不會發(fā)生跳變只要電感兩端的電壓值是有限的，電感電流值不會發(fā)生跳變能儲存電場能的儲能元件（線性非時變電容）能儲存磁場能的儲能元件（線性非時變電感）0例

在圖所示電路中，回轉(zhuǎn)器的輸出端口接有一個電容元件C，試求回轉(zhuǎn)器輸入端口的電壓-電流關(guān)系。解：由輸出回路可得：代入回轉(zhuǎn)器的輸入輸出關(guān)系式可得：其中

L=r2C

可看出：從回轉(zhuǎn)器輸入端口的電壓

電流關(guān)系看相當(dāng)于一個電感為L=r2C的電感元件。

5.1.3耦合電感元件載流線圈與其他線圈之間通過磁場相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象稱為磁耦合，或者說具有互感。+–u1i1i2+–u2自感磁通漏磁通互感磁通5.1.3耦合電感元件載流線圈與其他線圈之間通過磁場相互聯(lián)系的物理現(xiàn)象稱為磁耦合，或者說具有互感。+–u1i1i2+–u2自感磁通漏磁通互感磁通用矩陣形式表示為自感L1和L2恒為正值，但是互感M既可為正又可為負(fù)。正負(fù)號取決于互感磁鏈和自感磁鏈的相對關(guān)系。電壓與電流取一致參考方向（1）如果互感為正，自感磁通和互感磁通相互加強(qiáng)；（2）如果互感為負(fù)，互感磁通是對自感磁通的減弱。已知耦合電感器兩線圈的相對位置、線圈繞向、電流i1和i2的參考方向，當(dāng)然能判斷互感M的正負(fù)。但實際上線圈繞向很難看出也無法在電路符號中表示，因此電路圖通常用線圈的同名端（用符號“·”或“*”標(biāo)記）結(jié)合線圈電流的參考方向來表示互感磁通對自感磁通的影響。當(dāng)電流流入(或流出)兩個線圈時，若產(chǎn)生的磁通方向相同（即互相加強(qiáng)的），則兩個流入(或流出）端稱為同極性端??AXaxAXax同名端(同極性端)：相互耦合的線圈具有相同瞬時極性的端點(diǎn)。兩線圈電流都從同名端流入時，磁通相互增強(qiáng)，M>0????+–+–AXaxAXax當(dāng)鐵心中磁通變化時，在兩線圈中產(chǎn)生的感應(yīng)電動勢極性相同的兩端為同極性端。增加++––??M>0M<0+–u1i1i2+–u2Ψ11=L1i1，Ψ21=Mi1Ψ22=L2i2，Ψ12=Mi2

11=

21

22=

12磁通全耦合耦合系數(shù)：為了反映互感耦合的強(qiáng)弱。0≤k≤1當(dāng)k接近1時，稱為緊耦合；當(dāng)k值較小時，稱為松耦合；當(dāng)k=0時，兩電感元件的軸線互相垂直時，兩線圈無磁耦合。，為全耦合。當(dāng)k=1時，三個線圈組成的線性耦合電感元件磁通與電流的關(guān)系：矩陣形式表示為或用符號表示為1.線性耦合電感元件端口電壓

電流關(guān)系端口電壓、電流取一致參考方向時，有也可表示為式中，u=[u1，u2]T稱為電壓向量，i=[i1，i2]T稱為電流向量受控電壓源表示去耦的等效電路模型：也可表示為：式中，i為電流向量，i(0)為0時刻電流向量，u為電壓向量若i(0)=0，則

i=Г

Г=L-1，稱倒電感矩陣。線性非時變耦合電感器看成理想變壓器的條件為：理想變壓器和線性非時變耦合電感器的關(guān)系Li=ni2Gm磁導(dǎo)一定條件(1)沒有任何漏磁通，即兩個繞組的耦合系數(shù)k=1；(2)每個繞組的自感都是無窮大，但二者的比值依然有限。2.線性耦合電感元件的串聯(lián)和并聯(lián)（1）線性耦合電感元件的串聯(lián)順接反接串聯(lián)等效電感為：順接：互感M為正值；反接：互感M為負(fù)值。注意：去藕等效時，M的正負(fù)與電流的參考方向無關(guān)（2）線性耦合電感元件的并聯(lián)(a)(b)(c)注意：同名端相接，互感M取正值，異名端相接，互感M取負(fù)值。與電流參考方向無關(guān)。3.線性耦合電感元件的T形去耦等效和

