兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用超好用的公開獲獎高二數(shù)學(xué)人教A

兩個計數(shù)原理及其簡單應(yīng)用超好用的公開獲獎高二數(shù)學(xué)人教A目錄CONTENTS計數(shù)原理基本概念排列與組合二項式定理概率初步知識與事件概率隨機變量及其分布數(shù)理邏輯初步知識與推理方法01計數(shù)原理基本概念定義舉例說明應(yīng)用范圍分類加法計數(shù)原理完成一件事，有$n$類辦法，在第$1$類辦法中有$m_{1}$種不同的方法，在第$2$類辦法中有$m_{2}$種不同的方法，……，在第$n$類辦法中有$m_{n}$種不同的方法。那么，完成這件事共有$N=m_{1}+m_{2}+...+m_{n}$種不同的方法。從A地到B地可以乘火車，也可以乘汽車。一天中，火車有4班，汽車有2班。那么一天中乘坐這些交通工具從A地到B地共有多少種不同的走法？適用于分類完成任務(wù)的情況，各類辦法相互獨立，不能同時使用。定義完成一件事，需要分成$n$個步驟，做第$1$步有$m_{1}$種不同的方法，做第$2$步有$m_{2}$種不同的方法，……，做第$n$步有$m_{n}$種不同的方法。那么，完成這件事共有$N=m_{1}timesm_{2}times...timesm_{n}$種不同的方法。舉例說明3位旅客到4個旅館住宿，每人只住一個旅館，且3人住的旅館各不相同，有多少種住宿方式？應(yīng)用范圍適用于分步完成任務(wù)的情況，各步驟相互依存，必須依次完成。分步乘法計數(shù)原理關(guān)系區(qū)別兩者關(guān)系與區(qū)別從計算方式上看，分類加法計數(shù)原理是“加法原理”，即把完成一件事的所有方法數(shù)相加；而分步乘法計數(shù)原理是“乘法原理”，即把完成一件事的所有步驟的方法數(shù)相乘。此外，兩者的應(yīng)用范圍也有所不同，需要根據(jù)具體問題的特點選擇合適的方法。分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理是解決計數(shù)問題的兩種最基本、最重要的方法。兩者都是把問題分為若干個部分或步驟來求解，但它們的區(qū)別在于分類加法計數(shù)原理是各部分相互獨立，不能同時使用；而分步乘法計數(shù)原理是各步驟相互依存，必須依次完成。02排列與組合從n個不同元素中取出m（m≤n，m與n均為自然數(shù),下同）個不同元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的一個排列；從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的排列數(shù)，用符號A(n,m）表示。排列定義A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)=n!/(n-m)!，此外，特別地，規(guī)定0!=1。排列公式排列定義及公式組合定義從n個不同元素中取出m個不同元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個不同元素的組合數(shù)，用符號C(n,m）表示。組合公式C(n,m)=A(n,m)/m!=n!/(m!(n-m)!），其中“!”表示階乘，即從n個元素中取出m個元素的組合數(shù)等于從n個元素中取出m個元素的排列數(shù)除以m的階乘。組合定義及公式VS排列與組合都是研究從一些不同元素中取出部分元素進行某種操作的問題，但排列考慮的是元素的順序，而組合則不考慮順序。因此，對于同一個問題，如果考慮順序則用排列數(shù)表示，如果不考慮順序則用組合數(shù)表示。相互轉(zhuǎn)化排列與組合之間可以相互轉(zhuǎn)化。具體來說，從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列可以轉(zhuǎn)化為從n個不同元素中取出m個不同元素的所有組合與這m個元素的全排列的乘積，即A(n,m)=C(n,m)*m!。反過來，從n個不同元素中取出m個不同元素的所有組合也可以轉(zhuǎn)化為從n個不同元素中取出m個不同元素的所有排列除以這m個元素的全排列，即C(n,m)=A(n,m)/m!。區(qū)別與聯(lián)系排列與組合關(guān)系03二項式定理$(a+b)^{n}$的展開式共有$n+1$項，其中各項的系數(shù)是二項式系數(shù)，即$C_{n}^{0},C_{n}^{1},ldots,C_{n}^{n}$。展開式的通項$T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$，其中$r$是從$0$到$n$的整數(shù)。當$b=1$時，$(a+b)^{n}$的展開式變?yōu)?(a+1)^{n}$，其各項系數(shù)之和為$2^{n}$。