廣東省汕頭市濠江區(qū)金山中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

廣東省汕頭市濠江區(qū)金山中學(xué)2024年高考數(shù)學(xué)二模試卷注意事項:1.答題前,考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚,將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2.答題時請按要求用筆。3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試卷上答題無效。4.作圖可先使用鉛筆畫出,確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5.保持卡面清潔,不要折暴、不要弄破、弄皺,不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知函數(shù),為的零點,為圖象的對稱軸,且在區(qū)間上單調(diào),則的最大值是()A. B. C. D.2.根據(jù)散點圖,對兩個具有非線性關(guān)系的相關(guān)變量x,y進行回歸分析,設(shè)u=lny,v=(x-4)2,利用最小二乘法,得到線性回歸方程為=0.5v+2,則變量y的最大值的估計值是()A.e B.e2 C.ln2 D.2ln23.閱讀如圖所示的程序框圖,運行相應(yīng)的程序,則輸出的結(jié)果為()A. B.6 C. D.4.設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位:kg)與身高x(單位:cm)具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi,yi)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B.回歸直線過樣本點的中心(,)C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kgD.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重比為58.79kg5.如圖所示,已知雙曲線的右焦點為,雙曲線的右支上一點,它關(guān)于原點的對稱點為,滿足,且,則雙曲線的離心率是().A. B. C. D.6.為研究某咖啡店每日的熱咖啡銷售量和氣溫之間是否具有線性相關(guān)關(guān)系,統(tǒng)計該店2017年每周六的銷售量及當(dāng)天氣溫得到如圖所示的散點圖(軸表示氣溫,軸表示銷售量),由散點圖可知與的相關(guān)關(guān)系為()A.正相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為B.負相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為C.負相關(guān),相關(guān)系數(shù)的值為D.正相關(guān),相關(guān)負數(shù)的值為7.設(shè)集合,則()A. B.C. D.8.已知函數(shù)是上的偶函數(shù),且當(dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),則,,的大小關(guān)系是()A. B.C. D.9.在中,,分別為,的中點,為上的任一點,實數(shù),滿足,設(shè)、、、的面積分別為、、、,記(),則取到最大值時,的值為()A.-1 B.1 C. D.10.已知命題:任意,都有;命題:,則有.則下列命題為真命題的是()A. B. C. D.11.若復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)12.袋中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個小球,從袋子中一次性摸出兩個球,記下號碼并放回,如果兩個號碼的和是3的倍數(shù),則獲獎,若有5人參與摸球,則恰好2人獲獎的概率是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若變量,滿足約束條件,則的最大值為__________.14.若直線與直線交于點,則長度的最大值為____.15.已知函數(shù),若方程的解為,(),則_______;_______.16.一個房間的地面是由12個正方形所組成,如圖所示.今想用長方形瓷磚鋪滿地面,已知每一塊長方形瓷磚可以覆蓋兩塊相鄰的正方形,即或,則用6塊瓷磚鋪滿房間地面的方法有_______種.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知數(shù)列滿足,且,,成等比數(shù)列.(1)求證:數(shù)列是等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項公式;(2)記數(shù)列的前n項和為,,求數(shù)列的前n項和.18.(12分)已知函數(shù).(1)討論的零點個數(shù);(2)證明:當(dāng)時,.19.(12分)如圖,在三棱柱中,平面,,且.(1)求棱與所成的角的大??;(2)在棱上確定一點,使二面角的平面角的余弦值為.20.(12分)某工廠的機器上有一種易損元件A,這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時,需要送維修處維修.工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8:30之前送到維修處,并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作.每個工人獨立維修A元件需要時間相同.維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數(shù),具體數(shù)據(jù)如下表:日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機選取一天,隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數(shù).(Ⅰ)求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)若a,b,且b-a=6,求最大值;(Ⅲ)目前維修處有兩名工人從事維修工作,為使每個維修工人每天維修元件A的個數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個,至少需要增加幾名維修工人?(只需寫出結(jié)論)21.(12分)某市調(diào)硏機構(gòu)對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調(diào)查,抽調(diào)了50名市民,他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表:月收入(單位:百元)頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521(1)若所抽調(diào)的50名市民中,收入在的有15名,求,,的值,并完成頻率分布直方圖.(2)若從收入(單位:百元)在的被調(diào)查者中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查,選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(3)從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民,恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”,根據(jù)表格數(shù)據(jù),判斷這3名市民來自哪組的可能性最大?請直接寫出你的判斷結(jié)果.22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),以坐標(biāo)原點為極點,x軸正半軸為極軸,建立極坐標(biāo)系,已知曲線C的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點,直線l與曲線C交于不同的兩點A、B,求的值.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