形去耦等效（1）線性耦合電感元件的T形去耦等效電路上圖端口電壓

電流關(guān)系為

注意：T型去藕等效時，M的正負(fù)與電流的參考方向無關(guān)L1L2+_+_ML1-MM+_+_L2-M同名端相接：M取正異名端相接：M取負(fù)L1L2+_+_ML1+M-M+_+_L2+M例：圖所示電路，已知線性非時變耦合電感L1=4H，L2=3H，M=2H，則從AB端看進(jìn)去的等效電感LAB。電感耦合電路如圖所示：不論是電阻電路，還是含有動態(tài)元件（L、C）的電路，其電流和電壓仍然受到KCL和KVL及元件本身VCR的約束。基本概念一階電路：在電阻電路中，描述電路的方程為代數(shù)方程。當(dāng)電路中含有電容和電感動態(tài)元件時，描述電路的方程為微分方程。如果描述電路的微分方程為一階微分方程，就稱為一階電路，若為二階的微分方程稱為二階電路。我們在這里首先討論的是指線性的、時不變的一階電路。5.2/5.3動態(tài)電路方程及初值的確定UsiR+_C由KVL有：根據(jù)電路元件的VCR：含儲能元件的電路為動態(tài)電路動態(tài)電路用微分方程描述一階微分方程，這類電路稱為一階電路?？梢灶愅?，高階微分方程描述的電路稱為高階電路UsiR+_L1L2L由KVL有：電路的階數(shù)可以通過電路中獨(dú)立儲能元件的個數(shù)判斷一、動態(tài)電路方程電容串聯(lián)或并聯(lián)或與理想電壓源構(gòu)成回路儲能元件不獨(dú)立的情況包括：UsR+_C1C2C3電感串聯(lián)或并聯(lián)或與理想電流源構(gòu)成割集UsR+_L1L2Istut0t1穩(wěn)態(tài)2穩(wěn)態(tài)1暫態(tài)tut0t1暫態(tài)穩(wěn)態(tài)1穩(wěn)態(tài)2條件改變，電路會從一種穩(wěn)定狀態(tài)過渡到另一種穩(wěn)定狀態(tài)，其間經(jīng)歷的過程稱為過渡過程；這兩個穩(wěn)態(tài)之間的狀態(tài)稱為過渡狀態(tài)，由于過渡狀態(tài)的持續(xù)時間短暫，所以也稱為暫態(tài)或瞬態(tài)一定條件下，電路中各支路電壓和電流不隨時間變化或者為幅值和頻率恒定的正弦量，此時電路處于穩(wěn)定狀態(tài)（穩(wěn)態(tài)）UsiR+_CUsiR+_L1L2如：穩(wěn)態(tài)UsiR+_CUsiR+_L1L2閉合如：暫態(tài)uR2R1+_開關(guān)打開瞬間，電源不再給電路供電，此時電容放電，使得電阻R2在開關(guān)斷開后的一段時間內(nèi)依然有電流通過。此時的儲能元件類似獨(dú)立電源給電路提供能量。Cui2R2開關(guān)閉合，電源對電容充電電容的兩個極板上儲存了一定量的正負(fù)電荷，也即儲存了一定的電場能量。i’+_激勵初始儲能uC+_電路產(chǎn)生暫態(tài)過程的根本原因是電路中的電場和磁場的能量不能突變在激勵或儲能元件作用下，電路中產(chǎn)生的電壓或電流稱為電路的響應(yīng)；電路響應(yīng)在0≤t≤

