遼寧省丹東市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

遼寧省丹東市三年（2020-2022）中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

一.分式的化簡求值（共3小題）

1.（2022?丹東）先化簡，再求值：.x+2-A,其中x=sin45°.

又2.42x-4x

2.（2021?丹東）先化簡，再求代數(shù)式的值：_2_+2az￡+atl＞其中〃=2sin30°+2（TT-

a-2a2.42-a

1）°,

3.（2020?丹東）先化簡，再求代數(shù)式的值：（生-上）,其中x=cos60°+6-

2

x-2x+2X-4

i

二.分式方程的應(yīng)用（共3小題）

4.（2022?丹東）為推動(dòng)家鄉(xiāng)學(xué)?；@球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某公司計(jì)劃出資12000元購買一批籃球

贈(zèng)送給家鄉(xiāng)的學(xué)校.實(shí)際購買時(shí)，每個(gè)籃球的價(jià)格比原價(jià)降低了20元，結(jié)果該公司出資

10000元就購買了和原計(jì)劃一樣多的籃球，每個(gè)籃球的原價(jià)是多少元？

5.（2021?丹東）為落實(shí)“鄉(xiāng)村振興計(jì)劃”的工作要求，某區(qū)政府計(jì)劃對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)道路進(jìn)行改造,

安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成，已知乙隊(duì)比甲隊(duì)每天少改造20米，甲隊(duì)改造400米的道路

與乙隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天改造的道路長度分別

是多少米？

6.（2020?丹東）為幫助貧困山區(qū)孩子學(xué)習(xí)，某學(xué)校號(hào)召學(xué)生自愿捐書，已知七、八年級(jí)同

學(xué)捐書總數(shù)都是1800本，八年級(jí)捐書人數(shù)比七年級(jí)多150人，七年級(jí)人均捐書數(shù)量是八

年級(jí)人均捐書數(shù)量的1.5倍.求八年級(jí)捐書人數(shù)是多少？

三.二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）

7.（2022?丹東）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源.某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，

每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷

售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系，

部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

銷售單價(jià)X（元/件）???354045???

每天銷售數(shù)量y（件）???908070???

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

8.（2021?丹東）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)

為100元時(shí)，每月的銷售量為50件，而銷售單價(jià)每降低2元，則每月可多售出10件，

且要求銷售單價(jià)不得低于成本.

（1）求該商品每月的銷售量y（件）與銷售單價(jià)x（元）之間的函數(shù)關(guān)系式；（不需要求

自變量取值范圍）

（2）若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定

為多少元？

（3）超市的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該商品每月銷售量超過某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)所獲利潤反而

減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

9.（2020?丹東）某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元.規(guī)定每件售價(jià)不

低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量y（件）與每件的售價(jià)x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)

系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

售價(jià)X（元/件）606570

銷售量y（件）140013001200

（1）求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；（不需要求自變量x的取值范圍）

（2）該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何

給這種襯衫定價(jià)？

（3）物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%,設(shè)這種襯衫每月的總

利潤為w（元），那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

四.二次函數(shù)綜合題（共3小題）

10.（2022?丹東）如圖1,拋物線y=a/+x+c（a#0）與x軸交于4（-2,0）,B（6,0）

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作軸，

垂足為。，PD交直線BC于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為機(jī).

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)線段PE的長度為〃，請(qǐng)用含有機(jī)的代數(shù)式表示生

（3）如圖2,過點(diǎn)尸作PF_LCE,垂足為尸，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出機(jī)的值；

（4）如圖3,連接CP,當(dāng)四邊形OCPO是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)。，使

原點(diǎn)。關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)。'恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿

足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

11.(2021?丹東)如圖，已知點(diǎn)A(-8,0),點(diǎn)8(-5,-4),直線y=2r+/n過點(diǎn)B交y

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(3)E為直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，且lan/EC4=』，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

2

(4)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段

BN運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)N,再以每秒遙個(gè)單位長度的速度沿線段NC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,又以每秒1個(gè)

單位長度的速度沿線段CO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。后停止，請(qǐng)直接寫出上述運(yùn)

動(dòng)時(shí)間的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

12.(2020?丹東)如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-Lf+bx+c與x軸交于A,B

2

兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0),與y軸交于點(diǎn)C(0,4),直線y=-工+膽與拋物線交于

2

B,。兩點(diǎn).

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

(2)求修的值和。點(diǎn)坐標(biāo).

(3)點(diǎn)P是直線8。上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為H,交直線

BD于點(diǎn)、F,過點(diǎn)。作x軸的平行線，交.PH于點(diǎn)、N,當(dāng)N是線段P尸的三等分點(diǎn)時(shí)，求

P點(diǎn)坐標(biāo).