由題意可得,且,故有①,再根據(jù),求得②,由①②可得的最大值,檢驗的這個值滿足條件.【詳解】解:函數(shù),,為的零點,為圖象的對稱軸,,且,、,,即為奇數(shù)①.在,單調(diào),,②.由①②可得的最大值為1.當(dāng)時,由為圖象的對稱軸,可得,,故有,,滿足為的零點,同時也滿足滿足在上單調(diào),故為的最大值,故選:B.【點睛】本題主要考查正弦函數(shù)的圖象的特征,正弦函數(shù)的周期性以及它的圖象的對稱性,屬于中檔題.2、B【解析】

將u=lny,v=(x-4)2代入線性回歸方程=-0.5v+2,利用指數(shù)函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)可得最大估計值.【詳解】解:將u=lny,v=(x4)2代入線性回歸方程=0.5v+2得:,即,當(dāng)時,取到最大值2,因為在上單調(diào)遞增,則取到最大值.故選:B.【點睛】本題考查了非線性相關(guān)的二次擬合問題,考查復(fù)合型指數(shù)函數(shù)的最值,是基礎(chǔ)題,.3、D【解析】

用列舉法,通過循環(huán)過程直接得出與的值,得到時退出循環(huán),即可求得.【詳解】執(zhí)行程序框圖,可得,,滿足條件,,,滿足條件,,,滿足條件,,,由題意,此時應(yīng)該不滿足條件,退出循環(huán),輸出S的值為.故選D.【點睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用,正確依次寫出每次循環(huán)得到的與的值是解題的關(guān)鍵,難度較易.4、D【解析】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=0.85x﹣85.71,則=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系,A正確;回歸直線過樣本點的中心(),B正確;該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加0.85kg,C正確;該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為0.85×170﹣85.71=58.79kg,D錯誤.故選D.5、C【解析】

易得,,又,平方計算即可得到答案.【詳解】設(shè)雙曲線C的左焦點為E,易得為平行四邊形,所以,又,故,,,所以,即,故離心率為.故選:C.【點睛】本題考查求雙曲線離心率的問題,關(guān)鍵是建立的方程或不等關(guān)系,是一道中檔題.6、C【解析】

根據(jù)正負相關(guān)的概念判斷.【詳解】由散點圖知隨著的增大而減小,因此是負相關(guān).相關(guān)系數(shù)為負.故選:C.【點睛】本題考查變量的相關(guān)關(guān)系,考查正相關(guān)和負相關(guān)的區(qū)別.掌握正負相關(guān)的定義是解題基礎(chǔ).7、B【解析】

直接進行集合的并集、交集的運算即可.【詳解】解:;∴.故選:B.【點睛】本題主要考查集合描述法、列舉法的定義,以及交集、并集的運算,是基礎(chǔ)題.8、D【解析】

利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得,再根據(jù)的單調(diào)性和奇偶性可得正確的選項.【詳解】因為,,故.又,故.因為當(dāng)時,函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù),所以.因為為偶函數(shù),故,所以.故選:D.【點睛】本題考查抽象函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在大小比較中的應(yīng)用,比較大小時注意選擇合適的中間數(shù)來傳遞不等關(guān)系,本題屬于中檔題.9、D【解析】