時間范圍內(nèi)的變化稱為電路的時域響應(yīng)。僅由獨(dú)立電源（激勵）引起的電路響應(yīng)稱為零狀態(tài)響應(yīng)；僅由電路內(nèi)儲能元件的初始狀態(tài)引起的電路響應(yīng)稱為零輸入響應(yīng)；由獨(dú)立電源和儲能元件初始狀態(tài)共同引起的電路響應(yīng)稱為全響應(yīng)線性電路的全響應(yīng)可利用疊加原理計算：先分別計算零狀態(tài)響應(yīng)和零輸入響應(yīng)，然后求二者之和即可換路：引起電路中產(chǎn)生暫態(tài)過程的電路變化，如接通、斷路、短路、電源或電路參數(shù)突然改變等結(jié)論一：電容的電荷或電壓、電感的磁鏈或電流在換路瞬間不能突變yty’t結(jié)論二：電容電流、電感電壓可以突變，即換路前后瞬間的數(shù)值可以不相等。換路定律：根據(jù)電容和電感的特性可知，在換路瞬間

對C：只要|iC|≤M(有限量)，uC不會跳變；

對L：只要|uL|≤M(有限量)，iL不會跳變。設(shè)網(wǎng)絡(luò)在t0時換路，換路前的終了時刻用t0-表示，換路后的初始時刻用t0+表示。換路定則的應(yīng)用：僅適用于換路瞬間，用于確定t=t0+時刻電路變量（電壓和電流）之值，即暫態(tài)過程的初始條件。二、初值的確定(3)電路中其他變量的初始值,可根據(jù)KCL、KVL、支路方程，再借助置換定理確定。初始值的確定步驟：(1)根據(jù)換路前的電路確定（2）根據(jù)換路定律確定_6V+L2it=02例：電路在換路前處于穩(wěn)態(tài)，求換路后電流i的初始值i(0+)和穩(wěn)態(tài)值i(

)iL解：電路在t=0時刻發(fā)生了換路，換路瞬間電容兩端的電壓不變，即故換路后，換路后電路達(dá)到穩(wěn)態(tài)時，電容相當(dāng)于開路換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，電容相當(dāng)于開路，所以i_6V+2t=0C2+_6VUR1R2R3LS+_C圖中電路開關(guān)S原處于閉合狀態(tài)，電路已達(dá)穩(wěn)態(tài)，求開關(guān)S打開瞬間（即換路前后）電阻R2、電容和電感元件的電壓和電流。已知U=100V，R1=R2=R3=100

。(1)開關(guān)打開（即換路）前，直流激勵下，電容相當(dāng)于開路，電感相當(dāng)于短路iLiR1+_uC+_iCuL

t=0-時的電路(2)開關(guān)打開（即換路）后，根據(jù)換路定則：由KVL得：由圖：電容電流可以突變電感電壓可以突變電阻的電壓與電流由歐姆定律決定，可以突變+UR1R2R3uC(0+)uL_iL(0+)+_iC+_t=0+時的電路例圖示電路在t＜0時處于穩(wěn)態(tài)，t=0時閉合開關(guān),求電感電壓uL(0+)和電容電流iC(0+)

5.4一階動態(tài)電路的零輸入響應(yīng)動態(tài)電路的時域分析中，激勵和響應(yīng)都是時間的函數(shù)，電路方程是微分方程。直接求解微分方程的方法稱為經(jīng)典法。含有一個獨(dú)立儲能元件的電路響應(yīng)的求解還可以采用更為簡便的三要素法。(a)t

0-

時的電路(b)t

0+時的電路動態(tài)電路在沒有外加激勵時，僅由電路中動態(tài)元件的初始儲能引起的響應(yīng),稱為電路的零輸入響應(yīng)。5.4.1一階RC電路的零輸入響應(yīng)（1）根據(jù)換路后的電路，建立電路方程根據(jù)KVL有一階常系數(shù)線性齊次微分方程方程的通解為特征方程為特征根為S稱為固有頻率,體現(xiàn)了電路本身固有的性質(zhì)由初始條件確定積分常數(shù)將t=0+，初始值uC(0+)=U0代入通解零輸入響應(yīng)電容電壓為

1

236.8%U0tU0OuC指數(shù)曲線上任意點(diǎn)的次切距的長度都等于

tOuCuC(t0)t0

放電時間的長短與C和R有關(guān)0.368uC(t0)當(dāng)t=4

~5

時，放電基本結(jié)束電容電壓初值已確定的情況下，電容C越大，電容中儲存的電荷越多，放電所需時間越長；電阻R越大，放電電流越小，放電所需時間也越長。時間常數(shù)零輸入響應(yīng)回路電流為或回路電流i在電容開始放電瞬間有一個正向跳變，從i(0-)=0跳變到i(0+)=U0/R?；芈冯娏靼赐瑯拥闹笖?shù)規(guī)律下降，直至放電結(jié)束。例