（4）如圖2,。是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-2,0）.動(dòng)點(diǎn)〃從4出發(fā)，沿x軸正方向

5

以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為fG>0）,連接A。，過M作MGLA。

于點(diǎn)G,以MG所在直線為對(duì)稱軸，線段AQ經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A'Q',點(diǎn)〃在

運(yùn)動(dòng)過程中，線段A'Q'的位置也隨之變化，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段A'Q'與拋

五.平行四邊形的判定與性質(zhì)（共1小題）

13.（2021?丹東）如圖，在平行四邊形ABC。中，點(diǎn)。是40的中點(diǎn)，連接C。并延長交

8A的延長線于點(diǎn)E,連接AC、DE.

（1）求證：四邊形ACQE是平行四邊形；

（2）若A8=AC,判斷四邊形ACOE的形狀，并說明理由.

六.四邊形綜合題（共2小題）

14.（2021?丹東）已知，在正方形ABC。中，點(diǎn)M、N為對(duì)角線AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且N

MBN=45°,過點(diǎn)M、N分別作A3、8c的垂線相交于點(diǎn)E,垂足分別為F、G,設(shè)

的面積為S”ZiNGC的面積為S2，△MEN的面積為S3.

圖1圖2

(1)如圖(1),當(dāng)四邊形EF8G為正方形時(shí)，

①求證：XAFM9XCGN；

②求證：53=51+52.

(2)如圖(2),當(dāng)四邊形EFBG為矩形時(shí)，寫出Si，S2,S3三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說

明理由；

(3)在(2)的條件下，若BG：GC=m：n(m>n),請(qǐng)直接寫出AF：FB的值.

15.(2020?丹東)已知：菱形ABCZ)和菱形A'B'CD',NBAD=NB'A'D',起始

位置點(diǎn)A在邊A'B'上，點(diǎn)8在A'B'所在直線上，點(diǎn)8在點(diǎn)A的右側(cè)，點(diǎn)8'在點(diǎn)

A'的右側(cè)，連接AC和A'C',將菱形ABCD以4為旋轉(zhuǎn)中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a角(0°

<a<180°).

(1)如圖1,若點(diǎn)4與A'重合，且NBA￡>=/B'A'D'=90°,求證：BB'=DD'.

(2)若點(diǎn)A與A'不重合，M是4'C'上一點(diǎn)，當(dāng)M4'=MA時(shí)，連接和A'C,

8例和A'C所在直線相交于點(diǎn)P.

①如圖2,當(dāng)NBAD=NB'A'D1=90°時(shí)，請(qǐng)猜想線段BM和線段A'C的數(shù)量關(guān)系

及NBPC的度數(shù).

②如圖3,當(dāng)NBAD=/B'A'D'=60°時(shí)，請(qǐng)求出線段和線段A'C的數(shù)量關(guān)系

及ZBPC的度數(shù).

③在②的條件下，若點(diǎn)A與A'B'的中點(diǎn)重合，A'B'=4,AB=2,在整個(gè)旋轉(zhuǎn)過程

中，當(dāng)點(diǎn)尸與點(diǎn)M重合時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段的長.

七.直線與圓的位置關(guān)系（共1小題）

16.（2020?丹東）如圖，已知△A8C,以4B為直徑的交AC于點(diǎn)。，連接8。，NCBD

的平分線交OO于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)兒且

（1）判斷8c所在直線與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若tan/尸DF=2,求。。的半徑.

3

八.相似三角形的判定與性質(zhì)（共1小題）

17.（2021?丹東）如圖，。。是△ABC的外接圓，點(diǎn)。是前的中點(diǎn)，過點(diǎn)。作EF〃BC分

別交AB、AC的延長線于點(diǎn)E和點(diǎn)F,連接A。、BD,/ABC的平分線8M交4。于點(diǎn)

M.

（I）求證：E尸是的切線；

（2）若A8：BE=5：2,AO=J五，求線段DW的長.

九.作圖-位似變換（共1小題）

18.(2020?丹東)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位長度

的正方形，點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)分別為A(1,2),B(3,1),C(2,3),先以原點(diǎn)。為

位似中心在第三象限內(nèi)畫一個(gè)△48C1.使它與△A8C位似，且相似比為2：1,然后再

把a(bǔ)ABC繞原點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到282c2.

(1)畫出△A1B1C1，并直接寫出點(diǎn)4的坐標(biāo)；

(2)畫出232c2,直接寫出在旋轉(zhuǎn)過程中，點(diǎn)A到點(diǎn)兒所經(jīng)過的路徑長.

19.(2022?丹東)已知矩形ABCZ),點(diǎn)E為直線8。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)3重合)，

連接AE,以AE為一邊構(gòu)造矩形AEFG(A,E,F,G按逆時(shí)針方向排列)，連接。G.

(1)如圖1,當(dāng)￡1=理_=1時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段BE與線段0G的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系；

ABAE

(2)如圖2,當(dāng)期_=超=2時(shí)，請(qǐng)猜想線段BE與線段OG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并

ABAE

說明理由；

(3)如圖3,在(2)的條件下，連接8G,EG,分別取線段BG,EG的中點(diǎn)M,N,連

接MN,MD,ND,若AB=遙，/AEB=45°,請(qǐng)直接寫出△〃、￡＞的面積.