根據(jù)三角形中位線的性質(zhì),可得到的距離等于△的邊上高的一半,從而得到,由此結(jié)合基本不等式求最值,得到當(dāng)取到最大值時,為的中點,再由平行四邊形法則得出,根據(jù)平面向量基本定理可求得,從而可求得結(jié)果.【詳解】如圖所示:因為是△的中位線,所以到的距離等于△的邊上高的一半,所以,由此可得,當(dāng)且僅當(dāng)時,即為的中點時,等號成立,所以,由平行四邊形法則可得,,將以上兩式相加可得,所以,又已知,根據(jù)平面向量基本定理可得,從而.故選:D【點睛】本題考查了向量加法的平行四邊形法則,考查了平面向量基本定理的應(yīng)用,考查了基本不等式求最值,屬于中檔題.10、B【解析】

先分別判斷命題真假,再由復(fù)合命題的真假性,即可得出結(jié)論.【詳解】為真命題;命題是假命題,比如當(dāng),或時,則不成立.則,,均為假.故選:B【點睛】本題考查復(fù)合命題的真假性,判斷簡單命題的真假是解題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】

將復(fù)數(shù)整理為的形式,分別判斷四個選項即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯誤;,錯誤;,錯誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項:【點睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識,屬于基礎(chǔ)題.12、C【解析】

先確定摸一次中獎的概率,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,根據(jù)每一次發(fā)生的概率,利用獨立重復(fù)試驗的公式得到結(jié)果.【詳解】從6個球中摸出2個,共有種結(jié)果,兩個球的號碼之和是3的倍數(shù),共有摸一次中獎的概率是,5個人摸獎,相當(dāng)于發(fā)生5次試驗,且每一次發(fā)生的概率是,有5人參與摸獎,恰好有2人獲獎的概率是,故選:.【點睛】本題主要考查了次獨立重復(fù)試驗中恰好發(fā)生次的概率,考查獨立重復(fù)試驗的概率,解題時主要是看清摸獎5次,相當(dāng)于做了5次獨立重復(fù)試驗,利用公式做出結(jié)果,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】

根據(jù)約束條件可以畫出可行域,從而將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最大的問題的求解,通過數(shù)形結(jié)合的方式可確定過時,取最大值,代入可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示:將化為,則最大時,直線在軸截距最大;由直線平移可知,當(dāng)過時,在軸截距最大,由得:,.故答案為:.【點睛】本題考查線性規(guī)劃中最值問題的求解,關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為直線在軸截距的最值的求解問題,通過數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.14、【解析】

根據(jù)題意可知,直線與直線分別過定點,且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點在以為直徑的圓上,結(jié)合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點,直線可化為,所以其過定點,且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點在以為直徑的圓上,作圖如下:結(jié)合圖形可知,線段的最大值為,因為為線段的中點,所以由中點坐標(biāo)公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點睛】本題考查過交點的直線系方程、動點的軌跡問題及點與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運算求解能力;根據(jù)圓的定義得到交點在以為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.15、【解析】

求出在上的對稱軸,依據(jù)對稱性可得的值;由可得,依據(jù)可求出的值.【詳解】解:令,解得因為,所以關(guān)于對稱.則.由,則由可知,,又因為,所以,則,即故答案為:;.【點睛】本題考查了三角函數(shù)的對稱軸,考查了誘導(dǎo)公式,考查了同角三角函數(shù)的基本關(guān)系.本題的易錯點在于沒有正確判斷的取值范圍,導(dǎo)致求出.在求的對稱軸時,常用整體代入法,即令進行求解.16、11【解析】

