新東方考研概論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)資料

考研數(shù)學(xué)基礎(chǔ)班概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)

主講：費(fèi)允杰

第一章隨機(jī)事件和概率

第一節(jié)基本概念

1、排列組合初步

(1)排列組合公式

P：=-m'~從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行排列的可能數(shù)。

(加一〃)！

加

=----:—從m個(gè)人中挑出n個(gè)人進(jìn)行組合的可能數(shù)。

〃!(加一〃)！

例L1：方程」1——1匚二，7一的解是

C；c；10C；

A.4B.3C.2D.1

例1.2：有5個(gè)隊(duì)伍參加了甲A聯(lián)賽，兩兩之間進(jìn)行循環(huán)賽兩場，試問總共的場次是多少？

(2)加法原理(兩種方法均能完成此事)：m+n

某件事由兩種方法來完成，第一種方法可由m種方法完成，第二種方法可由n種方法來完成，則這件事可由m+n

種方法來完成。

(3)乘法原理(兩個(gè)步驟分別不能完成這件事)：mXn

某件事由兩個(gè)步驟來完成，第個(gè)步驟可由m種方法完成，第二個(gè)步驟可由n種方法來完成，則這件事可由m

Xn種方法來完成。

例1.3：從5位男同學(xué)和4位女同學(xué)中選出4位參加?個(gè)座談會(huì)，要求與會(huì)成員中既有男同學(xué)又有女同學(xué)，有

幾種不同的選法？

例1.4：6張同排連號的電影票，分給3名男生和3名女生，如欲男女相間而坐，則不同的分法數(shù)為多少？

例1.5：用五種不同的顏色涂在右圖中四個(gè)區(qū)域里，每一區(qū)域涂上一種顏色，且相鄰區(qū)域的顏色必須不同，則

共有不同的涂法

A.120種B.140種C.160種D.180種

B

AC

D

(4)一些常見排列

①特殊排列

相鄰

彼此隔開

順序一定和不可分辨

例1.6：晚會(huì)上有5個(gè)不同的唱歌節(jié)目和3個(gè)不同的舞蹈節(jié)H,問：分別按以下要求各可排出幾種不

同的節(jié)目單？

①3個(gè)舞蹈節(jié)目排在一起；

②3個(gè)舞蹈節(jié)目彼此隔開；

③3個(gè)舞蹈節(jié)目先后順序一定。

例1.7：4幅大小不同的畫，要求兩幅最大的排在一起，問有多少種排法？

例1.8：5輛車排成1排，1輛黃色，1輛藍(lán)色，3輛紅色，且3輛紅車不可分辨，問有多少種排法？

②重復(fù)排列和非重復(fù)排列（有序）

例1.9：5封不同的信，有6個(gè)信箱可供投遞，共有多少種投信的方法？

③對立事件

例1.10：七人并坐，甲不坐首位，乙不坐末位，有幾種不同的坐法？

例1.11：15人中取5人，有3個(gè)不能都取，有多少種取法？

例1.12：有4對人，組成?個(gè)3人小組，不能從任意一對中取2個(gè)，問有多少種可能性？

④順序問題

例1.13：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的種數(shù)？（有序）

例1.14：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的種數(shù)？（有序）

例1.15：3白球，2黑球，任取2球，2白的種數(shù)？（無序）

2、隨機(jī)試驗(yàn)、隨機(jī)事件及其運(yùn)算

（1）隨機(jī)試驗(yàn)和隨機(jī)事件

如果?個(gè)試驗(yàn)在相同條件下可以重復(fù)進(jìn)行，而每次試驗(yàn)的可能結(jié)果不止?個(gè)，但在進(jìn)行一次試驗(yàn)之前卻不能斷言

它出現(xiàn)哪個(gè)結(jié)果，則稱這種試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。試驗(yàn)的可能結(jié)果稱為隨機(jī)事件。

例如:擲一枚硬幣,出現(xiàn)正面及出現(xiàn)反面;擲一顆骰子，出現(xiàn)“1”點(diǎn)、“5”點(diǎn)和出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)都是隨機(jī)事件;

電話接線員在上午9時(shí)到10時(shí)接到的電話呼喚次數(shù)（泊松分布）；對某一目標(biāo)發(fā)射一發(fā)炮彈，彈著點(diǎn)到目標(biāo)

的距離為0.1米、0.5米及1米到3米之間都是隨機(jī)事件（正態(tài)分布）。

在一個(gè)試驗(yàn)下，不管事件有多少個(gè)，總可以從其中找出這樣一組事件，它具有如下性質(zhì)：

（1）每進(jìn)行?次試驗(yàn)，必須發(fā)生且只能發(fā)生這?組中的?個(gè)事件；

（2）任何事件，都是由這一組中的部分事件組成的。

這樣一組事件中的每一個(gè)事件稱為基本事件，用口來表示，例如外,02,…七，（離散）。基本事件的全體，

稱為試驗(yàn)的樣本空間，用Q表示。

一個(gè)事件就是由。中的部分點(diǎn)（基木事件。）組成的集合。通常用大寫字母A,B,C,…表示事件，它們

是。的子集。

如果某個(gè)。是事件/的組成部分，即這個(gè)。在事件4中出現(xiàn)，記為如果在一次試驗(yàn)中所出現(xiàn)的啰有

/eA,則稱在這次試驗(yàn)中事件A發(fā)生。

如果。不是事件力的組成部分，就記為4。在?次試驗(yàn)中，所出現(xiàn)的3有則稱此次試驗(yàn)1沒有

發(fā)生。

。為必然事件，。為不可能事件。

（2）事件的關(guān)系與運(yùn)算

①關(guān)系：

如果事件A的組成部分也是事件6的組成部分，（4發(fā)生必有事件6發(fā)生）：Au8

如果同時(shí)有4u8,BnA,則稱事件4與事件8等價(jià)，或稱4等于層A=B.