G

G

一十一.解直角三角形（共1小題）

20.（2022?丹東）如圖，AB是。O的直徑，點(diǎn)E在。。上，連接AE和BE,BC平分/ABE

交00于點(diǎn)C,過點(diǎn)C作CC8E,交BE的延長線于點(diǎn)。，連接CE.

（1）請(qǐng)判斷直線。與的位置關(guān)系，并說明理由；

（2）若sin/ECD=3,CE=5,求00的半徑.

5

D

一十二.解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題（共1小題）

21.（2021?丹東）如圖，一架無人機(jī)在空中A處觀測(cè)到山頂B的仰角為36.87°,山頂8在

水中的倒影C的俯角為63.44。，此時(shí)無人機(jī)距水面的距離A￡>=50米，求點(diǎn)8到水面距

離的高度.

（參考數(shù)據(jù):sin36.87°-0.60,cos36.87°=0.80,tan36.87°=0.75,sin63.440~0.89,

cos63.44°々0.45,tan63.44°弋2.00)

嚅需-

一十三.解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題（共2小題）

22.（2022?丹東）如圖，我國某海域有A,B,C三個(gè)港口，B港口在C港口正西方向33.2”〃?淞

Cnmile是單位"海里"的符號(hào)）處,A港口在8港口北偏西50°方向且距離8港口40nmile

處，在A港口北偏東53°方向且位于C港口正北方向的點(diǎn)。處有一艘貨船，求貨船與A

港口之間的距離.

（參考數(shù)據(jù):sin50°^0.77,cos50°心0.64,tan50°七1.19,sin53°?=0.80,cos53°.

0.60,tan53°F.33.）

~?東

：53°

23.（2020?丹東）如圖，小島C和。都在碼頭。的正北方向上，它們之間距離為6.4b”，

一艘漁船自西向東勻速航行，行駛到位于碼頭。的正西方向4處時(shí),測(cè)得NC4O=26.5°,

漁船速度為28h”//z,經(jīng)過0.2〃，漁船行駛到了8處，測(cè)得/。80=49°,求漁船在B處

時(shí)距離碼頭。有多遠(yuǎn)？（結(jié)果精確到0.1版）

（參考數(shù)據(jù)：sin26.5°40.45,cos26.5°40.89,tan26.5°-0.50,sin49°-0.75,cos490

七0.66,tan49°*=1.15)

一十四.條形統(tǒng)計(jì)圖（共2小題）

24.（2021?丹東）某中學(xué)為了增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，計(jì)劃開設(shè)A：跳繩，B：健球，C：籃球，D：

足球四種體育活動(dòng)，為了解學(xué)生對(duì)這四種體育活動(dòng)的喜歡情況，對(duì)部分學(xué)生進(jìn)行抽樣調(diào)

查（每人只能選擇一種體育活動(dòng)），并繪制成如圖所示的兩幅不完全的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中

所給信息解答下列問題：

人數(shù)

調(diào)查情況條形統(tǒng)計(jì)圖調(diào)查情況扇形統(tǒng)計(jì)圖

（1）求這次抽樣調(diào)查的學(xué)生有多少人？

（2）求出B所在扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）若該校有800名學(xué)生，請(qǐng)根據(jù)抽樣調(diào)查結(jié)果估計(jì)喜歡B的人數(shù).

25.（2020?丹東）某校為了解疫情期間學(xué)生居家學(xué)習(xí)情況，以問卷調(diào)查的形式隨機(jī)調(diào)查了部

分學(xué)生居家學(xué)習(xí)的主要方式（每名學(xué)生只選最主要的一種），并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖不

完整的統(tǒng)計(jì)圖.

種類ABCDE

學(xué)習(xí)方式老師直播教學(xué)國家教育云平電視臺(tái)播放教第三方網(wǎng)上課其他

課程臺(tái)教學(xué)課程學(xué)課程程

居家學(xué)習(xí)方式條形統(tǒng)計(jì)圖居家學(xué)習(xí)方式扇形統(tǒng)計(jì)圖

根據(jù)以上信息回答下列問題：

（1）參與本次問卷調(diào)查的學(xué)生共有人，其中選擇5類型的有人.

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求。所對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)，并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖.