：高壓設(shè)備檢修時，一個40μF的電容器從高壓電網(wǎng)上切除，切除瞬間電容兩端的電壓為4.5kV。切除后，電容經(jīng)本身的漏電電阻RS放電。現(xiàn)測得RS＝175MΩ，試求電容電壓下降到1kV所需要的時間。解：設(shè)在t＝0時電容器從高壓電網(wǎng)上切除，電容經(jīng)RS放電的等效電路如圖所示，可得：當(dāng)uC下降到1000V，則有5.4.2一階RL電路的零輸入響應(yīng)t=0iRU0+_CuC+_uR+_+_U0R1LRiRiLt=0RL電路：RC電路：對偶電感電流初值一定的情況下，電感L越大意味著電感元件中儲存的磁場能量越多，電阻R越小意味著能量的消耗減少，電流衰減越慢。iL(t0)uC(t0)+_例：設(shè)圖所示電路中，開關(guān)S在t=0時打開，開關(guān)打開前電路在直流電壓源US作用下已穩(wěn)定。若已知US=220V，L=0.1H，R1=50k

，R2=5，試求開關(guān)打開瞬間其兩端的電壓uK(0+)以及R1上的電壓uR1。解：若R1>>R2，則開關(guān)打開瞬間，其兩端之間的電壓會高于電源電壓Us許多倍，即有一個很高的沖擊電壓。小結(jié)：1.零輸入響應(yīng)的一般形式對任一零輸入響應(yīng)y,設(shè)其初始值為y(0+),時間常數(shù)為，2.零輸入響應(yīng)與初始狀態(tài)之間的關(guān)系在線性電路中，零輸入響應(yīng)是初始狀態(tài)的線性函數(shù)。5.5一階動態(tài)電路的零狀態(tài)響應(yīng)CisRK+_uC僅由獨(dú)立電源引起的響應(yīng)——零狀態(tài)響應(yīng)若電路處零狀態(tài)，激勵為階躍函數(shù)，則所求響應(yīng)就是階躍響應(yīng)。若I=1，那么響應(yīng)就是單位階躍響應(yīng)=0itI0

(t)is=Iis=I

(t)5.5.1一階電路直流（階躍）激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)

(a)t

0-時(b)t

0+時根據(jù)換路后的電路可得：一階常系數(shù)線性非齊次微分方程通解特解通常特解的形式與輸入激勵的形式有關(guān)。通解為：根據(jù)初始值，確定積分常數(shù)就特解而言，是電路趨穩(wěn)態(tài)后的響應(yīng)，稱穩(wěn)態(tài)分量；或認(rèn)為是激勵源強(qiáng)迫其電壓達(dá)到規(guī)定值，故稱強(qiáng)制分量。就通解而言，當(dāng)t=4

~5

，可認(rèn)為衰減結(jié)束，所以稱暫態(tài)分量。暫態(tài)分量逐漸衰減的過程，就是電路逐漸趨于穩(wěn)定的過程；指數(shù)形式的通解隨時間的變化快慢只取決于時間常數(shù)，而時間常數(shù)僅僅由網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)和元件參數(shù)決定，與輸入無關(guān)，因此也稱自由分量?；颍簭哪芰康慕嵌瓤?，電容電壓其儲能為

在充電過程中電阻消耗的總能量為在充電過程中電阻消耗的總能量與電容最后所存儲的能量是相等的。電壓源在充電過程中提供的總能量為定常電路的定常（時不變）特性線性定常一階電路的零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)如果輸入脈沖信號Iistt0由疊加定理：RIutt0一階RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)iL：(根據(jù)對偶原理)UR1R2R3L+_例：圖示電路中，已知U=20V，L=0.01H，R1=R2=20