43中至少有一個(gè)發(fā)生的事件：JU&或者小反

屬于/而不屬于6的部分所構(gòu)成的事件，稱為力與方的差，記為4-a也可表示為4T5或者A與，它表示/

發(fā)生而6不發(fā)生的事件。

A,6同時(shí)發(fā)生：1口氏或者/員AHB=0,則表示A與B不可能同時(shí)發(fā)生，稱事件A與事件B互不相容或者互

斥?；臼录腔ゲ幌嗳莸?。

Q-A稱為事件A的逆事件，或稱A的對立事件，記為z。它表示A不發(fā)生的事件?；コ馕幢貙α?。

②運(yùn)算：

結(jié)合率：A(BC)=(AB)CAU(BUC)=(AUB)UC

分配率：(AB)UC=(AUC)n(BUC)(AUB)AC=(AC)U(BC)

8CO_

PA；=A；______________

德摩根率：07AUB=，n5，ADB=AUB

例1.16：一口袋中裝有五只乒乓球，其中三只是白色的，兩只是紅色的?，F(xiàn)從袋中取球兩次，每次一只，取出

后不再放回。寫出該試驗(yàn)的樣本空間。。若A表示取到的兩只球是白色的事件，B表示取到的兩只球是紅色的

事件，試用A、B表示下列事件：

(1)兩只球是顏色相同的事件c,

(2)兩只球是顏色不同的事件0,

(3)兩只球中至少有?只白球的事件E。

例I.17：硬幣有正反兩面，連續(xù)拋三次，若A,表示第i次正面朝上，用A,表示下列事件：

(1)前兩次正面朝匕第三次正面朝下的事件c,

(2)至少有一次正面朝上的事件。，

(3)前兩次正面朝上的事件E。

3、概率的定義和性質(zhì)

(1)概率的公理化定義

設(shè)C為樣本空間，A為事件，對每個(gè)事件A都有?個(gè)實(shí)數(shù)P(A),若滿足下列三個(gè)條件:

1°OWP(A)<1,

2°P(Q)=1

3。對于兩兩互不相容的事件4,A2,…有

,8、00

p=ZP(Ai)

Ii=l7f=l

常稱為可列(完全)可加性。

則稱P(A)為事件A的概率。

(2)古典概型(等可能概型)

1°Q={幼，叱,

2。次例)=尸(處)=一/(叱)=！。

n

設(shè)任一事件A,它是由6y1,02…例”組成的，則有

/⑷={(S)UM)U…U(%)}=P(例)+P(g)+…+P(%)

m=A所包含的基本事件數(shù)

7"基本事件總數(shù)

例1.18：集合A中有100個(gè)數(shù)，B中有50個(gè)數(shù)，并且滿足A中元素與B中元素關(guān)系a+b=10的有20對。問任意

分別從A和B中各抽取一個(gè)，抽到滿足a+b=10的a,b的概率。

例1.19：5雙不同顏色的襪子，從中任取兩只，是一對的概率為多少？

例1.20：在共有10個(gè)座位的小會(huì)議室內(nèi)隨機(jī)地坐上6名與會(huì)者，則指定的4個(gè)座位被坐滿的概率是

例1.21：3白球，2黑球，先后取2球，放回，2白的概率？(有序)

例1.22：3白球，2黑球，先后取2球，不放回，2白的概率？(有序)

例1.23：3白球，2黑球，任取2球，2白的概率？(無序)

注意：事件的分解；放回與不放回；順序問題。

4、五大公式(加法、減法、乘法、全概、貝葉斯)

(1)加法公式

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

當(dāng)P(AB)=0時(shí)，P(A+B)=P(A)+P(B)

例1.24：從0,1,…，9這十個(gè)數(shù)字中任意選出三個(gè)不同的數(shù)字，試求下列事件的概率:

A="三個(gè)數(shù)字中不含0或者不含5”。

(2)減法公式

P(A-B)=P(A)-P(AB)

當(dāng)BuA時(shí)，P(A-B)=P(A)-P(B)

當(dāng)A=C時(shí)，P(方)=1-P(B)

例1.25：若P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(A-B)=0.3,求P(A+B)和P(N+豆).