（3）該校學(xué)生人數(shù)為1250人，選擇A、B、C三種學(xué)習(xí)方式大約共有多少人？

一十五.列表法與樹狀圖法（共2小題）

26.（2022?丹東）為了解學(xué)生一周勞動(dòng)情況，我市某校隨機(jī)調(diào)查了部分學(xué)生的一周累計(jì)勞動(dòng)

時(shí)間，將他們一周累計(jì)勞動(dòng)時(shí)間r（單位：h）劃分為A：f<2,B：2Wf<3,C：3Wf<4,

。：f24四個(gè)組，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如圖所示的兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖，根據(jù)圖中所給信

息解答下列問題：

調(diào)查情況條形統(tǒng)計(jì)圖

（1）這次抽樣調(diào)查共抽取人，條形統(tǒng)計(jì)圖中的根=；

（2）在扇形統(tǒng)計(jì)圖中，求B組所在扇形圓心角的度數(shù)，并將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整；

（3）已知該校有960名學(xué)生，根據(jù)調(diào)查結(jié)果，請(qǐng)你估計(jì)該校一周累計(jì)勞動(dòng)時(shí)間達(dá)到3小

時(shí)及3小時(shí)以上的學(xué)生共有多少人？

（4）學(xué)校準(zhǔn)備從一周累計(jì)勞動(dòng)時(shí)間較長的兩男兩女四名學(xué)生中，隨機(jī)抽取兩名學(xué)生為全

校學(xué)生介紹勞動(dòng)體會(huì)，請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求恰好抽取到一名男生和一名女生的概

率.

27.（2020?丹東）在一個(gè)不透明的口袋中裝有4個(gè)依次寫有數(shù)字1,2,3,4的小球，它們

除數(shù)字外都相同，每次摸球前都將小球搖勻.

（1）從中隨機(jī)摸出一個(gè)小球，小球上寫的數(shù)字不大于3的概率是.

（2）若從中隨機(jī)摸出一球不放回，再隨機(jī)摸出一球，請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求兩

次摸出小球上的數(shù)字和恰好是偶數(shù)的概率.

一十六.游戲公平性（共1小題）

28.（2021?丹東）一個(gè)不透明的袋子中裝有4個(gè)只有顏色不同的小球，其中2個(gè)紅球，2個(gè)

白球，搖勻后從中一次性摸出兩個(gè)小球.

（1）請(qǐng)用列表格或畫樹狀圖的方法列出所有可能性；

（2）若摸到兩個(gè)小球的顏色相同，甲獲勝；摸到兩個(gè)小球顏色不同，乙獲勝.這個(gè)游戲

對(duì)甲、乙雙方公平嗎？請(qǐng)說明理由.

遼寧省丹東市三年(2020-2022)中考數(shù)學(xué)真題分類匯編-解答題

參考答案與試題解析

分式的化簡求值(共3小題)

1.(2022?丹東)先化簡，再求值：/+?-工其中x=sin45°.

2

X-42X-4x

［解答］解：原式二^一再一2(x-2)-1

(x+2)(x-2)xx

=2.工

XX

—_—1,

X

當(dāng)x=sin45°=亞時(shí)，

2

原式=弧.

2.(2021?丹東)先化簡，再求代數(shù)式的值：2+&Z生+紀(jì)1,其中”=2sin30°+2(n-

2

a-2a-42-a

1)°.

【解答】解：_J_+2az￡+a+l

a-242-42-a

=2+2(a-2)_a+l

a-2(a+2)(a-2)a-2

=2(a+2)-2(a-2)_(a+l)(a+2)

(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)(a+2)(a-2)

9

=2a+4+2a-4-a-3a-2

(a+2)(a-2)

=-a2+a-Z

(a+2)(a-2)

2

當(dāng)。=2sin300+2(n-1)°=2X工+2Xl=l+2=3時(shí)，原式=—+*2_=-&.

2(3+2)(3-2)5

3.(2020?丹東)先化簡，再求代數(shù)式的值：(&-」_)其中x=cos60。+6-

2

x-2x+2X-4

i

［解答］解：原式=4x(x+2)-x(x-2).(x-2)(x+2)

(x-2)(x+2)x

=4乂2+8廣j+2x.(x-2)(x+2)

(x-2)(x+2)x

3X2+10X

X

=3x+10,

當(dāng)x=cos60°+61=工+_1=2時(shí)，

263

原式=3x2+10=12.

3

二.分式方程的應(yīng)用（共3小題）

4.（2022?丹東）為推動(dòng)家鄉(xiāng)學(xué)校籃球運(yùn)動(dòng)的發(fā)展，某公司計(jì)劃出資12000元購買一批籃球

贈(zèng)送給家鄉(xiāng)的學(xué)校.實(shí)際購買時(shí)，每個(gè)籃球的價(jià)格比原價(jià)降低了20元，結(jié)果該公司出資

10000元就購買了和原計(jì)劃一樣多的籃球，每個(gè)籃球的原價(jià)是多少元？

【解答】解：設(shè)每個(gè)籃球的原價(jià)是x元，則每個(gè)籃球的實(shí)際價(jià)格是（x-20）元，

根據(jù)題意，得12°°°=1°°0°

xx-20

解得x=120.

經(jīng)檢驗(yàn)x=120是原方程的解.

答：每個(gè)籃球的原價(jià)是120元.