二項式定理展開式通項公式$T_{r+1}=C_{n}^{r}a^{n-r}b^{r}$可用于求二項式展開式中的任意一項。利用通項公式可以求二項式展開式中的最大項或最小項。通過比較相鄰兩項的大小關(guān)系，可以確定二項式系數(shù)的增減性。通項公式及應(yīng)用01020304對稱性：$C_{n}^{m}=C_{n}^{n-m}$，即二項式展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等。增減性與最大值：當$n$為偶數(shù)時，中間一項的二項式系數(shù)最大；當$n$為奇數(shù)時，中間兩項的二項式系數(shù)相等且最大。各二項式系數(shù)的和等于$2^{n}$，即$(a+b)^{n}$展開式中各項系數(shù)之和為$2^{n}$。奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，都等于$2^{n-1}$。二項式系數(shù)性質(zhì)04概率初步知識與事件概率概率是刻畫隨機事件發(fā)生可能性大小的數(shù)值，用來量化隨機事件發(fā)生的可能性。概率定義概率的取值范圍在0到1之間，包括0和1；必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0；概率具有可加性，即互斥事件的概率之和等于它們的并事件的概率。概率性質(zhì)概率定義及性質(zhì)等可能事件定義在一定條件下，進行的試驗中，若每一個基本事件（結(jié)果）發(fā)生的可能性都相同，則稱這些基本事件為等可能事件。等可能事件概率計算公式P(A)=m/n，其中m表示事件A包含的基本事件數(shù)，n表示試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件數(shù)。等可能事件概率計算1234互斥事件定義相互獨立事件定義互斥事件概率計算公式相互獨立事件概率計算公式互斥事件和相互獨立事件概率計算如果兩個事件不能同時發(fā)生，則稱這兩個事件為互斥事件。P(A∪B)=P(A)+P(B)，其中A和B為互斥事件，P(A∪B)表示A和B的并事件的概率。如果兩個事件的發(fā)生與否互不影響，則稱這兩個事件為相互獨立事件。P(A∩B)=P(A)P(B)，其中A和B為相互獨立事件，P(A∩B)表示A和B的交事件的概率。05隨機變量及其分布設(shè)隨機試驗的樣本空間為S={e}，X=X(e)是定義在樣本空間S上的實值單值函數(shù)。稱X=X(e)為隨機變量。根據(jù)隨機變量可能取的值的個數(shù)分為離散型隨機變量和連續(xù)型隨機變量。隨機變量定義及分類隨機變量分類隨機變量定義分布列定義設(shè)離散型隨機變量X所有可能取的值為$x_1,x_2,...,x_n$，事件$X=x_i$的概率為$P(X=x_i)=p_i,i=1,2,...,n$，則稱$p_1,p_2,...,p_n$為離散型隨機變量X的分布列。分布列性質(zhì)$p_igeq0,i=1,2,...,n$；$sum_{i=1}^{n}p_i=1$。離散型隨機變量分布列設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為F(x)，若存在非負可積函數(shù)f(x)，使對于任意實數(shù)x有$F(x)=int_{-infty}^{x}f(t)dt$，則稱f(x)為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度。$f(x)geq0$；$int_{-infty}^{+infty}f(x)dx=1$；連續(xù)型隨機變量取個別值的概率為0，即$P(X=a)=0$，其中a為任意實數(shù)；連續(xù)型隨機變量在任一區(qū)間上取值的概率與這個區(qū)間是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開半閉區(qū)間無關(guān)，只要這個區(qū)間不包含點a，則$P(a<X<b)=P(aleqX<b)=P(a<Xleqb)=P(aleqXleqb)=int_{a}^f(x)dx$。概率密度函數(shù)定義概率密度函數(shù)性質(zhì)連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)06數(shù)理邏輯初步知識與推理方法探討命題的真假性質(zhì)，以及命題間的邏輯關(guān)系，如合取、析取、否定等。命題與命題邏輯真值表與邏輯等價蘊含與推理規(guī)則通過真值表判斷復(fù)合命題的真假，理解邏輯等價的含義和判定方法。掌握蘊含的概念，了解推理規(guī)則在命題邏輯中的應(yīng)用。030201命題邏輯基本概念

充分條件、必要條件、充要條件判斷方法充分條件理解充分條件的含義，掌握判斷充分條件的方法。必要條件理解必要條