例1.26：對于任意兩個(gè)互不相容的事件A與B,以卜等式中只有一個(gè)不正確，它是：

(A)P(A-B)=P(A)(B)P(A-B)=P(A)+P(AUB)-l

(c)P(7-B)=P(A)-P(B)(D)P[(AUB)n(A-B)]=P(A)

(E)p[A-B]=P(A)-P(AUB)

(3)條件概率和乘法公式

定義設(shè)A、B是兩個(gè)事件，且P(A)>0,則稱心也為事件A發(fā)生條件下，事件B發(fā)生的條件概率，記為

尸⑷

尸(AB)

P(6/A)=

P(4)

條件概率是概率的一粗，所有概率的性質(zhì)都適合于條件概率。

例如P(。/B)=1nP(萬/A)=1-P(B/A)

乘法公式：P(AB)=P(A)P(B/A)

更一般地,對事件A“Az,…An,若P(A也…AQ>0,則有

P(A1A2...An)=P(A1)P(A2IA)P(A3IA1A2)......P(An\A1A2...An-1)

例1.27：甲乙兩班共有70名同學(xué)，其中女同學(xué)40名，設(shè)甲班有30名同學(xué)，而女生15名，問在碰到甲班同學(xué)

時(shí)，正好碰到一名女同學(xué)的概率。

例1.28：5把鑰匙，只有?把能打開，如果某次打不開就扔掉，問以下事件的概率？

①第一次打開；②第二次打開；③第三次打開。

(4)全概公式

設(shè)事件為,&,…,反滿足

1°Bi,心,…,5"兩兩互不相容,P(8)>0。=1,2,,

n

AuU氏

2°i=l,

則有

P(A)=P(B)P(AIB1)+P(B2)P(AIB2)+???+尸(&)P(AIBn)o

此公式即為全概率公式。

例1.29：播種小麥時(shí)所用的種子中二等種子占2%,三等種子占1.5%,四等種子占1%,其他為一等種子。用

一等、二等、三等、四等種子播種長出的穗含50顆以上麥粒的概率分別為0.5,0.15,0.1,0.05,試求種子所

結(jié)的穗含有50顆以上麥粒的概率。

例1.30：甲盒內(nèi)有紅球4只，黑球2只，白球2只：乙盒內(nèi)有紅球5只，黑球3只；丙盒內(nèi)有黑球2只，白球

2只。從這三只盒子的任意一只中任取出一只球，它是紅球的概率是：

A.0.5625B.0.5C.0.45D.0.375E.0.225

例1.31：100個(gè)球，40個(gè)白球，60個(gè)紅球，不放回先后取2次，第2次取出白球的概率？第20次取出白球的

概率？

(5)貝葉斯公式

設(shè)事件氏，…，以及4滿足

1°Bi,治兩兩互不相容，P(Bi)〉o,i=i,2,〃，

>4cl\B>

2。2，P(A)>0,

則

日,…

￡p(Bj)P(A/Bp

j二l

此公式即為貝葉斯公式。

P(BJ,(i=l,2,n),通常叫先驗(yàn)概率。P(BJA),(，=1,2,…，〃)，通常稱為后驗(yàn)概率。如果

我們把A當(dāng)作觀察的“結(jié)果”，而Bi,以理解為“原因”，則貝葉斯公式反映了“因果”的概率規(guī)律,

并作出了''由果朔因”的推斷。

例1.32：假定用甲胎蛋白法診斷肝癌二設(shè)，'表示被檢驗(yàn)者的確患有肝癌的事件，A表示診斷出被檢驗(yàn)者患有肝

癌的事件，已知尸(A/C)=0.95,P(A/C)=0.98,P(C)=0.004?，F(xiàn)有一人被檢驗(yàn)法診斷為患有肝癌，求

此人的確患有肝癌的概率尸(01A)。

5、事件的獨(dú)立性和伯努利試驗(yàn)

(1)兩個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)事件4、8滿足尸(A8)=尸(A)P(B),則稱事件A、B是相互獨(dú)立的(這個(gè)性質(zhì)不是想當(dāng)然成立的)。

若事件A、3相互獨(dú)立，且P(A)>0,則有

P(AB)_P(A)P(8)

尸⑻A)P(A)=P(A)=P(B)

所以這與我們所理解的獨(dú)立性是一致的。

若事件A、B相互獨(dú)立，則可得到.與6、A與萬、Z與否也都相互獨(dú)立。(證明)

由定義，我們可知必然事件建和不可能事件。與任何事件都相互獨(dú)立。(證明)

同時(shí):0與任何事件都互斥。

(2)多個(gè)事件的獨(dú)立性

設(shè)ABC是三個(gè)事件，如果滿足兩兩獨(dú)立的條件，

P(AB)=P(A)P(B)；P(BC)=P(B)P(C)；P(CA)=P(0P(A)

并且同時(shí)滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

那么A、B、C相互獨(dú)立。

對于n個(gè)事件類似。

兩兩互斥f互相互斥。

兩兩獨(dú)立f互相獨(dú)立？

例1.33：已知P(8/A)=P(B/N),證明事件A、5相互獨(dú)立。

例1.34：A,B,C相互獨(dú)立的充分條件：

(1)A,B,C兩兩獨(dú)立

(2)A與8c獨(dú)立

例1.35：甲，乙兩個(gè)射手彼此獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)各一次，甲射中的概率為0.9,乙射中的概率為0.8,求目

標(biāo)沒有被射中的概率。

(3)伯努利試驗(yàn)