5.（2021?丹東）為落實(shí)“鄉(xiāng)村振興計(jì)劃”的工作要求，某區(qū)政府計(jì)劃對(duì)鄉(xiāng)鎮(zhèn)道路進(jìn)行改造,

安排甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)完成，已知乙隊(duì)比甲隊(duì)每天少改造20米，甲隊(duì)改造400米的道路

與乙隊(duì)改造300米的道路所用時(shí)間相同，求甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)每天改造的道路長度分別

是多少米？

【解答】解：設(shè)甲工程隊(duì)每天改造的道路長度是x米，

列方程得：40°=300,

xx-20

解得：x=80.

經(jīng)檢驗(yàn)x=80是所列方程的根，

所以80-20=60.

答：甲工程隊(duì)每天改造的道路長度是80米，乙工程隊(duì)每天改造的道路長度是60米.

6.（2020?丹東）為幫助貧困山區(qū)孩子學(xué)習(xí)，某學(xué)校號(hào)召學(xué)生自愿捐書，已知七、八年級(jí)同

學(xué)捐書總數(shù)都是1800本，八年級(jí)捐書人數(shù)比七年級(jí)多150人，七年級(jí)人均捐書數(shù)量是八

年級(jí)人均捐書數(shù)量的1.5倍.求八年級(jí)捐書人數(shù)是多少？

【解答】解：設(shè)八年級(jí)捐書人數(shù)是x人，則七年級(jí)捐書人數(shù)是（%-150）人，依題意有

1800V11800

xx-150

解得x=450,

經(jīng)檢驗(yàn)，x=450是原方程的解.

故八年級(jí)捐書人數(shù)是450人.

三.二次函數(shù)的應(yīng)用（共3小題）

7.（2022?丹東）丹東是我國的邊境城市，擁有豐富的旅游資源.某景區(qū)研發(fā)一款紀(jì)念品，

每件成本為30元，投放景區(qū)內(nèi)進(jìn)行銷售，規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，銷

售一段時(shí)間調(diào)研發(fā)現(xiàn)，每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）滿足一次函數(shù)關(guān)系,

部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

銷售單價(jià)X（元/件）???354045.??

每天銷售數(shù)量y（件）???908070???

（1）直接寫出y與x的函數(shù)關(guān)系式：

（2）若每天銷售所得利潤為1200元，那么銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

（3）當(dāng)銷售單價(jià)為多少元時(shí)，每天獲利最大？最大利潤是多少元？

【解答】解：（1）設(shè)每天的銷售數(shù)量y（件）與銷售單價(jià)x（元/件）之間的關(guān)系式為丫=

kx+b,

把（35,90）,（40,80）代入得：

[35k+b=90,

140k+b=80，

解得，k=-2,

lb=160

'-y=-2x+160；

（2）根據(jù)題意得：（x-30）?（-2r+160）=1200,

解得xi=50,X2=6O,

?.?規(guī)定銷售單價(jià)不低于成本且不高于54元，

?*.x=50>

答：銷售單價(jià)應(yīng)定為50元；

（3）設(shè)每天獲利w元，

w=（x-30）?（-2x+160）=-2x2+220x-4800=-2（%-55）2+1250,

V-2<0,對(duì)稱軸是直線x=55,

而x<54,

；.x=54時(shí)，w取最大值，最大值是-2X（54-5512+1250=1248（元），

答：當(dāng)銷售單價(jià)為54元時(shí)，每天獲利最大，最大利潤，1248元.

8.（2021?丹東）某超市銷售一種商品，每件成本為50元，銷售人員經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，銷售單價(jià)

為100元時(shí)，每月的銷售量為50件，而銷售單價(jià)每降低2元，則每月可多售出10件，

且要求銷售單價(jià)不得低于成本.

(1)求該商品每月的銷售量y(件)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式；(不需要求

自變量取值范圍)

(2)若使該商品每月的銷售利潤為4000元，并使顧客獲得更多的實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定

為多少元？

(3)超市的銷售人員發(fā)現(xiàn)：當(dāng)該商品每月銷售量超過某一數(shù)量時(shí)，會(huì)出現(xiàn)所獲利潤反而

減小的情況，為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為多少元？

【解答】解：(1)二?依題意，得：y=50+(100-x)xAxiO=-5x+550,

2

與x的函數(shù)關(guān)系式為y=-51+550；

(2):依題意得:y(x-50)=4000,

即(-5x+550)(%-50)=4000,

解得：Xi=70,%2=90,

V70<90,

當(dāng)該商品每月銷售利潤為4000,為使顧客獲得更多實(shí)惠，銷售單價(jià)應(yīng)定為70元；

(3)設(shè)每月總利潤為w,依題意得w=y(x-50)=(-5x+550)(x-50)=-5/+800x

-27500=-5(x-80)2+4500,

V-5<0,此圖象開口向下，

...當(dāng)x=80時(shí)，卬有最大值為4500元，

為了每月所獲利潤最大，該商品銷售單價(jià)應(yīng)定為80元.