將圖形中左側(cè)的兩列瓷磚的形狀先確定,再由此進行分類,在每一類里面又分按兩種形狀的瓷磚的數(shù)量進行分類,在其中會有相同元素的排列問題,需用到“縮倍法”.采用分類計數(shù)原理,求得總的方法數(shù).【詳解】(1)先貼如圖這塊瓷磚,然后再貼剩下的部分,按如下分類:5個:,3個,2個:,1個,4個:,(2)左側(cè)兩列如圖貼磚,然后貼剩下的部分:3個:,1個,2個:,綜上,一共有(種).故答案為:11.【點睛】本題考查了分類計數(shù)原理,排列問題,其中涉及到相同元素的排列,用到了“縮倍法”的思想.屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見解析;(2)【解析】

(1)因為,所以,所以,所以數(shù)列是等差數(shù)列,設(shè)數(shù)列的公差為,由可得,因為成等比數(shù)列,所以,所以,所以,因為,所以,解得(舍去)或,所以,所以.(2)由(1)知,,所以,所以.18、(1)見解析(2)見解析【解析】

(1)求出,分別以當(dāng),,時,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和最值判斷零點的個數(shù).(2)令,結(jié)合導(dǎo)數(shù)求出;同理可求出滿足,從而可得,進而證明.【詳解】解析:(1),,當(dāng)時,,單調(diào)遞減,,,此時有1個零點;當(dāng)時,無零點;當(dāng)時,由得,由得,∴在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,∴在處取得最小值,若,則,此時沒有零點;若,則,此時有1個零點;若,則,,求導(dǎo)易得,此時在,上各有1個零點.綜上可得時,沒有零點,或時,有1個零點,時,有2個零點.(2)令,則,當(dāng)時,;當(dāng)時,,∴.令,則,當(dāng)時,,當(dāng)時,,∴,∴,,∴,即.【點睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)零點問題,考查了運用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題,考查了分類的數(shù)學(xué)思想.本題的難點在于第二問不等式的證明中,合理設(shè)出函數(shù),通過比較最值證明.19、(1)(2)【解析】試題分析:(1)因為AB⊥AC,A1B⊥平面ABC,所以以A為坐標(biāo)原點,分別以AC、AB所在直線分別為x軸和y軸,以過A,且平行于BA1的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,由AB=AC=A1B=2求出所要用到的點的坐標(biāo),求出棱AA1與BC上的兩個向量,由向量的夾角求棱AA1與BC所成的角的大??;

(2)設(shè)棱B1C1上的一點P,由向量共線得到P點的坐標(biāo),然后求出兩個平面PAB與平面ABA1的一個法向量,把二面角P-AB-A1的平面角的余弦值為,轉(zhuǎn)化為它們法向量所成角的余弦值,由此確定出P點的坐標(biāo).試題解析:解(1)如圖,以為原點建立空間直角坐標(biāo)系,則,.,故與棱所成的角是.(2)為棱中點,設(shè),則.設(shè)平面的法向量為,,則,故而平面的法向量是,則,解得,即為棱中點,其坐標(biāo)為.點睛:本題主要考查線面垂直的判定與性質(zhì),以及利用空間向量求二面角.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是:(1)觀察圖形,建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系;(2)寫出相應(yīng)點的坐標(biāo),求出相應(yīng)直線的方向向量;(3)設(shè)出相應(yīng)平面的法向量,利用兩直線垂直數(shù)量積為零列出方程組求出法向量;(4)將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量關(guān)系;(5)根據(jù)定理結(jié)論求出相應(yīng)的角和距離.20、(Ⅰ)分布列見解析,;(Ⅱ);(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

(Ⅰ)求出X的所有可能取值為9,12,15,18,24,求出概率,得到X的分布列,然后求解期望即可.(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時,求出a,b的可能值,然后求解P(a≤X≤b)的最大值即可.(Ⅲ)利用前兩問的結(jié)果,判斷至少增加2人.【詳解】(Ⅰ)X的取值為:9,12,15,18,24;,,,,,X的分布列為:X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望;(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時,a,b的值可能為

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