定義我們作了〃次試驗(yàn)，且滿足

?每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果，A發(fā)生或A不發(fā)生；

?〃次試驗(yàn)是重復(fù)進(jìn)行的，即A發(fā)生的概率每次均一樣；

?每次試驗(yàn)是獨(dú)立的，即每次試驗(yàn)A發(fā)生與否與其他次試驗(yàn)A發(fā)生與否是互不影響的。

這種試驗(yàn)稱為伯努利概型，或稱為n重伯努利試驗(yàn)。

用P表示每次試驗(yàn)A發(fā)生的概率，則入發(fā)生的概率為1一2=4,用P"C)表示〃重伯努利試驗(yàn)中4出現(xiàn)

k(OSk<〃)次的概率，

P.(k)=C：P，"：4=0,1,2,…,〃

例1.36：袋中裝有a個(gè)白球及6個(gè)黑球，從袋中任取a+b次球，每次放回，試求其中含a

個(gè)白球，b個(gè)黑球的概率(aWa,bWB)。

例1.37：做一系列獨(dú)立試驗(yàn)，每次試驗(yàn)成功的概率為p,求在第n次成功之前恰失敗m次的概率。

第二節(jié)練習(xí)題

1、事件的運(yùn)算和概率的性質(zhì)

例1.38：化簡(A+B)(A+B)(A+B)

例1.39：ABC=AB(C^B)成立的充分條件為：

(DABczC(2)BuC

例1.40：已知P(A)=x,P⑻=2x,P(C)=3x,P(AB)=P(BC),求x的最大值。

例1.41：當(dāng)事件A與B同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則下列結(jié)論正確的是

(A)P(C)=P(AB)。

(B)P(C)=P(AljB)?

(C)P(C)》P(A)+P(B)-1

(D)P(C)WP(A)+P(B)-1。[]

2、古典概型

例L42：3男生，3女生，從中挑出4個(gè)，問男女相等的概率？

例1.43：電話號碼由四個(gè)數(shù)字組成，每個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,…,9中的任一個(gè)數(shù)，求電話號碼是由完全不同的數(shù)

字組成的概率。

例1.44：袋中有6只紅球、4只黑球，今從袋中隨機(jī)取出4只球，設(shè)取到一只紅球得2分，取到一只黑球得1

分，則得分不大于6分的概率是

例1.45：10個(gè)盒子，每個(gè)裝著標(biāo)號為“1一6”的卡片。每個(gè)盒子任取一張，問10張中最大數(shù)是4的概率?

例1.46：將n個(gè)人等可能地分到N(nWN)間房間中去，試求下列事件的概率。

A="某指定的n間房中各有1人”；

B="恰有n間房中各有1人”

C="某指定的房中恰有m(m〈n)人”

例1.47：有5個(gè)白色珠子和4個(gè)黑色珠子，從中任取3個(gè)，問全是白色的概率？

3、條件概率和乘法公式

例1.48：假設(shè)事件A和B滿足P(B|A)=1,貝U

(A)A是必然事件。(B)An6。

(C)AuB。(D)P(麗=0。[]

例1.49：設(shè)A,B為兩個(gè)互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,則結(jié)論正確的是

(A)P(B|A)>0。

(B)P(A|B)=P(A)o

(C)P(A|B)=0。

(D)P(AB)=P(A)P(B)o[]

例1.50：某種動(dòng)物由出生而活到20歲的概率為0.7,活到25歲的概率為0.56,求現(xiàn)齡為20歲的這種動(dòng)物活

到25歲的概率。

例1.51：某人忘記三位號碼鎖(每位均有0?9卜個(gè)數(shù)碼)的最后一個(gè)數(shù)碼，因此在正確撥出前兩個(gè)數(shù)碼后，

只能隨機(jī)地試撥最后一個(gè)數(shù)碼，每撥一次算作一次試開，則他在第4次試開時(shí)才將鎖打開的概率是

例1.52：在空戰(zhàn)訓(xùn)練中，甲機(jī)先向乙機(jī)開火，擊落乙機(jī)的概率為0.2：若乙機(jī)未被擊落，就進(jìn)行還擊，擊落甲

機(jī)的概率是S3；若甲機(jī)未被擊落，則再進(jìn)攻乙機(jī)，擊落乙機(jī)的概率是0.4,求在這幾個(gè)回合中：①甲機(jī)被擊落

的概率；②乙機(jī)被擊落的概率。

例1.53：為防止意外事故，在礦井內(nèi)同時(shí)安裝兩種報(bào)警系統(tǒng)A'jB,每種系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)，其有效率A為0.92,

B為().93,在A失靈條件下B有效概率為0.85。求：(1》這兩種警報(bào)系統(tǒng)至少有?個(gè)有效的概率；(2)在B失

靈條件下，A有效的概率。

4、全概和貝葉斯公式

例1.54：甲文具盒內(nèi)有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆，乙文具盒內(nèi)也有2支藍(lán)色筆和3支黑色筆.現(xiàn)從甲文具盒中