9.(2020?丹東)某服裝批發(fā)市場(chǎng)銷售一種襯衫，襯衫每件進(jìn)貨價(jià)為50元.規(guī)定每件售價(jià)不

低于進(jìn)貨價(jià)，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，每月的銷售量y(件)與每件的售價(jià)x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)

系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表：

售價(jià)X(元/件)606570

銷售量y(件)140013001200

(1)求出y與x之間的函數(shù)表達(dá)式；(不需要求自變量x的取值范圍)

(2)該批發(fā)市場(chǎng)每月想從這種襯衫銷售中獲利24000元，又想盡量給客戶實(shí)惠，該如何

給這種襯衫定價(jià)？

(3)物價(jià)部門規(guī)定，該襯衫的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%,設(shè)這種襯衫每月的總

利潤為W(元)，那么售價(jià)定為多少元可獲得最大利潤？最大利潤是多少？

【解答】解：(1)設(shè)y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為

[60k+b=1400,

I65k+b=1300,

解得，(k=-20,

lb=2600

即y與x之間的函數(shù)表達(dá)式是y--20x+2600；

(2)(x-50)(-20x+2600)=24000,

解得，xi=70,%2=110,

???盡量給客戶優(yōu)惠，

.?.這種襯衫定價(jià)為70元；

(3)由題意可得，

卬=(x-50)(-20^+2600)=-20(x-90)2+32000,

???該襯衫的每件利潤不允許高于進(jìn)貨價(jià)的30%,每件售價(jià)不低于進(jìn)貨價(jià)，

；.50Wx,(x-50)+50W30%,

解得，50WxW65,

...當(dāng)x=65時(shí)，w取得最大值，此時(shí)w=19500,

答：售價(jià)定為65元可獲得最大利潤，最大利潤是19500元.

四.二次函數(shù)綜合題(共3小題)

10.(2022?丹東)如圖I,拋物線yno?+x+c(a#0)與x軸交于4(-2,0),B(6,0)

兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)尸作軸，

垂足為D,交直線BC于點(diǎn)E,設(shè)點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為江

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)設(shè)線段PE的長度為小請(qǐng)用含有機(jī)的代數(shù)式表示力；

(3)如圖2,過點(diǎn)尸作PFLCE,垂足為尸，當(dāng)時(shí)，請(qǐng)求出機(jī)的值；

(4)如圖3,連接CP,當(dāng)四邊形OCPQ是矩形時(shí)，在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)Q,使

原點(diǎn)。關(guān)于直線CQ的對(duì)稱點(diǎn)O'恰好落在該矩形對(duì)角線所在的直線上，請(qǐng)直接寫出滿

足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

點(diǎn)，

.(4a-2+c=0

136a+6+c=0

'J

解得：「F

c=3

.?.拋物線的表達(dá)式為丫=Jf+x+3；

4

(2)拋物線y=_A?+X+3與)，軸交于點(diǎn)C,

4

：.C(0,3),

設(shè)直線BC的解析式為把B(6,0)、C(0,3)代入，

得"6k+b=0,

lb=3

解得:『2,

b=3

直線BC的解析式為y=-L+3,

2

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m,則P(m,—-itr+m+3),E(m,-Jwn+3)?

42

:.h=_A?I2+/M+3-(-—m+3)=

4242

???點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

：.0<m<6,

."./?=——ir^+3-m(0</n<6)；

42

(3)如圖，過點(diǎn)E、F分別作EHLy軸于點(diǎn)“，F(xiàn)GLy軸于點(diǎn)G,

P(w,_in2+w+3),ECm,-L〃+3),

42

：.PE=_Xn^+3-m,

42

"PFLCE,

：.NEPF+NPEF=90°,

；PO_Lx軸，

：.NEBD+NBED=9Q°,

又,：NPEF=NBED,

:.NEPF=NEBD,

；NB0C=NPFE=9Q°,

:.△BOCs^PFE,

???E—F—_OC,

PEBC

在Rtz^BOC中，?C=A/0B24<)c2=>y62+32=37^,

.,.EF=0CXPE=_3(=匹(,22+,〃),

BC37542542

?.,E"_Ly軸，PO_Lx軸，

NEHO=NEDO=/DOH=9Q°,

...四邊形ODE”是矩形，

EH=OD—nh

；EH〃x軸，

：./\CEH^/\CBO,

?CE=BC即CE=

*,EH0B，、V6

：.CE=^-m,

2

；CF=EF,

：.EF=l.CE=J^-m

24

4542

解得：m=0或，"=1,

V0</M<6,

(4)?.?拋物線y=」/+x+3,

拋物線對(duì)稱軸為直線x=---------=2,

2X%

???點(diǎn)。在拋物線的對(duì)稱軸上，

設(shè)。（2,f）,設(shè)拋物線對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)H,交CP邊于點(diǎn)G,

則GQ=3-t,CG=2,/CGQ=90°,

①當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在該矩形對(duì)角線。。所在的直線上時(shí)，如圖，