，R3=10

，開關(guān)閉合前電路處于零狀態(tài)iL(0-)=0。求開關(guān)閉合后的電感電流解題思路abiLiRi戴維南等效UOCR0L+_abiL當(dāng)分析較為復(fù)雜的一階線性電路時，可以將儲能元件以外的電路部分視為一個有源二端網(wǎng)絡(luò)，利用戴維南或諾頓定理將換路后的電路簡化為一個簡單的電路，再利用上述結(jié)果求解電路暫態(tài)5.5.2一階電路在正弦電源激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)t≥0+因此暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量大小相等，方向相反此時若換路時則在工程中要注意電容器的耐壓，即時換路若含儲能元件的電路發(fā)生換路后并非一定出現(xiàn)過渡過程5.5.4一階電路的沖激響應(yīng)電路在單位沖激電源激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為單位沖激響應(yīng)。單位沖激響應(yīng)常用符號h(t)表示。一、RC并聯(lián)電路的沖激響應(yīng)可用兩種方法求電路的沖激響應(yīng)1.將沖激響應(yīng)轉(zhuǎn)化為零輸入響應(yīng)求解1單位沖激響應(yīng)0-到0+電容電壓將發(fā)生有限跳變=0t≥0+的零輸入響應(yīng)

電容的初始電壓也可由儲能元件伏安特性式直接計算2.按求在線性定常電路中，階躍響應(yīng)與沖激響應(yīng)之間存在著一個重要關(guān)系。即如果以s(t)表示某一線性定常電路的階躍響應(yīng)，而以h(t)表示同一電路的沖激響應(yīng)，則有或者:

二、RL串聯(lián)電路的沖激響應(yīng)根據(jù)對偶原理：一個串聯(lián)于電感器L的單位沖激電壓源

(t)，將在電感上形成初始電流

例

在圖(a)電路中，uC(0-)=0，C=2F，R=1

，電流源波形如圖(b)所示，試求uC。(a)(b)解:RC并聯(lián)電路單位沖激響應(yīng)為

根據(jù)線性非時變電路的齊次性、可加性和非時變特性，響應(yīng)uC為代入已知參數(shù)，并分段表示為+-R1L1H20

R230

20

R3+-例：求iL(t)利用戴維南方法一、采用轉(zhuǎn)換為零輸入響應(yīng)方法二、先求階躍響應(yīng)小結(jié)：1.零狀態(tài)響應(yīng)的一般形式對任一零狀態(tài)響應(yīng)y,設(shè)其時間常數(shù)為

K由初始條件確定：若激勵為直流，則2.零狀態(tài)響應(yīng)與輸入之間的關(guān)系在線性電路中，零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)。因此其響應(yīng)和輸入之間的關(guān)系符合齊次性和可加性。5.5.5對任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)（卷積積分）當(dāng)輸入為任意波形時，要采用解微分方程的方法來求響應(yīng)是很困難的。但我們知道電路的沖激響應(yīng)和該電路的零輸入相同，而電路的零輸入響應(yīng)的形式只與電路本身的性質(zhì)有關(guān)，與激勵的形式無關(guān)。

卷積積分的思路是：將任意輸入波形分解為一系列沖激強(qiáng)度不同，時間上依次延遲

t的沖激函數(shù)的疊加，對于線性時不變電路，則電路的響應(yīng)等于一系列沖激響應(yīng)的疊加。5.5.5對任意輸入的零狀態(tài)響應(yīng)（卷積積分）ty△△越小，fa(t)就越逼近f(t)f(t)fa(t)t△△1P△(t)任意波形可由許多脈沖信號所組成，根據(jù)零狀態(tài)響應(yīng)的線性性和定常性，分別求出每個脈沖響應(yīng)，然后進(jìn)行疊加得到的響應(yīng)可近似真實響應(yīng)△→0，結(jié)果就是真實響應(yīng)。t1

(t)設(shè)t0為換路時間,t為所求響應(yīng)時間。將[t0，t]n等分，則步長△=(t-t0)/n。現(xiàn)取t0=0，則第二個脈沖波形為

第k+1個脈沖波形為所以第一個脈沖波形為當(dāng)n→

,即△→0時,k△變成連續(xù)變量τ，即k△→τ，h△(t-k△)→h(t-τ)，求和變成積分，△→dτ

任意輸入f(t)的零狀態(tài)響應(yīng)卷積積分卷積積分可表示成則fa(t)作用下的零狀態(tài)響應(yīng)為：例

：在圖(a)電路中，R=5

，L=1H，電流源iS波形如圖(b)所示，試用卷積求零狀態(tài)響應(yīng)iL。(a)(b)解：先求出單位沖激響應(yīng)電感電流h(t)