任取2支筆放入乙文具盒，然后再從乙文具盒中任取2支筆.求最后取出的2支筆都是黑色筆的概率。

例1.55：三個(gè)箱子中，第箱裝有4個(gè)黑球1個(gè)白球，每二箱裝有3個(gè)黑球3個(gè)白球，第三箱裝有3個(gè)黑球5

個(gè)白球。現(xiàn)先任取一箱，再從該箱中任取一球，問；(1)取出的球是白球的概率？(2)若取出的為白球，則該

球?qū)儆诘诙涞母怕剩?/p>

例1.56：袋中有4個(gè)白球、6個(gè)紅球，先從中任取出4個(gè)，然后再從剩下的6個(gè)球中任取一個(gè)，則它恰為白球

的概率是。

5、獨(dú)立性和伯努利概型

例I.57：設(shè)P(A)>0,P(B)>0,證明

(1)若A與B相互獨(dú)立，則A與B不互斥：

(2)若A與B互斥，則A與B不獨(dú)立。

例L58；設(shè)兩個(gè)隨機(jī)事件A,B相互.獨(dú)立，已知僅有A發(fā)生的概率為工，僅有R發(fā)生的概率為,，則P(A)=

44_

,P(B)=o

例1.59：若兩事件A和B相互獨(dú)立，且滿足P(AB)=P(N后)，P(A)=0.4,求P(B).

19

例L60：設(shè)兩兩相互獨(dú)立的三事件和。滿足條件"除①,AA)=RB)巾一，且已知「(AU8UC);一，

216

則P(A)=。

例I.61：A發(fā)生的概率是0.6,B發(fā)生的概率是0.5,問A,B同時(shí)發(fā)生的概率的范圍？

例1.62：設(shè)某類型的高炮每次擊中飛機(jī)的概率為0.2,問至少需要多少門這樣的高炮同時(shí)獨(dú)立發(fā)射(每門射一

次)才能使擊中飛機(jī)的概率達(dá)到9596以上。

例L63：山射手對E機(jī)進(jìn)行4次獨(dú)立射擊，每次射擊命中的概率為0.3,一次命中時(shí)飛機(jī)被擊落的概率為0.6,

至少兩次命中時(shí)飛機(jī)必然被擊落，求飛機(jī)被擊落的概率。

例1.64：將-骰子擲m+n次，已知至少有一次出6點(diǎn)，求首次出6點(diǎn)在第n次拋擲時(shí)出現(xiàn)的概率。

例1.65：兩只一模一樣的鐵罐里都裝有大量的紅球和黑球，其中一罐(取名“甲罐”)內(nèi)的紅球數(shù)與黑球數(shù)之

比為2：1,另一罐(取名“乙罐”)內(nèi)的黑球數(shù)與紅球數(shù)之比為2：1。今任取一罐并從中取出50只球，查得

其中有30只紅球和20只黑球，則該罐為“甲罐”的概率是該罐為“乙罐”的概率的

(A)154倍(B)254倍?798倍(D)1024倍

第二章隨機(jī)變量及其分布

第一節(jié)基本概念

在許多試驗(yàn)中，觀察的對象常常是一個(gè)隨同取值的量。例如擲一顆骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，它本身就是一個(gè)數(shù)值，因此

P（A）這個(gè)函數(shù)可以看作是普通函數(shù)（定義域和值域都是數(shù)字，數(shù)字到數(shù)字）。但是觀察硬幣出現(xiàn)正面還是反面，

就不能簡單理解為普通函數(shù)。但我們可以通過卜面的方法使它與數(shù)值聯(lián)系起來。當(dāng)出現(xiàn)正面時(shí)，規(guī)定其對應(yīng)數(shù)為

“1”；而出現(xiàn)反面時(shí)，規(guī)定其對應(yīng)數(shù)為“0”。于是

X=X（iy）=<L當(dāng)正面出現(xiàn)

0,當(dāng)反面出現(xiàn)

稱X為隨機(jī)變量。又由于X是隨著試臉結(jié)果（基本事件口）不同而變化的，所以X實(shí)際上是基本事件。的函

數(shù)，即X=X（3）。同時(shí)事件A包含了一定量的3（例如古典概型中A包含了3”32,…3",共in個(gè)基本事件），

于是P（A）可以由P（X（<。））來計(jì)算，這是一個(gè)普通函數(shù)。

定義設(shè)試驗(yàn)的樣本空間為。，如果對。中每個(gè)事件0都有唯一的實(shí)數(shù)值X=X（3）與之對應(yīng)，則稱X=X（3）為隨

機(jī)變量，簡記為X。

有了隨機(jī)變量，就可以通過它來描述隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，能全面反映試驗(yàn)的情況。這就使得我們對隨機(jī)

現(xiàn)象的研究，從前一章事件與事件的概率的研究，擴(kuò)大到對隨機(jī)變量的研究，這樣數(shù)學(xué)分析的方法也可用來研究

隨機(jī)現(xiàn)象了。

?個(gè)隨機(jī)變量所可能取到的值只有有限個(gè)(如擲骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù))或可列無窮多個(gè)(如電話交換臺(tái)接到的呼

喚次數(shù))，則稱為離散型隨機(jī)變量。像彈著點(diǎn)到目標(biāo)的距離這樣的隨機(jī)變量，它的取值連續(xù)地充滿了一個(gè)區(qū)間，

這稱為連續(xù)型隨機(jī)變量。

1、隨機(jī)變量的分布函數(shù)