!G_\P

A/O'~_

則CQ垂直平分。。'，即CQ1OD,

.\ZCOP+ZOCQ=90Q,

又：四邊形OCPD是矩形，

：.CP=OD=4,OC=3,ZOCP=90°,

...NPCQ+NOCQ=90°,

；.NPCQ=NCOP,

：.tanZPCQ=tanZCOP=^-=^,

0C3

：.^.=tanZPCQ=A,

CG

???3-t_—4―,

23

解得：/=」，

3

：.Q(2,A)；

3

②當(dāng)點(diǎn)。'恰好落在該矩形對(duì)角線CO上時(shí)，如圖，連接CD交GH于點(diǎn)K,

??,點(diǎn)。與點(diǎn)0'關(guān)于直線CQ對(duì)稱，

；.CQ垂直平分。0',

NOCQ=ZDCQ,

'：GH//0C,

.".ZCQG=ZOCQ,

:.NDCQ=NCQG,

：.CK=KQ,

VC,P關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，即點(diǎn)G是CP的中點(diǎn)，GH//0C//PD,

...點(diǎn)K是C。的中點(diǎn)，

：.K(2,旦)，

2

，GK=S,

2

:.CK=KQ=*_3

在RtACKG中，CCP+GI^^CK2,

：.22+(3)2=(2-r)2,

22

解得：fl=l(舍去)，f2=-l,

：.Q(2,-I)；

③當(dāng)點(diǎn)O'恰好落在該矩形對(duì)角線。C延長線上時(shí)，如圖，過點(diǎn)。'作O'軸于點(diǎn)

；點(diǎn)。與點(diǎn)O'關(guān)于直線CQ對(duì)稱，

，CQ垂直平分。O',

.'.ZOCM^ZO1CM,ZOMC=ZO'MC=9Q°,O'C=OC=3,

VZO,KC=/￡）OC=90°,ZO'CK=NDCO,

.'.△O'CKs/\DCO,

z7,

-0K-CK-COPn0K-CK-3

ODCOCD435

：.O'K=￡CK=g

55

；.OK=OC+CK=3+a=21,

55

：.O'（-烏絲），

55

；點(diǎn)M是。O'的中點(diǎn)，

：.M（一巨，絲），

55

設(shè)直線CQ的解析式為y=Rx+?,

f6』.力-12

51UV+b一行，

b'=3

解得：K2.

b'=3

直線CQ的解析式為y=lx+3,

2

當(dāng)x=2時(shí)，y=Ax2+3=4,

"2

：.Q（2,4）；

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（2,工）或（2,-1）或（2,4）.

3

11.（2021?丹東）如圖，已知點(diǎn)4（-8,0）,點(diǎn)8（-5,-4）,直線y=2r+加過點(diǎn)B交y

軸于點(diǎn)C,交x軸于點(diǎn)O,拋物線y=/+4+c經(jīng)過點(diǎn)A、C、D,連接AB、AC.

4

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)判斷△ABC的形狀，并說明理由；

(3)E為直線AC上方的拋物線上一點(diǎn)，且tan/EC4=工，求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

2

(4)N為線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長度的速度沿線段

8N運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M再以每秒爬個(gè)單位長度的速度沿線段NC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C,又以每秒1個(gè)

單位長度的速度沿線段CO向點(diǎn)0運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。后停止，請(qǐng)直接寫出上述運(yùn)

動(dòng)時(shí)間的最小值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo).

【解答】解：(1)I?直線y=2x+m過點(diǎn)B(-5,4),交〉軸于點(diǎn)C,

-4=2X(-5)+m,

解得：加=6,

：.C(0,6),

將A(-8,0)、C(0,6)代入y=ax2W^x+c，

得.(0=64a-22+c

寸.ic=6

解得ia%,

c=6

拋物線的表達(dá)式為y^|x24X+6；

(2)ZVIBC為直角三角形，且NBAC=90°,

理由如下：?.,點(diǎn)A(-8,0),點(diǎn)3(-5,-4),點(diǎn)C(0,6),

：.AB2=(-8+5)2+(0+4)2=25,4c2=(-8+0)2+(0-6)2=100,Z?C2=(-5+0)

2+(-4-6)2=125,

:.AC2+AB2=BC2,

.'.△ABC為直角三角形，且NBAC=90°；

(3)由(2)知A3=5,AC=10,

tanZBCA=絲＞」=tanZECA,

AC2

：.ZBCA=ZECA,

如圖1,延長54至F,使A/=A8,連接CF,則點(diǎn)8、尸關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱,

圖1

：.F(-11,4),

VZBAC=ZMC=90",AF^AB,AC=AC,

.,.△MC^ABAC(SAS),

：.ZBCA=ZFCA,

...點(diǎn)E為直線CF與拋物線的交點(diǎn),

設(shè)直線CF的解析式為y=fcr+b,

他解得:

則Tlk=4,k上，

b=611

2

...直線CF的解析式為y^yx+6.