單位階躍響應(yīng)電感電流s(t)為

（1）0

t

1時，iS=I0t，（2）當(dāng)t

1時，iS=0，

零狀態(tài)響應(yīng)iL的波形如圖所示5.6一階動態(tài)電路的全響應(yīng)iC+iR=iSuC(0+)=uC(0-)=U0同零狀態(tài)解穩(wěn)態(tài)分量暫態(tài)分量零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)5.6.1一階電路在階躍電源激勵下的全響應(yīng)零輸入響應(yīng)是初始條件的線性函數(shù)，零狀態(tài)響應(yīng)是輸入的線性函數(shù)。在分析電路時，可分別算出零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)，從而得出完全響應(yīng)。當(dāng)電路只是初態(tài)或輸入有變化時，只需重新計算相應(yīng)部分的響應(yīng)。全響應(yīng)=暫態(tài)分量+穩(wěn)態(tài)分量=零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)既非輸入的線性函數(shù)也不是初始條件的線性函數(shù)零輸入響應(yīng)uC(0-)=0sRU+_C+_iuC零狀態(tài)響應(yīng)uC(0-)=U0sRU+_C+_iuC全響應(yīng)+-SRU21+–+–特征方程零輸入零狀態(tài)全響應(yīng)零輸入零狀態(tài)全響應(yīng)=穩(wěn)態(tài)分量

+暫態(tài)分量全響應(yīng)=零輸入響應(yīng)

+零狀態(tài)響應(yīng)思考題：電路如圖所示，當(dāng)電路為零初始狀態(tài)uS=4

(t)V時，則t>0時求iL

。

(t>0)。若uS=2

(t)V，且iL(0)=2A。答案：5.6.3一階電路的三要素法

三要素法是跳過建立電路微分方程，直接由給定的一階電路求三個要素，并列寫出響應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

一階電路過渡過程的解的一般表達(dá)式暫態(tài)分量+穩(wěn)態(tài)分量時則：一階電路的三要素當(dāng)為直流或階躍電源輸入時，響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解是常量有三要素法——求解電路三要素，并將之直接帶入電路全解的一般表達(dá)式從而得到電路全響應(yīng)的方法恒定輸入或非零初始狀態(tài)作用下的一階電路，其響應(yīng)（電壓或電流）一般都按指數(shù)規(guī)律變化，都從初始值逐漸趨近于穩(wěn)態(tài)值

時，電壓、電流按指數(shù)規(guī)律增長<時，電壓、電流按指數(shù)規(guī)律衰減=時，說明電路換路后不發(fā)生瞬態(tài)過程電路中只有一個獨(dú)立的儲能元件，并含有電阻元件，即是有損耗的一階線性電路如果電路在t=t0時刻換路，則：例：圖示電路中，已知U=12V，C=20

F，R1=3k

，R2=

6k

。求開關(guān)閉合后電容電壓的變化規(guī)律，并畫出曲線。設(shè)開關(guān)閉合前電容電壓為零。解（一）確定三要素的大?。?）初始值（2）穩(wěn)態(tài)值（3）時間常數(shù)

R0CR0是換路后的電路從儲能元件的兩端看進(jìn)去，所有電源置零時的等效電阻，即戴維南等效時的輸入電阻。R1R2R0（二）列出所求量的變化規(guī)律VCR2R1+_uC+_UuCUR1R3SCR2uo+_+_+_例：圖示電路中，開關(guān)S原來是閉合的，電容C沒有儲能，試畫出S在t=0時斷開，又在t=2s時接通的情況下，輸出電壓u0的波形。已知U=12V，C=100pF，R1=R3=5k

，R2=

10k

。解（一）t=0時，開關(guān)斷開（1）確定初始值uo在換路前后有突變，不能盲目應(yīng)用換路定則uCUR1R3SCR2u0+_+_+_(2)S斷開并達(dá)穩(wěn)定后，電容相當(dāng)于開路，可得穩(wěn)態(tài)值(3)時間常數(shù)