(1)離散型隨機(jī)變量的分布率

設(shè)離散型隨機(jī)變量x的可能取值為Xk(k=l,2,…)且取各個(gè)值的概率，即事件(X=Xk)的概率為

P(X=xO=Pk,k=l,2,…，

則稱上式為離散型隨機(jī)變量X的概率分布或分布律。有時(shí)也用分布列的形式給出：

P(X=Xk)pi,P2,…，小，…。

顯然分布律應(yīng)滿足下列條件：

⑴P*NO,k=1,2,…，

￡00pk=l

(2)*=1。

例2.1：投骰子，出現(xiàn)偶數(shù)的概率？

例2.2：4黑球，2白球，每次取一個(gè)，不放回，直到取到黑為止，令X(3)為“取白球的數(shù)”，求X的分布律。

例2.3：若干個(gè)容器，每個(gè)標(biāo)號1—3,取出某號容器的概率與該號碼成反比，令X(3)表示取出的號碼，求X

的分布律。

(2)分布函數(shù)

對于非離散型隨機(jī)變量，通常有P(X=x)=0,不可能用分布率表達(dá)。例如日光燈管的壽命X,

P(X=xo)=0。所以我們考慮用X落在某個(gè)區(qū)間(。,們內(nèi)的概率表示。

定義設(shè)X為隨機(jī)變量，x是任意實(shí)數(shù)，則函數(shù)

F(x)=P(X<x)

稱為隨機(jī)變量X的分布函數(shù)。

P(a〈X4b)=F(b)—F(a)可以得到X落入?yún)^(qū)間(a,b］的概率?也就是說，分布函數(shù)完整地描述了隨機(jī)

變量X隨機(jī)取值的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。

分布函數(shù)f(x)是一個(gè)普通的函數(shù)，它表示隨機(jī)變量落入?yún)^(qū)間(-8,X］內(nèi)的概率。

尸(x)的圖形是階梯圖形，匹,》2,…是第?類間斷點(diǎn)，隨機(jī)變量X在看處的概率就是F(x)在々處的躍度。

分布函數(shù)具有如卜性質(zhì)：

1°0<F(X)<1,-00<X<4-00；

2°F(x)是單調(diào)不減的函數(shù),即xi<X2時(shí)，有F(xi)<F(X2)；

3°F(-oo)=limF(x)=0,F(+co)=limF(x)=1；

XT-8X->+<?

4°尸(x+0)=歹(x),即F(x)是右連續(xù)的；

5°P(X=x)=F(x)—P(x—0)。

例2.4：設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為

X-1,0,1,2

71111,

一，一，—，—

8842

求X的分布函數(shù)，并求P(XW；),P(1<X<|),F(1<X<|)D

例2.5：設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

Axs

0x<0

其中A是一個(gè)常數(shù)，求

(1)常數(shù)A

(2)P(IWXW2)

(3)連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù)

定義設(shè)尸甕)是隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，若存在非負(fù)函數(shù)/(X),對任意實(shí)數(shù)x,有

尸(x)=rf(x)dx

Is,

則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量。/(X)稱為X的概率密度函數(shù)或密度函數(shù)，簡稱概率密度。/(X)的圖形是?條曲線,

稱為密度(分布)曲線。

由上式可知，連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)/(外是連續(xù)函數(shù)。

所以，

P(x[<X<x2)-尸(再<X<x2)=P(xi<X<x2)=P(X]<X<x2)=F(X2)-F(X1)

密度函數(shù)具有下面4個(gè)性質(zhì)：

1。/W>0?

2O[j\x)dx=\

F(+oo)=￡f(x)dx=1的幾何意義；在橫軸上面、密度曲線下面的全部面積等于1。

如果一個(gè)函數(shù)/(X)滿足1。、2°,則它一定是某個(gè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)。

x2

30產(chǎn)區(qū)<X<x2)=F(x2)-F(x,)=j/(x)dx。

4°若/(X)在X處連續(xù)，則有尸'(x)=/(x)。

P(x<X<x+dx)-f(x)dx

它在連續(xù)型隨機(jī)變量理論中所起的作用與P(X=xk)=在離散型隨機(jī)變量理論中所起的作用相類似。

Efty,。fAfP(A),(古典概型，五大公式，獨(dú)立性)

X(a))-X(?y)Vx-F(x)=P(X<x)

對于連續(xù)型隨機(jī)變量X，雖然有尸(X=x)=°,但事件(X=x)并非是不可能事件0。

上1+〃

P(X=x)<P(x<X<x+h)=jf(x)dx

X

令內(nèi)—0,則右端為零，而概率尸(X=x)2°,故得P(X=.￥)=0。

不可能事件(0)的概率為零，而概率為零的事件不一定是不可能事件；同理，必然事件(。)的概率為L而

概率為1的事件也不一定是必然事件。

例2.6：隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),求A和F(x)。

0,其他

例2,7：隨機(jī)變量X的概率密度為

[0^<0

求X的分布函數(shù)/(X)和P(—2<X<4).

2、常見分布

①。一1分布

P(X=l)=p,P(X=0)=q

例如樹葉落在地面的試驗(yàn)，結(jié)果只能出現(xiàn)正面或反面。

②二項(xiàng)分布

在打重貝努里試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的概率為p.事件A發(fā)生的次數(shù)是隨機(jī)變量，設(shè)為X,則X可能取值為

0,1,2,。

p(x=k)=P“(k)=C：P、i，其中q=l-p,0<p<lK=0],2,…/,

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為-P的：項(xiàng)分布。記為x~35,p)。

X|______________________________________

p(x二外口切尸cjp%『…，c：pW…/

容易驗(yàn)證，滿足離散型分布率的條件。

當(dāng)"=1時(shí)，P(x=k)=pkq"k,&=0.1,這就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二項(xiàng)分布的特例。

例2一8：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001,若獨(dú)立地射擊5000次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的

概率。

③泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為

F(X=k)=JJ,2>0,G=0J,2…，

k!