2

y=y^x+6

聯(lián)立方程組《

1211r

y=^-x-t-^-x+6

44

113

「或

x=0(舍去),

解得：，

y=6

y121

故點(diǎn)E坐標(biāo)為(金巳，獨(dú));

11121

(4)過N作MNJ_BC于M,過尸作FM_LBC交AC于M,連接FM則FN=BN,

\'AB=5,BC=V125=575.

sinNBC4=空-如，

BC5NC

.?.MN=黑，又C0=6,

V5

.,.點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間^0-=BN+MN+6^FN+MN+6^FM'+6,

1V51

當(dāng)F、N、M三點(diǎn)共線時(shí)，f最小，

VAC=10,BC=5A/5)

.,.sinZ/lBC=M=2VL=FM—,

BC5BF

：.FM=4爬，

.,.點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的最小值為4*'而+6，

由直線BC的表達(dá)式)，=2x+6得點(diǎn)￡＞坐標(biāo)為(-3,0),

FD=V(-11+3)2+42=4V5，

二點(diǎn)。與點(diǎn)M重合，則點(diǎn)N（即M）為直線尸。與直線AC的交點(diǎn),

由點(diǎn)A（-8,0）和C（0,6）得直線AC的表達(dá)式為y4x+6，

由點(diǎn)尸（-11,4）和。（-3,0）得直線FD的表達(dá)式為丫=」火上,

丫22

2

yqx+6x=-6

聯(lián)立方程組《,力解得：，_3，

13y3

y22

此時(shí)N坐標(biāo)為（-6,3）.

2

12.（2020?丹東）如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=-景+bx+c與x軸交于A,B

兩點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為（-2,0）,與y軸交于點(diǎn)C（0,4）,直線y=-&+%與拋物線交于

2

B,D兩點(diǎn).

（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式.

（2）求〃?的值和。點(diǎn)坐標(biāo).

（3）點(diǎn)P是直線BO上方拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為“，交直線

8。于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作x軸的平行線，交尸，于點(diǎn)M當(dāng)N是線段尸尸的三等分點(diǎn)時(shí)，求

P點(diǎn)坐標(biāo).

（4）如圖2,。是x軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為（-冬，0）.動(dòng)點(diǎn)M從4出發(fā)，沿x軸正方向

一5

以每秒5個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)M的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f連接A。，過“作MGLA。

于點(diǎn)G,以MG所在直線為對(duì)稱軸，線段4Q經(jīng)軸對(duì)稱變換后的圖形為A'Q',點(diǎn)M在

運(yùn)動(dòng)過程中，線段A'Q'的位置也隨之變化，請(qǐng)直接寫出運(yùn)動(dòng)過程中線段A'Q'與拋

物線有公共點(diǎn)時(shí)/的取值范圍.

【解答】解：(1)把A(-2,0),C(0,4)代入y=-l-x^+bx+c,

2

得到卜=4,

【-2-2b+c=0

解得卜口,

Ic=4

???拋物線的解析式為y=-U+x+4.

2

⑵令y=0,則有-工

2

解得犬=-2或4,

：.B(4,0),

把3(4,0)代入y=-L+m,得到"7=2,

2

直線BD的解析式為)，=-1+2,

2

2

y=-^-x+x+4x=-l

x=4或.

由，,解得5，

安多+2y=0y3

：.D(-1,區(qū)).

2

(3)設(shè)PCa,--ia2+a+4)>

2

則N(a,5),F(a,-X/+2),

22

PN--Aa2+a+4-9=-12+“+旦，NF=3-(-Aa+2)=_lz/+_l,

22222222

是線段PF的三等分點(diǎn)，

PN=2NF或NF=2PN,

--a2-+a+—=a+\或工+JL=-a2+2a+3,

2222

解得a=±1或-1或

2

"：a>-1,

.,.a=l或

2

：.pa,良)或(立，2L).

228

(4)如圖2中,

圖］

；A(-2,0),D(-l,§),

2

直線AD的解析式為產(chǎn)■|A5,

Q'與AQ關(guān)于MG對(duì)稱，MG-LAD,

：.QQ'//AD,

A,o),

5

.??直線Q。'的解析式為y=&r+2,設(shè)直線。。交拋物線于E,

2

12.

y=-^-x+x+4x=l

x=-4

由，,解得’9或,

5I,y=-8

y節(jié)x+2

：.E(1,a)，

2

當(dāng)點(diǎn)A'與。重合時(shí),

VA(-1,0),0(-1,反)，

2

：.G(-3,9),

24

；直線AD的解析式為y=^x+5,GM±AD,

設(shè)GM的解析式為y=-Zr+)，把G(一旦，竺)代入得到，b=H,

52420

直線GM的解析式為y=-4+顯，

520

令y=0,得到x=-13,

8

；.AM=2+22=型.