R0CR1R3R2(4)列出輸出電壓的變化規(guī)律uCR3R2u0+_+_（二）t=2s時，開關(guān)閉合(1)確定初始值(2)S閉合并達(dá)穩(wěn)定后，電容電壓穩(wěn)態(tài)值(3)S閉合后的時間常數(shù)R1R3R2UR1S+_(4)電容電壓(5)S閉合后的輸出電壓R1R3R2+_+_uo/Vt/

s2-5.893.05O6電路如圖所示，t=0時S1閉合，S2打開則換路后分別為：

（A）0.5A，3.33A，3S

（B）2A，3.33A，1/3s

（C）2A，1.67A，3S

（D）0.5A，1.67A，1/3s例

在圖所示電路中，R=2

，L1=1H，L2=5H，M=2H，uS=10

(t)V，試求階躍響應(yīng)i0，u0

。

解:耦合電感的等效電感為

三要素法思考題

(1)題圖示電路的時間常數(shù)

為（）【答案】

=0.02s。(2)圖所示電路原已達(dá)穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)S打開，那么時的響應(yīng)uC的波形應(yīng)如圖（

）所示。例

在圖所示運(yùn)算放大器電路中，階躍電壓源uS=3

(t)V，R1=10k，R2=20k，R3=20k，R4=50k，C=1F。試求階躍響應(yīng)uC和uo。解：階躍響應(yīng)為零狀態(tài)響應(yīng)，有uC(0-)=0

uC(0+)=uC(0-)=0

根據(jù)“虛斷”，流經(jīng)理想運(yùn)算放大器的電流為零。運(yùn)放反饋電路元件構(gòu)成一個R4C電路，其時間常數(shù)由于輸入回路沒有動態(tài)元件，有根據(jù)“虛短”，由KVL可得由于uC(0+)=0，u1(0+)=2V

uo(0+)=2V。電路穩(wěn)定后，電容等效為開路，運(yùn)放電路為同相放大電路根據(jù)三要素法公式例：已知圖示電路中i(0)=2A，求u(t)，t≥0i0.5u(t)3?+_u(t)4H1?i+_u(t)4HReq戴維南等效用三要素法求解零輸入響應(yīng)初始值：時間常數(shù)：電路如圖所示，已知在開關(guān)動作前已達(dá)穩(wěn)定狀態(tài)，t=0時開關(guān)閉合，則時電壓為：（B）（C）（D）（A）電容電壓和電感電流有跳變時初始值的確定問題（1）換路定律若電容電流和電感電壓在換路時刻為有限值，則換路前后瞬間電容電壓和電感電流是連續(xù)的。例：如圖所示，t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容無初始儲能。t=0時開關(guān)閉合，求換路后電容電壓初始值1F+_uC1uC2+_+_3V2F2Ω+_uR通常電容電壓和電感電流發(fā)生強(qiáng)迫躍變有兩種情況：①換路后電路中存在全部由電容組成的回路或由電容與理想電壓源組成的回路。②換路后電路中存在全部由含電感支路組成的割集或由含電感支路與理想電流源組成的割集（2）電荷守恒/磁鏈?zhǔn)睾惝?dāng)電容電壓和電感電流在換路前后發(fā)生強(qiáng)迫躍變時，可根據(jù)電荷守恒和磁鏈?zhǔn)睾愦_定電容電壓和電感電流的初始值。例：如圖所示，t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)，電容無初始儲能。t=0時開關(guān)閉合，求換路后電容電壓初始值1F+_uC1uC2+_+_3V2F2Ω+_uR解：換路后兩電容不獨(dú)立，電路為一階電路；換路前后電壓將發(fā)生躍變a對節(jié)點(diǎn)a，利用電荷守恒，有0由例：兩開關(guān)在0時刻同時閉合，換路前電容C1和C2上儲存的電荷分別為Q1和Q2，求換路后的i(t)一階電路，且換路后電容電壓可能躍變初始值電荷總量不變R+_C2+_Q1t=0Q2C1i并聯(lián)時間常數(shù)零輸入響應(yīng)例：開關(guān)在0時刻由a換接到b，換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，且C2未充電，求換路后的uC1(t)和uC2(t)一階電路初始值穩(wěn)態(tài)值時間常數(shù)電荷總量不變30V5k?+_+_uC1+_uC2t=05k?ab串聯(lián)例