則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，記為X~乃（/1）或者

泊松分布為二項(xiàng)分布的極限分布（np=入，n-8）。

如飛機(jī)被擊中的子彈數(shù)、來到公共汽車站的乘客數(shù)、機(jī)床發(fā)生故障的次數(shù)、自動(dòng)控制系統(tǒng)中元件損壞的個(gè)數(shù)、某

商店中來到的顧客人數(shù)等，均近似地服從泊松分布。

例2.9：某人進(jìn)行射擊，設(shè)每次射擊的命中率為0.001,若獨(dú)立地射擊5000次，試求射中的次數(shù)不少于兩次的

概率，用泊松分布來近似計(jì)算。

④超幾何分布

Ct?crt女=o,l,2…,/

p(X=k)=J——"，

C'yI=min(M,n)

隨機(jī)變量X服從參數(shù)為n,N,M的超兒何分布。

例2.10：袋中裝有a個(gè)白球及B個(gè)黑球，從袋中任取a+b個(gè)球，試求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球的概率（aWa,

CaC）

bWB）。上/■（非重復(fù)排列）

「a+h

La+0

例2.11：袋中裝有a個(gè)白球及B個(gè)黑球，從袋中連續(xù)地取a+b個(gè)球（不放回），試求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球

C。Cbpa+b

的概率（aWa,bWB）。（非重復(fù)排列）

pa+b

ra+B

例2.12：袋中裝有a個(gè)白球及B個(gè)黑球，從袋中連續(xù)地取a+b個(gè)球（放回），試求其中含a個(gè)白球，b個(gè)黑球的

概率（aWa,bW6）。（，一）"（"一）"C"（重復(fù)排列）

a+（3a+￡

⑤幾何分布

k

P{X-k）-q'p,k.-1,2,3,---?其中pNO,q=l-p0

隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的幾何分布。

例2.13：5把鑰匙，只有一把能打開，如果某次打不開不扔掉，問以下事件的概率？

①第一次打開：②第二次打開；③第三次打開。

⑥均勻分布

設(shè)隨機(jī)變量X的值只落在［a,b］內(nèi)，其密度函數(shù)/（X）在［a,b］上為常數(shù)k,即

>aWxWb

/（x）=?'

7（0,其他，

其中k=-----,

b-a

則稱隨機(jī)變量X在［a,b］上服從均勻分布，記為X~U（a,b）o

分布函數(shù)為

0,x<a,

x-a

Jb-a,aWxWb

尸(x)=￡fMdx=

、1,x>b。

當(dāng)aWx〈X2這b時(shí),X落在區(qū)間gf內(nèi)的概率為

x.<X<x2)=「f\x)dx=f—dx=-~—

p(L&b-ab-ao

例2.14：設(shè)電阻R是一個(gè)均勻在900'1100Q的隨機(jī)變量，求R落在1000~1200Q之間的概率。

⑦指數(shù)分布

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

-及口，x>()

,0,x<0,

其中幾〉°,則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為％的指數(shù)分布。

X的分布函數(shù)為

'，x>0

o,x<0o

記住幾個(gè)積分:

+oO-H>0+X

^xe~xdx-1,^x2e~xdx=2,^xn~le~xdx=(n-l)l

o00

+8

r(￡z)=^xa-'e'dx,r(a+1)=a「(a)

0

例2.15：一個(gè)電子元件的壽命是一個(gè)隨機(jī)變量X。它的分布函數(shù)/(制的含義是，該電子元件的壽命不超過工

的概率。通常我們都假定電子元件的壽命服從指數(shù)分布。試證明服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量具有“無記憶性”：

P(xo<X<xo+xIX>xo)=P(X<x)

⑧正態(tài)分布

設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為

=2b2,-8<x<+oo,

Nzrb

其中〃、b〉0為常數(shù)，則稱隨機(jī)變量X服從參數(shù)為〃、。的正態(tài)分布或高斯(Gauss)分布，記為

X~N(〃,/)。

/(x)具有如下性質(zhì)：

1°/(X)的圖形是關(guān)于x=〃對稱的；

2。當(dāng)"=〃時(shí)，/(〃)=為最大值；

yjljicy

3。/(X)以。x軸為漸近線。

特別當(dāng)b固定、改變〃時(shí)，/(X)的圖形形狀不變，只是集體沿。％軸平行移動(dòng)，所以〃又稱為位置參數(shù)。當(dāng)〃固

定、改變。時(shí)，/(幻的圖形形狀要發(fā)生變化，隨b變大，/(X)圖形的形狀變得平坦，所以又稱b為形狀參數(shù)。

若乂則X的分布函數(shù)為

(.”)2

F(x)=^—[e2M力

J2m?