圖(a)所示電路，開關(guān)S在t=0時閉合，S閉合前電路處于穩(wěn)定狀態(tài)。已知iS=10A，C1=0.3F，C2=0.2F，R1=(1/2)

，R2=(1/3)，試求t

0

時的uC

和iC1，iC2。解：由換路前電路，可得uC1(0-)=5V，uC2(0-)=0V所以uC1(0-)≠uC2(0-)換路后uC1(0+)=uC2(0+)由于換路，強(qiáng)迫電容電壓發(fā)生有限跳變(a)t

0+時的等效電路，可求得uC()=2V，

=RC=0.1S。根據(jù)三要素法有3V5V2V3V2V-3A-2A+_UsR1L1R2L2i例：如圖所示，t<0時電路已處于穩(wěn)態(tài)。t=0時開關(guān)打開，求換路后電流i初始值i(0+)換路后兩電感不獨(dú)立，換路前后電流將發(fā)生躍變；對圖示回路，利用磁鏈?zhǔn)睾?，有換路前電路處于穩(wěn)態(tài)，所以所以例：在圖示電路中，us(t)=12V，R1=6

，R2=3

，R3=3

，L1=0.5H，L2=1.5H

，試求t0時電路的響應(yīng)iL1(t)和iL2(t)解：根據(jù)磁鏈?zhǔn)睾憬猓核伎碱}：電路如圖所示。t=0時開關(guān)斷開，已知i1(0-)=i2(0-)=0，求i1(0+)，i2(0+)。答案：0.25Fi10V1H5?2?例：開關(guān)在0時刻閉合，閉合前電路已處于穩(wěn)態(tài)，求換路后電流i(t)解題要點(diǎn)：換路后電路分為兩個一階電路，如下圖0.25Fi110V1H5?2?+_10Vi2例：在圖示電路中，電感無初始儲能，t<1s

時，開關(guān)接在“a”，t=1s時開關(guān)打向“b”，R1=2

，R2=1

，R3=2

，L=1H，

試求t0時電路的響應(yīng)iL(t)解：第一次換路由引起第二次換路例：在圖示電路中，電感無初始儲能，t<1s

時，開關(guān)接在“a”，t=1s時開關(guān)打向“b”，R1=2

，R2=1

，R3=2

，L=1H，

試求t0時電路的響應(yīng)iL(t)例:如圖所示，已知某電阻網(wǎng)絡(luò)N，接成（a）時，測得uC=6V，接成（b）時測得IL=5mA，如果將此電阻網(wǎng)絡(luò)接成（c）電路，t=0時開關(guān)S閉合，求t=0時uC的表達(dá)式，畫出其變化曲線。已知uC(0_)=4V。10μFNC20V0.8kΩ+_uCt=0(c)10μFNC10V0.8kΩV+_6V(a)N10VmA1HL5mA(b)R1R1R020V+_12V10μFNC20V0.8kΩ+_uCt=0換路后等效電路初始值：穩(wěn)態(tài)值：應(yīng)用三要素法求解：時間常數(shù)：uC(t)的表達(dá)式：412uCt010μF12V2kΩ+_uC思考題：在圖示電路中，N為線性無源電阻網(wǎng)絡(luò),L=10mH試求t>0時圖電路的響應(yīng)uL(t)KCL：iC+iR+iL=0電路方程§5.7二階電路§5.7.1線性定常RLC并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)二階電路是含有兩個獨(dú)立儲能元件的線性定常電路。描述這種電路的方程是二階線性常微分方程(b)t

0+為二階常系數(shù)線性齊次微分方程

特征方程令衰減系數(shù)，阻尼常數(shù)諧振角頻率根據(jù)

和0的相對大小，s1和s2可以是兩個不相等的負(fù)實根、兩個相等的負(fù)實根、一對共軛復(fù)根和一對共軛虛根等四種情況。與此相對應(yīng)，RLC并聯(lián)電路的零輸入響應(yīng)有過阻尼，臨界阻尼，欠阻尼和無阻尼等四種情況。下面分別討論這四種情況。特征根s1和s2是兩個不相等的負(fù)實