參數(shù)〃=°、b=l時(shí)的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記為X~N(O,1),其密度函數(shù)記為

1"

9(x)=-^=e2

72兀,-oo<x<+00,

分布函數(shù)為

①⑴2dt

在兀。①(X)是不可求積函數(shù)，其函數(shù)值，已編制成表可供查用。

*(X)和中(X)的性質(zhì)如下：

1°6(X)是偶函數(shù)，*(x)=4>(-X)；

1

2°當(dāng)x=0時(shí)，6(x)=為最大值;

中(-x)=1-①(x)且①(0)=,。

3°

2

如果X“N(〃,CT2),則工1幺~N(0,1)。

a

所以我們可以通過變換將尸(X)的計(jì)算轉(zhuǎn)化為①(X)的計(jì)算，而①(X)的值是可以通過查表得到的。

P(匹<X32)=①但』/口。

分位數(shù)的定義。

例2.16：設(shè)X~N(1,4),求尸(54X<7.2),P(0<X<1.6)；求常數(shù)c,使P(X>c)=2P(XWc)。

例2.17：某人需乘車到機(jī)場搭乘飛機(jī)，現(xiàn)有兩條路線可供選擇。第一條路線較短，但交通比較擁擠，到達(dá)機(jī)場

所需時(shí)間X(單位為分)服從正態(tài)分布N(50,100)。第二條路線較長，但出現(xiàn)意外的阻塞較少，所需時(shí)間X服

從正態(tài)分布N(60,16)。(1)若有70分鐘可用，問應(yīng)走哪一條路線？(2)若有65分鐘可用，又應(yīng)選擇哪一條

路線？

3、隨機(jī)變量函數(shù)的分布

隨機(jī)變量Y是隨機(jī)變量X的函數(shù)y=g(x),若X的分布函數(shù)(%)或密度函數(shù)九(x)知道，則如何求記

y=g(X)的分布函數(shù)a(y)或密度函數(shù)6(y)。

(1)X是離散型隨機(jī)變量

已知X的分布列為

XXI,X2,…，Xn,■■■

P(X=Xi)pi,P2,…，p?,■■■

顯然，y=g(X)的取值只可能是g(Xl),g(X2),…,g(x”),…,若g(Xi)互不相等,則y的分布列如下:

Yg(xi),g(X2),…，g(X"),…

p(y=%)pi,p2,…，p?,...

若有某些g(Xi)相等，則應(yīng)將對應(yīng)的Pi相加作為g3)的概率。

例2.18：已知隨機(jī)變量X的分布列為

X0,1,2

71—i―T，

353，3

求y=x2的分布列。

(2)X是連續(xù)型隨機(jī)變量

先利用X的概率密度fx(x)寫出Y的分布函數(shù)R(y),再利用變上下限積分的求導(dǎo)公式求出fv(y)=

’2

例2.19：已知隨機(jī)變量X~/(x)=/+求丫=InX的密度函數(shù)人()，)。

0,其他

第二節(jié)練習(xí)題

1、常見分布

例2.20：一個(gè)袋中有5只球，編號為1,2,3,4,5,在其中同時(shí)取3只，以X表示取出的3個(gè)球中的最大號

碼，試求X的概率分布。

例2.21：設(shè)非負(fù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為f(x)=Ax>0,則A=o

例2.22：力(x)+_A(x)是概率密度函數(shù)的充分條件是：

(1)力(x)J2(x)均為概率密度函數(shù)

<2)0</,(x)+/2(x)<l

例2.23：一個(gè)不懂英語的人參加GMAT機(jī)考，假設(shè)考試有5個(gè)選擇題，每題有5個(gè)選項(xiàng)(單選)，試求：此人答

對3題或者3題以上(至少獲得600分)的概率？

例2.24：設(shè)隨機(jī)變量X~U(0,5),求方程4/+4Xx+X+2=0有實(shí)根的概率。

例2.25：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為

1

xe[0,l]

2

xG[3,6]

9'

0,其他

2

其使得P(XNQ=—,則k的取值范圍是__________O

3

例2.26：已知某種電子元件的壽命（單位：小時(shí)）服從指數(shù)分布，若它工作了900小時(shí)而未損壞的概率是

e49,則該種電子元件的平均壽命是

A.990小時(shí)B.1000小時(shí)C.1010小時(shí)D.1020小時(shí)

例2.27：設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為：。。）=36位,（一8<*<+8）則其分布函數(shù)1^）是

x

-ex<0,

2，

(A)尸(x)=<

1,x>0.

L，

x<0,

2，

(B)F(x)=<

Lx>0.

、2

i-L

L,x<0,

2

(C)F(x)=?

1,x>0.

f1..

-eA.x<0,

2

(D)尸(x)=<[]

l--1o<x<i,

2

,1,X>1.

例2.28：X~N(1,4),Y~N(2,9),問P(XWT)和P(YM5)誰大?

Y—(T1

例2.29：X"N(n,o2),口WO,o>0,且P(-----<。)=一，則a=?

〃2

2、函數(shù)分布

例2.30：設(shè)隨機(jī)變量X具有連續(xù)的分布函數(shù)F（x）,求Y=F（X）的分布函數(shù)F（y）。

（或證明題：

設(shè)X的分布函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù)，證明隨機(jī)變量Y=F（X）在區(qū)間（0,1）上服從均勻分布。）

例